27.3 实际问题与反比例函数（分层练习）2026-2027学年人教版数学九年级上册

27.3 实际问题与反比例函数（分层练习） 基础过关练 知识点一　待定系数法 1．下列实际问题中，两个变量成反比例函数关系的是（　　） A．匀速运动中路程与时间 B．路程一定时速度与时间 C．总价一定时单价与数量 D．正方形面积与边长 2．已知与成反比例且当时，求y关于x的函数解析式，并当x=10时求y的值． 3．甲乙两地相距，汽车行驶速度与所需时间成反比例．写出关于的函数解析式；若，求． 4．某任务工作量一定，工作效率与完成时间的关系图象（第一象限）大致是（　　） A．双曲线的一支 B．过原点的直线 C．抛物线 D．水平直线 5．矩形花圃面积固定，长与宽满足什么关系？当时为多少？若长增加，宽变为多少？ 6．某用电器电压恒定，电流与电阻成反比例．当时，求；若增大到，变为多少？ 7．水池容积一定，排水速度与排完所需时间成反比例．若，求；若要在分钟排完，速度应为多少？ 8．某商品总价元固定，单价（元）与可购买数量（件）成反比例．若单价降为元，可买几件？若想买件，单价应为多少？ 9．压强与受力面积满足（为压力）．当不变，由减半为时，压强如何变化？ 10．圆柱形水箱体积一定，底面积与高满足．若，当时为多少？增大到时变为多少？ 知识点二　物理背景建模 1．某物体质量一定，密度与体积成反比例．若，当时密度为多少？变为时呢？ 2．封闭气体体积与压强成反比例（波义耳定律）．当时．求关于的解析式；当时为多少？ 知识点三　综合建模 1．水池以恒定速度注水，分钟注水量．若改为排水，设剩余容积与排水速度满足（常数）．当时，求及时的． 知识点四　根据实际问题列反比例函数关系 1．矩形面积为，长为，则这个矩形的宽与长的函数关系为  。 2．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例. 已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是_____________ 。 3．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为【   】 A．      B．      C．      D． 能力提升练 知识点一　根据实际问题列反比例函数关系 1．某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为    ． 2．我校计划劈出一块面积为100m2的长方形土地做花圃，请写出这个花圃的长y（m）与宽x（m）的函数关系式    ． 3．在应对气候变化、推进绿色低碳发展的大背景下， 在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活逐渐成为人们的共识．某企业采用技术革新，节能减排．从去年1至6月，该企业二氧化碳排放量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间的函数关系如下表： 月份x（月）123456二氧化碳排放量y1（吨）600300200150120100去年7至12月，二氧化碳排放量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）的变化情况满足二次函数y2=ax2+bx（a≠0），且去年7月和去年8月该企业的二氧化碳排放量都为56吨． （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式．并且直接写出y2与x之间的函数关系式； （2）政府为了鼓励企业节能减排，决定对每月二氧化碳排放量不超过600吨的企业进行奖励．去年1至6月奖励标准如下，以每月二氧化碳排放量600吨为标准，不足600吨的二氧化碳排放量每吨奖励z（元）与月份x满足函数关系式z=x2-x（1≤x≤6，且x取整数），如该企业去年3月二氧化碳排放量为200吨，那么该企业得到奖励的吨数为（600-200）吨；去年7至12月奖励标准如下：以每月二氧化碳排放量600吨为标准，不足600吨的二氧化碳排放量每吨奖励30元，如该企业去年7月份的二氧化碳排放量为56吨，那么该企业得到奖励的吨数为（600-56）吨．请你求出去年哪个月政府奖励该企业的资金最多，并求出这个最多资金； （3）在（2）问的基础上，今年1至6月，政府继续加大对节能减排企业的奖励，奖励标准如下：以每月二氧化碳排放量600吨为标准，不足600吨的部分每吨补助比去年12月每吨补助提高m%．在此影响下，该企业继续节能减排，1至3月每月的二氧化碳排放量都在去年12月份的基础上减少24吨.4至6月每月的二氧化碳排放量都在去年12月份的基础上减少m%，若政府今年1至6月奖励给该企业的资金为162000元，请你参考以下数据，估算出 m的整数值． （参考数据：322=1024，332=1089，342=1156，352=1225，362=1296） 知识点二　根据实际问题列反比例函数关系 1．二氧化碳的密度ρ（kg/m3）关于其体积V（m3）的函数关系式如图所示，那么函数关系式是    ． 2．矩形面积为6cm2，长为xcm，那么这个矩形的宽y（cm）与长x（cm）的函数关系为    ． 3．如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下： x（cm）…10152025 30…y（N）…30201512 10…猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为    ． 知识点三　根据实际问题列反比例函数关系 1．一架客机从合肥飞往相距450千米的上海，它飞行的时间t（小时）与速度v（千米/小时）之间的函数关系式为    ． 2．某汽车的油箱一次加满汽油45升，可行驶y千米，设该汽车行驶每100千米耗油x升，则y关于x的函数解析式为    ． 3．如果用s表示路程（单位：千米），t表示时间（单位：小时），v表示速度（单位：千米/时），那么t=    时（用s和v表示）． 4．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D．y= 5．蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流I（安）与电阻R（欧）之间关系图象如图所示，若点P在图象上，则I与R（R＞0）的函数关系式是    ． 6．菠菜每千克x元，花10元钱可买y千克的菠菜，则y与x之间的函数关系式为    ． 拓展培优练 综合运用 1．某中学要在校园内划出一块面积是100m2的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的长分别为xm和ym，那么y关于x的函数解析式是    ． 2．一定质量的氧气，它的密度ρkg/m3是它的体积Vm3的反比例函数．当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3，则ρ与V的函数关系是    ． 3．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x之间的函数关系式是（ ） A．y=（x取正整数） B．y= C．y= D．y=8000 4．“水立方”的游泳池长为50m，宽为25m，深为3m.现以x m/min的速度向池中注 水，注满水池需y min，则y与x函数关系的大致图象为（     ）   5．企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表： 7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元． （1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出与x之间的函数关系式； （2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用； （3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值． （参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4） 答案与详细解析 基础过关练·知识点一　待定系数法 1．【答案】B 【解析】总价=单价×数量（单价定则数量与总价正比）；路程定则速度与时间反比；面积定则长与宽反比；故B、C均反比，单选B（速度与时间）最典型． 2．【答案】见解析 【解析】见解析 【解析】设，代入()得，故．时． 3．【答案】见解析 【解析】见解析 【解析】由得．当时（小时）． 4．【答案】A 【解析】由（常数）知与成反比例，图象为双曲线的一支． 5．【答案】见解析 【解析】见解析 【解析】即．时；时． 6．【答案】见解析 【解析】见解析 【解析】．当时；当时． 7．【答案】见解析 【解析】见解析 【解析】．时分钟；时需． 8．【答案】见解析 【解析】见解析 【解析】．时件；时元． 9．【答案】见解析 【解析】见解析 【解析】，减半则变为原来的倍（由变为）． 10．【答案】见解析 【解析】见解析 【解析】．时；时． 基础过关练·知识点二　物理背景建模 1．【答案】见解析 【解析】见解析 【解析】．时；时． 2．【答案】见解析 【解析】见解析 【解析】设，代入()得，故．时． 基础过关练·知识点三　综合建模 1．【答案】见解析 【解析】见解析 【解析】由代入()得，故．时． 基础过关练·知识点四　根据实际问题列反比例函数关系 1．【答案】y=6/x 【解析】y= 2．【答案】y=100/x 【解析】 3．【答案】C 能力提升练·知识点一　根据实际问题列反比例函数关系 1．【答案】y=1000/x 【解析】根据等量关系“工作时间=工作总量÷工效”即可列出关系式． 2．【答案】y=100/x 【解析】根据等量关系“矩形一边长=面积÷另一边长”即可列出关系式． 3．【答案】见解析 【解析】（1）经过题意分析和观察图表可以得出y1与x的积是一个定值，可以得出y1与x之间的函数关系是反比例函数，由7、8月份的排放量代入解析式y2=ax2+bx，由待定系数法就可以就可以求出y2与x之间的函数关系式． （2）由（1）的结论根据条件可以表示出政府奖励资金与月份的函数关系式，然后分别求出1至6月最大值和7至12月的最大值就可以表示出这一年的最多奖励资金． （3）由条件求出去年12月的排放量就可以求出12月的奖励资金，进而可以表示出今年1至3月的奖励资金和4至6月奖励资金与总奖励资金建立等量关系就可以求出其m的值． 能力提升练·知识点二　根据实际问题列反比例函数关系 1．【答案】ρ=k/V 【解析】根据密度公式可知体积V与密度ρ的函数关系式为：ρ=，利用待定系数法求解即可． 2．【答案】y=6/x 【解析】根据等量关系“矩形的宽=矩形面积÷矩形长”即可列出关系式． 3．【答案】y=300/x 【解析】观察可得：x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； 能力提升练·知识点三　根据实际问题列反比例函数关系 1．【答案】t=450/v 【解析】根据等量关系距离=时间×速度，即可列出函数关系式． 2．【答案】y=4500/x 【解析】行驶千米数=汽油升数×每升汽油可行驶千米数，把相关数值代入即可求解． 3．【答案】t=s/v 【解析】此题可根据等量关系“时间=路程÷速度”，把相关字母代入即可求解． 4．【答案】C 【解析】设出反比例函数解析式，把（0.25，400）代入即可求解． 5．【答案】I=36/R 【解析】先由点P的坐标求得电压的值，再根据等量关系“电流=电压÷电阻”可列出关系式． 6．【答案】y=10/x 【解析】根据菠菜每千克x元，花10元钱可买y千克的菠菜可得出xy=10，进而得出y与x之间的函数关系式． 拓展培优练·综合运用 1．【答案】y=100/x 【解析】根据等量关系“矩形一边长=面积÷另一边长”即可列出关系式． 2．【答案】ρ=14.3/V 【解析】首先根据题意，一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案． 3．【答案】A 【解析】根据购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y元，x个月结清余款，得出xy+4000=12000，即可求出解析式． 4．【答案】见解析 【解析】B 5．【答案】见解析 【解析】解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系： y1=，将（1，12000）代入得： k=1×12000=12000， 故y1=（1≤x≤6，且x取整数）； 根据图象可以得出：图象过（7， 10049），（12，10144）点， 代入得： ， 解得：， 故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）； （2）当1≤x≤6，且x取整数时： W=y1x1+（12000﹣y1）•x2=•x+（12000﹣）•（x﹣x2）， =﹣1000x2+10000x﹣3000， ∵a=﹣1000＜0，x=﹣=5，1≤x≤6， ∴当x=5时，W最大=22000（元）， 当7≤x≤12时，且x取整数时， W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）， =﹣x2+1900， ∵a=﹣＜0，x=﹣=0， 当7≤x≤12时，W随x的增大而减小， ∴当x=7时，W最大=18975.5（元）， ∵22000＞18975.5， ∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元； （3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000， 设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0， 解得：t=， ∵≈28.4， ∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）， ∴a≈57， 答：a的值是57． 学科网（北京）股份有限公司 $