第三章圆检测卷2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 本卷聚焦圆的核心知识，通过月全食、风车等真实情境题及新定义“切端点”问题，融合几何直观与推理能力，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8题|四点共圆、切线性质、等弧概念|第7题结合切线与圆周角考查推理意识| |填空题|10题|圆心角计算、动态最值、外接圆半径|第11题三角尺测量铁环半径体现应用意识| |解答题|10题|实际应用（喷泉半径）、新定义探究|20题风车运动问题融合垂径定理，27题“切端点”定义培养创新思维|

第三章圆检测卷 一、单选题 1．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 4．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 5．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 6．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是_________． 10．如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 11．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，则铁环的半径为________． 12．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 13．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    15．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 16．如图，已知的半径为，是的弦，，点是线段上的动点，连接，则的最小值是____． 17．2026年3月3日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象．如图1，月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为2，A是弦的中点，B是半圆A上的一点，且，则图中阴影部分的面积为______． 18．如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 三、解答题 19．如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 20．风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 21．如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接． (1)尺规作图：作劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若与相切，求（1）中作图得到的的度数． 22．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 23．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 24．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 25．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 26．如图1，在中，，，，点O在边上，且．以点O为圆心，2为半径在的上方作半圆O，交于点D，E（点D在点E左侧），交于点P．随后，将半圆O沿射线向右平移，设点D平移的距离为x（）． (1)在图1中的长为________； (2)如图2，当边与半圆O相切于点P时，求x的值； (3)已知点M是半圆O上的动点，连接，当最小时，仅用圆规和无刻度的直尺，在图3中作出点O，并求出的最小值； (4)在半圆O沿射线向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围． 27．定义：如图1，的半径为，若平面内以为线段一端点的长度为的线段上存在的切点，则称点为的切线段端点，简称“切端点”． (1)以下各点中，是半径为2的的“切端点”的有：__________； ，，， (2)在（1）的条件下，若直线上存在的“切端点”，则的取值范围为__________； (3)在平面直角坐标系中，的半径为，直线分别与轴，轴交于点，，若线段上的所有点都是的“切端点”，则的半径的取值范围为__________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《第三章圆检测卷》参考答案 1．A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 2．D 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接， ∵，且， ∴， 设圆的半径为R， ∵， 则在中，有即， 解得，即， 故选项D符合题意． 3．B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 4．C 【分析】根据圆的相关性质与菱形的判定定理，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 5．B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 6．A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 7．B 【分析】连接，在优弧上取点，连接，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图所示，连接，在优弧上取点，连接， 、是切线， ， ， ， 又∵圆内接四边形的对角互补， ． 8．C 【分析】通过角平分线性质定理证明，即可判断①；然后连接，证明，即可判断②③． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； 连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，故②、③正确； 现有条件不足以判断④，故④错误， ∴正确的有3个． 9． 【分析】本题考查圆的基本概念，等边三角形的判定和性质，连接，根据等边三角形的性质，求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的直径为， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即弦所对的圆心角是 故答案为：． 10． 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 11． 【分析】过作于，连接、，由切线长定理可得为的平分线，即，从而有，再由直角三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求出铁环的半径． 【详解】解：过作于，连接、，如图， ∵为的切线，为的切线， ∴为的平分线，即， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即铁环的半径为． 12． 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 13． 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 14． 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 15．14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 16． 【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，理解垂线段最短是解题的关键．连接，当时，的最小值，由垂径定理可得：，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，当时，的最小值， 是的弦，， ， 的半径为，即， ， 故答案为：． 17． 【分析】连接、、，由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】解：连接、、， 是圆心，是弦的中点， ， 是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； 是弦的中点，， ，， ． 18． 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 19．(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)扇叶最外端P与地面的距离为 (2)点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为 【分析】（1）过点P作，垂足为F，则，那么，再解即可； （2）解求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得O，D，C三点共线． 如图，过点P作，垂足为F． 由题意，得， ∴． ∵⊙O的直径为， ∴． 在中，， ∴． ∴扇叶最外端P与地面的距离为． （2）解：依据题意构图如上，此时点P运动到点Q的位置． 在中，，， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为． 21．(1)如图，点E即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，等腰直角三角形的判定与性质以及尺规作图，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与劣弧的交点即为； （2）先根据题意得到，再结合等腰三角形的性质得到，最后利用圆周角定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：是的切线， ， ， ， ， ， ． 22．(1)5 (2)24 【分析】（1）连接，设喷泉的半径为，则、，由垂径定理可得、，再利用勾股定理得到，据此列方程求解即可； （2）由（1）可知米，利用圆的周长进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则， ， 是弦的中点， 、， ， 在中，， 即， 解得， 喷泉的半径为5米； （2）解：由题意得：米， 则盏， 因此，大约需要安装24盏景观灯． 23．(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 24．(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 25．(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 26．(1) (2) (3)解：如图所示为所求： 最小值为 (4) 【分析】（1）找到劣弧所对的圆心角，在利用公式求解即可； （2）由切线的性质结合直角三角形的性质可得，即可解答； （3）连接，由，可得当且点在线段上时，有最小值，过点作的垂线，垂足为即可，设交半圆O于点，此时有最小值，利用直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，再求出，即可解答； （4）圆与三角形两条直角边分别相切时，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴； （2）解： 如图，连接， ∵边与半圆相切于点P， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵， ∴当且点在线段上时，有最小值， ∴过点作的垂线，垂足为， 作图略； 设交半圆O于点，此时有最小值， ∵，，， ∴， ∴， 由作图知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即两点重合， ∵， ∴，即的最小值为； （4）解：如图，半圆与相切，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得，即，解得， ∵， ∴， ∴半圆与的重叠部分是半圆时，的取值范围是． 27．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“切端点”定义可得，满足点是半径为的的“切端点”则，据此逐个判断即可； （2）设与轴交点为，与轴交点为，边上的高为，则，，，，，再根据“切端点”定义可得，，得到解得； （3）先求出，，则，，，设边上的高为，，设点是线段上任意一点，则，根据“切端点”定义可得，，即可得到，解得． 【详解】（1）解：根据“切端点”定义可得，，，与相切， ∴，， ∴， ∴， 根据垂线段最短可得最小值为， 即满足点是半径为的的“切端点”则， ∵半径为2的， ∴，， 对于，，故不是半径为2的的“切端点”； 对于，，故是半径为2的的“切端点”； 对于，，满足，故是半径为2的的“切端点”； 对于，，故不是半径为2的的“切端点”； 综上所述，是半径为2的的“切端点”的有，； （2）解：设与轴交点为，与轴交点为，边上的高为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即到直线的距离为， 在（1）的条件下，若直线上存在半径为2的的“切端点”，即直线上存在点，满足， ∴时，会存在在点，满足， 解得； （3）解：令得到，令得到，解得， ∴直线与轴交点，与轴交点， ∴，， ∴， 设边上的高为， ∴， ∴， 即到直线的距离为， 设点是线段上任意一点，则最小值为，最大值为， ∴， ∵线段上的所有点都是的“切端点”， ∴线段上的任意一点满足， ∴， 解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $