27.3 实际问题与反比例函数 课后同步分层练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以基础巩固-能力提升-综合应用为分层逻辑，通过物理情境问题链实现从概念理解到跨学科应用的知识进阶，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一模型识别与k值计算|选择题、填空题聚焦行程、压强等基础模型，直接考查反比例关系建立| |提升层|函数关系建立与实际决策|解答题要求确定自变量取值范围，通过不等式解决速度、电阻等实际限制问题| |综合层|跨学科综合应用与规律探究|综合题结合欧姆定律、卸货计划，分析变量变化规律，体现数学与物理学科融合|

新人教版九年级上册 第章 反比例函数 实际问题与反比例函数 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 实际问题中"总量（乘积）一定，一个量增大另一个量减小"，通常可建立反比例函数模型。 · 常见模型：行程 （定）、压强 （定）、杠杆 ₁₂（积定）、电流 （定）。 · 用待定系数法求比例系数：代入一组实际对应值即可。 · 自变量取值范围要符合实际意义（速度、时间、压强、电流等均为正数）。 · 利用解析式进行计算与决策：注意对结果作出符合题意的检验与解释。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．一辆汽车行驶 的路程，行驶速度为 （km/h），所需时间为 （），则 与 之间的函数关系式为（　　） ．　　．　　．　　． ．压强 （）与受力面积 （）满足 ，当压力 时， 与 的函数关系式为（　　） ．　　．　　．　　． ．在 中，当 时， 的值为（　　） ．　　．　　．　　． ．如图，用撬棍撬石头，阻力与阻力臂的乘积为 ·，动力为 （），动力臂为 （），则 与 之间的函数关系式为（　　） ．　　． ．　　． ．某水池容积为 ，注水速度为 （m³/h），注满时间为 （），则当 时， 的值为（　　） ．　　．　　．　　． ．如图，电路中电源电压 ，电流 （）与电阻 （Ω）满足 ，则当 时， 的值为（　　） ．　　．　　．　　． ．在 （）中，当速度 逐渐增大时，时间 （　　） ．逐渐增大　　．逐渐减小 ．保持不变　　．先增大后减小 ．某打印店要打印一份页的文件，每小时打印 页，所需时间为 小时。若原计划每小时打印页，现在每小时多打印页，则所需时间将变为（　　） ．小时　　．小时　　．小时　　．小时 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．一段路程为 ，速度 （km/h）与时间 （）之间的函数关系式为 。 ．在 中， ，当 Ω 时， 。 ．如图，杠杆平衡时，动力 与动力臂 满足 （阻力与阻力臂的乘积），则当 时， 。 ．某水池容积为 ，注水速度 （m³/h）与注满时间 （）满足 ，则当 时，；当 时，。 ．压强 （）与受力面积 （）满足 （ ），当 扩大为原来的倍时， 变为原来的。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）一段路程为 ，汽车行驶速度为 （km/h），所需时间为 （）。 写出 与 之间的函数关系式及自变量取值范围； 当 时， 是多少？ 当 时， 是多少？ ．（本题分）如图，电路中电源电压 ，电流 （）与电阻 （Ω）满足 。 写出 与 之间的函数关系式； 当 时，求 的值； 若通过电路的电流 不能超过 ，求电阻 的取值范围。 ．（本题分）某水池的容积为 ，用注水管向空水池注水，注满水池所需时间为 （），注水速度为 （m³/h）。 写出 与 之间的函数关系式； 若要在小时内注满水池，注水速度至少为多少？ 若注水管的最大注水速度为 m³/h，则注满水池至少需要多少小时？ ．（本题分）水平地面上放置一个重物，它对地面的压力 ，与地面的接触面积为 （），对地面的压强为 （）。 写出 与 之间的函数关系式； 当 时，压强是多少？ 若地面能承受的最大压强为 ，为使地面不被压坏，接触面积 至少要多大？ ．（本题分）某物体的质量为 ，它的密度 ρ（g/cm³）与体积 （）满足 ρ。 写出 ρ 与 之间的函数关系式； 当 时，求密度 ρ； 若要求密度不超过 g/cm³，则体积 至少要多大？ 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【阅读理解】阅读材料，回答问题。 材料：许多物理规律都体现"两个量的乘积一定"。欧姆定律告诉我们：导体中的电流 与导体两端的电压 成正比，与导体的电阻 成反比，即 。当电压 一定时， 是定值，电流 是电阻 的反比例函数。类似地，压强公式 中，当压力 一定时， 是定值，压强 是受力面积 的反比例函数。这两个规律都可以用反比例函数 来研究： 越大，相应的曲线（双曲线）离原点越远，表示在同样的自变量下函数值越大。 问题： 写出电压 时电流 与电阻 的函数关系式； 根据欧姆定律，当电阻 扩大为原来的倍（电压不变）时，电流 如何变化？ 在压强公式 （ 一定）中，若把受力面积 扩大为原来的倍，压强如何变化？ ．（本题分）【综合与实践】码头有一批吨的货物需要卸完。设每天卸货 吨，卸完这批货物需要 天。 写出 与 之间的函数关系式及自变量取值范围； 若每天卸货吨，几天能卸完？ 若计划在天以内（含天）卸完，每天至少要卸多少吨？ 已知吊车的最大卸货能力为每天吨，结合 的结果，说明该计划能否实现。 新人教版九年级上册 第章 反比例函数 实际问题与反比例函数 课后练习（满分分，时间分钟） （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ． ． ． ．； ．一半 三、解答题 ． ； km/h； 【分析】路程速度时间，即 。 【详解】解：由 ，得 ，其中 。 解：当 时，，即速度为 km/h。 解：当 时，，即需要小时。 【评分标准】关系式正确得分，取值范围正确得分（共分）；正确得分；正确得分（共分）。 ． ； ； Ω 【分析】代入；代入；由 得 ，注意 时不等号方向。 【详解】解：（）。 解：当 时，（）。 解： 。 ，两边同乘 ，得 ，即 。 电阻 的取值范围是 Ω。 【评分标准】正确得分；正确得分；列出不等式得分，解出并注意不等号方向得分（共分）。 ． ； 至少 m³/h； 至少 【分析】时间越短速度越大： 时 ；速度最大时间最短。 【详解】解：（）。 解：要小时内注满，即 ， 则 ， 故注水速度至少为 m³/h。 解：注水速度最大为 m³/h 时，注满所需时间最短： （），即至少需要小时。 【评分标准】正确得分；分析正确得分，结论正确得分（共分）；正确得分（共分）。 ． ； ； 【分析】压强压力/受力面积；由 解不等式。 【详解】解：（）。 解：当 时，（）。 解： 。 ，两边同乘 ，得 ，即 。 接触面积至少要 。 【评分标准】正确得分；正确得分；列出不等式得分，解出得分（共分）。 ． ρ； ρ g/cm³； 【分析】密度质量/体积；由 ρ 解不等式。 【详解】解：ρ（）。 解：当 时，ρ（g/cm³）。 解： ρ 。 ，两边同乘 ，得 ，即 。 体积至少要 。 【评分标准】正确得分；正确得分；列出不等式得分，解出得分（共分）。 四、综合与实践 ． ； 电流变为原来的三分之一； 压强变为原来的四分之一 【分析】利用反比例函数"积一定"的特性分析。 【详解】解：（）。 解：电压不变时 为定值。设原来 ， 电阻变为后，电流 ，即电流变为原来的三分之一。 解： 一定时 为定值。设原来 ， 面积变为后，压强 ，即压强变为原来的四分之一。 【评分标准】正确得分；结论正确得分，说理清楚得分（共分）；结论正确得分，说理清楚得分（共分）。 ． ； 天； 每天至少卸吨； 能：所需的最小卸货速度吨天不超过最大能力吨天 【分析】总量每天卸货量天数；代入；由 得 ；比较与。 【详解】解：由 ，得 ，其中 。 解：当 时，，即天能卸完。 解：由 ，得 。 ，两边同乘 ，得 ，即 。 故每天至少要卸吨。 解：吊车最大卸货能力为每天吨， 而完成计划所需的最小卸货速度为每天吨。 该计划能够实现。 【评分标准】正确得分；正确得分；列出不等式得分，解出得分（共分）；比较并得出结论得分。 学科网（北京）股份有限公司 $