精品解析：湖北武汉市二中广雅中学2026-2027学年上学期九年级数学课堂作业(二)

九年级（上）数学课堂作业（二） 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若点在二次函数的图象上，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列变形中正确的是( ) A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，有最大值 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线 7. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 8. 某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数当自变量在范围内有最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则______． 12. 抛物线的顶点坐标是__________． 13. 若实数，满足，，且，则的值为__________． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（）关于滑行的时间（）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________才能停下来． 15. 如图，函数的图象过点和．请思考下列判断： ①；②；③； ④； ⑤若，点，，在抛物线上，且满足，则．其中正确的是__________．（填序号） 16. 如图1，在矩形中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 按要求解方程： （1）（公式法） （2） 18. （列方程解应用题）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，若主干、支干和小分支总数共73．求主干长出多少个支干． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 20. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： … … … … （1）此二次函数图象的顶点坐标为__________． （2）表格中的值为__________； （3）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （4）结合图象回答：当时，的取值范围是__________． 21. 如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个问题的画线不得超过四条） （1）在图1中，先画出的中点，再画出点关于的对称点； （2）在图2中，先找一个格点，画出，再在边上画一点，使． 22. 中秋节是我国的传统节日，吃月饼是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比莲蓉月饼的进价便宜元，某商家用元购进的莲蓉月饼和用元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售莲蓉月饼时，调查发现：售价为元/盒时每天可售盒，售价每提高元，每天少售盒，设莲蓉月饼每盒售价为元． （1）莲蓉月饼和豆沙月饼每盒的进价分别为__________元和__________元； （2）若商家每天要获得元的利润，莲蓉月饼每盒售价应定为多少元？ （3）若要求，求商家每天获得的最大利润为多少元？ 23. 矩形绕点逆时针旋转得到矩形（与，与对应） （1）如图1，经过点，若，，求； （2）如图2，连，相交于点，求证：； （3）如图3，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形的位置，的延长交于点，若点恰好为的中点，，，直接写出的长度为__________． 24. 如图1，抛物线与轴交于和两点与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接、，为轴上方抛物线上一点，若的面积为12，求点坐标； （3）如图2，直线交抛物线于、两点（、不与、重合），直线、分别交轴于点、点，若、两点的纵坐标分别为，，试探究，与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）数学课堂作业（二） 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为，常数项为． 2. 若点在二次函数的图象上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，代入求的值． 【详解】解：将点代入，得， 解得． 3. 用配方法解方程，下列变形中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将常数项移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，即可解答． 【详解】解：， 配方，得， 即． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】求出∆=3，据此判断． 【详解】解：∵∆=， ∴方程没有实数根， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式求根的情况，正确掌握利用判别式求方程的根的三种情况是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的规则：上加下减常数项，平移即可求出解析式． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，得新抛物线解析式为． 6. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，有最大值 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【详解】解：由得，图象开口向上，A错误， 对称轴为直线，D正确， ∵， ∴函数有最小值，当时，的最小值为，B错误， ∵开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故时随的增大而减小的说法错误，C错误． 7. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出、、的值，比较大小即可得出结果． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8. 某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从统计图中读取2月份和4月份的产量数据，根据平均增长率公式建立等量关系即可． 【详解】解：由折线统计图可知，2月份的产量为万件，4月份的产量为万件． ∵从2月份到4月份经过了2个月，且月平均增长率为， ∴3月份的产量为，4月份的产量为， ∴可列方程为：． 9. 同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向确定  的符号，结合对称轴位置确定  的符号，再根据直线的增减性判断  的符号、根据与  轴交点判断  的符号，看是否一致. 【详解】解： A、由抛物线开口向上可知 ，由直线从左下到右上可知  即 ，矛盾，故本选项错误； B、由抛物线开口向下可知 ，对称轴在  轴右侧可知 ，因  故 ，由直线从左下到右上可知  即 ，与  轴交于正半轴可知 ，一致，故本选项正确； C、由抛物线开口向上可知 ，对称轴在  轴右侧可知 ，因  故 ，由直线与  轴交于正半轴可知 ，矛盾，故本选项错误； D、由抛物线开口向下可知 ，由直线从左上到右下可知  即 ，矛盾，故本选项错误. 10. 二次函数当自变量在范围内有最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，结合开口方向，按对称轴与区间的位置关系分类讨论最小值的表达式，再求解的最大值． 【详解】解：将二次函数配方得， ∴图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在范围内，随的增大而增大， ∴当时，， ∵， ∴， 当时， ∴当时，， ∵， ∴当时，取得最大值； 当时，在范围内，随的增大而减小， ∴当时，， ∵， ∴； 综上，的最大值为． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．把代入，解方程即可． 【详解】解：把代入 得：， 解得，， 故答案为：1． 12. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】对于抛物线的顶点式，其顶点坐标为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 13. 若实数，满足，，且，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可知，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到和的值，代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵实数，满足，，且， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系可得：，， ∴． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（）关于滑行的时间（）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意得出：当无人机停下来时，飞机滑行的距离达到最大值是解题的关键；将二次函数的解析式化成顶点式即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最大值，即无人机滑行才能停下来， 故答案为：． 15. 如图，函数的图象过点和．请思考下列判断： ①；②；③； ④； ⑤若，点，，在抛物线上，且满足，则．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】对于①，由二次函数的开口方向与对称轴位置确定、的符号；对于②，观察时，函数图象的位置即可；对于③，将点和代入解析式，化简可得；对于④，将③的结论代入可得，原式；对于⑤，先计算出抛物线的对称轴，再结合函数的图象与性质将比较函数值大小转化为到对称轴的距离问题，解不等式得出的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图可知，当时，抛物线在轴下方， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象过点， ∴，即， 又∵二次函数的图象过点， ∴， 将代入，得， 整理，得， 由图可知，， ∴， ∴，故③错误； ， ∵， ，， ∴， ∵二次函数的图象交轴于正半轴， ∴，即， ∴，即，故④正确； 对于⑤：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的图象开口向下， ∴点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵， ∴， 不等式两边平方，得， 解得，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． 16. 如图1，在矩形中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象终点可知运动总时间为，即；由图象最高点可知最大面积为，此时点到达点，点在上，可得；联立解得；当时，点在上，点在上，求出的值；当时，点在上，点在上，利用面积割补法列方程求解． 【详解】解：由图2可知，当时，，即两点相遇停止运动， ， 由图2可知，的最大值为，此时点运动到点，点运动到边上， ，即， ， ∴联立， 解得， ∴当时，点在上，点在上， 此时，； 当时，点在上，点在上， 此时， ； 当时，点在上，点在上， 此时，，， ； ∵图象经过点， ∴结合图2函数图象可知，当时，，当时，，且， ∴， 整理得， ， 解得， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 按要求解方程： （1）（公式法） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：方程  中，，， ∴ ∴ 即， 【小问2详解】 解： 方程  因式分解得   ∴或 解得， 18. （列方程解应用题）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，若主干、支干和小分支总数共73．求主干长出多少个支干． 【答案】主干长出8个支干 【解析】 【分析】设主干长出x支干，由题意得：，然后进行求解即可． 【详解】解：设主干长出x支干，由题意得： ， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：主干长出8个支干． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式； （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）先根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，，然后利用确定的值． 【小问1详解】 解：该方程有两个实数根， ， 解得． 即的取值范围是； 【小问2详解】 解：该方程的两个实数根，， ，， ， 化简得， 解得，， ， 的值为5． 20. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： … … … … （1）此二次函数图象的顶点坐标为__________． （2）表格中的值为__________； （3）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （4）结合图象回答：当时，的取值范围是__________． 【答案】（1） （2）5 （3）画出这个二次函数的图象，如图： （4） 【解析】 【分析】（1）由表格得：当和时，，函数值均相等，可得该函数图象的对称轴为直线，即可求解； （2）根据抛物线的对称性解答即可； （3）利用描点法画出函数图象，即可； （4）直接观察图象，即可解答． 【小问1详解】 解：由表格得：当和时，，函数值均相等， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，， ∴此二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵该函数图象的对称轴为直线， ∴和时的函数值相等，即． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：观察图象得：：当时，的取值范围是． 21. 如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个问题的画线不得超过四条） （1）在图1中，先画出的中点，再画出点关于的对称点； （2）在图2中，先找一个格点，画出，再在边上画一点，使． 【答案】（1）如图， （2）如图， 【解析】 【分析】（1）取格点E，F，连接，交于点O，由矩形的对角线互相平分可知点O即为的中点；取格点K，M，N，G，H，连接，的交点即为点关于的对称点； （2）取格点E，连接，取格点N，连接交于点F，证明，得到，再用勾股定理与面积，求出，，，得到，则，得到是等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 解：图略， 理由：∵四边形是矩形， ∴点O即为的中点； 由方格纸的特点可知，点B，A，K共线，且． ∵， ∴， ∴，即， ∴与关于对称， ∴点关于的对称点是的中点． ∵四边形是矩形， ∴点D即为的中点； 【小问2详解】 解：取格点E，连接，取格点N，连接交于点F，图略， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． 如图，取格点M，连接交于点K， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴，即， ∵ ， 又∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形，． 22. 中秋节是我国的传统节日，吃月饼是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比莲蓉月饼的进价便宜元，某商家用元购进的莲蓉月饼和用元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售莲蓉月饼时，调查发现：售价为元/盒时每天可售盒，售价每提高元，每天少售盒，设莲蓉月饼每盒售价为元． （1）莲蓉月饼和豆沙月饼每盒的进价分别为__________元和__________元； （2）若商家每天要获得元的利润，莲蓉月饼每盒售价应定为多少元？ （3）若要求，求商家每天获得的最大利润为多少元？ 【答案】（1）， （2）元或元 （3）元 【解析】 【分析】（1）设莲蓉进价为元，则豆沙进价为元，由两种月饼“花费不同但盒数相同”列分式方程求解； （2）先由“售价每提高元每天少售盒”写出日销量关于的表达式，再按“单盒利润×日销量=日利润”列方程求； （3）日利润是关于的二次函数，利用对称轴与区间的相对位置判断单调性，在离对称轴最近的端点取最大值． 【小问1详解】 解：设莲蓉月饼每盒进价为元，则豆沙月饼每盒进价为元． 用元购进的莲蓉月饼与用元购进的豆沙月饼盒数相同， ． 解得． 检验：时，且符合题意． 元 莲蓉月饼每盒进价为元，豆沙月饼每盒进价为元． 【小问2详解】 解：由题知，莲蓉月饼售价为元/盒时，每天可售盒，单盒利润为元． 商家每天要获得元的利润， ． 展开并整理得， 即，两边同除以得． ， 解得，即，． 检验：当时，日销量；当时，日销量，均符合题意． 莲蓉月饼每盒售价应定为元或元． 【小问3详解】 解：设每天获得的利润为元，则 ． 这是关于的二次函数，二次项系数，图象开口向下，对称轴为． ，该区间在对称轴的右侧， 在此区间内随的增大而减小， 当时，取得最大值， ． 商家每天获得的最大利润为元． 23. 矩形绕点逆时针旋转得到矩形（与，与对应） （1）如图1，经过点，若，，求； （2）如图2，连，相交于点，求证：； （3）如图3，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形的位置，的延长交于点，若点恰好为的中点，，，直接写出的长度为__________． 【答案】（1） （2）证明：如图，过点作交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 由旋转可得，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）6 【解析】 【分析】（1）由矩形可得，，，再由旋转可得，，，，，在中，可得，则，再在中，即可求解； （2）过点作交于点，由矩形可得，再由旋转可得，，，证明，即可证明结论； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，连接，证明，可得，再证明，可得，可得，则，在中，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由旋转可得，，，，，， 在中，， ∴， 在中，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，连接，     由旋转的性质可得，，，， ∴，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图1，抛物线与轴交于和两点与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接、，为轴上方抛物线上一点，若的面积为12，求点坐标； （3）如图2，直线交抛物线于、两点（、不与、重合），直线、分别交轴于点、点，若、两点的纵坐标分别为，，试探究，与之间的数量关系． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把，代入，即可求解； （2）设，由为轴上方抛物线上一点，可得或，则分，两种情况，即可求解； （3）设，，先求得直线、的解析式，可得，，则，再由直线交抛物线于、两点（、不与、重合），可得，为一元二次方程的两个实数根，再利用根与系数的关系，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， 设， ∵为轴上方抛物线上一点， ∴或， 当时，如图，过点作轴于点， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设与轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， ∵的面积为12， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当时，如图， 同理可得，，，， ∴ ， ∵的面积为12， ∴， 解得，， ∵， ∴； ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵、两点在抛物线上， ∴设，， 设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵交轴于点， 当时，， ∴，即， 同理，即， ∴， ∵直线交抛物线于、两点（、不与、重合）， ∴，为一元二次方程的两个实数根， 整理得， ∴，， ∴ ， ∴，与之间的数量关系为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $