第3章 圆 单元试卷（一） 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

单元试卷（一) 《圆》 (考试时间：120分钟，满分：150分) 成绩 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1.如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上.若∠ACB=26°，则∠AOB=() A.10° B.26 C.40 D.52 2.如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E,OB=CD=2,则OE长为() A.1 B.V3 C.2 D.V5 3.团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”.劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行 装饰.如图，已知扇面边缘为⊙O,扇柄所在直线经过圆心O,她过扇柄端点P作PA,PB分别与⊙O相 切于点A,B,得到弧AB.若⊙O的半径为9c,∠APB=60°，则小红想要装饰的弧AB的长为() A.6πcm B.9πcL C.18rcm D.271tcm 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.“拧拉”是一种常用的乒乓球发球技术.拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧.小明 手腕到手肘的距离为20m,某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为() A.5Tcm B.8πclu C.10ncn D.201tcn 5.已知一圆上有A、B、C、D四点，其位置如图所示，AB=87°，BC=91°，CD=88°，AD=94°.若在 此圆上找两点E、F,使得四边形ABEF为长方形，则下列关于E点、F点位置的叙述，正确的是() A.E在BC上，F在CD上B.E在BC上，F在AD上C.E、F在CD上D.E在CD上，F在AD上 6.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点E为△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点F,连接AF, 若4C=5,AF=13)y2,则CB的长为() 2 A.32 B.2V2 C.5-√2 D.1+V2 2 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7.若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为160°，则其母线长为 8.如图，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，∠P=80°，则∠C= D 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 9.如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC,∠OAB=60°，则∠ABC= 10.正五边形ABCDE与等腰Rt△CDF如图摆放，则∠BCF= 11.如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，点D在BC上，∠ABC=20°，则∠CDB= 12.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=9,CD=15,则四边形ABCD的周长为 13.如图，⊙O的半径为2cm,正六边形内接于⊙O,则图中阴影部分面积为 14.如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O.若BC=2V3,则EF的长为 第1页共26页 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧AB上所有的点都 落在△ABC的边界及内部，则弧AB所对的圆心角∠AOB的取值范围是 16.如图，已知△ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,点P在BC边上运动，连接AP.当△ABP和△APC 的内切圆半径相等时，设BP=t,则AP= (用含t的代数式表示). 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(8分)如图，AC是⊙O的直径，A,PB与⊙O相切于A,B两点，若∠BAC=27°，求∠P的度数. 18.(10分)如图，线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,AD为⊙O的弦，连接BD,∠A=∠B=30°· (1)求证：直线BD是⊙O的切线： (2)已知BC=2,求DC的长（结果保留π）. 19.(10分)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O半径为4. (1)求点O到AB的距离； (2)求正六边形ABC DEF的面积. 20.(10分)如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC,BC分别于点E,D两点，连接ED, BE. (1)求证：DE=BD (2)若BC=6.AB=5,求BE的长. 第2页共26页 21.(10分)如图，在△ABC中，AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,弦DF⊥BC,垂足为E. (1)求证：AD=BD: (2)若AB=10,DF=8,求⊙O的半径. 22.(10分)如图，在坐标系中，A(1,6)、B(5,6)、C(7,4). (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ； (2)这个圆的半径长为 (3)直接判断点D(5,一3)与⊙M的位置关系，点D(5,一3)在⊙M一·（填内、外、上） (4)E是图中某一格点，连接BE,若BE是⊙M的切线，则E点的坐标为 y 23.(10分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点A的直线和过点C的切线互相垂直，垂足 为D,AD交⊙O于点E,连接AC (1)求证：AC平分∠DAB; (2)若AE=6,ED=3.求图中阴影部分的面积. D 第3页共26页 24.(10分)如图，己知∠APB,点M是PB上的一个定点. (1)尺规作图：请在图1中作⊙O,使得⊙O与射线PB相切于点M,同时与PA相切，切点记为N: (2)在(1)的条件下，若∠APB=60°，PM=3,则所作的⊙O的劣弧MN与PM、PN所围成图形的面 积是 A A (图) (图2) 25.(10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,AC⊥BD,垂足为E,点F在BD的延长线上，且 DF=DC,连接AF、CF. (1)求证：∠BAC=2∠DAC; (2)若AF=10,BC=4V5,求线段AE的长. 26.(14分)如图，△ABC内接于⊙O,AB=BC=30,AD⊥BC于点D且AD=18,AE是⊙O的直径，连 接ED,过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点F. (1)求证：①∠DAC=∠BAE;②∠CAF=2∠BAE: (2)求⊙0的半径长. 第4页共26页 单元试卷（二) 《二次函数》 （考试时间：120分钟，满分：150分) 成绩 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1.二次函数y=(x一1)2+2图象的对称轴是（) A.直线x=1 B.直线x=一1 C.直线x=2 D.直线x=一2 2.二次函数y=3(x-5)2一4图象的顶点坐标是() A.(5,4) B.(5,-4) C.(-5,4) D.(-5,-4) 3.已知二次函数y=x+bx十c的自变量x与函数y的几组对应值如表： … -2 -1 0 1 3 雨 y … 3 4 3 0 -12 下列说法错误的是() A.函数图象开口向下B.对称轴是直线x=一1C.2a十c=0D.b2-4c>0 4.已知二次函数y=一(x十5)2-20，甲、乙两人提出以下看法： 【甲】此函数图象上某个点的y坐标为一15；【乙】此函数图象上某个点的y坐标为25. 对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？() A.甲、乙都正确B.甲、乙都错误C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确 5.二次函数y=x2一9的图象与x轴交于A,B两点，则线段AB的长是() A.3 B.6 C.9 D.18 6.由二次函数y=x+2x一1的图象与x轴的交点坐标，可以求出下列方程的近似解的是() A.x2-1=-2xB.x2=2x-1 C.x2+2x+1=0 D.x2+2x=-1 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 7.将二次函数y=3x2的图象沿y轴向下平移两个单位后的抛物线对应的函数表达式为 8.二次函数y=(x-20)2+26的最小值为 9.二次函数y=x2-2x十c的图象与y轴交于点(0，一3)，与x轴交于点A,B,则线段AB长是 10.若二次函数y=2x2一x十m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 11.若二次函数y=a2-bx一1的图象经过点(2,1)，则2024+21-b= 12.平面直角坐标系xOy中，函数y=x2+4x十4的图象经过点(m,y1)和(m十1，y2),若m>0,则y1 2(填“>”“=”或“<"”). 13.已知二次函数y=x2-2x-3,当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是 14.若二次函数y=x2-2x十1的图象向左平移两个单位得到抛物线C,点P(2,y1),Q(3,2)在抛物 线C上，则y1y2(填“>”或“<”). Ay 15.平面直角坐标系中，将二次函数y=(x一2023)(x一2024)+5的图象向下平移5个A 单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、O,则PQ= 16.如图，二次函数)=2-4比+6的图象与y轴交于点4，与x轴交于点B,线段CD 在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3.当AD+BC的值最小时， 点C的坐标为 第16题图 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 第5页共26页 17.(8分)已知二次函数y=ar2+bx+2的图象经过点M(1,5)和N(4,2). (1)求a,b的值： (2)求此二次函数的对称轴和顶点坐标. 18.(8分)己知二次函数y=x2-ar十2(a-3). (1)求证：不论a为何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点： (2)如果其中一交点坐标为(3,0)，求a的值. 19.(8分)已知二次函数y=x2+bx十c的图象与y轴交于点(0，一3)，并经过点(1,4). (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标： (2)若A(-n十3，y1),B(4,y)在该抛物线上，当y1>y2时，求n的取值范围： 20.(10分)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出 20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，增加利润.据测算，每件童装每降 价1元，平均每天可多售出2件. (1)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元. (2)该专卖店想获得最大利润，那么每件童装需要降价多少元，最大利润是多少？ 21.(10分)如图，二次函数y=m2+bx十2(a≠0)的图象与x轴交于A(一2,0)、B(1,0)两点. (1)求二次函数的表达式， (2)点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值. 第6页共26页 22.(10分)已知二次函数y=x2+4x-5(m为非零常数)经过点(-1，一8). (1)求m的值： (2)若二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,求SABC的值： (3)当一3≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差. 23.(10分)投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏.在一次科技展上，机器人和人们展开了一场现代科 技与古代智慧的投壶挑战赛，如图1，在一次投壶中，机器人和小明站在投壶点向同一方向进行投壶， 分别在点D,F处放置壶.如图2，以水平地面为x轴，以投壶点为原点O,过点O且垂直于x轴的 直线为y轴建立平面直角坐标系.其中小明箭矢的运动轨迹L1:1=一c-0.2)2+1和机器人箭矢 的运动轨迹L2均为抛物线形.己知机器人投壶时箭矢的出手点B距离地面1.2，当箭矢在与出手点 水平距离0.8处时达到最高点，此时箭矢距离地面2m.其中壶口与地面的距离CD=EF=0.2. (1)求机器人箭矢的运动轨迹L2所在抛物线对应的函数表达式： (2)若小明所投箭矢恰好投入壶口C,且OF=2OD,请你通过计算说明机器人此次投壶能否恰好投入壶 口？ 图 图2 24.(12分)已知二次函数y=x2-(n十3)x十3(n为正整数)，将n取1、2、3、…、n时，函数y1、 y2、y3…、的系列图象称为“抛物线簇”. (1)求y1的图象与x轴两个交点的坐标为、； (2)根据给出的条件请你猜想，“抛物线簇”中每条抛物线顶点在坐标系中可能的位置，并简要说明理由： (3)“抛物线簇”中某条抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成的三角形是直角三角形，求的值. 第7页共26页 25.(12分)综合与实践【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运 营效益成为关注重点.某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本 与收支平衡问题 【研究条件】条件1：充电站收入y(单位：元)与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间的对应关系如表： 2 3 4 5 y 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成木心（单位：百元）与充电汽车数量x之间满足：w-2+20x+50. 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式. 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y=x,成本关系保 持不变.已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入一成本）取得最大值，请写出一个符合条件 的m值，并说明理由. 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素， 后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策. 26.(14分)已知二次函数y=x2一m十5(a为常数)的图象经过点(1,0). (1)求a的值. (2)过点A(0,t)与x轴平行直线交抛物线于B,C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值. (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2-ax十5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1,l2之间.若 直线1,12之间的距离为16，求n一m的最大值. 第8页共26页 单元试卷（三）《数据的集中趋势和离散程度》 (考试时间：120分钟，满分：150分) 成绩 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1.某人在一轮射击训练中共射击7次，成绩为（单位：环）：7,8,8,9,9,10,10.则该轮射击训练 成绩的中位数是() A.7环 B.8环 C.9环 D.10环 2.在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据（单位：g):47, 49,56,52,56.这组数据的众数和平均数分别是() A.52,52 B.56,52 C.56,50 D.52,56 3.一组数据2，m,3,3,5的平均数为3，则m的值为( A.5 B.4 C.3 D.2 4.周一至周五某同学的运动时间为34、28、40、36、32，单位：分钟，为了一周7天活动时间的平均数 达到40分钟，下列选项中可以的是（ A.50,50 B.45,60 C.50,60 D.55,60 5.某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处.某篮球队有队员12人，大课间活动时，队员进 行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8,9,6,7,6,6,7,10,9,9,8,7.这组数据的下四 分位数为( A.5.5 B.6.5 C.7.5 D.9 6.小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：7.0、7.0,8.8,9.0,9.3,9.4,10.工作人员根据 评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计.如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下 列统计量中一定不发生变化的是( A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 7.要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是89.5分，方 差分别是5甲2=1.6,522=2.5,5丙2=3.58，你认为派 (填“甲”或“乙”或“丙”)去参赛更合适. 8.某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按6：4计算最终成绩.小李的笔试成绩 为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为 分. 9.射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定.甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如表， 请根据表中信息估计新手是 .·(填写“甲”或“乙") 30 日平均气温（℃） 25 20 甲 乙 15 20 10 平均成绩（单位：环） 6.58 7.67 5 方差2 6.91 0.72 0 口甲地口乙地 第9题图 第11题图 第12题图 10.为弘扬传统文化、培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量 为100g.甲、乙两名同学各包了5个粽子，每个粽子的质量（单位：g)如下： 甲：103,99,100,101,97：乙：99,103,105,95,98. 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是 (填“甲”或“乙”) 11.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：），此时 这组成绩的平均数是20，方差是sm2.若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组 成绩的方差是sm2,则s S子（填“>”、“=”或“<”） 12.甲、乙两地4月每天最高气温的箱线图如图所示，则4月气温波动较大的是 (填“甲地” 或“乙地”). 13.若一组数据6,6，，7,7,8的众数为7，则这组数据的中位数为 14.已知一组数据4，x,5,y,7,9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是 15.在从小到大排列的五个数x,3,6,8,12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五 个数的中位数、平均数分别相等，则x的值为 16.己知一组数据x1,x2,x3,…,Xm的方差为2，则另一组数据3x1,3x2,3x3,…,3xm的方差为 第9页共26页 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(8分)某校八年级为丰富学生课余生活，举行了“科技创作”比赛.各班参赛作品数量（单位：件） 统计如下：6,8,7,9,10,8,9,7,9,6. (1)求这组数据的平均数、众数和中位数： (2)若参赛作品数量超过8件的班级将获得“优秀组织奖”，求该校八年级10个班级中获得该奖项的班 级所占的百分比. 18.(8分)己知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示. (1)甲班成绩的中位数为，乙班成绩的上四分位数 (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个. 成绩 1百…百 90 60 0 甲班乙班班级 19.(8分)为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛.在300名参赛学生中随机抽取12名， 他们的参赛成绩（单位：分）如下： 678366857981868690917298 (1)求这12名学生参赛成绩的平均数x; (2)求这12名学生参赛成绩在(x-9.3)分与(x+9.3)分之间的人数；据此估计300名学生参赛成绩 在（x-9.3)分与(x+9.3)分之间的人数. 20.(10分)下面是八(1)班某小组10名同学“一分钟跳绳”的成绩（单位：分） 8,9,6,10,7,8,10,5,9,8. (1)求出这组数据的方差； (2)若将成绩分为两组（包含临界值）：低分组(5分一8分)和高分组(9分一10分)，计算上述分组情 况下的组内离差平方和. 第10页共26页 21.(10分)某校学生会向全校2600名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机 调查部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制的统计图如下： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生人数为 人，图中m的值是 (2)本次调查获取的样本数据的众数为 中位数为 (3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数. 人数4 20人 20 10元 16 50元24% 12人 10人 16% 20元 20% 8 30元 4 m% 0 10元20元30元50元捐款金额 图1 图2 22.(10分)某中学为了解七年级学生本学期的课外阅读情况，随机调查了20名七年级学生，调查结果如 图所示： (1)被调查的20名学生课外阅读图书数量的众数为 本，中位数为 本，平均数为 本： (2)该中学七年级共有400名学生，学校决定对本学期课外阅读图书数量达到5本以上（含5本）的学 生给予表彰，请估计七年级获得表彰的学生人数 人数1 7 1本2本3本4本5本6本 课外阅读图书数量 23.(10分)加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径.某 学校科创社团组装了甲、乙两个投篮机器人，准备从中选一个参加青少年科技创新大赛.为此，该社团对 两个投篮机器人分别进行了10组测试（每组测试投篮10次，以投进次数作为测试成绩），并对测试成绩 整理、描述、分析如下 测试成绩统计表 测试成绩统计图 统计量 甲 乙 +甲-…乙 4成绩/投进次数 平均数 7.1 7.1 10叶92 中位数 e > 6 众数 p 6 5-0 2 方差 s s 0 11L3 2345678910组别 根据以上信息，回答下列问题 (1)表中a的值为 b的值为 ,S S3(填“>”“=”或“<” (2)你认为科创社团应选哪个投篮机器人参加青少年科技创新大赛？请说明理由. 第11页共26页 24.（12分)【数据收集】某校为提高学生跳绳能力，准备组织跳绳训练.在组织跳绳训练前抽取了15名 男生的1分钟跳绳测试成绩，获得以下按序排列后的数据（单位：次)：108,120,124,125,130,136， 142,148,150,154,162,167,169,170,181. 【数据整理】训练一个月后，对这15位男同学又一次进行1分钟的跳绳测试.下图是训练前后跳绳成绩 的箱线图. 【数据分析】箱线图中(1)a= ,b= ，C 【数据应用】(2)若学校以训练后的成绩为依据，要制定男生1分钟跳绳成绩优秀的标准，能让25%男生 的跳绳成绩达到优秀，你会选择什么数据作为标准： (3)请结合箱线图的信息，评价这一个月的训练效果， 190 180 189 170 170 c 150 156 141 130 =::131 (a) 110 108 90 训练前 训练后 25.(12分)若干名学生参加编程比赛.比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的 数量（得分为整数）.已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲8轮得分的平均数为」 ,乙8轮得分的平均数为 (2)记甲、乙8轮得分的方差分别为s和s2,则s s子（填“>”“=”或“<”） (3)如果丙8轮得分的中位数为2.5，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若 是，请说明理由：若不是，请举出反例. 甲8轮得分的统计图 乙8轮得分的统计图 次数， 得分 5 4 得分 12345678轮济 26.(14分)为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动， 为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分)进行 统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）. 七年级：60,70,70,80,83,89,91,93,95,97,98,100： 八年级：70,77,79,81,89,89,91,93,93,93,93,96. 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 87 90 b (1)上述表中，a= ,b= (2)八年级学生成绩的第一四分位数 ,补全七年级的箱线图； (3)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计表和箱线图进行说明. 小数 60 七年级 八年级 第12页共26页 单元试卷（四) 《图形的相似》 (考试时间：120分钟，满分：150分) 成绩■ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1.4a=3b改写成比例是() A.a:b=3:4B.a:4=b:3C.a:3=4:bD.:b=4:3 2.在一幅比例尺为1：500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm,则甲、乙两地实际距离为() A.125km B.12.5k C.1.25k7 D.1250am 3.如图，在△ABC中，DE∥BC,若AD:AB=1:3,则△ADE与△ABC的面积之比为() A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 4.如图，平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C位似，位似中心是原点O.己知BC:B'C=1:2, 则B(2,0)的对应点B'的坐标是() A.(3,0) B.(4,0) C.(6,0) D.(8,0) y个 D A C 0 B B B 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC,则△CEF的面积为 () A.10 B.8 C.5 D.4 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，若AD=BC=BD,则△B四的值为（) S△ABC A.51 B.3-5 2 C.v5 5 D 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7.已知2=7，则的值为 8.如图，11∥12∥13，AB=3,DE=5,BC=6,则DF的长度是 ·古希腊时期，人们认为最美人体的头厕到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，一，著名的雕塑 断臂的维纳斯便是如此.比较大小： V5-1 2 (填“>”或“<")： 2 10,如图，在△ABC中，DE∥BC,且AD=3,DB=2,则A的值是 AC y A\D D D B 6 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的相似比是 12.如图，在□ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE,CE、BA的延长线相交于点F,若AB=2,则AF 3.如图，在△ABC中，D为AB上一点，P为4AC上一点，CD与BF交于点E,品-号C1=3C,则 BE B 14.一块三角形材料的形状如图所示，AC=BC=8,∠C=90°·用这块材料剪出一个矩形CDEF,其中 点D,E,F分别在BC,AB,AC上，则可剪出矩形CDEF的最大面积为 第13页共26页 B B E H ED C D EK A C 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 15,如图，黄金矩形ABCD中号-，以宽AB为边在其内部作正方形AB5,得到四边形CDBR是黄 金矩形.依此作法，四边形DEGH,四边形EGL也是黄金矩形.依次以点E,G,L为圆心作AF,F7,R, 曲线AFHK叫做“黄金螺线”，若AD=2,则“黄金螺线”AFHK的长为 (结果用π表 示) 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点D在边AB上，过点A作AE⊥CD,垂足为 点E,则的最小值是 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分)如图，D,E分别在△ABC的边BA,CA的延长线上，DE∥BC,AD=3,AB=5,DE=5,求 BC的长. E D 18.(10分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC 的顶点和A1均为格点（网格线的交点）.已知点A和A1的坐标分别为（一1，一3）和(2,6). (1)在所给的网格图中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标： (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1,使得点A的对应点为A1,请在所给的网格图中画 出△A1B1C1. y 19.(10分)如图，线段AB的长为1，点C在线段AB上，满足关系式AC2=BC·AB, (1)求线段AC的长度： (2)点D在线段AC上，且AD=CD·AC.直接写出线段AD与AC的数量关系. D 第14页共26页 20.(10分)如图，在△ABC中，∠B=∠C,点P,D分别在边BC,AC上，∠BAP=∠CPD. (1)求证：△APD∽△ACP: (2)若AB=6,AD=2,求AP的长. D B 21.(10分)据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了 光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的实像CD (点A、B的对应点分别是C、D).若物体AB的高为6C,小孔O到地面距离OE为2c,求实像CD的 高度为多少？ A D -----0C E 2.10分)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点B,点F在BD上，且∠AMN=∠DC,是-器 (1)求证：△ABC∽△AFD: (2)若AD=2,BC=5,△ADE的面积为4，求△BCE的面积. B 23.(10分)一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120L,高AD=80L,把它加工成正方形零件 如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上. (1)求这个正方形零件的边长； (2)如图2，把它加工成矩形零件，当EG:EF=4:9时，求矩形EGHF的周长. B G 图1 图2 第15页共26页 24.(10分)如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.M是BC的中点，DM交AC于点G. (1)求证：AG=2GC; (2)设∠BCD,∠BDC的角平分线交于点I,当AB=6,BC=8时，求点I到BC的距离： D 0 G 25.(10分)如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的点，DE⊥AF,垂足为H,AC与BD相 交于O,DE与AC交于M,AF与BD交于N. (1)求证：OM=ON: (2)若正方形边长为6，AM=2W2,求M的长度. M E H ⊙ 26.(14分)综合与实践 (1)【初步感知】如图①，△ABC和△ADE中，∠C=90°，AEAB=ADAC,∠CAD=∠EAB,求∠E 的度数： (2)【深入探究】如图②，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是线段BC上一点，连接AE,过点A 在AE上方作A⊥EA,使S△ABF=S矩形ABCD,连接DF,请证明△ABE∽△AFD,并直接写出点F到BC 的距离的最大值； (3)【学以致用】如图③，梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=AB=8,BC=16,点E是线段 AB的中点，点F是线段BC上一点，连接ER,过点E在EF上方作GE⊥FE,使SaR心=S稀影ACD,当△ ADG的面积最小时，求EG的长 0 图① 图② 图③ 第16页共26页 单元试卷（五)《锐角三角函数、投影与视图》 (考试时间：120分钟，满分：150分) 成绩 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.一个几何体的主视图是等腰三角形，这个几何体可能是() A.长方体 B.圆柱 C.圆锥 D.球 2.已知sina=a为锐角，则tana的值为（) A. B. C. D. 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4,siM=},则斜边上的高等于() A. B.号 c.9 D.号 4.如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC =100米，则B点到河岸AD的距离为() A.100米 B.50V3米 C.a米 D.50米 5.构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算tn22.5时，构造出如图所示的 图形：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB到D,BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°.根 据此图可求得tan22.5°的结果() A.2-V3 B.V2+1 C.V2-1 D.2-V2 6.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间 后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为() A.40V2海里 B.40W3海里 C.80海里 D.406海里 45 22.5 B D 第4题图 第5题图 第6题图 第11题图 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7.V2c0s30°的值是 8.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4,AC=6,则sinB的值是 9.一公路大桥引桥长180米，己知引桥的坡度i=1:3,那么引桥的铅直高度为 (结果保留根 号)米 10.已知a、B均为锐角，且满足sina-+Vtmf-1)-0,则a+B= 11.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则cosD=一。 12.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8.若∠BPC-∠BAC,则tan∠BPC=」 13.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则siA= 14.如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC,点D在AB上，AD=0.6m,D,E,F三点共线，DF=3DB=3AE.当 太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH= m. 15.请运用你喜欢的方法求tan75°= 第17页共26页 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，sim∠CAM-=,则tan∠B的值 为 D 60 B B HC B M C 第12题图 第13题图 第14题图 第16题图 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分)(1)计算：cos60°-sir45+tP60+cos30-si30°. (2)已知a为锐角，当m无意义时，求m(a+15)-tm(a-15)的值， 18.(10分)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2V3,求AB的长. A30 45°B 19.(10分)把两个相同的含30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置.若AD=6V6.请你求出三角尺各 边的长. 第18页共26页 20.（10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E, BC=6,sin4,求DE的长度. B C E 21.(10分)2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探 测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角 分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度.（精确到0.1米，参考数据：V21.41,V3≈1.73） 45o 30° C 22.(10分)如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线 杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线 CE的长（结果保留根号）. A 30° 15米 E人60° B D 6米 第19页共26页 23.(10分)在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部CD是 水平的，在阳光的照射下，古塔AB在斜坡上的影长DE为18米，斜坡顶部的影长DB为6米，光线 AE与斜坡的夹角为30°，求古塔的高（√2≈1.4，V3≈1.7）， 309 24.(10分)如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120° 角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线 时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为多高？ D B 第20页共26页 25.（12分)某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动. 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）.在点F处竖立标杆EF,直立在点Q处的小军从 点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.己知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF= 2.8l,P=1.4,QF=2m,FN=16. (1)求旗杆N的高度. 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一.该小组为全 面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底 中心B均无法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）.在地面一条水平步道上的点 F处竖立标杆EF,直立在点O处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上.小军沿 FQ的方向走到点Q处，此时标杆EF竖立于F处，从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线 上.己知AB、EF、PO、EF和PQ在同一平面内，点B、F、O、F、Q'在同一条直线上，EF=EF =2.8l,P0=P'Q=1.4,FQ=1.2,FQ'=2.2,Q0'=30l. (2)求妙光塔AB的高度. M 、E D 77777777 77777 N77777777777777777 图1) 图(2) 第21页共26页 26.(12分)【问题情境】己知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA,将线段OA绕点O按逆时针方 向旋转α(0°<<90°)得到OE,连接AE,过点A作⊙O的切线l,在直线I上取点C,使得∠CAE为锐 角 【初步感知】(1)如图1，当a=60°时，∠CAE=一； 【问题探究】(2)以线段AC为对角线作矩形ABCD,使得边AD过点E,连接CE,对角线AC,BD相交 于点F.①如图2，当AC=2r时，求证：无论在给定的范围内如何变化，BC=CD十ED总成立： ②如图3，当4C号，器-时，请补全图形，并求taa及提的值. A 图1 图2 图3 第22页共26页 单元试卷（六）《等可能条件下的概率》 (考试时间：120分钟，满分：150分) 成绩 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1.掷一枚硬币3次有两次正面向上，一次反面向上，则第4次掷正面向上的可能性() A.100% B.月 C. D. 2.一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和3个黄球，从袋子中随机摸出一个小球，记下颜色 后，放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色不同的概率为() A. B品 c.8 D. 3.春节期间，《中国诗词大会》节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古诗词的喜爱，现有以下 四句古诗词：①锄禾日当午：②春眠不觉晓；③白日依山尽；④床前明月光，甲、乙两名同学从中各随 机选取了一句写在了纸上，则他们选取的诗句恰好相同的概率为() A. B. C. D. 4.有2名男生和2名女生，王老师要随机地、两两一对地为他们排座位，一男一女排在一起的概率是 () A. B.青 c.月 D. 5.有两个事件：①袋中装有4个红球和1个黑球，这些球除颜色外都相同，从中摸出一个球恰好为红球： ②信封中装有8个男生名字和2个女生名字，从中摸出1一个名字恰好为男生名字.上述2个事件发生 的可能性的大小相比，() A.①②的可能性相同 B.②的可能性大 C.①的可能性大 D.大小不能确定 6.10个人去钓鱼，共钓到3条鱼，假设每个人钓到鱼的可能性相同，那么这3条鱼由同一个人钓到的概 率是() A.前 B.是 C. D.1000 1 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7.同时掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率为一· 8.给出下列函数：①y=2x一1：②y=:③y=一x2.从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当x>1时， 函数值y随x增大而减小的概率是 9.两人一组，每人在纸上随机写一个不大于4的正整数，则两人所写的正整数恰好相同的概率是 10.从-1、0、V2、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为 11.从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到K的概率是 12.从一2，一1,2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于 13.一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀， 再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是 14.一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1,1,2,4,5,5，若随机投掷一次小正方体，则朝 上一面的数字是5的概率为 15.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火， 火克金”，将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”， 则事件A出现的概率是 (结果用数值表示). 第23页共26页 16.有五张正面分别标有数字一3、一2、0、1、2的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将 它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该 卡片上的数字记为b,则使得函数y=(a十2)x2-bx+a的图象与x轴有交点的概率为 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个 (1)先从袋子中取出(>1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将摸出黑球”记为事件A,请 完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 (2)先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求 的值. 18.(10分)一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同， (1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率； (2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率 不小于，问至少取出了多少个黑球？ 19.(10分)某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定： 顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、 绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物.如 果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元、 (1)求转动一次转盘获得购物券的概率； (2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 红 绿 黄 绿 绿 黄 绿蛮绿 第24页共26页 20.(10分)第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差 别.分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率. 21.(10分)一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标注数字1,2,3，每个小球除所标注数字不同 外，其余均相同.小勇先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再次从口袋中随机摸出一 个小球.用画树状图（或列表)的方法，求小勇两次摸出的小球所标数字之和为3的概率. 22.(10分)在一个不透明的布袋里装有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个白球，它们除颜色外其余 都相同。 (1)若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率； (2)若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好一黄一白的概率（要求 画树状图或列表). 23.(10分)为了响应区教育局千师访万家”的新家庭教育活动，某校七年级3班的语文学科王老师、数 学学科李老师决定分别利用周六上午、周日下午各自家访一名同学，本次家访的对象为班级第六组学习 小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学. (1)李佳同学被王老师选为家访对象的概率是： (2)请利用树状图或表格的形式求王老师和李老师家访的是同一个同学的概率. 第25页共26页 24.(10分)小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电 灯，在正常情况下，小明按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别 单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. (1)若小明任意按下一个开关，则下列说法正确的是() A.小明打开的一定是楼梯灯；B.小明打开的可能是卧室灯： C.小明打开的不可能是客厅灯：D.小明打开走廊灯的概率是 (2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多 少？请用树状图法或列表法加以说明. 25.(10分)经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可 能的，当三辆汽车经过这个十字路口时， (1)利用画树状图的方法，求三辆车全部同向而行的概率： (2)求至少有两辆车向左转的概率； (3)由于十字路口右拐弯处是通往我市新建经济开发区的，因此交管部门的汽车行驶高峰时段对车流 量做了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为污，向左转和直行的频率均为品，日前在此路口， 汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥 挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整. 26.(12分)某中学开展数学实践活动，采购A、B两款实验道具。已知1件A道具的进价为15元，1件 B道具的进价为10元。学校计划一次性购进A、B两款道具共30件，且满足两个条件： ①A道具的购进数量不少于B道具数量的：②总进货成本不超过380元。 (1)求本次采购一共有多少种整数采购方案？ (2)若从所有符合条件的采购方案中随机抽取1种方案，求该方案采购的A道具数量多于B道具数量 的概率： (3)若每件A道具使用后可产生2分实践积分，每件B道具使用后可产生1分实践积分，随机选取 一种合规方案，求本次采购获得总积分不低于40分的概率。 第26页共26页单元试卷（一）圆试题答案解析 1.D. 2.B. 3.A.4.C.5.D. 6.B. 7.9. 8.50°. 9.30°. 10.63°. 11.110°. 12.48. 13.2 14.2V2.15.0°<∠A0B≤100°. 3 16.AP=21-8t 2t-7 17.解：，PA,PB与⊙O相切于A,B两点，AC是⊙O的直径，.PA=PB,AC⊥PA,∠CAP=90°， ,∠BAC=27°，.∠BAP=90°-27°=63°，，PA=PB,∠ABP=∠BAP=63°， .∠P=180°-63°-63°=54°. 18.解：(1)连接OD,∠A=∠B=30°，，∠BOD=2∠A=60°，∠ D ODB=180°-∠B-∠BOD=90°，，OD是⊙O的半径，且BDLOD,∴.直 线BD是⊙O的切线.(2)∠ODB=90°，∠B=30°，OD=OC, ∴.OB=2OD=2OC,,BC=OB-OC=2OC-OC=OC,且BC=2,∴.OC=2,A 0 :∠C0D=60,lr=6902-受∴Dc的长是 180 3 19.解：(1)连接OA、OB,作OH⊥AB于H, ,六边形ABCDEF是正六边形，.∠AOB=360°÷6=60°，，OA=OB=4, E .∠AOH=30°，.0H=2V3,∴.点O到AB的距离为23： (2)在Rt△AOH中，AH=2,∴AB=2AH=4, 正六边形ABCDEF的面积=2×4×2V3×6=24W3, 20.解：(1)如图②，连接AD,AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC, ,AB=AC,∴∠EAD=∠BAD,DE=BD: (2)解：如图，连接AD,AB=AC,AD⊥BC,BD=BC=3, 由勾股定理得，AD=√AB2-BD2=4, SBC2BCAD=AC~B2,“B驱=6X4=24 5 51 21.解：(1)连接CD,,BC为⊙O的直径，∴∠CDB=90°， ∴.CD⊥AB,,AC=BC,AD=BD. (2)连接OD.:弦DP1BC,BC为直径，DP=8,∴DE=DF=4 :AD=BD,AB=10,BD=号AB=5.由勾股定理得到：BE=VBD2-DE=3, 设⊙O的半径为r,则OE=r一3.由勾股定理得到：OD=DE2+OE2, ”=-3)+R,r-容00的半径为 25 22.解：(1)，A(1,6)、B(5,6),AB的垂直平分线所在直线为x=3, ∴.圆心M在直线为x=3,设M(3,m),.MA=MC, ∴.4+(-6)2=16+(1-4)2，解得=2，.M(3,2), (2)MA=√(1-3)2+(6-2)7=2V5,.圆的半径长为25， (3)MD=√(5-3)2+(-3-2)2=V29,V29>2V5, y ∴.点D(5,-3)在⊙M外， (4)设E点的坐标为(x,y),M(3,2),B(5,6), 则BE2=(x-5)2+(y-6)2,ME2=(x-3)2+(y-2)2, MB2=(5-3)2+(6-2)2=20, ,BE是⊙M的切线，.MB⊥ME,MB2+BE2=ME2, ∴.20+(x-5)2+(y-6)2=(x-3)2+(y-2)2, 整理得x十2y-17=0,x=17-2,,E是图中某一格点， 当x=1时，y=8,不是图中的格点，故舍去：当x=3时，y=7,是图中的格点， 当x=5时，y=6,此处为切点B,故舍去；当x=7时，y=5,是图中的格点， 当x=9时，y=4,是图中的格点，综上所述：E点的坐标可能为(3,7)、(7,5)、(9 4) 23.解：(1)如图1，连接OC,,OA=OC,∠OAC=∠OCA, ,CD是⊙O的切线，∴.OC⊥CD,AD⊥CD,.OC∥AD,∴∠DAC=∠OCA 第1页共12页 图1 ∴.∠DAC=∠OAC,.AC平分∠DAB: (2)如图2，AB为直径，连接BE,交OC于点F,连接OE,交AC于点G, .∠AEB=90°，∴.∠DEB=90°，，OC⊥CD,AD⊥CD,.四边形CDEF为矩形， ∴.OC⊥BE,CF=ED=3,∴BF=EF,,OA=OB,∴.OF是△ABE的中位线， ∴0F-3AE=3,∴OA=OC=OF+CP=6,∴0A=OB=AB=6, ∴.△AOE为等边三角形，∴.∠EOA=60°，，OC∥AD,∴.∠EOC=60°， :AE=A0,∠EAG=∠OAG,∴AG⊥OB,即OB⊥AC,∴0G=20A=3, ∴.AG=VOA2-0G2=3V3, ∴5%=50a08-5a08=86x62-7×6×3N5=6m-93 24.解：(1)如图，⊙0为所作： 图2 (2):PM和PN为⊙O的切线，∴OM1PB,ONLPN,.∠MPO=∠NPO=2∠ APB=30°，∴.∠OMP=∠ONP=90°，∴.∠MON=180°-∠APB=120° 在Rt△POM中，，∠MPO=30°，∴.OM=V3, 2 -9 ∴.⊙O的劣弧MN与PMPN所围成图形的面积=S四边形PMON一S扇形MON -2xx3x V3-120xmx(3)2-3V3-. 360 25.解：(1)AB=AC,∠ABC=∠ACB,:∠ACB=∠ADB,.∠ABC=∠P B ADB, Ac-a8n-∠BaG=0-克BAC.BAC=90-∠aBc义4CLBD, 1 ∠CAD=90°-∠ADB,·2∠BAC=∠DAC,∠BAC=2∠DMAC: (2)I'∠CAD=∠CBD,∠BAC=∠BDC,∠BAC=2∠DAC,∴.∠BDC=2∠CBD, 'DF=DC,.∠DFC=∠DCF,∴∠BDC=∠DFC+∠DCF=2∠DFC,又，∠BDC=2∠CBD, “∠BFC=BDC=LGBD,CB=CF=4N5又BDLAC,.BB=BR,AC是线段BF的中垂线， .AB=AC,..AB=AF=AC=10,BC=4V5,AE=x,CE=10-x,.AB2-AE2=BC2-CE2, ∴.100-x2=80-(10-x)2=BE2,解得x=6,∴AE=6. 26.解：(1)①连接BE,如图1所示：，AE是⊙O的直径， ∴.∠ABE=90°，在△ABE中，∠BAE+∠BEA=90°， 由圆周角定理得：∠BEA=∠C,.∠BAE十∠C=90°， ,AD⊥BC于点D,∴.∠ADC=90°，在△ADC中，∠DAC+∠C=90°， ∴.∠DAC=∠BAE:②设∠DAC=∠BAE=Q,∠EAD=B, ∴.∠BAC=∠DAC+∠BAE+∠EAD=2a+B,,AB=BC, ∴.∠C=∠BAC=2Q+B, 图1 ∴.∠BEA=∠C=2a+B,∠BAE+∠BEA=90°，.Q十2a十B=90°，即3a+B=90° ,AF是⊙O的切线，切点为A,AE是⊙O的直径，AE⊥AF,∴.∠EAF=∠EAD十∠DAC十∠CAF=90°， ∴.B+a+∠CAF=90°，.B+a+∠CAF=3a+B,∴∠CAF=2a,∠CAF=2∠BAE: (2)连接BE,延长BO交AC于点H,过点E作EK⊥BC于点K,如图2所示： ∴.∠BHA=∠EKB=∠EKD=90°，'△ABC内接于⊙O,AB=BC=30, ∴BHLAC,AH=CH=AC,:ADLBC于点D,∠ADB=∠ADC=90°， ∴.△ADB和△ADC都是直角三角形，在Rt△ADB中，AD=18, 由勾股定理得：BD=VAB2-AD2=V302-182=24, ,BC=30,∴.CD=BC-BD=6,在Rt△ADC中， 由勾股定理得：AC=VAD2+CD2=V182+6=6V10, AI=CH=AC-3V而，在△4BH中，∠BA=90°， 由勾股定理得：BH=VAB2-A7=302-6V02=9W而， 设⊙O的半径为R,则OA=OB=R, ∴.OH=BH-OB=9V10-R,在△OAH中，∠BHA=90°，由勾股定理得：OA=OH+A, .R2=(9V10-R)2+(3V10)2,解得：R=5V10,∴.OA=OB=R=5V10,∴.⊙0的半径为5V10. 第2页共12页 单元试卷（二)二次函数试题答案解析 1.A.2.B.3.C.4.B.5.B. 6.A. 7.y=3x2-28.269.4.10.m≤g 11.2025. 12.<. 13.-4≤y≤5.14.<.15.1.16.(4,1). 1解D由条件可：侣6=2解释8=4，a=1,1 (2)由条件可知y=-x2+4x十2=-(x-2)2+6,.对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,6). 18.解：(1)△=a2-8(a-3)=a2-8a+24=a2-8a+16+8=(a-4)2+8>0, 则不论α为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； (2)把(3,0)代入抛物线得9-3a十2(a-3)=0,解得：a=3. 19.解：(1)将(1,4)和(0，-3)分别代入y=x2+bx+c中得+bc=4,解得=62 C=-3 (c=-3' ∴.抛物线的表达式是：y=x2十6x-3,,y=x2+6x一3=(x十3)2-12，∴.顶点坐标(-3，-12)； (2),y=x2十6x一3的对称轴是直线：x=一3，开口向上，当x<一3时，y随x的增大而减小，y随x的 增大而增大，，点B的横坐标是4，当两个点都在对称轴的右侧时得到由y1>y2,得到一n十3>4， ∴n<一1，当点A在对称轴的左侧时，说明点A距离对称轴的距离比点B远，“.一3一（一n十3）>4十3， .n>13,综合得，n<-1或n>13. 20.解：(1)设每件童装降价x元时，平均每天盈利1200元，可根据题意列出方程：(20十2x)(40一x) =1200,解得：x1=10,x2=20:答：每件童装降价20元或10元时，平均每天盈利1200元. (2)由题意，结合(1)，设专卖店平均每天所获利润W,由题意得，W=(20十2x)(40一x): 整理得：w=一2(x-15)2+1250,.当x=15时，W最大为1250. 答：当降价15元时，专卖店平均每天所获利润最大，最大为1250元 21.解：(1)抛物线y=2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(-2,0)、B(1,0)两点， 22.0,解得：侣三子拨物线的表达式为y=叶2 (2)由（1)可知：抛物线的表达式为y=一x2-x十2，∴.令x=0时，则有y=2,即 y◆ C(0,2),连接OD,设D(t,-t-t+2),-2<t<0, :A(-2.0).C(0,2),∴0A=0C=2,SaA0c=Z0A:0c=2,SaA00=20Ayn= t2-t+2.Sacop =0C.ol=-t, ∴.S△ADC=SAAOD+S△COD-SAAOC =-t2-t+2-t-2=--2t=-（t+1)2+1,当t=-1时，△ACD的面积最大，最大值为1： 22.解：(1)二次函数y=x2+4x-5(m为非零常数)经过点(-1，-8).将点(-1，一8)代入 得：-8=-4-5，解得：m=1: (2)当m=1时，y=x2+4x一5，二次函数y=x2十4x-5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 9 当y=0时，得：x2+4x一5=0，解得：x=1或x=-5;将x=0时，得：y=-5, AB=1-（-5)=6,点C坐标为(0，-5)，SaAc=2×AB·yc=2×6×5=15; (3)由题意得y=x2+4x-5=(x十2)2-9，∴.对称轴为直线x=-2,且a=1>0, ∴抛物线开口向上，∴.当x=一2时，y有最小值为一9， ,a>0,且直线x=2比直线x=-3距离对称轴较远，，将x=2代入y=(x+2)?-9可得y的最大值为 7, ∴.当一3≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为：7-（一9）=7+9=16. 23.解：(1)由题意得，抛物线L2的顶点为(0.8,2)，.可设L2所在抛物线的函数表达式为y=a(x -0.8)y2+2.又：此时图象过点B0,1.2,1.2=a<0-08)2+20.64a=-0.8则a=-88- 5 “L3所在抛物线的函数表达式为y=-K-0,82+2: (2)由题，设0D=d,则0F=2d.壶口C的坐标为(d.0.2),∴.壶口B2d0.2),02=-(2d-0.82+2, .2d-0.8=±1.2，∴.d=1(负值舍去)，∴.OD=1,OF=2.2. 又，将x=2代入L2的表达式：y=-5(2-0.8)2+2=-5×1.44+2=-1.8十2=0.2， ∴.此时y=0.2,与壶口E的高度EF=0.2相等，∴.机器人此次投壶能恰好投入壶口. 第3页共12页 24.解：(1)y1=x2-4x+3=(x-2)2-1,令y1=x2-4x+3=0, 解得x=1,x2=3,y1=x2-4x+3的顶点坐标为(2，一1)，与x轴两个交点坐标为(3,0)、(1,0)： (2)2-（1+3)x+3=0,(m-3)(x-1)=0,÷x1=是=1， 抛物线与x轴的交点坐标是（三，0），1,0)，n为正整数， ∴.抛物线的开口向上，且与x轴的两个交点横坐标都为正数， ∴.一般地，抛物线的顶点在第四象限；特别情况，当=3时，顶点是(1,0)，在x轴上 (3).x2-(n十+3)x+3=0,∴.(m-3)(x-1)=0, ·x=是x=1,顶点的纵坐标为12n-+3 ，：n>0,抛物线与x轴有两个交点， 4n 项点到x辅的距离为+312，①当3>1时，3-1=2，@43)2-12 4n n 4n =1,加=3（含去：@当1时.1-是-2.+3212，=5,4=3（舍去， .3 n 4n 25.解：(1)由表格数据可知y与x成正比例关系，设y=x, 将x=1,y=50代入得k=50,y与x的函数关系式为y=50x,当x=40时，y=50×40=2000(元)； (2)收支平衡满足=0，∴50=子x2+20+50.x-120x+20=0, (x一20)(x一100)=0，解得x1=20,x2=100,此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入y与x的新关系式为y=子x2+20x+500: (3)设净收益为取，m=m-(子2+20x+50)=-子2+(m-20)X-50, 4 。二次函数开口向下，一当x-一会时P取得最大值，由题定得，x-一会一80时净收益录大， b ∴.2(m一20)=80.解得m=60. 26.解：(1)把(1,0)代入y=x2-x十5，得：1-a十5=0，解得：a=6: -6 (2)由(1)知：y=x2-x十5，六对称轴为直线x=-2X=3,:点A(0,)在y轴上，过点A(0,) 与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点，.B,C关于对称轴对称，B,C的纵坐标均为t,又，点B为 中点，C=2xB,9十延=9=3，xB=2,=2代队=2-6r+5, 2 ×2+5=-3,.t=-3; (3)y=x2-6x十5=(x一3)2一4，∴.抛物线的顶点坐标(3，一4)， 当抛物线的一段y=x2一十5(<x<n)夹在两条均与x轴平行的直线1,12之间时，m,n为直线与抛 物线的交点，∴.要使n一最大，则，，n为一条直线与抛物线的交点，x=和x=n关于对称轴对称， 又，直线11,12之间的距离为16，为定值，∴.当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，一4)，即：y=一4 时，n-m最大，此时另一条直线的表达式为y=16-4=12,如图：∴.当x2-6x+5=12时，解得：x1=7, x2=一1，即n=7,=一1，.n一m的最大值为：7-(-1)=8. 单元试卷（三) 数据的集中趋势和离散程度试题答案解析 1.C. 2.B.3.D. 4.C.5.B. 6.D. 7.甲. 8.87 9.甲.10.甲. 11.>. 12.甲地.13.7. 14.5.5.15.1. 16.18. 17.解：(1)平均数=品6+8+7+9+10+8+9+7+9+6)=79（件）： 数据6,8,7,9,10,8,9,7,9,6中9出现了3次，出现次数最多，则众数为9： 将数据排序：6,6,7,7,8,8,9,9,9,10，中位数=8+8=8： 2 (2)超过8件的有9、9、9、10，共4个，：.4=40%， 10 该校八年级10个班级中获得该奖项的班级所占的百分比为40%. 18.解：(1)根据箱线图得到学生分数的大致分布情况可得：甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四 第4页共12页 分位数为128， (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学： (3)由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的 下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高. 19.解：(1)平均数7=1立2(67+83+66+85+79+81+86+86+90+91+72+98)=82： (2)(x-9.3)分与(x+9.3)分之间即(72.7,91.3)，在此区间内的有8人， 估计300名学生参赛成绩在（元-9.3）分与（元+9.3）分之间的人数为300×是=200人， 故估计300名学生参赛成绩在(x-9.3)分与（元+9.3）分之间的人数为200人. 20.解：(1)）元=8+9+6+10+7+8+10+5+9+8=8， 10 ∴s2-=0×B×8-82+2×9-82+6-82+2×10-82+(7-82+(5-8的=2.4 (2)根据题意，成绩分为两组（包含临界值）：低分组(5分一8分)和高分组(9分一10分)， 则低分组为：8,6,7,8,5,8，高分组为：9,10,10,9， :低分组的平均数为x=8+6+7+8+5+8=7,高分组的平均数为x=9+10+10+=9.5, 4 ∴.S3=[(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+3×(8-7)2]+[2×(9-9.5)2+2×(10-9.5)3]=9 ∴.分组情况下的组内离差平方和为9. 21.解：)12+10+20+8=50（人），20× ×100%=40%, 50 (2)根据题意可知，30元出现的次数最多，则众数是30元： 因为共50个数据，所以中位数为从小到大排序的第25个和26个的平均数，则为30+30=30（元）. 2 (3)2600×(40%十16%)=1456（人），则本次捐款金额不少于30元的学生约有1456人. 解：（①）由统计图可知，被调查的0名学生课外阅读图书数量的众数是3本，中位数为 =4(本)， 平均数为：1+2x2+3x6+4x5+5×3+6X3=3.8(本，故答案为：3,4,3.8： 20 (2)400x若=120（人，答：估i计七年级获得表彰的学生人数约120人， 23.解：(1)将甲的成绩从小到大顺序排列为：6,6,6,7,7,7,8,8,8,8， :甲的成绩一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7,7，中位数Q=77=7, 2 乙的成绩为：4,9,6,5,9,9,6,9,7,7，其中9出现的次数最多，b=9. 根据折线统计图可知：乙成绩的波动大于甲成绩，∴s子<s, (2)应选甲投篮机器人.理由如下：因为甲、乙两个投篮机器人测试成绩的平均数相同，中位数相同， 但甲的方差小于乙的方差，说明甲投篮机器人的成绩更稳定， 24.解：解：(1)己知训练前的15个数据：108,120,124,125,130,136,142,148,150,154,162， 167,169,170,181:.中位数：15个数据的中位数是第8个数据，即148，所以b=148: 下四分位数：第4个数据，即125，所以a=125;上四分位数：第12个数据，即167，所以c=167: (2)要让25%的男生达到优秀，15×25%=3.75，即取训练后成绩的第75百分位数（上四分位数）作 为标准；从箱线图中可以看到训练后的上四分位数为170次，所以选择170次作为标准，能让25%的男生 达到优秀： (3)对比训练前后的箱线图： 训练后成绩的中位数、下四分位数、上四分位数均高于训练前：训练后成绩的最小值(131)也高于训练 前的最小值(108)：整体数据分布更集中且整体水平明显提升，说明这一个月的训练效果显著，男生的跳 绳成绩普遍提高. 25.解：(1)甲8轮得分的平均数为： 0×1+1×2+2×1+3×40+2+2+1216 8 8 82: 第5页共12页 乙8轮得分的平均数为：2+3+2+2+2+2+0+3_16 =2 8 8 (2)s2m=日×1×(0-2)2+2×(1-2)2+1×(2-2)2+4×3-2)3=日×(4+2+0+4) -9=1.25:s2-7×2-22+(3-22+(2-22×4+0-22+3-21-日×0+1+0+4+ 1)=日=0.75：1.25>0.75，s2n>2 (3)不是，理由如下：当丙8轮的得分分别为0,0,0,2,3,3,3,3时，丙8轮得分的中位数为2.5， 但平均数为1.75，小于乙8轮得分的平均数， 26.解：(1)，共有12个数据，.中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， “七年级所抽取学生的中位数a=89+91=90::八年级所抽取学生93出现的次数最多， 2 ∴.八年级所抽取学生的众数b=93; (2)八年级排序：70,77,79,81,89,89,91,93,93,93,93,96，共12个数据，12×0.25=4， ∴取第3、4个数的平均数，“八年级学生成绩的第一四分位数=7981=80： 分数 2 补全七年级的箱线图如图： g (3)八年级的学生成绩更好， 93 理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年 级，所以八年级的学生成绩更好.从数据上看，七年级学生成绩的最大值、上四80 分位数都高于八年级，七年级学生成绩的下四分位数和最小值都低于八年级；两 70 个年级的中位数相同.从箱体来看，八年级的箱体较窄，极差较小，说明八年级 学生成绩的波动程度较小，成绩更稳定. 60= 七年级八年级 单元试卷（四)图形的相似 试题答案解析 1.A. 2.A.3.D. 4.B.5.C.6.B 3 7.3. 8.15.9.>10.5 11.1:3. 12.1.13.是 14.16.15.(5-1)m.16.1. 17.解：，DE∥BC,∴.∠B=∠D,∠C=∠E,∴.△ABC∽△ADE, ..AB BC 5 BC LAD DE 根据题意AD=3,AB=5,DE=5,代入得写 BC=25 18.解：(1)如图，点D即为所求.由图可得，点D的坐标为(-2，一1). （2)如图，△A1B1C1即为所求. 19.解：(1)设线段AC的长度为x,则BC=1-x,,AC=BCAB, x=(1-)×1,2+x-1=0,x=-1t12-4x1x(-可 -1±5 2 2 2巴，为1-5 解得x1=二1+5 2 (不符合题意，舍去)，“4C=15 2 (2)设线段AD的长度为，则线段CD=AC-AD=生5-x,:AD=CD4AC, 2 =(45刘5+(5x3-0. 2 3-5 解得x5=一1不符合概意，合去.A0-35 2 5-1 AC= 21 点D在线段AC上，且AD2=CDAC,则线段AD与AC的数量关系2_51 AC 2 20.解：(1)，'∠B=∠C,∠BAP=∠CPD,∴.△BAP∽△CPD,.∠APB=∠CDP, '点P、D分别在边BC、AC上，∴.∠APC+∠APB=180°，∠ADP+∠CDP=180°， .∠APC=∠ADP,又，∠DAP=∠PAC,△APD∽△ACP: 第6页共12页 (2)AMPD∽△4cp,A=4 ‘AC-AP ,AP2=ACAD,∠B=∠C,AB=AC=6, ,AD=2,AP2=6X2=12,.AP=2V3或AP=-2V3(不符合题意，舍去)， AP的长是2W3! 21.解：物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A、B的对应点分别是C、D).若物体AB的高为6c, 小孔O到地面距离OE为2c,∴.OE∥AB,∴.△COE∽△CAB, &9EoO,0B/CD,△B08∞△BDC,C包，则@+②海E DE OE OB CB AB BC+BC-AB+CD 0E.0E .OEOE BCAB+CD1, AB干C014B=6c,OB=2C,名+。1，解得CD3 ∴.实像CD的高度为3c. 22.解：(1)，'∠BAF=∠DBC,∠BAF+∠ABF=∠DBC+∠ABF,即∠AFD=∠ABC, AB BC AF=FD MABCAAPD: (2)解：由（I)得：△ABC∽△AFD,∴∠ADE=∠ACB,∠AED=∠BEC,∴.△AED∽△BEC, 40=20=5,=(2=若8i=480=5 S△BEC 23.解：(1)，四边形EFHG是正方形，EF∥BC,∴.∠AEF=∠B,∠AFE=∠C, .EF AK △AEFn△ABC;BC=AD ,BC=1201L,高AD=80,设EG=EF=xL, x=80-x 解得：x=48,答：这个正方形零件的边长为48w: 120 80 （2),EG:EF=4:9,.设EG=4aw,则EF=9m,,四边形EGHF是矩形， ∴.EF∥BC,HD=EG=4uL,即AH=(80-4a)w,∴.∠AEF=∠B,∠AFE=∠C, 12080,解得：a=8, ∴MERAARC,E-s-8O0 'BC AD' ∴.EG=32,则EF=72m,∴.矩形EGHF的周长是：2×(32+72)=208(wm). 24.解：(1)，四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,AD=BC,∴.△ADG∽△CMG .AG AD CG=MC,M是BC的中点，BC=2C4,4D=2CM,:AC CG ,=2,.AG=2GC; (2)在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,AC=V62+82=10,.BD=AC=10, 如图，过点I作HLBC,垂足为H,设H=r则购(C+CD+BD)T=BCCD, 0 ∴r=2,即IH=2,∴.点I到BC的距离为2； G 25.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， 0A=2AC,0D=zBD,AC=BD,ACLBD,·∠AON=∠D0M=90°，OA=B OD, .DE⊥AF,∴.∠AHM=90°，∴.∠OAN+AMH=90°=∠OMD+∠ODM,.'∠AMH=∠OMD, ∴.∠OAN=∠ODM, (∠OAN=∠ODM 在△OAN和△ODM中， OA-OD ,.∴.△OAN2△ODM(ASA),,.OM=ON (∠AON=∠DOM (2)解：，四边形ABCD是正方形，.∠BAD=90°，AD=AB=BC=CD=6,OA=OC,AB∥CD, 、AE AM EM ∴.△AME∽△CMD,. cD=CM=DM 由勾股定理得：AC=VAB2+BC2=V62+62=6V2,∴.CM=AC-AM=6V2-2W2=4V2, :4E=22EM :6=4W2=DM ∴.AE=3,DM=2EM 由勾股定理得：DE=VAD2+AE2=V62+32=3V5,∴.EM=V5,,DE LAF, ∠AH=∠DAB=90，:∠ABH=∠DBA,∴△AB△DB1,DE=EA AE EH 3污-号1-35 3 EH ·若正方形边长为6，AM=2V2,则MH=EM-EH=V5-35=25 5 26.解：(1)，∠CAD=∠EAB,∴.∠CAD+∠DAB=∠EAB+∠DAB,即∠CAB=∠DAE, 第7页共12页 A=ADac,2架0 AB△4g,:∠C=0,∠g=∠c-0； ALBA,5AAE三郑Bc'AF·AE三AB·AD,即4AFAB :A5=A0:四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4,·∠BAD=∠B=90,BC=AD=4, AB AE FA⊥EA,∴.∠FAE=90°，∴.∠FAD=∠BAE=90°-∠DAE,∴.△ABE∽△AFD, ∴.∠AFD=∠B=90°，∴.F在以AD为直径的圆上运动， ∴P到BC的最大距离为AD+AB=号×4+3=5： 2 (3)梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=AB=8,BC=16, ∴5%ec=日54en=名×2aD+B0×AB=6@+10×8=12,“Gnm.号cB,BF=12, 即GBBr=24,?点E是线段AB的中点，BE=AB=4, 如图，取BQ=6,作矩形QPEB,则PE=QB=6,∠PEB=∠B=90°，连接PG, D P C QF BE=4X6=4aBpg=GBE,s-=又∠GBF=∠PaB=0, EB EF ∴.∠GBP=∠FEB=90°-∠PEF,.△PEG∽△FEB,.∠PGE=∠FBE=90°， ∴.G在PE为直径的圆上， ∴.当△ADG的面积最小时，G在过O点且垂直于PE的直线上，则此时△PGE是等腰直角三角形， .GP=GEPE=3V2 2 单元试卷（五) 锐角三角函数、投影与视图 试题答案解析 1.C.2.C. 3.B.4.B. 5.C.6.A. 7.6 9.18v10 10.75°. 1. 12. 13. 14.5. 15.2+3. 16. 1n.0解：原式924好(54-39号9}9 22221 17.(2)解：：无意义，tama=1,∴a=4s,tam(u+15)-tm(a-15o)=V55-9 33 18.解：过C作CD⊥AB于D,.∠ADC=∠BDC=90°， ,∠B=45°，.∠BCD=∠B=45°，.CD=BD, ,∠A=30°，AC=23,.CD=V3,.BD=CD=3, 由勾股定理得：AD=VAC”-CD=3,AB=AD十BD=3+V3,答：AB的长是3+V3 19.解：由图知，AC=CD,.△ACD为等腰直角三角形，.∠ADC=45°. Mc-ADmSo696g.2e-Amsr-6N596,w导2 综上所述，AC=6W3,BC=6,AB=12. 20.解：如图，延长AC,DB交点为E,过点P作PF⊥AE于点F,过B作BH⊥BD 交CD于点H.由题意得，∠E=90°，∠PA=90°，∠HBD=90°， :A,B之间的距离为40a,P在AB的中点处，∴AP=PB=20k, ,Rt△APF中，∠A=30°，∴.PF=10k,AF=V202-10=10W3(k), ,PF∥DE,P为AB中点，.F为AE的中点，即AE=20W3aL,BE=20L, 设AC=BD=xM,,AC∥BH,∴.∠A=∠PBH, 第8页共12页 (∠A=∠PBH 在△APC和△BHP中AP=BP ,.△APC≌△BPH(ASA),∴.AC=BH,∴.BD=BH, N∠APC=∠BPH ∴.∠HDB=45°，∴.△CED中，CE=ED,.20W3-x=20+x,解得x=10W3-107.3, 答：甲航行的距离AC约为7.3aL. 21.解：如图，过B作过D作BP∥AE,过D作DH⊥BP于H交AE于M,过E作EG⊥BP于G,交AE 于N,则四边形HGN是矩形， 4尺/尺/C .H=NG,∠EBG=∠CEN=53°，∠DAM=∠DBH=62°， 设BD=BC=x尺， 水平面 在Rt△DAM中，DM=AD-sin∠DAM=4xsin624×g=是（尺）， 99 在Rt△DBH中，DH=BD-sin.∠DBH=x×sin62≈S(尺)， 在Rt△CBN中，CW=CE-sin.∠CBW=3×sin533x=是（尺）， 55 在Rt△DBH中，CG=BC.sin∠CBG=xxsin53=(尺)， B水底周定处甘P 号号x=13,号号=8 答：竹竿的长度为13尺，水底固定处到水平面的距离为8尺， 22.解：过点A作AH⊥CD,垂足为H,由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°， AB=DH=1.5（米)，BD=AH=6(米)， 在Rt△ACH中，tan∠CAH=c, AH ∴.CH=AF-tan.∠CAH,∴.CH=AH-tan∠CAH=6tan30°=6x'5-2V3 3 （米)， .DH=1.5米，.CD=(23+1.5)(米)， A0.-…H 在Rt△CDE中，：∠CED=60,sim∠CED-c2 5米 CE E人60° “CB=cD=215=(4V3)米， B D 6米 sin60o- 答：拉线CE的长为(4+V3)米. 23.解：解：延长BD交AE于点F,作FG⊥ED于点G, ,斜坡的项部CD是水平的，斜坡与地面的夹角为30°， .∠FDE=∠AED=30°，.FD=FE, ,DE=18米，EG=GD=ED=9米， 在△GD中，DP品-号-6V5米，FB=(65+6)米， F B 在Rt△AFB中，AB=FBtan60°=(6V3+6)×V3=(18+6V3)≈28.2米，所 30 以古塔的高约为28.2米. 24.解：如图，延长OD,BC交于点P. ,∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米， .在直角△CPD中，DP=DC.cot30°=2V3m,PC=CD÷(sin30°)=4米， C ,∠P=∠P,∠PDC=∠B=90°， APDC∽△PBO,P2-, PB OB' PB=PDo8-2y51=11V5米， 0 B CD 2 ∴.BC=PB-PC=(11V3-4)米. 25.解：(1)过点P作PH⊥MN于点H,交EF于点K,如图，则四边形HKFN,四边形PQNH,四边形 PQFK为矩形，∴.PQ=KF=HN=1.4,HK=FN=16,PK=QF=2m, ..EK=EF-KF=1.4mL,PH=PK+HK=18mL, :,△Pz△PM,器器音=治M=I2.6(m. ，2_1.4 ∴.N=H+N=14(). 答：旗杆N的高度为14. (2)连接EE并延长交AB于点M,连接PP并延长交AB于点N,交EF于点H,交EF于点K,如图， 则四边形BMEF,四边形BNPO,四边形P'QBN,四边形BNKF,四边形POOP为矩形， ..BM-EF-F'F-2.8m,HF-KF-BN-PO=P'O=1.4m,HP=FO=1.2m,00=PP=30m,PK 第9页共12页 =FO'=2.2m,..MN=HE=KE'=EF-HF=1.4m, HN=xmL,AM=ym,PN=HN+HP=(1.2+x)m,AN=AM+MN=(1.4+y)m,P'N-PP' +PN=(31.2+x), :∥B,∴APa△AN器器品品 .12=14 :Er∥AB,△PEK∽△PAN,N312+x*14 .PK E'K 2.21.4 品品 x=34.8.248=t4…y=40.6.…AB=AM牛BM=43.4(m). 答：妙光塔AB的高度43.4. M H 、E A Ks P M 、E 、E H 3N76 B66 B C87719: 第25题图 第26题图 26.解：(1)解：，0=60°，OA=OE,∴.∠OAE=∠OEA=u=60°， AC与圆相切，∴∠OAC=90°，.∠CAE=30°.故答案为：30. (2)①证明：，四边形ABCD是矩形，AC=2r,∴.OA=OE=CF=DF=T, .∠OAC=∠ADC=90°，.∠OAE十∠CAD=∠ACD+∠CAD,∠OAE=∠ACD, ,OA=OE,CF=DF,.∠OAE=∠OEA=∠ACD=∠CDF, (∠OEA=∠FDC 在△OAE和△FCD中， ∠OAE=∠FCD,.△OAE≌△FCD(AAS),∴AE=CD, OA-CF ,AD=AE十ED,'.BC=CD十ED.即无论C在给定的范围内如何变化，BC=CD十ED总成立. ②解：补全图形如图， AC是切线，∠0aAC=0,:AC-,tan∠40c品-号设04=m,则AC-4m,0C=5m 器-0B=0A=m,∴cg=2m.0g+C8=n=0C 即点E在线段OC上，tamu=tan∠AOC- 法一：如图，过O作OH⊥AE,垂足为H,则AH=EH,,∠OHE=90°=∠D,∠OEH=∠CED, ∴△OBn△CBD,∴器是-}设EH=AH=3a,则DB=2a,∴AD=AH+BH+BD=8a, 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=16m2-64a2, 在Rt△CED中，CD2=CE2-ED2=4m2-4a2, ∴16m-64a2=4m-4d,解得a9l,BC-AD,CD一CE-D驱-5m=B, 3 学号：57780007 单元试卷（六）等可能条件下的概率 试题答案解析 1.B. 2.D. 3.B. 4.D. 5.A. 6.C 8.3 9.4 10. 11.13 12.} 13 14.3 15.12 1 16 16. 25 17.解：(1)当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件： 当摸出2个或3个时，摸到黑球为随机事件， 故答案为：4：2,3. (2)根据题意得：=号解得：m=2所以m的值为2. 第10页共12页 18.解：(1)，一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球， “摸出一个球摸是黄球的概率为：+1*2一言 (2)设取走x个黑球，则放入x个黄球，由题盒，得甘解得：心曾 ,x为整数，x的最小正整数解是x=9.答：至少取走了9个黑球. 19.解：(1)，转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况， “P(转动一次转盘获得购物券)号号 (2):P(红色)克P(黄色)高P(绿色)=号品20品10×号+50号40（元） ,40元>30元，∴.选择转转盘对顾客更合算. 20.解：(1)画树状图如下： 开始 甲 乙(1,2)(1,4)(2,4)(1,2)(1,4)(2,4) 共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种， ·取出的3个小球上所写数字没有4的概率为青 故答案为： (2)由树状图可知，取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， ∴取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为号 21.解：(1)在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为P (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下： 甲 红1 红2 白 乙 红1 (红1，红1) (红1，红2) (红1，白) 红2 (红2，红1) (红2，红2) (红2，白) 白 (白，红1) (白，红2) (白，白) 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种. ∴P(甲胜)=P(乙胜)= f行（或>， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平 22。解：(1)若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率=-： Γ4=2 (2)画树状图为： 红 黄 白 白 个 黄白白红白白 个 红黄白红黄白 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好一黄一白的结果数为4， 所以两次摸出的球恰好一黄一白的概率=4=】 123 23.解：(1)本次家访的对象共有王鹏、李佳、刘丹三位同学，共有3种情况， 其中李佳同学被王老师选为家访对象只有一种情况，所以李佳同学被王老师选为家访对象的概率是， 故答案为： (2)画树状图列出等可能的所有结果为9种，其中王老师和李老师家访的是同一个同学共3种情况. 第11页共12页 开始 王老师 李老师王李刘丹王销李刘丹王鹏李住刘丹 ∴P(王老师和李老师家访的是同一个同学)=号 24.解：(1)，小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏 电灯，小明任意按下一个开关，打开走廊灯的概率是，故选D. (2)画树状图得： 开始 C B CA C A ,共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， “正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：= 25.解：(1)分别用A,B,C表示向左转、直行，向右转； 根据题意，画出树形图： 开始 B ,共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况， P(三车全部同向而行)= (2):至少有两辆车向左转的有7种情况，“P(至少两辆车向左转)= (3):汽车向右转、向左转、直行的概率分别为， 在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下： 左转绿灯亮时间为90×品=27（秒），直行绿灯亮时间为90×=27（秒），右转绿灯亮的时间为90×号36 (秒). 26.解：(1)设购进A道具x件，则购进B道具(30-x)件，x为正整数。 根据题意列不等式组： 解第一个不等式：2x230-x,3x≥30，x之10 解第二个不等式：15x+300-10x≤380,5x≤80，x≤16 综上：10x≤16 x可取整数：10、11、12、13、14、15、16 共7种采购方案 (2)要求：A道具数量多于B道具数量 即：x>30-x,解得x>15,结合取值范围10sx≤16 符合条件的x:16 :总等可能结果数：7种，符合条件结果数：1种，∴PA数量多于B数量) (3)总积分=2x+1·(30-x)=x+30 要求总积分不低于40分：x+30≥240，解得之10 结合取值10sx≤16，所有7种方案全部满足条件，.P(总积分不低于40分)=1. 第12页共12页 单元试卷（一） 《圆》 （考试时间：120分钟，满分：150分） 成绩 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上．若∠ACB＝26°，则∠AOB＝（　　） A．10° B．26° C．40° D．52° 2. 如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，OB＝CD＝2，则OE长为（　　） A．1 B． C．2 D． 3. 团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P作PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，得到弧AB．若⊙O的半径为9cm，∠APB＝60°，则小红想要装饰的弧AB的长为（　　） A．6πcm B．9πcm C．18πcm D．27πcm 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4. “拧拉”是一种常用的乒乓球发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为20cm，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为（　　） A．5πcm B．8πcm C．10πcm D．20πcm 5. 已知一圆上有A、B、C、D四点，其位置如图所示，，，，．若在此圆上找两点E、F，使得四边形ABEF为长方形，则下列关于E点、F点位置的叙述，正确的是（　　） A．E在上，F在上B．E在上，F在上C．E、F在上D．E在上，F在上 6. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点E为△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点F，连接AF，若AC＝5，AF，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为160°，则其母线长为　 　 ． 8. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝80°，则∠C＝　 　 ° ． 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 9. 如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC，∠OAB＝60°，则∠ABC=　　 ° ． 10. 正五边形ABCDE与等腰Rt△CDF如图摆放，则∠BCF＝　　 °． 11. 如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，点D在上，∠ABC＝20°，则∠CDB＝　　 °． 12. 如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　　 ． 13. 如图，⊙O的半径为2cm，正六边形内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 　　 ． 14. 如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O．若，则EF的长为　　 ． 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 15. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧AB上所有的点都落在△ABC的边界及内部，则弧AB所对的圆心角∠AOB的取值范围是　　 ． 16. 如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，点P在BC边上运动，连接AP．当△ABP和△APC的内切圆半径相等时，设BP＝t，则AP＝　 　 （用含t的代数式表示）． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （8分）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB与⊙O相切于A，B两点，若∠BAC＝27°，求∠P的度数． 18.（10分）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠B＝30°． （1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）已知BC＝2，求的长（结果保留π）． 19.（10分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4． （1）求点O到AB的距离； （2）求正六边形ABCDEF的面积． 20. （10分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 21. （10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，弦DF⊥BC，垂足为E． （1）求证：AD＝BD； （2）若AB＝10，DF＝8，求⊙O的半径． 22. （10分）如图，在坐标系中，A（1，6）、B（5，6）、C（7，4）． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 　 　 ； （2）这个圆的半径长为 　 　 ； （3）直接判断点D（5，－3）与⊙M的位置关系，点D（5，－3）在⊙M　 　 ．（填内、外、上） （4）E是图中某一格点，连接BE，若BE是⊙M的切线，则E点的坐标为 　 　 ． 23. （10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点A的直线和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接AC． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝6，ED＝3．求图中阴影部分的面积． 24. （10分）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N； （2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 　 　 ． 25.（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF． （1）求证：∠BAC＝2∠DAC； （2）若AF＝10，，求线段AE的长． 26.（14分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC＝30，AD⊥BC于点D且AD＝18，AE是⊙O的直径，连接ED，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点F． （1）求证：①∠DAC＝∠BAE；②∠CAF＝2∠BAE； （2）求⊙O的半径长． 单元试卷（二） 《二次函数》 （考试时间：120分钟，满分：150分） 成绩 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．二次函数y＝（x－1）2＋2图象的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝－1 C．直线x＝2 D．直线x＝－2 2．二次函数y＝3（x－5）2－4图象的顶点坐标是（　　） A．（5，4） B．（5，－4） C．（－5，4） D．（－5，－4） 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … －2 －1 0 1 3 … y … 3 4 3 0 －12 … 下列说法错误的是（　　） A．函数图象开口向下 B．对称轴是直线x＝－1 C．2a＋c＝0 D．b2－4ac＞0 4．已知二次函数y＝－（x＋5）2－20，甲、乙两人提出以下看法： 【甲】此函数图象上某个点的y坐标为－15；【乙】此函数图象上某个点的y坐标为25． 对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（　　） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 5．二次函数y＝x2－9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 6．由二次函数y＝x2＋2x－1的图象与x轴的交点坐标，可以求出下列方程的近似解的是（　　） A．x2－1＝－2x B．x2＝2x－1 C．x2＋2x＋1＝0 D．x2＋2x＝－1 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7．将二次函数y＝3x2的图象沿y轴向下平移两个单位后的抛物线对应的函数表达式为　 　 ． 8．二次函数y＝（x－20）2＋26的最小值为　 　 ． 9．二次函数y＝x2－2x＋c的图象与y轴交于点（0，－3），与x轴交于点A，B，则线段AB长是　 　 ． 10．若二次函数y＝2x2－x＋m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　 　 ． 11．若二次函数y＝ax2－bx－1的图象经过点（2，1），则2024＋2a－b＝ 　 　 ． 12．平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2＋4x＋4的图象经过点（m，y1）和（m＋1，y2），若m＞0，则y1　 　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 13．已知二次函数y＝x2－2x－3，当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是　 　 ． 14．若二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1　 　 y2（填“＞”或“＜”）． 15．平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x－2023）（x－2024）＋5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝　 　 ． 16．如图，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD＋BC的值最小时，点C的坐标为 　 　 ．第16题图 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象经过点M（1，5）和N（4，2）． （1）求a，b的值； （2）求此二次函数的对称轴和顶点坐标． 18．（8分）已知二次函数y＝x2－ax＋2（a－3）． （1）求证：不论a为何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点； （2）如果其中一交点坐标为（3，0），求a的值． 19．（8分）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点（0，－3），并经过点（1，4）． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）若A（－n＋3，y1），B（4，y2）在该抛物线上，当y1＞y2时，求n的取值范围； 20．（10分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件． （1）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． （2）该专卖店想获得最大利润，那么每件童装需要降价多少元，最大利润是多少？ 21．（10分）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋2（a≠0）的图象与x轴交于A（－2，0）、B（1，0）两点． （1）求二次函数的表达式． （2）点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值． 22．（10分）已知二次函数y＝mx2＋4mx－5m（m为非零常数）经过点（－1，－8）． （1）求m的值； （2）若二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求S△ABC的值； （3）当－3≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差． 23．（10分）投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏．在一次科技展上，机器人和人们展开了一场现代科技与古代智慧的投壶挑战赛，如图1，在一次投壶中，机器人和小明站在投壶点向同一方向进行投壶，分别在点D，F处放置壶．如图2，以水平地面为x轴，以投壶点为原点O，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．其中小明箭矢的运动轨迹和机器人箭矢的运动轨迹L2均为抛物线形．已知机器人投壶时箭矢的出手点B距离地面1.2m，当箭矢在与出手点水平距离0.8m处时达到最高点，此时箭矢距离地面2m．其中壶口与地面的距离CD＝EF＝0.2m． （1）求机器人箭矢的运动轨迹L2所在抛物线对应的函数表达式； （2）若小明所投箭矢恰好投入壶口C，且OF＝2OD，请你通过计算说明机器人此次投壶能否恰好投入壶口？ 24．（12分）已知二次函数y＝nx2－（n＋3）x＋3（n为正整数），将n取1、2、3、…、n时，函数y1、y2、y3、…、yn的系列图象称为“抛物线簇”． （1）求y1的图象与x轴两个交点的坐标为　　 、　　 ； （2）根据给出的条件请你猜想，“抛物线簇”中每条抛物线顶点在坐标系中可能的位置，并简要说明理由； （3）“抛物线簇”中某条抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成的三角形是直角三角形，求n的值． 25．（12分）综合与实践【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】条件1：充电站收入y（单位：元）与当日充电汽车数量x（单位：辆）之间的对应关系如表： x 1 2 3 4 5 y 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本ω（单位：百元）与充电汽车数量x之间满足：ω20x＋500． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x＝40时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y＝mx，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益＝收入－成本）取得最大值，请写出一个符合条件的m值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 26．（14分）已知二次函数y＝x2－ax＋5（a为常数）的图象经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2－ax＋5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n－m的最大值． 单元试卷（三）《数据的集中趋势和离散程度》 （考试时间：120分钟，满分：150分） 成绩 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．某人在一轮射击训练中共射击7次，成绩为（单位：环）：7，8，8，9，9，10，10．则该轮射击训练成绩的中位数是（　　） A．7环 B．8环 C．9环 D．10环 2．在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据（单位：kg）：47，49，56，52，56．这组数据的众数和平均数分别是（　　） A．52，52 B．56，52 C．56，50 D．52，56 3．一组数据2，m，3，3，5的平均数为3，则m的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．周一至周五某同学的运动时间为34、28、40、36、32，单位：分钟，为了一周7天活动时间的平均数达到40分钟，下列选项中可以的是（　　） A．50，50 B．45，60 C．50，60 D．55，60 5．某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处．某篮球队有队员12人，大课间活动时，队员进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7．这组数据的下四分位数为（　　） A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．9 6．小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：7.0、7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10．工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7．要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是89.5分，方差分别是s甲2＝1.6，s乙2＝2.5，s丙2＝3.58，你认为派　 （填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 8．某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按6：4计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为 　 　 分． 9．射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如表，请根据表中信息估计新手是　 　 ．（填写“甲”或“乙”） 第9题图 第11题图 第12题图 10．为弘扬传统文化、培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为100g．甲、乙两名同学各包了5个粽子，每个粽子的质量（单位：g）如下： 甲：103，99，100，101，97；乙：99，103，105，95，98． 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是　 　 （填“甲”或“乙”）． 11．小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则 　 　 （填“＞”、“＝”或“＜”）． 12．甲、乙两地4月每天最高气温的箱线图如图所示，则4月气温波动较大的是　 　 （填“甲地”或“乙地”）． 13．若一组数据6，6，m，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为 　 　 ． 14．已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是　 　 ． 15．在从小到大排列的五个数x，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则x的值为 　 　 ． 16．已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则另一组数据3x1，3x2，3x3，…，3xn的方差为　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）某校八年级为丰富学生课余生活，举行了“科技创作”比赛．各班参赛作品数量（单位：件）统计如下：6，8，7，9，10，8，9，7，9，6． （1）求这组数据的平均数、众数和中位数； （2）若参赛作品数量超过8件的班级将获得“优秀组织奖”，求该校八年级10个班级中获得该奖项的班级所占的百分比． 18．（8分）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． （1）甲班成绩的中位数为 　 ，乙班成绩的上四分位数 　 ； （2）图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ （3）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个． 19．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛．在300名参赛学生中随机抽取12名，他们的参赛成绩（单位：分）如下： 67 83 66 85 79 81 86 86 90 91 72 98 （1）求这12名学生参赛成绩的平均数； （2）求这12名学生参赛成绩在（9.3）分与（9.3）分之间的人数；据此估计300名学生参赛成绩在（9.3）分与（9.3）分之间的人数． 20．（10分）下面是八（1）班某小组10名同学“一分钟跳绳”的成绩（单位：分） 8，9，6，10，7，8，10，5，9，8． （1）求出这组数据的方差； （2）若将成绩分为两组（包含临界值）：低分组（5分－8分）和高分组（9分－10分），计算上述分组情况下的组内离差平方和． 21．（10分）某校学生会向全校2600名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制的统计图如下： 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机调查的学生人数为　 　 人，图中m的值是　 　 ； （2）本次调查获取的样本数据的众数为　 　 ，中位数为　 　 ； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数． 22．（10分）某中学为了解七年级学生本学期的课外阅读情况，随机调查了20名七年级学生，调查结果如图所示： （1）被调查的20名学生课外阅读图书数量的众数为　 　 本，中位数为　 　 本，平均数为　 　 本； （2）该中学七年级共有400名学生，学校决定对本学期课外阅读图书数量达到5本以上（含5本）的学生给予表彰，请估计七年级获得表彰的学生人数． 23．（10分）加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径．某学校科创社团组装了甲、乙两个投篮机器人，准备从中选一个参加青少年科技创新大赛．为此，该社团对两个投篮机器人分别进行了10组测试（每组测试投篮10次，以投进次数作为测试成绩），并对测试成绩整理、描述、分析如下． 测试成绩统计表 统计量 甲 乙 平均数 7.1 7.1 中位数 a 7 众数 8 b 方差 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中a的值为　 　 ，b的值为　 　 ，　 　 （填“＞”“＝”或“＜”）． （2）你认为科创社团应选哪个投篮机器人参加青少年科技创新大赛？请说明理由． 24．（12分）【数据收集】某校为提高学生跳绳能力，准备组织跳绳训练．在组织跳绳训练前抽取了15名男生的1分钟跳绳测试成绩，获得以下按序排列后的数据（单位：次）：108，120，124，125，130，136，142，148，150，154，162，167，169，170，181． 【数据整理】训练一个月后，对这15位男同学又一次进行1分钟的跳绳测试．下图是训练前后跳绳成绩的箱线图． 【数据分析】箱线图中（1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； 【数据应用】（2）若学校以训练后的成绩为依据，要制定男生1分钟跳绳成绩优秀的标准，能让25%男生的跳绳成绩达到优秀，你会选择什么数据作为标准； （3）请结合箱线图的信息，评价这一个月的训练效果． 25．（12分）若干名学生参加编程比赛．比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲8轮得分的平均数为　 　 ，乙8轮得分的平均数为　 　 ； （2）记甲、乙8轮得分的方差分别为和，则　 　 （填“＞”“＝”或“＜”）； （3）如果丙8轮得分的中位数为2.5，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 26．（14分）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，89，89，91，93，93，93，93，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 87 90 b （1）上述表中，a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）八年级学生成绩的第一四分位数　 　 ，补全七年级的箱线图； （3）你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计表和箱线图进行说明． 单元试卷（四） 《图形的相似》 （考试时间：120分钟，满分：150分） 成绩 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．4a＝3b改写成比例是（　　） A．a：b＝3：4 B．a：4＝b：3 C．a：3＝4：b D．a：b＝4：3 2．在一幅比例尺为1：500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（　　） A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：AB＝1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 4．如图，平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．已知BC：B′C′＝1：2，则B（2，0）的对应点B′的坐标是（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0） 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（　　） A．10 B．8 C．5 D．4 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BC＝BD，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7．已知，则的值为　 　 ． 8．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝5，BC＝6，则DF的长度是　 　 ． 9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，著名的雕塑断臂的维纳斯便是如此．比较大小：　　 （填“＞”或“＜”）． 10.如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，则的值是 　 　 ． 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 11．如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 　 　． 12．如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE、BA的延长线相交于点F，若AB＝2，则AF＝ 　 　． 13．如图，在△ABC中，D为AB上一点，F为AC上一点，CD与BF交于点E，，CA＝3CF，则　 　． 14．一块三角形材料的形状如图所示，AC＝BC＝8，∠C＝90°．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上，则可剪出矩形CDEF的最大面积为 　 　． 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 15．如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 　 　 ．（结果用π表示） 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，则的最小值是 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长． 18．（10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（－1，－3）和（2，6）． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 19．（10分）如图，线段AB的长为1，点C在线段AB上，满足关系式AC2＝BC•AB． （1）求线段AC的长度； （2）点D在线段AC上，且AD2＝CD•AC．直接写出线段AD与AC的数量关系． 20．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P，D分别在边BC，AC上，∠BAP＝∠CPD． （1）求证：△APD∽△ACP； （2）若AB＝6，AD＝2，求AP的长． 21．（10分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到地面距离OE为2cm，求实像CD的高度为多少？ 22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积． 23．（10分）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如图2，把它加工成矩形零件，当EG：EF＝4：9时，求矩形EGHF的周长． 24．（10分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G． （1）求证：AG＝2GC； （2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I，当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离； 25．（10分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的点，DE⊥AF，垂足为H，AC与BD相交于O，DE与AC交于M，AF与BD交于N． （1）求证：OM＝ON； （2）若正方形边长为6，，求MH的长度． 26．（14分）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，△ABC和△ADE中，∠C＝90°，AE•AB＝AD•AC，∠CAD＝∠EAB，求∠E的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段BC上一点，连接AE，过点A在AE上方作FA⊥EA，使S△AEFS矩形ABCD，连接DF，请证明△ABE∽△AFD，并直接写出点F到BC的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝8，BC＝16，点E是线段AB的中点，点F是线段BC上一点，连接EF，过点E在EF上方作GE⊥FE，使S△EFGS梯形ABCD，当△ADG的面积最小时，求EG的长． 单元试卷（五）《锐角三角函数、投影与视图》 （考试时间：120分钟，满分：150分） 成绩 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．一个几何体的主视图是等腰三角形，这个几何体可能是（　　） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 2．已知sinα，α为锐角，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA，则斜边上的高等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100米，则B点到河岸AD的距离为（　　） A．100米 B．50米 C．米 D．50米 5．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算tan22.5°时，构造出如图所示的图形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°．根据此图可求得tan22.5°的结果（　　） A．2 B．1 C．1 D．2 6．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（　　） A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里 第4题图 第5题图 第6题图 第11题图 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7．cos30°的值是　 　 ． 8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是　 　 ． 9．一公路大桥引桥长180米，已知引桥的坡度i＝1：3，那么引桥的铅直高度为　 　 （结果保留根号）米． 10．已知α、β均为锐角，且满足|sinα|0，则α＋β＝ 　 　 ． 11．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则cosD＝　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC∠BAC，则tan∠BPC＝　 　 ． 13．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝　 　 ． 14．如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD＝0.6m，D，E，F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH＝　 　 m． 15．请运用你喜欢的方法求tan75°＝　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM，则tan∠B的值为　 　 ． 第12题图 第13题图 第14题图 第16题图 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）计算：． （2）已知α为锐角，当无意义时，求tan（α＋15°）－tan（α－15°）的值． 18．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC，求AB的长． 19．（10分）把两个相同的含30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若AD．请你求出三角尺各边的长． 20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA，求DE的长度． 21．（10分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：） 22．（10分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）． 23．（10分）在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部CD是水平的，在阳光的照射下，古塔AB在斜坡上的影长DE为18米，斜坡顶部的影长DB为6米，光线AE与斜坡的夹角为30°，求古塔的高（）． 24．（10分）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为多高？ 25．（12分）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m． （1）求旗杆MN的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E′F′和P′Q′在同一平面内，点B、F、Q、F′、Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′＝1.4m，FQ＝1.2m，F′Q′＝2.2m，QQ′＝30m． （2）求妙光塔AB的高度． ：试 26.（12分）【问题情境】已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角． 【初步感知】（1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝　　 °； 【问题探究】（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F．①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD＋ED总成立： ②如图3，当ACr，时，请补全图形，并求tanα及的值． 箱：1 单元试卷（六）《等可能条件下的概率》 （考试时间：120分钟，满分：150分） 成绩 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．掷一枚硬币3次有两次正面向上，一次反面向上，则第4次掷正面向上的可能性（　　） A．100% B． C． D． 2．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和3个黄球，从袋子中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色不同的概率为（　　） A． B． C． D． 3．春节期间，《中国诗词大会》节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古诗词的喜爱，现有以下四句古诗词：①锄禾日当午；②春眠不觉晓；③白日依山尽；④床前明月光，甲、乙两名同学从中各随机选取了一句写在了纸上，则他们选取的诗句恰好相同的概率为（　　） A． B． C． D． 4．有2名男生和2名女生，王老师要随机地、两两一对地为他们排座位，一男一女排在一起的概率是（　　） A． B． C． D． 5．有两个事件：①袋中装有4个红球和1个黑球，这些球除颜色外都相同，从中摸出一个球恰好为红球；②信封中装有8个男生名字和2个女生名字，从中摸出1一个名字恰好为男生名字．上述2个事件发生的可能性的大小相比，（　　） A．①②的可能性相同 B．②的可能性大 C．①的可能性大 D．大小不能确定 6．10个人去钓鱼，共钓到3条鱼，假设每个人钓到鱼的可能性相同，那么这3条鱼由同一个人钓到的概率是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7．同时掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率为　 ． 8．给出下列函数：①y＝2x－1；②y；③y＝－x2．从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当x＞1时，函数值y随x增大而减小”的概率是　 ． 9．两人一组，每人在纸上随机写一个不大于4的正整数，则两人所写的正整数恰好相同的概率是　 　 ． 10．从－1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为 　 　 ． 11．从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到K的概率是 　 ． 12．从－2，－1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于　 　 ． 13．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是 　 ． 14．一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率为　 　 ． 15．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是 　 （结果用数值表示）． 16．有五张正面分别标有数字－3、－2、0、1、2的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使得函数y＝（a＋2）x2－bxa的图象与x轴有交点的概率为　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个． （1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 　 　 　 　 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求m的值． 18．（10分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同． （1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率； （2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？ 19．（10分）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元． （1）求转动一次转盘获得购物券的概率； （2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 20．（10分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率． 21．（10分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标注数字1，2，3，每个小球除所标注数字不同外，其余均相同．小勇先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再次从口袋中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小勇两次摸出的小球所标数字之和为3的概率． 22．（10分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率； （2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好一黄一白的概率（要求画树状图或列表）． 23．（10分）为了响应区教育局“千师访万家”的新家庭教育活动，某校七年级3班的语文学科王老师、数学学科李老师决定分别利用周六上午、周日下午各自家访一名同学，本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学． （1）李佳同学被王老师选为家访对象的概率是：　 　 ； （2）请利用树状图或表格的形式求王老师和李老师家访的是同一个同学的概率． 24．（10分）小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小明按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况． （1）若小明任意按下一个开关，则下列说法正确的是（　 　） A．小明打开的一定是楼梯灯； B．小明打开的可能是卧室灯； C．小明打开的不可能是客厅灯；D．小明打开走廊灯的概率是 （2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明． 25．（10分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时， （1）利用画树状图的方法，求三辆车全部同向而行的概率； （2）求至少有两辆车向左转的概率； （3）由于十字路口右拐弯处是通往我市新建经济开发区的，因此交管部门的汽车行驶高峰时段对车流量做了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 26．（12分）某中学开展数学实践活动，采购A、B两款实验道具。已知1件A道具的进价为15元，1件B道具的进价为10元。学校计划一次性购进A、B两款道具共30 件，且满足两个条件： ① A道具的购进数量不少于B道具数量的； ② 总进货成本不超过380元。 （1）求本次采购一共有多少种整数采购方案？ （2）若从所有符合条件的采购方案中随机抽取 1 种方案，求该方案采购的 A 道具数量多于 B 道具数量的概率； （3）若每件 A 道具使用后可产生 2 分实践积分，每件 B 道具使用后可产生 1 分实践积分，随机选取一种合规方案，求本次采购获得总积分不低于 40 分的概率。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $