2026-2027学年沪科版九年级数学上册期中检测卷

沪科版九年级数学上册期中检测卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每小题4分） 1.下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2.抛物线经过平移得到抛物线，平移方法是(    ) A. 向左平移4个单位，再向上平移7个单位 B. 向左平移4个单位，再向下平移7个单位 C. 向右平移4个单位，再向上平移7个单位 D. 向右平移4个单位，再向下平移7个单位 3.如图，，AF交BE于点若，，则下列结论错误的是     A. B. C. D. 4.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形阴影部分与相似的是 A. B. C. D. 5.点，，在反比例函数的图像上，则a，b，c的大小关系是     A. B. C. D. 6.以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系，下列说法正确的是   A. 小球飞行的高度不能达到15m B. 小球飞行的高度不能达到20m C. 小球飞行的高度不能达到25m D. 小球从飞出到落地要用8s 7.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段，MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则的面积为     A. B. C. D. 8.已知二次函数，若a，b，c满足，，则    A. ， B. ， C. ， D. ， 9.如图，在中，，，，过点A作交BC于点D，点P为线段AD上的一动点点P可与点A，点D重合，连接CP，以CP为直角边向下作，且，连接DE，则DE的最大值和最小值分别为    A. ， B. ， C. ， D. ， 10.如图，在矩形ABCD中，，，点E为矩形ABCD的边AD上一点，，点P从点B出发，沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发，沿BC运动到点C停止，它们的运动速度均为，现P，Q两点同时出发，设运动时间为xs，的面积为，则y关于x的函数图象为    A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分） 11.如果，那么          . 12.已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是          . 13.如图，在中，D是AC的中点，连接BD，E是BD上的点，且，连接AE并延长交BC于点F，则的值为          . 14.如图，点A为反比例函数为正数且图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数为正数且的图象交于点 如果，且点A，点B的纵坐标相等，那么点A，点B的横坐标的比值为          ； 的值为          用含a，b的代数式表示 三、解答题（每小题8分） 15.已知关于x的二次函数 当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； 求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点. 16.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，O为格点，请用无刻度直尺作图： 在AB边上确定一点P，使； 以O点为位似中心，在网格内画出的位似， 且位似比为 四、解答题（每小题8分） 17.如图，小红同学为了测量一栋楼AB的高度，在脚下放了一面镜子P，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部 吗？说明理由； 如果小红估计自己的眼睛距地面，同时量得， ，求这栋楼的高 18.如图，已知点D，E分别在的边AB，AC上，， ，， 求； 连接BE，CD交于点F，求 五、解答题（每小题10分） 19.已知：如图，在中，点D在边AB上，，BE与、分别相交于点F、 求证：； 连接DG，求证： 20.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C 求反比例函数的表达式 若点P在y轴上，且的面积为6，求出点P的坐标 观察图象直接写出当x取何范围时，有？ 六、解答题（每小题12分） 21.某校九年级开展了“手工文创作品制作模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件记作A品、滴胶花艺记作B品收集到如下信息． 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立：设销售A品和B品的总利润为w元，A品售价为x元/件，求w关于x的函数解析式不要求写自变量x的取值范围 方案设计：A品和B品的总成本不超过1300元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 22.在中，，，点M为线段BC上一动点．N在AC和AM的垂直平分线上．MN交AC于点O，如图 若，求用含有的式子表示； 求证：； 如图2：连接NB，交AC，AM于P，Q两点，若恰好为等边三角形，请直接写出的值． 七、解答题（14分） 23.如图，已知抛物线是常数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，已知， 如图1，求该抛物线的表达式 如图2，P是直线BC上方抛物线上一点，AP与y轴、BC分别交于D， ①若，求点P的坐标； ②求的最大值 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A：，，，不成比例； B：，，乘积相等，成比例； C：，，，不成比例； D：，，，不成比例， 故选 2.【答案】C  【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标， 顶点坐标的平移规则是：先向右平移4个单位，再向上平移7个单位． 故选： 】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3.【答案】D  【解析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，根据线段之间的关系可证明，根据平行线分线段成比例定理可判断A、C、D，可证明，得到，据此可判断 【详解】解：， ， ， ， ， ，，故A、C说法正确，D说法错误； ， ， ，故B说法正确； 故选： 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查的是相似三角形的判定，首先求得三边的长，然后分别求得A，B，C，D各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案． 【解答】 解：如图：，，， A.，，， ， ∽， 故本选项正确； B.，，， ， ，， 与不相似， 故本选项错误； C.，，， ，  ，，， 与不相似， 故本选项错误； D.，，， ，，， 与不相似， 故本选项错误． 故选 5.【答案】D  【解析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标即可解答． 【详解】解：， 时，，y随着x的增大而减小，时，，y随着x的增大而减小， ， ，即 故选： 6.【答案】C  【解析】本题考查二次函数的应用，通过解方程判断高度是否可达及落地时间，注意判别式的使用，通过求解二次方程验证各选项：对于高度选项，解方程等于给定值，判断是否有实数解，对于落地时间，解，求出结果即可判断 【详解】解：A、，令，，解得：或，有实数解，故高度可达15m，A错误，不符合题意； B、令，，解得：，有实数解，故高度可达20m，B错误，不符合题意； C、令，，即，，无实数解，故高度不能达到25m，C正确，符合题意； D、令，，解得：或，落地时间为4s，不是8s，故D错误，不符合题意， 故选：C 7.【答案】A  【解析】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键．作于点F，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题． 【详解】解：过点A作于点F，如图所示： ， ， 在，， 和E是边BC的两个“黄金分割”点， 即， 解得， 同理， ， ， ， 故选： 8.【答案】D  【解析】解：当时，，故二次函数过点； 当时，，由得，代入得，故； 因二次函数过点，故方程有实根，判别式，即； 综上，且，选 9.【答案】B  【解析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定点E在线段BF上运动是解题的关键；连接BE交AD的延长线于点F，过点D作于点G；由题意知，进而可得，则，而，从而，则可证明≌，，则点E在线段BF上运动，当E与G重合时，DE最小，当E与F重合时，DE最大，再求出最小值与最大值即可． 【详解】解：如图，连接BE交AD的延长线于点F，过点D作于点G； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点E在射线BF上运动， ， ， ， ≌， ， 当点P与点A重合时，点E与点B重合，当点P与点D重合时，点E与点F重合， 点E在线段BF上运动， 当E与G重合时，DE最小，最小值为线段DG的长， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 由勾股定理得，且， 当E与F重合时，DE最大，最大值为线段FD的长，即为， ， ， 即DE的最小值为， 综上，DE的最大值和最小值分别为和 故答案为： 10.【答案】C  【解析】根据矩形的性质和勾股定理，先求得BE的长，再分、、三种情况，分别求得对应的y与x的函数关系式，进而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可． 【详解】解：四边形ABCD为矩形，，，， ，，，， ， 由题意可知，当时，点P在线段BE上，点Q在线段BC上， 如图，过点P作于点F， 则，，， ， ， ， ，即， ， ； 当时，点P在线段DE上，点Q在线段BC上， 此时的边BQ上的高，， 当时，点P在线段DE上，点Q在点C上， 此时的边BQ上的高，， ， 综上所述，当时，y关于x的函数为二次函数；当时，y关于x的函数为一次函数；当时，y为定值； 观察选项中的图象可知，正确的选项为 故选： 11.【答案】  【解析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：， ，， ， 故答案为： 12.【答案】  【解析】解：二次函数的对称轴是直线，  二次函数的对称轴也是直线，  由题意可知与x轴的一个交点为，  设与x轴的另一个交点为，  根据对称性可得：  解得，  的另一个解为，  故答案为： 二次函数与x轴的两个交点的横坐标关于对称轴对称，所以的两个根在数轴上关于直线对称，由此即可得出答案． 本题主要考查二次函数的图形与性质，关键是要牢记与x轴的交点和的两个根的关系． 13.【答案】  【解析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．过点D作，交AF于点G，证明，， ，，从而得出，，最后得出答案即可． 【详解】解：过点D作，交AF于点G，如图所示： ， ，， ，， ， 是AC的中点， ， ， ， 故答案为： 14.【答案】【小题1】       【小题2】   【解析】  本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质： 设点A，点B的纵坐标为m，可得点，即可求解； 【详解】解：设点A，点B的纵坐标为m， 当时，两函数解析式分别为， 点， ，B的横坐标的比值为； 故答案为：   分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D，证明，可得，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得：，即可求解． 如图，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D， ， ， ，即， ， ， ， ， 根据反比例函数的比例系数的几何意义得：， 故答案为： 15.【答案】【小题1】解：当时，抛物线解析式为， ， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小题2】证明： ， 对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点．   【解析】将代入函数解析式，再把一般式配方成顶点式，然后根据二次函数的性质求解； 计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 16.【答案】【小题1】 如图：所要求作的P点． 【小题2】 解：如图：即为所求．   【解析】  本题主要考查了相似三角形的判定与性质、格点作图、位似作图等知识点，掌握相似三角形的性质以及位似的性质是解题的关键． 如图：取格点D、E使得，连接DE与AB的交点即为所求点P； 【详解】解：证明：由图可知：， ，   先根据位似的性质确定A、B、的对应点，然后再顺次连接即可． 17.【答案】【小题1】 ，理由如下： 由光的反射定律，反射角等于入射角得， ； 【小题2】 ， ， 答：这栋楼高为   【解析】  本题考查了相似三角形的应用； 根据由光的反射定律，反射角等于入射角，即可求解；   根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 18.【答案】【小题1】 解：， ， ， ， ， 【小题2】 解：， ， 即， ， ， ， ，   【解析】  本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键． 由平行关系可得，再利用相似三角形的性质可求得的面积，   由相似三角形的性质进一步，求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进而可得出 19.【答案】【小题1】 证明：， ， ， ， ， ； 【小题2】 由知，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，   【解析】  由，，即得；   根据结论可得，可得，得到，得到，可得，可得，得到，即得 20.【答案】【小题1】当时，， ， ， 反比例函数的表达式为 【小题2】由条件可知，即， 设点P的坐标为， 一次函数的图象与y轴交于点 ， ， 的面积为6， ， 解得或， 点P的坐标为或 【小题3】点A的横坐标为，点B的横坐标为4， 根据函数图象可得，当时，或   【解析】解：当时，， ， ， 反比例函数的表达式为； 由条件可知，即， 设点P的坐标为， 一次函数的图象与y轴交于点 ， ， 的面积为6， ， 解得或， 点P的坐标为或 点A的横坐标为，点B的横坐标为4， 根据函数图象可得，当时，或 将代入求得点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式即可； 求出点 B、C的坐标，设点P的坐标为，得到，根据的面积为6，得到，求出a值即可得到点P的坐标． 根据两函数图象交点，结合函数图象即可求解． 本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，几何图形面积问题，正确掌握各知识点是解题的关键． 21.【答案】【小题1】 解：设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； 【小题2】 解：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件， 品的销量为：件， 品的销量为：件， ， 答：w关于x的函数解析式为：； 【小题3】 解：制作A品和B品的总成本不超过1300元， ， 解得：， 又且，即， ， ，， 当时，w随着x的增大而减小， 当时， 此时，，总成本等于1300元， 答：制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为4450元．   【解析】  设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为元，根据“用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可；   根据“当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于x的函数解析式；   先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 22.【答案】【小题1】 解：，， ， 在AC和AM的垂直平分线上， ， ，，， ， ， ， ， 【小题2】 证明：设， 由可知，， ， 由题意知，， ， ， ， ，， ， ； 【小题3】 解：， 垂直平分AC，即P是AC的中点， ， 如图1，作交AM于E， ，E为AM的中点， 是的中位线， ， 为等边三角形， ，， 设，则， 如图1，作于F， ，， ，， 由勾股定理得，， ， ，， ， ， ， ， 的值为   【解析】  由题意知，，由N在AC和AM的垂直平分线上，可得，则，，，由，可得，根据，求解作答即可；   设，由可知，，则，由题意知，，则，即，由题意得，，由，，可得，进而结论得证；   证明BN垂直平分AC，即P是AC的中点，，如图1，作交AM于E，则PE是的中位线，，由为等边三角形，可得，，设，则，如图1，作于F，则，，，，由勾股定理得，，即，，，证明，根据，求解作答即可． 23.【答案】【小题1】点，， ， ， 点，点， 抛物线是常数与x轴交于A，B两点， 该抛物线的表达式为 【小题2】①， ：：2， 如图2，过点P作轴于点F， ， 又， ∽， ：：：2， ， 当时，得：， ； ②设，， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为   【解析】解：点，， ， ， 点，点， 抛物线是常数与x轴交于A，B两点， 该抛物线的表达式为； ①， ：：2， 如图2，过点P作轴于点F， ， 又， ∽， ：：：2， ， 当时，得：， ； ②设，， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为 由点得，再结合已知分别求出，，即可得点，点，进而可得抛物线的表达式； ①由得AD：：2，过点P作轴于点F，证明∽得OA：：：2，进而得，将代入即可得点P的坐标； ②设，由得关于t的二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． 本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数与面积问题等知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $