精品解析：湖北潜江市曹禺中学2026-2027学年九年级上学期数学月考试卷（第25-28章）

第25-28章测试卷 一、选择题（共10题，30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，都在图象上，且，则 4. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（ ） A. 点G B. 点H C. 点M D. 点N 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　） A. 560（1＋x）2＝315 B. 560（1－x）2＝315 C. 560（1－2x）2＝315 D. 560（1－x2）＝315 8. 已知二次函数，，，，均在其图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 二、填空题（共5题，15分） 11. 若点与关于原点对称，则=_______． 12. 若一元二次方程的一个根为0，则______． 13. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了___________． 14. 如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=______． 15. 如图1，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是的面积（）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段），（1）_____cm；（2）当的面积取最大值时，运动时间为_____s． 16. 解方程： （1）x2－6x－4＝0； （2）3x(x－2)＝2x－4． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 18. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 19. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 20. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解： 可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． （1）一元二次不等式的解集为 ； （2）分式不等式的解集为 ； （3）解一元二次不等式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（2，3）、B（，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若P是轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长． 22. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 23. 问题背景：如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小． 尝试应用：如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求DF：DE的值． 拓展创新：如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值． 24. 已知抛物线过，，． （1）求此抛物线的解析式． （2）若为抛物线的顶点，直线与抛物线对称轴交于H点，在抛物线上是否存在一点T使得与的面积相等．若存在，请求出T点坐标；若不存在，请说明理由． （3）点（横坐标为）在抛物线上，其最大值为，最小值为．若对于任意，恒成立，请写出实数的所有整数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25-28章测试卷 一、选择题（共10题，30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称又是轴对称图形，故A选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A ． 2. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴， ∴． 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，都在图象上，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据的符号判断反比例函数的象限分布和增减性，逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， A选项说图象位于第二、四象限，不符合结论，故A错误， 当时，图象在第一象限，由反比例函数性质可得随的增大而减小，故B正确， 将代入，得，因此图象不经过点，故C错误， 对于D选项，若，则，此时，所以不一定成立，故D错误． 4. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由根与系数的关系可知，以，为根的一元二次方程是， 故选A． 考点：根与系数的关系． 5. 如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（ ） A. 点G B. 点H C. 点M D. 点N 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，确定两个图形的对称中心，结合与关于某点对称，故连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心，即可作答． 【详解】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：当反比例函数图象在一三象限时，，则对应的一次函数图象经过第一、三、四象限，所以选项A、B错误； C、当反比例函数图象在二四象限时， ，则对应的一次函数图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D选项正确． 7. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　） A. 560（1＋x）2＝315 B. 560（1－x）2＝315 C. 560（1－2x）2＝315 D. 560（1－x2）＝315 【答案】B 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1－降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1－x），第二次后的价格是560（1－x）2，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，设每次降价的百分率为x， 可列方程为： ． 故选：B 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 8. 已知二次函数，，，，均在其图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先求抛物线对称轴，结合开口方向，通过两点到对称轴的距离比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数图象过，， ∴对称轴为直线． ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，且， ∴． 9. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与轴的交点位置分别得到，，再利用对称轴得到，即可判断①；根据抛物线与轴有两个交点，即可判断②；当时，，得到，再结合和，即可判断③；当时，有最小值即可判断④；当图象经过点时，利用二次函数的对称性可得图象也经过点，进而得到，，即可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ，即， ，故①错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 由图象可知，当时，， ， 又， ， ， ，故③正确； 由图象可知，当时，有最小值， （t为任意实数）， ，故④正确； 抛物线对称轴为直线，当图象经过点时， 由二次函数对称性得，图象也经过点， 的图象与直线的交点为和， 即方程的两根为和， 又方程的两根为， ，， ，故⑤错误； 综上所述，正确的结论②③④． 故选：C． 二、填空题（共5题，15分） 11. 若点与关于原点对称，则=_______． 【答案】##0.5## 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数可得：a=2，b=﹣1，再代入计算即可． 【详解】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称， ∴b=﹣1，a=2， ∴==． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点和幂的运算法则，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 若一元二次方程的一个根为0，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的根，熟知基本知识是解决问题的关键． 由一元二次方程的定义和一元二次方程解的定义得到，求解即可． 【详解】解：由题意得：将代入得：， 解得： 又， ∴， 故答案为：1． 13. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可知汽车刹车后行驶的距离s关于时间t的函数是二次函数，二次函数的最大值对应汽车停下来时的前进距离，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当，即时，s有最大值，最大值为， ∴汽车刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 14. 如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=______． 【答案】6． 【解析】 【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值． 【详解】∵点P（6，3）， ∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3， 代入反比例函数得， 点A的纵坐标为，点B的横坐标为， 即AM=，NB=， ∵S四边形OAPB=12， 即S矩形OMPN-S△OAM-S△NBO=12， 6×3-×6×-×3×=12， 解得：k=6． 故答案为：6． 15. 如图1，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是的面积（）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段），（1）_____cm；（2）当的面积取最大值时，运动时间为_____s． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再根据相似三角形，用含的式子表示出点到的高，结合线段运动关系，表示出，列出面积关于的二次函数，将二次函数配方化为顶点式，由开口向下，结合顶点横坐标在取值范围内直接确定此时面积最大，即为所求时间． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴ 当时，此段面积取得最大值． 16. 解方程： （1）x2－6x－4＝0； （2）3x(x－2)＝2x－4． 【答案】（1）x1＝3＋，x2＝3－；（2）x1＝ ，x2＝2 【解析】 【分析】（1）先配方、然后运用直接开平方法解答即可； （2）先对2x－4因式分解，然后再移项，最后运用因式分解法解答即可 【详解】解：（1）x2－6x＋9－9－4＝0 (x－3) 2＝13 x－3＝± x1＝3＋，x2＝3－ （2）3x(x－2)＝2(x－2) 3x(x－2)－2(x－2)＝0 (3x－2) (x－2)＝0 x1＝，x2＝2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法以及因式分解法是解答本题的关键． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 18. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】（1） （2）气体的体积应不小于 【解析】 【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出当时，的值，再根据反比例函数的增减性求解即可得． 【小问1详解】 解：设该函数的表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这个函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 当时，， ∵反比例函数中的， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 又∵当气球内的气压大于时，气球将爆炸， ∴为了安全起见，气体的体积， 答：气体的体积应不小于． 19. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 【答案】（1）60°；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；  （2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长． 【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO． ∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°， ∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC=60°． （2）由旋转的性质得：AD=OB=4． ∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5． ∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理. 20. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解： 可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． （1）一元二次不等式的解集为 ； （2）分式不等式的解集为 ； （3）解一元二次不等式． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了有理数乘除法运算法则，解一元一次不等式组，熟练掌握相关法则和步骤是解题关键． （1）仿照例题，将化为，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得到两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案； （2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，将分式方程化为两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案； （3）可化为，由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得到两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： 可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：分式不等式， 由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 分式不等式的解集为或， 故答案为：或 【小问3详解】 解：， 可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，不等式无解， 的解集为， 即一元二次不等式的解集为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（2，3）、B（，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若P是轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长． 【答案】（1）一次函数的解析式是y=x+1；反比例函数的解析式是；（2）OP的长为 3或1 【解析】 【分析】（1）可先把A代入反比例函数解析式，求得m的值，进而求得n的值，把A，B两点分别代入一次函数解析式即可． （2）令x=0求出y的值，确定出C坐标，得到OC的长，三角形ABP面积由三角形ACP面积与三角形BCP面积之和求出，由已知的面积求出PC的长，即可求出OP的长． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点A（2，3）， ∴m=6． ∴反比例函数的解析式是． 点A（－3，n）在反比例函数的图象上， ∴n =－2． ∴B（－3，－2）． ∵一次函数y=kx+b的图象经过A（2，3）、B（－3，－2）两点， ∴ 解得 ∴ 一次函数的解析式是y=x+1 （2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1， 解得：PC=2， 所以，P（0，3）或（0，-1）． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 22. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 【答案】（1）y=﹣20x+1600； （2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元； （3）超市每天至少销售粽子440盒． 【解析】 【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，==； （2）P===， ∵x≥45，a=﹣20＜0， ∴当x=60时，P最大值=8000元， 即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元； （3）由题意，得=6000， 解得，， ∵抛物线P=的开口向下， ∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润， 又∵x≤58， ∴50≤x≤58， ∵在中，＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒． 【点睛】考点：二次函数的应用． 23. 问题背景：如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小． 尝试应用：如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求DF：DE的值． 拓展创新：如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值． 【答案】（1）旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是；（2）；（3）+1 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得出，，，，证明，由旋转性质即可得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质得，，得出，由直角三角形性质得，则可计算出答案； （3）过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE、PE的长即可得解． 【详解】解：（1）∵，都是等边三角形， ∴，，，，， ， ， 可以由绕点A顺时针旋转得到， 即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是； （2）和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设BF=x，则CF=DF=2x，DE=3x， ∴； （3）， ∴ 点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD， ， 如图，过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE， ∵ 将线段AC绕点A顺时针旋转得到线段AP， ，PA=AC． ， ， ， ∴ PE=CD=1． ∵ AB=2，AE=AD=1， ∴ BE===， ， ∴ BP的最大值为+1． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、圆周角定理；熟练掌握旋转的性质是解题关键． 24. 已知抛物线过，，． （1）求此抛物线的解析式． （2）若为抛物线的顶点，直线与抛物线对称轴交于H点，在抛物线上是否存在一点T使得与的面积相等．若存在，请求出T点坐标；若不存在，请说明理由． （3）点（横坐标为）在抛物线上，其最大值为，最小值为．若对于任意，恒成立，请写出实数的所有整数值． 【答案】（1） （2）存在，点T的坐标分别为，，， （3）实数t的整数值分别为0、1、2 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点T作x轴的垂线与直线交于点P，先求出直线的解析式，再根据二次函数的性质求出，，设点，则，，，最后列出方程，求解即可； （3）根据二次函数的性质，分三类情况讨论，分别用含t的式子表示出最大值和最小值，再根据列出不等式，求解取整数即可． 【小问1详解】 解：经过点，，， ，解得， 则此抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 对称轴是直线， 当时，， 抛物线顶点， 当时，， ， ， 设点，则， 如图，过点T作x轴的垂线与直线交于点P， ， 则， ， ， 当时，解得，； 当时，解得，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，点T的坐标分别为，，，； 【小问3详解】 解：①当时，， 最大值m在处取得，， 最小值n在处取得，， ， ， ， ， 满足条件的整数； ②当时，， 最大值m在处取得，， 最小值n在处取得，， ， ， ， ， 满足条件的整数； ③当时，， 最大值m在抛物线顶点处取得，， 当时， 最小值n在处取得，， ， ， ， ， 满足条件的整数； 当时， 最小值n在处取得，， ， ， ， ， 没有满足条件的整数； 综上所述，实数t的整数值分别为0、1、2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $