第十三章三角形 强化训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十三章三角形 一、单选题 1．如图，是的中线，是的中线．若，则（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC， CE⊥BE.若∠BCD=50°，∠BCE的度数为（　　） A．55° B．65° C．70° D．75° 3．已知：如图中，点、、分别在三边上，是的中点，，，交于一点，，，，则的面积是（　　）． A．25 B．30 C．35 D．40 4．已知△ABC的三条边长都是整数，其中两条边长分别为 则第三条边长 等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．1或2 5．如图，在中，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．若一个三角形 三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 7．小明把一副 的直角三角板如图摆放，其中 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，则∠C为（　　） A．30° B．50° C．80° D．100° 9． 如图，在△ABC中，D为BC延长线上一点，作 DH⊥AB于点H，交 AC于点E，则下列说法正确的是（　　） A．∠A+∠ACB=90° B．∠B+∠D>90° C．∠A=∠D D．∠ACB-∠AEH=∠D 10．用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（　　） A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定 12．如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（　　） A．60 B．56 C．70 D．48 二、填空题 13．如图，已知是的中线，，，且的周长为，则的周长是　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AF平分∠CAB，交BC于点D．过点C作CE⊥AF于点E，则∠ECD的度数为　 　． 15．已知的三边长均为整数，且，，则中的长为　 　． 16．如图，已知是的中线，若的面积为7，则的面积为　 　． 17．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=65°，∠C=45°，则∠DAE的度数为　 　. 18．一副三角尺，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为　 　. 19．如图，将△ABC平移到△A’B’C’的位置（点B’在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB’A’的度数为　 　°． 20．如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为　 　°. 21．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝　 　度，若∠AIB＝155°，则∠C＝　 　度. 22．如图，将四边形去掉一个的角得到一个五边形，则　 　． 23．如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…依次类推，则∠A4=　 　度. 24．若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有　 　种． 25．如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为　 　． 三、解答题 26．如图，已知D为边延长线上一点，于F交于E，，，求的度数． 27．如图，在中，，边上的中线把的周长分成70和50两部分，求和的长． 28．如图，直线，的直角顶点在直线上，顶点在直线上，交于点，，，求的度数． 29．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数． 30．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，把三角形ABC沿直线DE折叠，使三角形ADE与三角形BDE重合 （1）若∠A=30°，求∠CBD的度数 （2）若三角形BCD的周长为12，AE=5，求三角形ABC的周长 31．如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，求的度数． 32．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60°；求∠AEC的度数． 33．如图，点A在线段上，，垂足为A，且，，，垂足分别为D、E，若，，求的长． 34．如图，△ABC中，AD、AE 分别是边BC上的中线和高，AE＝4，S△ABD＝10，求BC，CD 的长. 35．如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，﹣4），S四边形AOBC＝16 （1）求C点坐标； （2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数； （3）如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 36．如图，在中，与的平分线相交于点． （1）若，则的度数是　 　； （2）如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； （3）如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 【解析】【解答】解 BE平分 又 ，即 故答案为：B. 【分析】先根据平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，然后三角形的内角和定理即可得. 3．【答案】B 4．【答案】B 【解析】【解答】∵ ， ∴1<c<3， ∵三条边长都是整数， ∴c=2， 故答案为：B. 【分析】结合题意并根据三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和可求解. 5．【答案】B 6．【答案】C 【解析】【分析】 根据三角形内角和定理可分别求得每个角的度数，从而根据最大角的度数不能确定其形状。 【解答】设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x． ∵三角形三个内角度数的比为2：7：4， ∴2x+7x+4x=180°， ∴7x≈97°， ∴这个三角形是钝角三角形。 故选C． 【点评】考查三角形形状的判定，解决本题的关键是考生对三角形形状的判定方法要熟练。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：如图， ∵∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F， ∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°， 故答案为：B. 【分析】由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，然后求和并根据已知即可计算求解. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°， ∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°． 故选：D． 【分析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案． 9．【答案】D 【解析】【解答】解：A.由中，不一定成立，即不一定成立，故不符合题意； B.由，则，即，故不符合题意； C.由，而不一定成立，即，又，由三角形内角和定理可知不一定成立，故不符合题意； D.由以及，即，故符合题意． 故答案为：D. 【分析】根据直角三角形的性质、三角形内角和定理、对顶角相等以及三角形外角的性质逐项分析判定． 10．【答案】C 【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根， ∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x， ∴x＜6，y＜6，x+y＞6 又∵x，y是整数， ∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）： 2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5， ∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2， ∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况， ∴能摆出不同的三角形的个数是3． 故答案为：C． 【分析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可． 11．【答案】A 【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段， ∵a1＜a2＜a3＜a4＜a5，则a2≥2； 若a1，a2，a3不能构成三角形，则a3−a2≥1， ∴a3≥3； 若a3，a4，a5不能构成三角形，则a5−a4≥a3，即a4≤a5−a3＝6； 若a2，a3，a4不能构成三角形，则a2＋a3≤a4，即a3≤a4−a2＝4； 此时a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，故排除； ∴a3＝3． 故答案为：A. 【分析】利用三角形三边关系定理，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，结合已知可得到a2≥2；分情况讨论：若a1，a2，a3不能构成三角形，可得到a3≥3；若a3，a4，a5不能构成三角形；若a2，a3，a4不能构成三角形；可推出a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，由此可得到a3的值. 12．【答案】A 13．【答案】 14．【答案】25° 15．【答案】4 16．【答案】 17．【答案】10° 【解析】【解答】解：在△ABC中， ∵∠BAC=180°-∠B-∠C=70°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE=∠CAE=35°. 又∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=90°， ∵在△ABD中∠BAD=90°-∠B=25°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°. 故答案为：10°. 【分析】利用三角形内角和求出∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，利用角平分线的定义可得∠BAE=∠CAE=35°，由三角形的高可得∠ADB=90°，在△ABD中可求出∠BAD=90°-∠B=25°，利用∠DAE=∠BAE-∠BAD即可求出结论. 18．【答案】15° 【解析】【解答】解：如图， 由题意可知∠C=45°，∠B=60°，∠ADB=∠BAE=90°， ∴∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°， ∴∠DAE=90°-30°=60°， ∵∠DAE=∠C+α， ∴α=60°-45°=15°. 故答案为：15° 【分析】利用直角三角形的两锐角互余可得到∠BAD的度数，由此可求出∠DAE的度数；再利用三角形的外角的性质可求出α的度数. 19．【答案】25 【解析】【解答】解：∵∠B=55°，∠C=100°， ∴∠A=180°－∠B－∠C=25°， 由平移的性质可得， ∴， 故答案为：25． 【分析】根据三角形内角和定理得到∠A的度数，然后根据平移的性质解答即可． 20．【答案】180° 【解析】【解答】∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处， ∴∠B=∠HOG，∠A=∠DOE，∠C=∠EOF，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE=360°， ∵∠HOG+∠EOF+∠DOE=∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠1+∠2=360°−180°=180， 故答案为：180. 【分析】根据折叠的性质，可得∠B=∠HOG，∠A=∠DOE，∠C=∠EOF，利用三角形内角和定理，可得∠HOG+∠EOF+∠DOE=∠A+∠B+∠C=180°，由周角的定义，即可求出∠1+∠2的度数. 21．【答案】125；130 【解析】【解答】解：连接CI并延长交AB于P， 平分， ， 平分， ， ， ， ， 当， ， 又的平分线，相交于点I， ， ， ， 故答案为：125；130. 【分析】连接CI并延长交AB于P，易得∠1=∠2，∠3=∠4，则∠1+∠3=(∠CAB+∠CBA)=55°，根据外角的性质得∠7+∠8=∠1+∠5+∠3+∠6=125°，当 ∠AIB＝155°时，根据内角和定理得∠2+∠4=25°，由角平分线的概念可得∠CAP+∠CBP=50°，然后由内角和定理就可求出∠ACB的度数. 22．【答案】 23．【答案】4 【解析】【解答】解：∵BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC＝ ∠ABC，∠A1CD＝ ∠ACD， 又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1， ∴ （∠A＋∠ABC）＝ ∠ABC＋∠A1， ∴∠A1＝ ∠A＝32°， 同理可得：∠A2＝ ∠A1＝16°，∠A3＝ ∠A2＝ ∠A =8°…∠A4＝ ∠A3=4° 故答案为：4. 【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC＝ ∠ABC，∠A1CD＝ ∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，整理即可求出∠A1＝ ∠A＝32°，同理可求出∠A2和∠A3和∠A4 24．【答案】5 【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥， ∴≤c<， ∴c=5或6， 当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ； ②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ； ∴满足条件的三角形的个数为5. 故答案为：5. 【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答. 25．【答案】6 26．【答案】． 27．【答案】， 28．【答案】 29．【答案】85° 30．【答案】（1）；（2）22 31．【答案】 32．【答案】解：∵AD⊥BC，∠B＝60°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵∠BAC＝80°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣30°＝50°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝ ∠DAC＝ ×50°＝25°， ∴∠BAE＝30°+25°＝55°， ∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝55°+60°＝115°． 【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求出∠DAC，再根据角平分线的定义求出∠DAE，然后求出∠BAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AEC＝∠BAE+∠B代入数据计算即可得解． 33．【答案】4 34．【答案】BC=10，CD=5 35．【答案】（1） （2） （3）不变化， 36．【答案】（1）； （2）解：，之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）解：∵平分，平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： ①当时， 则， ∴， 此时， ②当时，则， ∴，则， 此时， ③当时，则， ∴， 此时， ④当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 【解析】【解答】解：（1）在中，=180°-60°=120°， ∵与的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴ 故答案为：； 【分析】（）先由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，再由角平分线定义得，，则，再由三角形内角和得； （）∠Q，之间的数量关系是，理由如下：由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得∠Q，之间的数量关系； （）先由角平分线的定义及平角定义求出，由直角三角形量锐角互余得，由（2）得结论得，然后分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可. （1）在中，， ∵与的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2），之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）∵平分，平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： 当时， 则， ∴， 此时， 当时，则， ∴，则， 此时， 当时，则， ∴， 此时， 当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $