2026-2027学年苏科版九年级上学期期中压轴题专项练习60题

苏科版九年级（上）期中压轴题专项练习 60 题 苏科版九年级（上）期中压轴题 一元二次方程 · 二次函数 · 圆 · 作图 · 最值 · 探究 60 道专项练习　含答案与详细解析 适用年级：九年级上学期　｜　题量：60 题（7 大专题）　｜　建议用时：150 分钟　｜　满分：120 分 目　　录 专题一　一元二次方程 　第 1—9 题（9 题） 1.1　根的判别式与根的存在性 　第 1—3 题 1.2　根的意义与根与系数的关系 　第 4—7 题 1.3　一元二次方程的实际应用 　第 8—9 题 专题二　二次函数的图象与性质 　第 10—15 题（6 题） 2.1　图象与系数、区间上的最值 　第 10—12 题 2.2　二次函数与方程、不等式的联系 　第 13—14 题 2.3　二次函数的实际应用 　第 15—15 题 专题三　圆的基本性质 　第 16—30 题（15 题） 3.1　垂径定理与弧、弦的关系 　第 16—18 题 3.2　圆心角、圆周角及其推论 　第 19—24 题 3.3　圆中的折叠问题 　第 25—29 题 3.4　正多边形与圆中的面积 　第 30—30 题 专题四　直线与圆的位置关系 　第 31—35 题（5 题） 4.1　切线的判定与性质 　第 31—34 题 4.2　弦切角 　第 35—35 题 专题五　圆的有关计算与最值 　第 36—44 题（9 题） 5.1　弧长、扇形与圆锥 　第 36—38 题 5.2　圆中的最值问题 　第 39—43 题 5.3　圆与实际的测量问题 　第 44—44 题 专题六　尺规作图 　第 45—54 题（10 题） 6.1　作等弦（弦相等） 　第 45—47 题 6.2　作圆心、切线与垂直弦 　第 48—52 题 6.3　翻折、对称与定长弦作图 　第 53—54 题 专题七　新定义与综合探究 　第 55—60 题（6 题） 7.1　新定义阅读理解 　第 55—57 题 7.2　存在性与多结论判断 　第 58—59 题 7.3　证明与探究 　第 60—60 题 第一部分　试　题 专题一　一元二次方程　（9 题） 1.1　根的判别式与根的存在性 1．【2025·南京建邺·T6】（2 分）对于一元二次方程 （，， 为常数，且 ），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．【2024·南京建邺·T6】（2 分）已知 ，，， 为互不相等的实数，且 ，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．【2024·南京建邺·T15】（2 分）若关于 的一元二次方程 有实数根 ，，且 ，则 的取值范围是　　　　． 1.2　根的意义与根与系数的关系 4．【2025·南京建邺·T15】（2 分）已知非零常数 ，， 满足等式 ，，则关于 的一元二次方程 的根是　　　　． 5．【2025·南京玄武·T15】（2 分）若 ， 是方程 （， 为常数）的两个实数根．若 ，则 的值为　　　　． 6．【2024·南京鼓楼·T26】（8 分）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 【学习再现】设一元二次方程 的两个根分别为 和 ，那么 ，比较系数得 ，． 【类比推广】(1) 设 的三个根分别为 ，，，求 的值． 【问题解决】(2) 若 的三个根分别为 ，，，则 的值是　　　　． 【拓展提升】(3) 已知实数 ，， 满足 ，且 ，求正数 的最小值． 7．【2024·南京联合体·T15】（2 分）已知 是关于 的方程 （，， 是有理数，）的一个根，则该方程的另一个根是　　　　． 1.3　一元二次方程的实际应用 8．【2025·南京秦淮·T25】（8 分）数学课上，老师布置了一个实践活动——将一个长为 ，宽为 的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子． (1) 如图(1)，小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形，将其折成一个底面积为 的无盖长方体盒子，求这个盒子的体积． (2) 如图(2)①，小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形，将其折成一个底面积为 的有盖的长方体盒子（如图(2)②）．设裁去的矩形的宽为 ，根据题意可得方程：　　　　． 9．【2024·南京建邺·T25】（8 分）书画装裱是指为书画配上衬纸和卷轴，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后上下边衬等宽，左右边衬等宽，且左边衬宽度是上边衬宽度的 倍，若装裱前的面积是装裱后面积的 ，求左边衬的宽度． 专题二　二次函数的图象与性质　（6 题） 2.1　图象与系数、区间上的最值 10．【2025·南京鼓楼·T6】（2 分）若二次函数 的图象经过点 ，，，则下列选项中，对应的 的值最大的是（　　） A．， B．， C．， D．， 11．【2024·南京鼓楼·T6】（2 分）已知二次函数 ，当 时， 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．【2024·南京鼓楼·T25】（8 分）已知二次函数 （ 是常数），且 ． (1) 当 时，求函数的最大值； (2) 若函数的最大值为 ，求 的值． 2.2　二次函数与方程、不等式的联系 13．【2025·南京鼓楼·T16】（2 分）已知 ， 为常数（），若关于 的不等式 的解集是 ，则不等式 的解集为　　　　． 14．【2024·南京秦淮·T16】（2 分）已知代数式 （， 是常数）中， 与该代数式的部分对应值如下表： 根据表中数据，可知关于 的方程 的一个根约为　　　　，另一个根约为　　　　．（都精确到 ） 2.3　二次函数的实际应用 15．【2025·南京鼓楼·T26】（10 分）图中是抛物线形拱桥．某日，水文站观测到河水匀速上涨，记录两次数据如下： 时水面宽 ； 时水面宽 ，相比 水位上涨 ． (1) 建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的函数表达式． (2) 当日时刻多少时，水面将经过拱顶？ (3) 设自当日 开始至水面经过拱顶，当水位上涨 时，水面宽为 ．①　　　　 的二次函数（填“是”或“不是”）；②画出 随 变化而变化的大致图象，标出必要的数据． 专题三　圆的基本性质　（15 题） 3.1　垂径定理与弧、弦的关系 16．【2025·南京联合体·T15】（2 分）如图， 是半圆的直径，， 是半圆上两点， 的度数为 ，则 　　　　． 17．【2025·南京联合体·T16】（2 分）如图， 是 的外接圆， 是 的中点， 是弦 上一点，连接 ，．若 的半径为 ，，，则 的长为　　　　． 18．【2025·南京联合体·T26】（9 分）如图， 是 的弦，点 ， 在 上，，，垂足分别为 ，，． (1) 如图(1)，若 是 的直径，求证：． (2) 如图(2)，若 不是 的直径．①求证：；②若 ，，，则 的半径为　　　　． 3.2　圆心角、圆周角及其推论 19．【2025·南京鼓楼·T15】（2 分）如图，已知 内接于 ，，作 的垂直平分线交 于点 ，连接 ．若 ，则 　　　　． 20．【2025·南京联合体·T6】（2 分）若 ，则 的值可能是（　　） A． B． C． D． 21．【2024·南京建邺·T16】（2 分）如图， 是 的直径，点 在 上，，垂足为 ， 的平分线交 于点 ，交 于点 ．若 的直径为 ，，则 的长为　　　　． 22．【2024·南京建邺·T27】（10 分）如图①，在 中，劣弧 的度数为 ，点 是优弧 上的动点，且不与点 ， 重合，弦 的垂直平分线分别交射线 、弦 于点 ，． (1) 求证： 是等边三角形； (2) 能否为等腰三角形？如果能，求此时 的度数；如果不能，请说明理由； (3) 若 的半径为 ，则 面积的最大值是　　　　． 23．【2024·南京联合体·T6】（2 分）如图，在 的内接四边形 中，若 的半径为 ，，，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 24．【2024·南京玄武·T6】（2 分）如图， 是半圆 的直径，弦 ，点 在 上（不与点 ， 重合），点 在 上，连接 ，，，且 ．若 ，，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3.3　圆中的折叠问题 25．【2025·南京建邺·T16】（2 分）如图，弓形纸片所在的 半径为 ，， 为弦．将纸片沿 折叠，若折叠后 与 相切，则 的取值范围是　　　　． 26．【2025·南京秦淮·T6】（2 分）如图，在 中，将 沿着弦 所在直线折叠，交弦 于点 ，连接 ．若 ，，，则 的长度是（　　） A． B． C． D． 27．【2024·南京鼓楼·T16】（2 分）如图， 的半径为 ，，若将 沿某条弦所在的直线翻折，翻折后的弧恰好经过点 ，则这条弦的长度 的范围是　　　　． 28．【2024·南京玄武·T15】（2 分）如图，扇形纸片 所在圆的圆心角 ，半径为 ．将扇形纸片折叠，使点 落在点 处，折痕与 ， 分别交于点 ，．若 与半径 相切于点 ，且 是 的中点，则 的长为　　　　． 29．【2024·南京鼓楼·T15】（2 分）如图，在以 为直径的半圆中，，，则弦 ， 与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于　　　　． 3.4　正多边形与圆中的面积 30．【2024·南京秦淮·T6】（2 分）如图，在正八边形 中，连接 ，，，， 与 交于点 ．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 专题四　直线与圆的位置关系　（5 题） 4.1　切线的判定与性质 31．【2025·南京秦淮·T15】（2 分）如图， 与 相切， 为切点， 的延长线交 于点 ，连接 ．若 （），则 　　　　（用含 的代数式表示）． 32．【2025·南京玄武·T26】（8 分）如图， 是 的外接圆，．过点 作 ，垂足为 ，与 交于点 ，连接 并延长，与 交于点 ． (1) 求证：； (2) 连接 ，若 ，求证：． 33．【2024·南京联合体·T26】（8 分）如图，在四边形 中，， 的外接圆 交 于点 ． (1) 若 ，求证： 是 的切线； (2) 若 是 的中点，且 ，，求 的长． 34．【2024·南京玄武·T26】（10 分）在四边形 中，，， 经过点 ，，． (1) 如图①，求证： 是 的切线． (2) 如图②，连接 ，与 ， 分别交于点 ，，连接 ．①求证：；②若 ，，则 的长为　　　　． 4.2　弦切角 35．【2024·南京联合体·T27】（10 分）【概念理解】定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫作弦切角．例如，如图①， 与 相切于点 ， 是 的弦，则 和 都是 的弦切角． 【性质探究】(1) 性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．已知：如图②， 与 相切于点 ， 是 的外接圆．求证：． 【性质应用】(2) 如图③， 与 相切于点 ， 是 的弦， 是 上的动点．若 是等腰三角形，，则 的度数为　　　　（用含 的代数式表示）． (3) 如图④， 是 的弦， 是 上的动点， 的半径为 ，．若四边形 有一条边所在的直线与 相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出 的长． 专题五　圆的有关计算与最值　（9 题） 5.1　弧长、扇形与圆锥 36．【2025·南京玄武·T6】（2 分）在 中，，当 的内切圆的半径确定时，随着 的度数增大， 的外接圆的半径（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 37．【2025·南京建邺·T26】（9 分）(1) 某冰激凌纸筒展开后得到半径为 ，弧长为 的扇形，则该纸筒的侧面积为　　　　； (2) 如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环 （可以看作扇形纸片 剪去扇形纸片 后剩余的部分），其中 的长为 ， 的长为 ， 的长为 ．求扇环 的面积； (3) 如图②，梯形 面积为 ，扇环 面积为 ，且 等于 的长， 等于 的长，，则 　　　　（填“”“”或“”号）． 38．【2025·南京玄武·T27】（11 分）如图①，圆锥的母线长为 ，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为 ．现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1) 该圆锥的底面圆的半径为　　　　； (2) 已知矩形纸片的边长分别为 ，．(ⅰ) 按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片 ，且扇形 与矩形纸片的两边相切于点 ，，点 ， 在矩形纸片的一边上．①当 时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由；②当矩形纸片的边长 最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的 的值．(ⅱ) 若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出 的取值范围． 5.2　圆中的最值问题 39．【2025·南京建邺·T27】（10 分）某型号路由器的信号覆盖范围是半径为 的圆形区域．现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域． (1) 如图①，在点 处布置一台路由器，则正方形场地边长的最大值是　　　　； (2) 如图②，在点 ， 处各布置一台路由器，且 ．请画出最大正方形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长； (3) 若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是　　　　． 40．【2025·南京秦淮·T16】（2 分）在 中，，， 是中线， 是 的中点，则 长度的最小值是　　　　． 41．【2025·南京玄武·T16】（2 分）如图，， 为射线 上一点，以 为圆心，作半径为 的 ．， 为 上的点，且 ．若射线 上存在点 ，使得 ，且点 在 外，则线段 长度的最大值为　　　　． 42．【2024·南京联合体·T16】（2 分）如图， 的半径是 ， 是 的弦，点 在 外，连接 ，，．若 ，，则 长的最大值为　　　　． 43．【2024·南京玄武·T16】（2 分）在 中，，， 是 的中点，则中线 长度的最大值为　　　　． 5.3　圆与实际的测量问题 44．【2024·南京秦淮·T27】（12 分）图(1) 是一把“U形”尺，图(2) 是该尺内侧的示意图，已知边 ，边 ，，． 【算一算】将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径 ． (1) 如图(3)，点 ，，， 恰好都在圆上，则 　　　　． (2) 如图(4)，该尺的 边与圆相切于点 ，且点 在该尺上的读数为 ，点 在圆上，则 　　　　． (3) 如图(5)，该尺的 边与圆有两个公共点 ，，它们在该尺上的读数分别为 ，， 边与圆也有两个公共点，其中一个公共点 在该尺上的读数为 ，求 的值． 【想一想】(4) 若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径 吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的 的最小值和最大值． 专题六　尺规作图　（10 题） 6.1　作等弦（弦相等） 45．【2025·南京建邺·T24】（7 分）已知 是 的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1) 如图①，点 在 上，作弦 ，使 ； (2) 如图②，点 在 内，过点 作弦 ，使 ． 46．【2025·南京秦淮·T26】（7 分）已知 是 的一条弦， 是 内一点，在下列情形时，分别经过点 作一条弦 ，使 ． (1) 如图(1)，点 在 上； (2) 如图(2)，点 不在 上．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 47．【2024·南京联合体·T24】（7 分）已知 是 的弦． (1) 如图①，只用无刻度的直尺作弦 ，使 ； (2) 如图②，用无刻度的直尺和圆规作弦 ，使 ，且 与 的夹角为 ．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 6.2　作圆心、切线与垂直弦 48．【2025·南京联合体·T24】（6 分）如图，用直尺和圆规作出圆的圆心．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 49．【2025·南京玄武·T25】（6 分）已知 ，按下列要求完成尺规作图．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） (1) 在图①中，求作一点 ，使经过点 的 的两条切线互相垂直； (2) 点 的位置如图②所示．求作弦 ，，使 ，且 ，垂足为 ． 50．【2024·南京建邺·T26】（8 分）如图， 为 边 上一点．用直尺和圆规分别作出满足下列条件的 ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1) 在图①中， 与 的边 相切于点 ，且与边 也相切； (2) 在图②中， 与 的边 相切于点 ，与边 相交于点 ，，且 ． 51．【2024·南京秦淮·T23】（8 分）如图，， 是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点 ，且 ． (1) 用直尺和圆规作出该圆的圆心 ；（保留作图痕迹，不写作法） (2) 求证 ． 52．【2024·南京玄武·T25】（6 分）已知点 在 上，仅用圆规按下列要求画图： (1) 在图①中画出点 ，使 是 的直径； (2) 在图②中画出点 ，使 是 的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 6.3　翻折、对称与定长弦作图 53．【2025·南京鼓楼·T22】（7 分）尺规作图：如图，已知线段 ， 是直线 外一点，作 与直线 相交于点 ，，且 ． 54．【2024·南京鼓楼·T27】（8 分）尺规作图：已知线段 和 ，将线段 沿某条直线翻折后，、 两点恰好落在 上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段 ．（①保留作图痕迹；②写出必要的文字说明） (1) 如图 1， 的长度等于 的直径； (2) 如图 2， 的长度小于 的直径． 专题七　新定义与综合探究　（6 题） 7.1　新定义阅读理解 55．【2025·南京鼓楼·T27】（9 分）在平面直角坐标系中，对于点 和图形 ，给出如下的定义：若图形 上存在点 和点 ，使得 ，则称点 是图形 的勾股点． 如图(1)，已知点 ，，连接 ． (1) ①在点 ，， 中，线段 的勾股点是　　　　；②如图(2)，以线段 为直径作 ，若点 是 的勾股点，求所有点 组成的区域的面积． (2) 如图(3)，将点 ， 沿 轴正方向向上平移 个单位长度，得到点 ，，顺次连接点 ，，，，得到矩形 ．若点 是矩形 的勾股点，请在图中用阴影描出所有点 组成的区域，无须说明理由． 56．【2025·南京秦淮·T27】（14 分）一般地，经过三角形的两个顶点且与该三角形的一条边相切的圆叫作这个三角形的“准接圆”．特别地，当“准接圆”还与该三角形的另一条边相切时，该圆叫作该三角形的“强准接圆”． 【概念理解】(1) 以下四个图中， 是 的准接圆的是　　　　． 【深入思考】(2) 以下命题：①任意三角形都存在准接圆；②三角形准接圆的圆心一定在该三角形的外部；③三角形准接圆的直径大于或等于以其经过的两个顶点为端点的边．其中，是真命题的是　　　　．（填序号） (3) 如果一个三角形存在强准接圆，那么它应满足什么条件？说明理由． 【计算求解】(4) 已知在 中，，，，．①若 存在强准接圆，则强准接圆的半径长 随着 的变化而变化， 关于 的函数表达式是　　　　；②当 ， 时，直接写出 的准接圆的半径长． 57．【2024·南京玄武·T27】（10 分）“等弦”的探究． 【尝试发现】(1) 如图①，在 中，， 是弦，且 ．由此，你能发现什么？从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． 【问题解决】(2) 如图②，已知 ， 与 各边都相交且所形成的弦的长度均相等．①在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的 ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）②若 ，，， 的半径为 ，则 的取值范围是　　　　． 【应用设计】(3) 如图③，某城市有一个圆形人工湖 ，已知直线型道路 穿过人工湖，其中弦 为湖中桥．现规划利用 段修建四边形观湖路 ，新修建的三条道路 ，， 均穿过人工湖 ，被 所截得的弦为湖中桥（三条弦互不相交），且湖中桥长度均与 相等．在图③中，用直尺和圆规作出周长最短的观湖路 ．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 7.2　存在性与多结论判断 58．【2024·南京秦淮·T15】（2 分）如图，矩形 （）绕点 顺时针旋转 得到矩形 ， 是线段 上一点，若 为直角三角形，则满足条件的点 的个数是　　　　． 59．【2024·南京秦淮·T26】（8 分）一元二次方程的根有 种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索“”型的方程（， 都是只含 的整式）的根的情况． (1) 当 ， 时，该类型方程的根的情况是　　　　． A．有三个实数根，它们各不相等 B．有三个实数根，有且只有两个根相等 C．有三个实数根，它们都相等 D．没有实数根 (2) 下列“”型的方程：①；②；③；④；⑤．至少有两个相等的实数根的方程是　　　　（填序号）． (3) 当 ，（ 是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的 的取值范围． 7.3　证明与探究 60．【2025·南京联合体·T27】（9 分）(1) 如图(1)， 是 的外接圆，点 在 外．求证：． (2) 如图(2)，， 是 的边 上的两点，点 在边 上．若 ，利用直尺和圆规求作满足条件的所有的点 ．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） (3) 如图(3)，， 是 的边 上的两点，且 ，，．点 在边 上．若 ，直接写出 的长的取值范围． 第二部分　参考答案与解析 1．【答案】B（①③）． 【解析】① 由 得 ，故 ，方程一定有两个不相等的实数根，①正确． ② 由 只能得 与 同号，例如 时 ，但 ，方程无实根，②错误． ③ 由 得 ，则 ，方程一定有两个不相等的实数根，③正确．故选 B． 2．【答案】A（）． 【解析】由 得 ．因为 ，所以 ， 恰是该方程的两个根， 由根与系数的关系得 ，故 ． 3．【答案】． 【解析】因为 ，原方程可化为 ，所以 ，． 由 得 且 ，即 ． 4．【答案】，． 【解析】设 ，则方程化为 ．由 知 是该方程的一个根，此时 ． 又 （由 得 ），故 ，． 5．【答案】． 【解析】由 得 ，所以 ，，即 ． 6．【答案】(1) ；(2) ；(3) ． 【解析】(1) ，展开后比较一次项系数得 ． (2) 比较系数得 ，，故 ． (3) 由 ，，且 ， 为实数，得 ，即 ． 因为 ，所以 ，；当 时 ，符合题意，故正数 的最小值为 ． 7．【答案】． 【解析】有理系数一元二次方程的无理根成对出现， 的共轭无理根为 ： 两根之和 ，两根之积 ，都是有理数，符合“两根之和、之积均为有理数”的要求，故另一根是 ． 8．【答案】(1) ；(2) （即 ），解得 ． 【解析】(1) 设裁去的正方形边长为 ，则底面为 ，由 得 ，解得 （ 不合）， 所以盒子的高为 ，体积 ． (2) 设有盖盒的高为 （即裁去矩形的宽），裁去矩形的长为 ．折叠时两端各余出宽 的纸片，对折后恰拼成盒盖，而盒盖要盖住底面，故 ，解得 ． 于是底面长为 ，宽为 ，由底面积 得 ，即 ，整理得 ，（ 不合）． 9．【答案】． 【解析】设上、下边衬宽为 ，则左、右边衬宽为 ，装裱后尺寸为 ． 由 得 ，整理得 ，解得 （负值舍去）． 所以左边衬的宽度为 ． 10．【答案】B． 【解析】由图象过 ， 可设 ，把 代入得 ，即 ． 逐项计算：A 中 ；B 中 ；C 中 ；D 中 ．故 最大的是 B． 11．【答案】C． 【解析】，图象开口向下，对称轴 ，顶点为 ． 在 上， 可取到，故 能取到最大值 ；当 时 ，当 时 ，两个端点都不取，所以 ． 12．【答案】(1) ；(2) 或 ． 【解析】(1) 当 时 ，顶点 在 内，故最大值为 ． (2) 开口向下，最大值在离 最近的 处取得．若 ，最大值为 ，不合题意； 当 时， 离 最近，，得 （ 舍去）；当 时， 离 最近，，得 （ 舍去）．故 或 ． 13．【答案】． 【解析】不等式 的解集是 ，说明 ， 是方程 的两根，且 ． 把 代入得 ，即 ． 于是 ，约去 得 ，即 ，，故解集为 ． 14．【答案】约 ，约 ． 【解析】，图象的对称轴为 ． 由表知 时值为 ， 时值为 ，零点在两者之间：，精确到 为 ． 由对称性，另一根为 ，精确到 为 ． 15．【答案】(1) ；(2) 当日 ；(3) ①不是；②图象为 上的曲线，过点 与 ，且随 增大越来越陡． 【解析】(1) 以拱顶为原点、过拱顶的竖直线为 轴（向上为正方向）、水平方向为 轴建立坐标系，设 ． 时水面宽 ，故 ； 时宽 且水位上涨 ，故 ．两式相减得 ，，即 ，此时 ． (2) 拱顶处 ，水面还需上涨 ；上涨速度为 ，需 ，故在当日 水面经过拱顶． (3) ①水位上涨 时水面高 ，由 得 ，即 ， 是 的一次函数， 不是 的二次函数． ②图象是 上的一段曲线： 时 ， 时 ，随 增大 减小且越来越陡（下凸）． 16．【答案】． 【解析】 是直径，故 ，． 即 ，它是 所对的圆周角，所以 ． 17．【答案】． 【解析】因为 是 的中点，所以 ，；又 ，故 ，即点 是 的外心． 于是 （同弧 所对的圆周角是圆心角的一半，此处 为圆心），即 ． 所以 ． 18．【答案】(1) 证明见解析；(2) ①证明见解析，②． 【解析】(1) 过 作 于 ，则 ．由 得 ；又 ，，故 ． 于是 ，所以 ． (2) ①同法作 于 ，则 ，；由 得 ，故 ，． ②以 为原点、 所在直线为 轴建系：，，，，，． 圆心 在 的垂直平分线 上，设 ，由 得 ，解得 ，故 ． 19．【答案】． 【解析】设 ．由 得 ． 的垂直平分线经过圆心，与 的交点 是 的中点，故 ． 又 ，两条平行弦所夹的弧相等，．于是 ，解得 ． 20．【答案】D． 【解析】由 得 ，所以 ． 即 的值不小于 ，四个选项中只有 可能（此时 ，）． 21．【答案】． 【解析】 为直径，故 ，在 中 ，所以 ， ，故 ． 设 、，由 在圆上得 ，故 ． 由 平分 、 在 上且 ，用角平分线定理 得 ，解得 ，从而 ． 于是 ，，所以 ． 22．【答案】(1) 证明见解析；(2) 能为等腰三角形， 或 ；(3) ． 【解析】(1) 点 在 的垂直平分线上，故 ， 为等腰三角形；又 ，即 ，所以 是等边三角形． (2) 设 （），则 ，可算得 ，且 ． ① ：，，此时 ； ② ：，即 ，得 ，此时 ； ③ ： 得 ，此时 与 重合，不能构成三角形．故 或 ． (3) ，当 时取最大值 ． 23．【答案】D． 【解析】 得 ，同理 得 ， 故 ． ，其中 ，， 所以 ． 24．【答案】D（）． 【解析】设半圆半径 ，取 为原点、 为 轴，则 ，，设 （），记 ． 由 、 得 ，．两点都在圆上，故 ，，两式相减得 ． 因为 ，、 纵坐标相同且都在圆上，所以 、 关于 轴对称，． 于是 ；又 ， 故 ，即 ，选 D． 25．【答案】． 【解析】，，故 到 的距离为 ，，弓形高为 ． 折叠后弧所在圆的圆心 是 关于 的对称点，半径仍为 ；它与 相切，故 到 的距离为 ． 以 为原点、 为直线 建系，设 的垂足为 ，则 ，切点为 ．切点落在线段 上需 ，即 ． ， 时 ， 时 ，故 ． 26．【答案】A（）． 【解析】沿 折叠后，弧所在圆是原圆关于 的对称图形，点 在对称圆上，故 关于 的对称点 在原圆上． 以 为原点、 为 轴建系： 是 关于直线 （与 成 ）的对称点，得 ； ，设 ，由 、、、 四点共圆可解得 ， 所以 ． 27．【答案】． 【解析】设弦所在直线到 的距离为 ，则 关于它的对称点 满足 ，翻折后的圆以 为圆心、半径仍为 ． 该圆过点 ，故 ；又 ，所以 ，即 ． 弦长 ，随 增大而减小，故 ． 28．【答案】． 【解析】以 为原点、 所在直线为 轴、 为 轴建系，则 ，，． 是折叠后弧的一部分，与 相切于 ，故其圆心 到 的距离为 ，得 （圆心在 右侧），半径仍为 ． 折痕 是 的垂直平分线，即过 且与 垂直的直线，与 （ 轴）交于 ． 所以 ． 29．【答案】． 【解析】 是 所对的圆周角，故 ；又 ． 阴影部分 =（弦 与 围成的弓形）−（弦 与 围成的弓形）： ，弓形面积 ；，弓形面积 ． 两者相减得 ，与半圆面积 的比值为 ． 30．【答案】D（②③④）． 【解析】③ 、 都隔 条边，都是直径，故交点 为圆心， 是 （）所对的圆心角，等于 ，正确． ④ 设半径 ，八边形面积 ，四边形 面积 ，比值为 ，正确． ② （即题中的 ），正确． ① 设边长为 ，则 ，；而 ，，①不成立．故选 D． 31．【答案】． 【解析】连接 ． 与 相切于 ，故 ，，且 ． 设 ，由 得 ，而 、、 共线，故 ． 在 中，； 又在 中 ，两式联立得 ． 32．【答案】(1) 证明见解析；(2) 证明见解析． 【解析】(1) 由 知 是 的垂直平分线，故 ；又 ， 在 上、、、 共线， 故 是 与 的夹角，；而 （同弧 ）， 所以 ，． (2) 设 ，，，，则 ，，． 由 得 ，解得 ，即 （ 时 与 重合，舍去）， 此时 ，．直线 与 的另一交点 ， 故 ． 33．【答案】(1) 证明见解析；(2) ． 【解析】(1) 由 知 垂直平分 ，故 ；又 ，所以 ， 是 的切线． (2) 是 的中点，故 ， 到 的距离为 ． 垂直平分 ，设半径为 ，则 到 的距离为 ，由 得 ． ，故 ，，， 所以 ． 34．【答案】(1) 证明见解析；(2) ①证明见解析，②． 【解析】(1) 设 ．由 得 ； 又 ，，，故 ，，． 在 中 ，，故 ， 于是 ，即 ， 是 的切线． (2) ①、、、 四点共圆，； 又 中 ，， 所以 ，即 ． ② 中 ，，故 ， ，故 ． 35．【答案】(1) 证明见解析；(2) 或 或 ；(3) 或 ． 【解析】(1) 作直径 ，连接 ，则 ，； 因为 （同弧 ），且 ，， 所以 ． (2) 由 (1) 得 ．若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ． (3) “一条对角线平分一组对角”说明四边形为筝形（关于该对角线对称），再结合“某一边所在直线与 相切”分类讨论（切点在 、、 之一），可得 或 ． 36．【答案】A． 【解析】设 ，（），则 ，面积 ，半周长 ，故内切圆半径 ； 外接圆半径 ． 当 确定时 只能在某一范围内取值，而在此范围内 随 增大而减小，故 随 增大而增大，选 A． 37．【答案】(1) ；(2) ；(3) ． 【解析】(1) 扇形面积 ． (2) 设扇形的圆心角为 （弧度），外半径为 、内半径为 ，则 ，，． 三式联立得 ，，，， 故 ． (3) 扇环面积 （ 即母线长）； 而梯形面积 ，其中高 ，故 ． 38．【答案】(1) ；(2) ①能；②（示意图略）；(3) ． 【解析】(1) 侧面展开图弧长 ，故底面圆半径 ． (2) 扇形的半径 ，圆心角 ，故 ，，且扇形为“挖去一个 角”的大扇形． ①当 时，把 、 放在长为 的边上（ 恰好放下），扇形与上、下两边相切， 到这两边的距离均为 ， 到 的距离为 ，弧的最右端到 、 所在边的距离为 ，右侧余料宽 ，能剪出直径 的圆． ②最短时圆恰与弧、矩形右边相切，此时 ． (3) 要同时剪出扇形与底面圆，需 ． 39．【答案】(1) ；(2) 边长 （示意图略）；(3) ． 【解析】(1) 场地中心与 重合时最大，半对角线 半径 ，故边长最大为 ． (2) 两台路由器对称地放在正方形的中位线上，，设边长为 ，则最远顶点到较近的路由器距离为 ： ，解得 ，． (3) 把三台分别放在下边中点与上边靠近两顶点的位置，由 等限制解得边长可达 ． 40．【答案】． 【解析】，，故 在以 为弦、半径 的圆弧上． 以 中点 为原点、 为 轴建系，； 的中点为 ，故 ，． 圆心 ，， 故 的最小值为 ． 41．【答案】． 【解析】，故 ；使 的点 在以 为弦、半径 的圆上，该圆的圆心到 的距离为 ， 故这样的 满足 ． 设 ，，，由 得 ，该关于 的不等式有解需 ，即 ，． 又 在 外，取等号时可满足，故 的最大值为 ． 42．【答案】． 【解析】，，故 是 的斜边， 在以 为直径的圆上，该圆圆心 为 中点，． 设 ，则 ，． 令 ，得 （ 时取等），故 的最大值为 ． 43．【答案】． 【解析】，，故 在以 为弦、半径 的圆弧上． 取 ，，圆心 ，设 ，则 为 中点， ， 括号内最大值为 ，故 的最大值为 ． 44．【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) 不一定；． 【解析】以 为原点、 为 轴建系：，，． (1) 、、、 构成矩形，其外接圆半径 ． (2) 切点 ，圆心在 上且与圆内切于 上方，设 ，由 得 ，解得 ． (3) 、，故圆心在 上，设 ； 在圆上， 由 得 ，，． (4) 不一定：若尺与圆只有一个公共点（相切）且读数已知，圆心在该点垂线上， 仍不能确定； 尺口内侧能容纳的圆最小半径为 （与两臂、底边都相切），按 (2) 的方式可算出的最大半径为 ，故 ． 45．【答案】作法见解析． 【解析】(1) 以 为圆心、 长为半径画弧，与 交于 （两解），连接 ，则 ． (2) ①作 于 ，得弦心距 ；②以 为圆心、 为半径作辅助圆；③过 作辅助圆的切线（ 在辅助圆外时作两条，任取一条； 在辅助圆上时作其切线），与 交于 、， 则 到 的距离等于 ，故 ． 46．【答案】作法见解析． 【解析】核心：弦 等价于 的弦心距等于 的弦心距 ． (1) ①作 于 ；②以 为圆心、 为半径作辅助圆；③过 作辅助圆的切线（ 时即作过 且垂直于 的直线，也就是 本身），与 交于 、，则 ． (2) 当 不在 上时，，过 可作辅助圆的两条切线，任取一条与 交于 、，同样有 ． 47．【答案】作法见解析． 【解析】(1) 只用无刻度直尺：①连接 并延长交 于 ；②连接 并延长交 于 ；③连接 ． 因为 与 、 与 分别关于 对称，四边形 是矩形？更直接地， 与 关于 中心对称，故 ． (2) ①作 于 ；②以 为顶点、作与 成 的直线 （尺规作角）；③在 上取点 使 ； ④过 作 的垂线，与 交于 、．由 到 的距离为 得 ，且 ， 与 成 ，故 与 成 ． 48．【答案】作法见解析． 【解析】①在圆上任取三点 、、；②分别作弦 、 的垂直平分线，两线交点即为圆心 ． 理由：弦的垂直平分线必过圆心，两条中垂线的交点就是唯一的圆心． 49．【答案】作法见解析． 【解析】(1) 若过 的两条切线互相垂直，则 与每条切线的夹角为 ，故 ． 作法：①作直径 ；②过 作 的垂线交 于 ；③以 为圆心、（）为半径作圆；④在该圆上任取一点 ，过 作 的两条切线，它们互相垂直． (2) 若 且 于 ，则两弦到 的距离相等， 平分两弦所成的角，即两弦与 各成 ． 作法：①连接 ；②作 的垂直平分线得中点 ，以 为圆心、 为半径作圆，与以 为圆心、 为半径的圆交于 ，则 且 ，从而 ； ③过 作直线 关于 的对称直线，两直线分别与 交于 、 和 、，即为所求． 50．【答案】作法见解析． 【解析】(1) 与 相切于 ，故 在过 且垂直于 的直线上；又与 相切，故 到 的距离等于 ，即 在 的平分线上． 作法：①作 的平分线；②过 作 的垂线，与平分线交于 ；③以 为圆心、 为半径作圆． (2) 设 ，． 与 相切于 ，故 在过 垂直于 的直线上，记 ； 由 知 ，故 到 的距离 ；又 到 的距离 ， 所以 ，． 作法：①过 作 的垂线 ；②过 作 的垂线交 于 （即 ，）；③取 的中点 ；④在 上（与 同侧）截取 ；⑤以 为圆心、 为半径作圆，交 于 、，即为所求． 51．【答案】(1) 作法见解析；(2) 证明见解析． 【解析】(1) 分别作弦 、 的垂直平分线，两线交点即为圆心 （作图痕迹保留）． (2) 连接 、．、、、 四点共圆，故 （圆内接四边形外角等于内对角）， 又 公共，所以 ，，即 ． 52．【答案】作法见解析． 【解析】(1) ①在 上任取两点 、；②以 为圆心、 为半径作圆，以 为圆心、 为半径作圆，两圆除 外的交点记为 （ 是 关于直线 的对称点）； ③再取两点 、，同法得 关于直线 的对称点 ；④分别以 、 为圆心、、 为半径画弧，两弧交点即圆心 ； ⑤以 为圆心、 为半径画弧交 于 ，则 为直径． (2) 由 (1) 作出圆心 及直径端点 ；再以 为圆心、 为半径画弧，以 为圆心、 为半径画弧，两弧交于 ， 此时 ？由作图 ，，，故 ， 所以 ， 是 的切线． 53．【答案】作法见解析． 【解析】①过 作 ，垂足为 ；②在 上截取 ；③连接 ，以 为圆心、 为半径作圆，交 于 、． 理由：，，故 ，． 54．【答案】作法见解析． 【解析】(1) 为直径时，翻折后 也是 的直径．①在 上任取一点 ；②作 的对径点 ； ③作 的垂直平分线，即为折痕．因 、 都是直径，四边形 的对角线互相平分，是平行四边形，故 ，这条中垂线同时也是 的中垂线， 以它为轴翻折，、，、 都在 上． (2) 小于直径时：①以 、 为圆心、（ 的半径）为半径画弧，交于 ；②作 的垂直平分线 （折痕）； ③作 、 关于 的对称点 、．理由：以 为轴翻折时 与以 为圆心、 为半径的圆互换，而 、 在该圆上，故 、 落在 上． 55．【答案】(1) ①；②；(2) 阴影为矩形 与以其四条边为直径向外所作的四个半圆的并集（作图略）． 【解析】(1) ① 是线段 的勾股点 在以 为直径的圆内或圆上（圆心 ，半径 ）． ，故 是勾股点；，，、 不是．填 ． ② 上任取两点 、， 需 在以 为直径的圆上；当 到 的距离 时，从 看 的视角不小于 ，可取到 ，故区域为以 为圆心、 为半径的圆面，面积 ． (2) 矩形内部任一点都可作为勾股点（过该点作一条弦即可得 ）；矩形外部，只要某条边对 的视角不小于 也可，即以各边为直径的圆面所覆盖的部分． 故阴影区域 矩形 与分别以 、、、 为直径向外所作的四个半圆的并集． 56．【答案】(1) C；(2) ①③；(3) 该三角形有两边相等（等腰三角形），理由见解析；(4) ①，② 或 或 （或 、、）． 【解析】(1) A 是外接圆（过三个顶点），B 是内切圆，D 中圆与三边均不相切，只有 C 中 过 、 两点且与 相切（切点为 ），符合“准接圆”定义．填 C． (2) ①过任意两顶点且与第三边相切的圆总能作出，故①真；②准接圆的圆心可以在三角形内部，②假；③准接圆过两顶点，该两点连线是它的弦，直径不小于弦，③真．填①③． (3) 设准接圆过 、 且与 相切于 ．若它还与 相切，则切点必为 ，由弦切角定理：，故 ； 反之，若 ，过 、 且与 相切于 的圆必与 相切于 ．所以存在强准接圆的条件是三角形为等腰三角形（两边相等）． (4) ①，过 、 且与 、 都相切的圆，其圆心在 的平分线与 中垂线的交点处，半径等于圆心到两直角边的距离 ， 由 （因 ，）． ②，，：过 、 与 相切于 时 ；过 、 与 相切于 时 ； 过 、 与 相切于 时 （同类还有 、、）． 57．【答案】(1) 证明见解析；(2) ①作法见解析，②；(3) 作法见解析． 【解析】(1) 取“等弦所对的弧相等、弦心距相等”：连接 、、、，由 得 ， 故 ，弦心距相等（答案不唯一，选任一结论证明即可）． (2) ①要使三条边被截得的弦相等，只需 到三边的距离相等，故 取内心（或旁心）； 作法：作 、 的平分线交于 ，以 为圆心、适当长（大于 到各边距离）为半径作圆即可． ②，，，面积 ，内切圆半径 ， 三条弦长相等且不超过最短边 ：，得 ， 又需 才有弦，故 ． (3) 弦长等于 直线到 的距离等于 到 的距离 直线与以 为圆心、该距离为半径的圆 相切． 作法：①以 为圆心、 到 的距离为半径作 ；②过 、 分别作 的切线（ 除外）得 、 的方向； ③再作与这两条切线相切、且与 相切的第三条切线得 ，此时 即为周长最短的观湖路． 58．【答案】． 【解析】设 关于 旋转 的像为 ，则 是定线段． 为直角三角形有三种情形： ①： 在以 为直径的圆上，该圆与线段 有 个交点； ②： 在过 且垂直于 的直线上，该直线与 交于 点； ③： 在过 且垂直于 的直线上，该直线与 无交点（由 可判定）． 综上，满足条件的点 共有 个． 59．【答案】(1) B；(2) ①②③⑤；(3) 见解析． 【解析】(1) ，根为 ，（二重），即三个实根中有且只有两个相等，选 B． (2) ①，根 （四重），有相等根；②，根 、 各有二重，有相等根； ③，根 （二重）、，有相等根；④ 四根互异； ⑤，根 （三重）、，有相等根．故填①②③⑤． (3) 两个方程的判别式都是 ． 当 时，，两个方程都无实根，原方程无实数根； 当 时，，，原方程有两个不相等的实根 ； 当 以外的 ：两方程各有两根，若两根有公共根则需 ，即 ，此时 ； 所以 时原方程有三个实根 （二重）、、； 且 时，原方程有四个互不相等的实根． 60．【答案】(1) 证明见解析；(2) 作法见解析；(3) ． 【解析】(1) 连接 交 于点 ，连接 ． 在 外，故 在线段 上， 是 的外角，；又 （同弧 ），所以 ． (2) 的点 在以 为弦、含 圆周角的圆弧上．作法：①作 的垂直平分线，在其上取点 使 ； ②以 为圆心、 为半径作圆，该圆与 的交点即为所求的点 （一般有两解）． (3) 以 为弦、含 圆周角的圆半径 ，圆心到 的距离为 ， 在射线 （与 成 ）上取点 ，，、 到 上坐标分别为 、， 由 在该圆内得 ，即 ， 解得 ，故 ． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $