2026-2027学年苏科版九年级上册数学测试卷（适用于第三章圆）

2026-2027学年苏科版九年级上册数学测试卷（适用于第三章圆） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．圆的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（     ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 2．下列说法错误的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．三角形的外接圆有且只有一个 D．长度相等的两段弧是等弧 3．如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 7．如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 8．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的直径为________． 10．已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） 11．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 12．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为，高为，如图所示，圆锥模型的侧面积为______． 13．如图，在菱形中，，则以为圆心，为半径的与直线的位置关系是______；点为菱形所在平面内一动点，且，连接，，取的中点，连接．则线段最小值为______． 14．如图，点P在第二象限内，与y轴相切于点C，其中点，与轴相交于点，则点的坐标________． 15．如图，已知的直径为2，所对的圆心角度数为，B是的中点，点P在直径上移动，则的最小值为___________． 三、解答题 16．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ； (3)在（1）的旋转变换中，求点所经过的路径长． 17．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的面积． 18．如图，在中，． (1)在边上找一点，使以点为圆心，长为半径的圆恰好与相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，与的切点为，若，，求的半径． 19．如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，过点作，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 20．如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． 21．如图，内接于，是直径上的一点，满足，连结并延长交于点，连结，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点，设．      (1)①用含的代数式表示和的大小． ②猜想线段、和满足什么数量关系，并证明． (2)如图，连接和，若，求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年苏科版九年级上册数学测试卷（适用于第三章圆） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A A D B C A 1．B 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小来确定，当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴点到圆心的距离与圆的半径相等， ∴点在上． 2．D 【分析】以等弧的定义为突破口，判断各选项正误． 【详解】解：A、B、C的说法均符合圆的相关概念，正确，不符合题意， ∵ 能完全重合的弧是等弧，仅长度相等的两段弧不一定能完全重合， ∴ D中说法错误，符合题意． 3．A 【分析】由垂径定理可得，再利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，弦的长为8，圆心到的距离， ， ， 在中，， 的半径长为． 4．A 【分析】连接，，，根据切线长定理可知，，，再由的周长为，即可求解． 【详解】解：连接，，， ，分别与相切， ， 同理，， 的周长为， ， ， ， ， ， ． 5．D 【分析】连接，由是的直径得，再根据同弧所对圆周角相等和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．B 【详解】解：圆锥侧面积为. 7．C 【分析】连接，利用矩形性质得出为定值1，确定点的轨迹是以为圆心、1为半径的圆，当与该圆相切时最大，利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， ，，， 四边形为矩形， ， ∵为中点， ∴为矩形对角线的交点， ， 半径为2，即， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 当与此圆相切时，度数最大， 此时， 在中，，， ． 8．A 【分析】根据“所对的直角边是斜边的一半”易得，利用勾股定理可得，再根据旋转的性质，得，，，最后根据扇形面积公式和“”，计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 由旋转可得，，， ． 9． 【分析】直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，利用勾股定理求出斜边长即可得到结果． 【详解】解：∵在中，两直角边长分别为、， ∴由勾股定理可得斜边长为， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴外接圆的直径为． 10． 【分析】已知的半径和点的位置，根据点与圆的位置关系的判定规则即可得到结论． 【详解】解：∵点与圆的位置关系规则为：点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径， ∵的圆心为，半径为，点在内， ∴． 11． 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 12． 【分析】已知圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径，高， 母线长， 圆锥模型的侧面积为． 13． 相离 【分析】连接，交于点，交于点，由菱形的性质可得，，然后通过直角三角形的性质得，再与半径比较即可判断与直线的位置关系；连接，，交于点，由菱形的性质可得，，，然后通过是的中位线，得，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，故当点在线段上时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴以为半径的与直线的位置关系是相离； 如图，连接，，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，取得最小值，如图， 此时最小值为． 14．/ 【详解】解：如图，连接，，过点P作， ∵与y轴相切于点C， ∴轴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∴． ∴点的坐标为． 15． 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，连接、、，当点在一条直线上时，有最小值，最小值为，由题意可得所对的圆心角度数为，根据圆周角定理得到，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即为的最小值． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接，连接并延长交于点E，连接，． ∵点B与点关于对称， ，． ， ∴当点，P，A在同一直线上时，有最小值，最小值为的长． 是的中点，所对的圆心角度数为， 所对的圆心角度数为， 所对的圆心角度数为， 所对的圆心角度数为， ． 是的直径， ，， ， ， ， 的最小值为． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）分别画出点、绕点顺时针旋转得到的对应点、，连接点、、，得到即为所求； （2）连接对应点、，作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，由网格图可知旋转中心的坐标为； （3）借助网格图可以求出，，根据扇形的弧长公式即可求出点所经过的路径长． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示， 连接对应点、，作、的垂直平分线， 两条垂直平分线的交点即为旋转中心， 旋转中心的坐标为； （3）解：由旋转可知， 由网格可知， 点所经过的路径长为． 17．(1)解：， 理由如下： 如下图所示，连接， 、是的半径， ， 是等腰三角形， 点是的中点， ， ； (2) 【分析】（1）连接，根据圆的性质可知是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证； （2）设的半径为，则有，利用勾股定理可得，解方程求出的值，即为的长度，根据三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， 是的垂直平分线， ， ， 设的半径为， 则， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 18．(1)如图，点即为所求． (2) 【分析】（1）要满足以点为圆心，为半径的圆与相切，等价于圆心到的距离等于半径，结合的条件，等价于作的角平分线，该角平分线与交于点，过点作的垂线，与的交点即为所求的点，此时，，满足圆与相切，保留全部作图痕迹即可； （2）过点作交于点，结合切线的性质和，推出四边形是矩形，由此得到对应边相等，设半径，则，，在中利用勾股定理列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：作的角平分线，交于点，过点作的垂线交于点，即为所求．以为圆心，长为半径作圆，可以使得圆与相切． （2）解：如图，过点作交于点， ，，， 四边形是矩形， ， 设半径，则，， 在中，， ， 即， 解得． 的半径为． 19．(1)证明：连接． 是的直径， ， ． ， ． ， ，， ． ，， ， ． 又， ，且是的直径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，得；利用得到，由得到，故；利用证明，得到，最后同旁内角互补，即可得； （2）连接，与相交于M点，根据，得是等腰直角三角形，由，得，，长度，证明，得到，是等腰直角三角形，即可算出阴影部分面积. 【详解】（1）略 （2）解：连接，与交于点． ∵，， ∴为等腰直角三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ． 20．(1)证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质证得，，再通过等腰三角形的性质得到，从而证得，然后由圆心角定理证得； （2）作于，利用菱形的性质可得，是等边三角形，得到，通过等腰三角形的性质结合勾股定理得到，然后通过求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ． 21．(1)①，． ②猜想：． 证明：由第（1）问可知 因为 是圆的直径，所以 在直角三角形 中， 又因为 ， 所以 因为 三点共线， 三点共线，且 四点共圆， 所以 因此 于是 即 又因为 是等腰三角形，且 所以 在直角三角形 中， 将这些代入： 因此， 过点 作垂足为． 因为 且 ，所以在直角三角形 中， 又因为 ，得 在直角三角形 中， 所以 同时 由图中 的位置， 因此 所以， 所以 所以 因此． (2)如图，连接和． 由圆周角定理， 弧 所对的圆心角为 因为 与 是相反射线，所以直线 与 的夹角为 另一方面，由（1）可知 因此直线 与 的夹角为 又因为 所以 解得， 于是 在点 处，射线 位于射线 与 之间，所以 因此 即． 由（1）中的结论， 又因为 是 的中点， 所以 在三角形 中， 而 由正弦定理可知，三角形 中 另一方面， 根据图形中 位于 内部， 而前面已经得到 因此． 【分析】（1）①利用 AB 为直径得到，结合得到，再根据等腰内角和，代入底角计算，求出顶角．②利用相似三角形求得 ，再作 求得 ，最后由 得 ． （2）运用圆周角定理得到圆心角，结合条件，通过直线夹角列等式算出，求出；利用（1）的结论得到，结合得到边长比值，在用正弦定理求出，再做角度减法算出，等量代换证明． 【详解】（1）解：①因为 是圆的直径端点，所以 又因为 ，所以 与 共线；，所以 与 共线． 由于 ，而 三点共线，所以 ． 因此，直线 与 的夹角为 在等腰三角形 中， 所以 而 故 于是 由于 ，所以． ②略． （2）略． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $