江苏南京市2026-2027学年期中数学模拟练习卷二九年级上册苏科版

江苏省南京市九年级上2026-2027学年期中数学模拟练习卷二 考试范围：1-3章；考试时间：120分钟；命题人：xxx 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题） 1．下列函数中，当x＞0时，变量y随变量x的增大而减小的是（　　） A． B． C．（k≠0） D．y＝3x 2．若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤1 B．k≥1 C．k≥1且k≠0 D．k≤1且k≠0 3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　） A．36° B．60° C．65° D．72° 4．如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝75°，点C在上，连接OC，AD垂直平分OC交OB于点D，则的长度为（　　） A． B． C． D．π 5．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则⊙O的半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．在△ABC中，AB＝AC，当△ABC的内切圆的半径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的半径（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 评卷人 得 分 二．填空题（共10小题） 7．一元二次方程7x2＝2x的解为____________________ 8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC，则⊙O的半径是 _____ ． 9．在⊙O中，有两条弦AB和CD，若AB＝2CD，则_____ 2．（填“＞”“＜”或“＝”） 10．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 _____ 台． 11．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图，这枚古钱币的半径为_______ mm． 12．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为_______ ． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 ________ （结果保留π）． 14．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为 ____________________ ． 15．已知方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根x1，x2．而点A（x1，y1），B（x2，y2）为反比例函数的图象上两点，若x1＞x2＞0，则y1_____ y2（填“＞”或“＜”或“＝”）． 16．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧AB上所有的点都落在△ABC的边界及内部，则弧AB所对的圆心角∠AOB的取值范围是_________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共11小题） 17．用适当的方法解下列方程： （1）x2+5x﹣6＝0； （2）2x2﹣4x﹣7＝0． 18．一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位数字与个位数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 19．已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝2和x＝3时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式． 20．已知关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得x1x2＝2（x1+x2）？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 21．证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧． 如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M． 求证：AM＝BM，，． 22．如图，一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于第一象限的点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）． （1）求k与m的值； （2）当y2＜3时，x的取值范围是________ ； （3）当y1＞y2时，x的取值范围是________ ； （4）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 23．如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 24．小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是________ ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣2 ﹣1 0 1 1.5 1.8 2.2 2.5 3 4 5 6 … y … ﹣1.75 ﹣0.67 0.5 2 3.5 6.8 7.2 4.5 m 4.5 5.35 6.25 … 其中m的值为_____ ； （3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象； ②过点（0，n）作平行于x轴的直线l，结合图象解决问题：若直线l与函数的图象有三个交点，直接写出n的取值范围________ ． 25．综合与实践 如图1，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，x与y的对应点，请您在本题图2中画出函数图象，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离； （3）当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 26．两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（圆环外圈），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． （1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 __________ ； （2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）： ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 27．某纸杯的尺寸（单位：cm）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片ABCD（可以看作扇形纸片OAD剪去扇形纸片OBC后剩余的部分）． （1）的长为_______ cm，OB＝_______ cm． （2）记a×b表示两边长分别为a，b（a≤b，单位：cm）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片ABCD的一张矩形纸片，它的一边与相切，点B，C在对边上，点A，D分别在另外两边上，直接写出a，b的值． ②用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD吗？说明理由． ③若一张15×b的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，写出求b的范围的思路（无需算出最终结果）． 江苏省南京市九年级上2026-2027学年期中数学模拟练习卷二 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．下列函数中，当x＞0时，变量y随变量x的增大而减小的是（　　） A． B． C．（k≠0） D．y＝3x 【解答】解：A、反比例函数中， ∵3＞0， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意； B、反比例函数中， ∵﹣3＜0， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，不符合题意； C、反比例函数中，当k≠0时，k2＞0，﹣k2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，不符合题意； D、正比例函数y＝3x中， ∵3＞0， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：A． 2．若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤1 B．k≥1 C．k≥1且k≠0 D．k≤1且k≠0 【解答】解：∵关于x的方程 kx2+2x+1＝0有实数根， ∴当k≠0时，Δ＝4﹣4k≥0， ∴k≤1， ∴k≤1且k≠0， 当k＝0时， 此时方程为3x+1＝0，满足题意， 故选：A． 3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　） A．36° B．60° C．65° D．72° 【解答】解：如图，连接OA，OC， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠AOC2＝144°， ∴∠APC∠AOC＝72°， 故选：D． 4．如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝75°，点C在上，连接OC，AD垂直平分OC交OB于点D，则的长度为（　　） A． B． C． D．π 【解答】解：∵AD垂直平分OC， ∴AC＝AO， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∵∠AOB＝75°， ∴∠BOC＝15°， ∴的长度为． 故选：C． 5．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则⊙O的半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：⊙O是四边形ABCD的内切圆，设切点分别为：F，G，M，E， 连接FO，OA，OG，OC，OM，OB，OE，OD，⊙O的半径为r， ∴FO⊥AB，OG⊥BC，OM⊥CD，OE⊥AD，FO＝OG＝OM＝OE＝r， ∴四边形ABCD的面积 ＝36， 解得：r＝3． 故⊙O的半径为3． 故选：A． 6．在△ABC中，AB＝AC，当△ABC的内切圆的半径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的半径（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【解答】解：如图： 根据图形我们可以发现，当△ABC的内切圆的半径确定时，∠A在增大的过程中，△ABC的外接圆的半径先减小，后增大； 故选：D． 二．填空题（共10小题） 7．一元二次方程7x2＝2x的解为x1＝0，x2　 【解答】解： 移项得7x2﹣2x＝0， 分解因式得x（7x﹣2）＝0， ∴x＝0或7x﹣2＝0， ∴x1＝0，x2， 故答案为：x1＝0，x2． 8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC，则⊙O的半径是 　1　 ． 【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ADC＝∠ABC＝45°， ∴AD2， ∴⊙O的半径是1， 故答案为：1． 9．在⊙O中，有两条弦AB和CD，若AB＝2CD，则　＞　 2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【解答】解：如图所示， 取AB中点M和的中点N，连接AN，BN，MN， ∵点N为中点， ∴， ∴AN＝NB． ∵点M为AB中点， ∴AM＝BM且MN⊥AB， ∴AN＞AM． 又∵AB＝2CD， ∴AM＝BM＝CD， ∴AN＞CD， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：＞． 10．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 　4　 台． 【解答】解：∵∠P＝55°， ∴∠P所对弧所对的圆心角是110°， ∵360°÷110°＝3， ∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台． 故答案为：4． 11．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图，这枚古钱币的半径为　13　 mm． 【解答】解：如图所示：AB是⊙O的直径，过O作OC⊥TE，连接OD， 依题意，TE＝10mm，ED＝7mm， ∵OC⊥TE， ∴，CD＝5+7＝12（mm）， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， ∴， 故答案为：13． 12．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　﹣7　 ． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2， ∴，x1+x2＝3， ∴ ＝﹣1﹣2×3 ＝﹣7． 故答案为：﹣7． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 　4﹣π　 （结果保留π）． 【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点， ∴BE＝CE＝2， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°， ∴阴影部分的面积为24﹣π． 故答案为：4﹣π． 14．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为 　4或2　 ． 【解答】解：连接OA， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BMAB8＝4， 在Rt△OAM中，OA＝5， ∴OM3， 当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8， 在Rt△ACM中，AC4； 当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2， 在Rt△ACM中，AC2． 故答案为：4或2． 15．已知方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根x1，x2．而点A（x1，y1），B（x2，y2）为反比例函数的图象上两点，若x1＞x2＞0，则y1　＞　 y2（填“＞”或“＜”或“＝”）． 【解答】解：∵方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＞0， 解得：k＜1， ∴k﹣2＜0， ∴反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵x1＞x2＞0， ∴y1＞y2； 故答案为：＞． 16．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧AB上所有的点都落在△ABC的边界及内部，则弧AB所对的圆心角∠AOB的取值范围是　0°＜∠AOB≤100°　 ． 【解答】解：如图， 由题意可知OA＝OB， 则圆心O点在AB的垂直平分线上；然后， 当∠OAC＜90°，会与AC线段有2个交点，当∠OBC＜90°，会与BC线段有2个交点， ∴要使得上所有点落在△ABC的边界及内部，只要使∠OAC≥90°且∠OBC≥90°， 当∠OAC≥90°时，∠OAB≥∠OAC﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠AOB≤180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝100°． 综上，0°＜∠AOB≤100°； 故答案为：0°＜∠AOB≤100°． 三．解答题（共11小题） 17．用适当的方法解下列方程： （1）x2+5x﹣6＝0； （2）2x2﹣4x﹣7＝0． 【解答】解：（1）x2+5x﹣6＝0， 因式分解得：（x+6）（x﹣1）＝0， ∴x+6＝0，x﹣1＝0， ∴x1＝﹣6，x2＝1； （2）2x2﹣4x﹣7＝0， 移项得：2x2﹣4x＝7， 系数化为1得：x2﹣2x， 配方得：x2﹣2x+11， 即（x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 18．一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位数字与个位数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字是x﹣2， 3x（x﹣2）＝10（x﹣2）+x， 3x2﹣17x+20＝0， （3x﹣5）（x﹣4）＝0， ∴x（舍）或x＝4， ∴x﹣2＝2， ∴这个两位数是24． 19．已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝2和x＝3时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式． 【解答】解：∵y1与x成正比例，y2与x2成反比例， ∴设y1＝ax（a≠0），y2（k≠0）， ∴y＝y1+y2＝ax， ∵当x＝2和x＝3时，y的值都为19， ∴， 解得a＝5，k＝36， 所以y与变量x的函数关系式是． 20．已知关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得x1x2＝2（x1+x2）？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，， Δ＝4k2+4k+1﹣4k2+4k＝8k+1＞0， 解得， 综上，k的取值范围是且k≠0； （2）不存在，理由如下： 由根与系数的关系得： ，， 代入x1x2＝2（x1+x2）得：， ∵k≠0两边同时乘k得：k﹣1＝4k+2， 解得k＝﹣1， ∵，不符合k的取值范围， ∴不存在实数k使得x1x2＝2（x1+x2）． 21．证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧． 如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M． 求证：AM＝BM，，． 【解答】证明：如图，连接OA、OB， ∵OA＝OB，AB⊥CD， ∴AM＝BM，∠AOM＝∠BOM，即∠AOC＝∠BOC， ∴， 又∵CD为⊙O的直径， ∴． 22．如图，一次函数y1＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于第一象限的点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）． （1）求k与m的值； （2）当y2＜3时，x的取值范围是x＞2　 ； （3）当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2　 ； （4）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2， 解得：k， 把A（2，n）代入y＝kx+2得：n＝3． ∴A（2，3）． 把A（2，3）代入y得：m＝6． ∴k的值为，m的值为6． （2）由（1）知，y2， 当y2＜3时，即3， 解得x＞2， 故答案为：x＞2或x＜0； （3）由图象可知：当 x＞2时，yx+2的图象在y的上方， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是：x＞2． 故答案为：﹣6＜x＜0或x＞2． （4）当x＝0时，yx+2＝2． ∴B（0，2）， ∵P（a，0）为x轴上的一动点， ∴PC＝|a+4|． ∴S△CBPPC•OB|a+4|×2＝|a+4|， S△CAPPC•yA|a+4|×3|a+4|， ∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP， ∴|a+4||a+4|， ∴a＝1或a＝﹣9． 23．如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E． （1）求证：直线AD是⊙O的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明． （2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由． 【解答】（1）证明：如图，连接BD，OE，延长EO交AD于F， ∵O是▱ABCD的中心， ∴BD过点O，OB＝OD， ∵AD∥BC， ∴∠ODF＝∠OBE，∠DFO＝∠BEO， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴OF＝OE， ∵BC与⊙O相切于点E， ∴OE⊥BC， ∴OF⊥AD， ∴直线AD是⊙O的切线． （2）解：如图，▱ABCD是菱形，理由如下： 设AB与⊙O相切于H，连接OH，OE，BD， ∵点O是▱ABCD的中心， ∴BD过点O， ∵BC与⊙O相切于E， ∴OH⊥AB，OE⊥BC， ∵OH＝OE， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD是菱形． 24．小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是x≠2　 ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣2 ﹣1 0 1 1.5 1.8 2.2 2.5 3 4 5 6 … y … ﹣1.75 ﹣0.67 0.5 2 3.5 6.8 7.2 4.5 m 4.5 5.35 6.25 … 其中m的值为　4　 ； （3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象； ②过点（0，n）作平行于x轴的直线l，结合图象解决问题：若直线l与函数的图象有三个交点，直接写出n的取值范围n＞4　 ． 【解答】解：（1）∵|x﹣2|≠0， ∴x﹣2≠0，即x≠2， 故答案为：x≠2； （2）当x＝3时，， ∴m＝4， 故答案为：4； （3）①描点，连线得， ②观察函数图象可知，在直线y＝4时即n＝4，直线y＝4与函数有2个交点，在 n＞4时，有3个交点， 故答案为：n＞4． 25．综合与实践 如图1，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，x与y的对应点，请您在本题图2中画出函数图象，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离； （3）当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 【解答】解：（1）描点并连线，函数图象如图所示， 由图象可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当x＝10时，y＝30， ∴， 解得k＝300， ∴． （2）当y＝24时，代入得，， 解得x＝12.5， ∴当砝码质量为24g时，托盘B与点O的距离是12.5cm． （3）设移动前托盘B中的砝码质量为mg，托盘B与点O的距离acm， ma＝300，2m（a﹣6）＝300， 解得m＝25． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为25g． 26．两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅•释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（圆环外圈），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现来看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． （1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 　32：27　 ； （2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）： ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 【解答】解：（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为 π×（32﹣12）＝8π；环的“肉”的面积为 π×（32﹣1.52）＝6.75π， ∴它们的面积之比为 8 π：6.75 π＝32：27； 故答案为32：27； （2）①观察图象可知，不符合“肉好若一”关系； ②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半 径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于 点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示： 27．某纸杯的尺寸（单位：cm）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片ABCD（可以看作扇形纸片OAD剪去扇形纸片OBC后剩余的部分）． （1）的长为　9π　 cm，OB＝　18　 cm． （2）记a×b表示两边长分别为a，b（a≤b，单位：cm）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片ABCD的一张矩形纸片，它的一边与相切，点B，C在对边上，点A，D分别在另外两边上，直接写出a，b的值． ②用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD吗？说明理由． ③若一张15×b的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，写出求b的范围的思路（无需算出最终结果）． 【解答】解：（1）由题意得：的长为9πcm，的长为6πcm， 设∠AOD＝∠BOC＝n°，OB＝OC＝rcm，则OA＝（OD＝r+9）cm， ∴， ∴， ∴OB＝18cm． 故答案为：9π；18； （2）①延长AB，CD，延长线交于点O，设矩形的边与相切于点E，连接OE，交BC于点F，如图， 则OE⊥GN， ∵四边形GHMN为矩形， ∴四边形GHFE，MNEF为矩形， ∴a＝GH＝EF， 由题意得：OB＝OC＝18cm，OA＝OD＝OE＝18+9＝27cm，∠AOD＝∠BOC＝60°，AB＝CD＝9cm， ∴△OBC为等边三角形， ∴BC＝OB＝18cm，OF＝9cm，∠OBC＝∠OCB＝60°， ∴∠ABH＝∠OBC＝60°，∠DCM＝∠OCB＝60°， ∴BHAB＝4.5cm，CMCD＝4.5cm， ∴a＝EF＝OE﹣OF＝（27﹣9）cm， b＝GN＝HM＝HB+BC+CM＝4.5+18+4.5＝27（cm）． ②用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，理由： 将扇环纸片ABCD按如图所示放置，AB在矩形的边AG上，延长AB，DC，延长线交于点O，过点D作DE⊥AG于点E，过点C作CF⊥AG于点F， 由题意得：∠O＝60°，OB＝OC＝18cm，OA＝OD＝OE＝18+9＝27cm，AB＝CD＝9cm， ∴DE＝OD23.38（cm），OFOC＝9cm，FC＝OC•sin60°＝915.59（cm）， ∴AF＝OA﹣OF＝27﹣9＝18（cm）， ∵18＜18.2，23.38＜25.7， ∴AF＜AG＝18.2cm，DE＜GH＝25.7cm， ∴用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD． ③设15×b的矩形纸片为矩形MNKS，MS＝NK＝15cm，将扇环纸片ABCD如图放置，使点A在MS边上，点B在KS边上，点D在NK边上，与边MN相切于点P， 则此时的b值最小，若求b的范围，则此时的MN为b的最小值． 延长AB，DC，延长线交于点O，连接OP，OP交SK于点H，过点D作DE⊥OP于点E，过点A作AF⊥OP于点F，设OD交SK于点G， 由题意得：∠AOD＝60°，OB＝OC＝18cm，OP＝OA＝OD＝OE＝18+9＝27（cm），AB＝CD＝9cm， ∵与边MN相切于点P， ∴OP⊥MN， ∵DE⊥OP，AF⊥OP，四边形MNKS为矩形， ∴四边形PNDE，四边形AFPM，四边形PNKH为矩形， ∴PN＝DE，MP＝AF，PH＝NK＝15cm， ∴b＝MN＝MP+PN＝AF+DE，OH＝OP﹣PH＝12（cm）． ∴求得AF，DE的值即可求得b的最小值； 由于OA＝OD＝27cm，解Rt△OAF和Rt△ODE即可求得结论． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $