专题01探索勾股定理、一定是直角三角形吗 期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题01探索勾股定理、一定是直角三角形吗 期中复习讲义 ✵复习目标 理解勾股定理，能运用面积割补法验证勾股定理，熟练在直角三角形中进行边长计算； 掌握勾股定理的逆定理，能依据三边的数量关系判定一个三角形是否为直角三角形； 理解勾股数的定义，识记常见勾股数，掌握勾股数的基本性质； 辨析勾股定理与其逆定理的条件、结论，规范几何推理书写。 ✵高频题型梳理 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积计算 题型3.利用勾股定理求线段平方和（差）、证明线段平方关系 题型4.勾股定理的证明、以弦图为背景的计算题 题型5.用勾股定理构造图形解决问题 题型6.勾股数（数）问题 题型7.判断三边能否构成直角三角形 题型8.在网格中判断直角三角形 题型9.利用勾股定理的逆定理求解 题型10.勾股定理逆定理的拓展问题 ✵核心知识梳理 知识点一、勾股定理 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 公式表达：若直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则 a2+=。 几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴ AC2+BC2=。 2.适用条件:仅适用于直角三角形，锐角三角形、钝角三角形不满足该公式。 3.定理探索与验证:通过网格数方格、图形割补、赵爽弦图等面积法验证定理，核心原理为“图形总面积等于各部分面积之和”，依托数形结合、面积转化的思想推导得出勾股定理。 4.公式变形: a2=c2-b2，b2=c2- 5.核心结论:直角三角形中，斜边最长，斜边的平方一定大于任意一条直角边的平方。 知识点二、勾股定理证明方法 知识点三、勾股定理的逆定理 1.逆定理内容：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+=，那么这个三角形是直角三角形，且边长为c的边所对的角为直角。 几何语言：∵ 在△ABC中， a2+=，∴ △ABC为直角三角形，∠C=90°。 2.判定步骤：① 找出三角形三边中的最长边；② 计算两条短边的平方和与最长边的平方；③ 若二者数值相等，则该三角形为直角三角形，反之则不是。 3.勾股数 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见基础勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17。 ★核心性质：若a,b,c是一组勾股数，则ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数 知识点四、勾股定理与逆定理的核心区别 1. 勾股定理（由形推数·用于计算） 已知三角形是直角三角形，推出三边平方关系，用于边长计算、周长面积求解。 2. 勾股逆定理（由数判形·用于证明判定） 已知三角形三边平方关系，判定三角形为直角三角形，用于图形判定、几何证明。 ✵易错提醒 1.勾股定理仅适用于直角三角形，没有直角条件，不可直接使用； 2.运用逆定理判定直角三角形时，必须选取最长边作为c进行验证； 3.勾股数要求是正整数，小数、分数不属于勾股数； 4.已知直角三角形两边长，未指明是直角边还是斜边时，需要分类讨论； 5.区分定理与逆定理：由直角推导线段平方关系，用勾股定理；由三边平方关系判定直角，用逆定理。 ✵典例精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．已知在中，，，则（     ） A．16 B．28 C．32 D．48 【答案】C 【分析】利用勾股定理，将两直角边的平方和转化为斜边的平方，整体代入计算． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 2．如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形，让同学们按以下步骤完成画图： （1）画出的中点E，连接； （2）以点E为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F； （3）以为边画正方形，点H在边上． 在画出的图中有一条线段的长是，这条线段是______； 【答案】 【分析】根据正方形的特点和勾股定理求出的长，进而得到的长，再求出的长，从而求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 由作图方法可得， ∴， ∴， ∴线段的长度是． 3．如图，在中，，求的长和的周长． 【答案】的长为，的周长为 【分析】利用勾股定理求出斜边的长度，再将三边相加得到三角形的周长． 【详解】解：在中，，，， ， ∴的周长为， 答：的长为，的周长为． 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积计算 1．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为、、，若，，则的值为（     ）． A．4 B．2 C．22 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用正方形的面积公式，可得三角形边长的平方为正方形面积，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， 由于，，则． 2．如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 3．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 【答案】（1）阴影部分的面积为；（2）正方形Ⅲ的面积为8；（3）的值为46 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）由勾股定理得，，得到，结合得到，最后根据阴影部分的面积求解即可； （2）由题意得，，，得到，再代入计算即可； （3）由勾股定理得到，即，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由勾股定理得，， 即， ∵， ∴， 由图形可知，阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积； （2）由题意得，， ∴， ∵正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24， ∴， ∴， （3）由题意可知：，，，， 如解图，连接AC， 在和中，， 即， ∴． 题型3.利用勾股定理求线段平方和（差）、证明线段平方关系 1．在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵在中，且， ∴AB为的斜边， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 2．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 【答案】12 【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∴， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8， 同理可证FG2+LK2=HL2=4， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键． 3．完成下面的问题： (1)问题探究 如图1，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：； (2)问题解决 如图2，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，直接写出骑行小道的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴、、、都是直角三角形， 由勾股定理可得，，，，， ∴； (2)米 【分析】（1）由勾股定理可得； （2）利用勾股定理与等量代换可得，结合为的中点可得米． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可知，，，，都是直角三角形， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴， 又∵为的中点，即， ∴， ∴米． 答：骑行小道的长为米． 题型4.勾股定理的证明、以弦图为背景的计算题 1．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 2．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，现有以下结论：①正方形的面积为；②；③是的中点；④．其中正确的是________． 【答案】①②③ 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断①和②；结合三角形全等的判定与性质即可判断③；结合前面的推导得出，直接计算即可判断④． 【详解】解：①设，则，， 四个相同的直角三角形（，，，）， ，，， ∴， ∴四边形是正方形， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， ∴正方形的面积为，故①正确； ②在中，，故②正确； ③在正方形中，，则， ， ， ∵，， ∴， ，即是的中点，故③正确； ④由前面的求解过程可知，， ∴，故④错误． 综上可知，正确的是①②③． 3．【课本再现】 (1)如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，其中直角三角形两直角边长分别为，斜边长为．请利用图验证勾股定理； 【知识应用】 (2)如图，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； 【拓展提升】 (3)如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则_______． 【答案】(1)解：∵直角三角形两直角边长分别为， ∴中间小正方形的面积为， ∵由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，斜边长为， ∴中间小正方形的面积为， ∴，即． (2) (3) 【分析】（1）利用两种方法表示中间小正方形的面积，得出等式，即可验证勾股定理； （2）根据外围轮廓线的周长为得出，设，则，，利用勾股定理，列出方程，求出，进而求出，根据三角形面积公式即可得出答案； （3）设每个直角三角形的面积为，则，，根据可得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵外围轮廓线的周长为， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴该飞镖状图案的面积为． （3）解：设每个直角三角形的面积为， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 题型5.用勾股定理构造图形解决问题 1．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为米，若将它往水平方向向前推进米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，结合线段的和差关系可得答案． 【详解】解：由题意得，米，米，， ∴米， ∴米． 2．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例如：已知，均为正实数，且求的最小值，如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． 则，；因此当，，三点共线时有最小值，最小值为根据上述的方法，代数式的最小值为______． 【答案】20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，数形结合是解题的关键． 仿照题干中的方法构造图形：，，，，，是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，则，，，当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值；过点作的垂线交于点F，则四边形是长方形，再利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，， 设， 则，，， 当，，三点共线时，取得最小值， 即取得最小值； 过点作的垂线交于点F， 则四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，， 即取得最小值为20； 故答案为：20． 3．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺寸），求的长． 【答案】的长为52寸 【分析】直接利用已知设寸，则寸，进而结合勾股定理得出答案． 【详解】解：设寸，则寸， ∵， ∴， 解得：， 则（寸）， 答：的长为52寸． 题型6.勾股数（数）问题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先排除非正整数的选项，再验证剩余选项是否满足两较小数的平方和等于最大数的平方． 【详解】解：A．∵该选项中的数均为正整数，且， ∴，，是勾股数，符合题意； B．∵， ∴，，不是勾股数，不符合题意； C．∵， ∴，，不是勾股数，不符合题意； D．∵，，均为小数， ∴，，不是勾股数，不符合题意． 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A，B，C，D的面积分别为2，4，1，2．则最大的正方形E的面积是________． 【答案】9 【分析】根据勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，从而得到正方形的面积正方形的面积正方形的面积，即可求解． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 同理，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积． 3．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为“勾股数”． (1)请你写出两组勾股数：6，________，________；5，________，________． (2)清朝的数学家罗士琳提出了如下两个构造勾股数的法则： ①如果是大于1的奇数，那么，，是一组勾股数； ②如果是大于2的偶数，那么，，是一组勾股数． 根据上面两个法则，若一组勾股数中有一个数为24，求出符合上述法则的所有勾股数． 【答案】(1)8，10；12，13 (2)勾股数为7，24，25或24，143，145或10，24，26 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题； （2）分别根据题干中法则①、②分类讨论，解决本题即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据法则①，因为是大于1的奇数，所以， 则或， 所以或（不是奇数，舍去）， 所以， 所以， 所以勾股数为7，24，25； 根据法则②，若是大于2的偶数， 则或或， 所以或10或（舍去）， 当时，，， 所以勾股数为24，143，145， 当时，，， 所以勾股数为10，24，26； 综上所述，勾股数为7，24，25或24，143，145或10，24，26． 题型7.判断三边能否构成直角三角形 1．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A：，，能作为直角三角形三边长度． B：，，能作为直角三角形三边长度． C：，，不能作为直角三角形三边长度． D：，，能作为直角三角形三边长度． 2．如图，已知正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，且．点P从点A出发，沿正方形的边顺时针走一圈，当以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形时，线段的长为__________． 【答案】 或 或 【分析】代表点从出发沿正方形边线运动的总路程．根据动点所在位置分四段讨论：在边、在边、在边、在边；结合图形选取成立的直角情况，添加辅助线，利用平方关系列式计算，舍去不符合取值范围的解． 【详解】正方形边长为，， ，． 在中，，由勾股定理 ， 设为点从出发沿边线走过的总路程， 情况1：点在边上， 为点从出发沿边线走过的总路程，当在上，走过的路程就是线段，即． 在中，， 过点作于，则，． 由题意可知，当， 根据勾股定理逆定理： 满足，符合题意． 此时． 情况2：点在边上， 为点从出发沿边线走过的总路程．从走到路程为， 所以，． 过作，垂足为，，，． 在中： 在中，： 由题意可知，当，根据勾股定理逆定理： ， 满足，符合题意． 连接，在中，，，． ， ， ， 情况3：点在边上，， 为点从出发沿边线走过的总路程．从总路程为，所以，． 、、在同一直线上． 在中，， 当点与点重合时，，此时． 此时，． ， ，满足为直角三角形． 此时． 情况4：点在边上（返回）， 为点从出发沿边线走过的总路程．从总路程为12，所以，． 中，， ， 从向移动，逐渐增大，，均随之变大，，不存在满足条件的直角三角形． 综上，当为直角三角形时，线段的长为或或． 3．如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解，再证明，进一步可得答案； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为：． （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴中边上的高的长度为． 题型8.在网格中判断直角三角形 1．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据网格的特点求得的长为，分为直角边和斜边两种情况讨论，进而确定点的位置． 【详解】由于每个小正方形的边长为1，则， 如图， ①当为斜边时， 可以作出，，三个直角三角形 当为直角边时， 可以作出，两个直角三角形， 将上述三角以为对称轴翻折，可得出4个直角三角形， 综上所述，一共有9个直角三角形． 故选：B． 2．图中，是直角三角形的序号是________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 故答案为：． 3．如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． (1)由图①可知，则______，______． (2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 【答案】(1)， (2) 就是所求作的图形；， 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理即可画出图形；根据勾股定理的逆定理，可证明，即可根据直角三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，． （2）解：，，， ， ， ． 题型9.利用勾股定理的逆定理求解 1．在中，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最长边所对的为直角，即． 2．如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为___________． 【答案】150 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． 已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：150． 3．如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【答案】区域的面积为． 【分析】先判定是直角三角形，根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴． 题型10.勾股定理逆定理的拓展问题 1． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 2．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1) 证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 3．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1) 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13 【答案】C 【分析】如果a、b、c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数； B、，不是勾股数； C、，且均为正整数，是勾股数； D、，不是勾股数． 2．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理，将已知等式转化为关于的方程，求出的值，再根据三角形面积公式计算阴影部分面积． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， ， ， ，即， 观察图形可知，阴影部分是以的上边为底，点到该边所在直线的距离为高的三角形，底边长为，高为， ． 3．下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】比较各选项中两较短边的平方和与最长边的平方，判断是否相等． 【详解】解：选项A，，能构成直角三角形，不符合题意； 选项B，，能构成直角三角形，不符合题意； 选项C，最长边为，，，，不能构成直角三角形，符合题意； 选项D，最长边为，，，能构成直角三角形，不符合题意． 4．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，为的中点，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，则有和，进一步得到和，则有，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形， ∴， ∴，， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，． 二、填空题 5．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为______________． 【答案】4 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况． 【详解】解：如图所示，即为所求， ∴以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为4， 故答案为：4． 6．三角形花坛的三边长分别为，，，则这个花坛的面积是_____________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．理解和掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状，然后再计算其面积即可． 【详解】解：∵三角形花坛的三边长分别是，，，且，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边分别为，， ∴该花坛的面积是：． 故答案为：． 7．如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索_____m． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，线段的和差，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 设，表示出相关线段的长度，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， , ∴， 由勾股定理得 即， 解得， ∴， 故答案为：10． 三、解答题 8．如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 【答案】26 【分析】先根据勾股定理求出的长，再证明是直角三角形，再将与的面积求和即可得四边形的面积． 本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：， 中，， ∵、， ， 又∵在中， ，，， ， 是直角三角形，， ． 9．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； (2) 解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； (3) (4) 解：，理由如下： 如图，与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （4）略 10．如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据平行线性质，得，结合，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到证明即可． （2）根据，结合得，只需证明即，故证明即可． 本题考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01探索勾股定理、一定是直角三角形吗 期中复习讲义 ✵复习目标 · 理解勾股定理，能运用面积割补法验证勾股定理，熟练在直角三角形中进行边长计算； · 掌握勾股定理的逆定理，能依据三边的数量关系判定一个三角形是否为直角三角形； · 理解勾股数的定义，识记常见勾股数，掌握勾股数的基本性质； · 辨析勾股定理与其逆定理的条件、结论，规范几何推理书写。 ✵高频题型梳理 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积计算 题型3.利用勾股定理求线段平方和（差）、证明线段平方关系 题型4.勾股定理的证明、以弦图为背景的计算题 题型5.用勾股定理构造图形解决问题 题型6.勾股数（数）问题 题型7.判断三边能否构成直角三角形 题型8.在网格中判断直角三角形 题型9.利用勾股定理的逆定理求解 题型10.勾股定理逆定理的拓展问题 ✵核心知识梳理 知识点一、勾股定理 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 公式表达：若直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则 a2+=。 几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴ AC2+BC2=。 2.适用条件:仅适用于直角三角形，锐角三角形、钝角三角形不满足该公式。 3.定理探索与验证:通过网格数方格、图形割补、赵爽弦图等面积法验证定理，核心原理为“图形总面积等于各部分面积之和”，依托数形结合、面积转化的思想推导得出勾股定理。 4.公式变形: a2=c2-b2，b2=c2- 5.核心结论:直角三角形中，斜边最长，斜边的平方一定大于任意一条直角边的平方。 知识点二、勾股定理证明方法 知识点三、勾股定理的逆定理 1.逆定理内容：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+=，那么这个三角形是直角三角形，且边长为c的边所对的角为直角。 几何语言：∵ 在△ABC中， a2+=，∴ △ABC为直角三角形，∠C=90°。 2.判定步骤：① 找出三角形三边中的最长边；② 计算两条短边的平方和与最长边的平方；③ 若二者数值相等，则该三角形为直角三角形，反之则不是。 3.勾股数 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见基础勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17。 ★核心性质：若a,b,c是一组勾股数，则ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数 知识点四、勾股定理与逆定理的核心区别 1. 勾股定理（由形推数·用于计算） 已知三角形是直角三角形，推出三边平方关系，用于边长计算、周长面积求解。 2. 勾股逆定理（由数判形·用于证明判定） 已知三角形三边平方关系，判定三角形为直角三角形，用于图形判定、几何证明。 ✵易错提醒 1.勾股定理仅适用于直角三角形，没有直角条件，不可直接使用； 2.运用逆定理判定直角三角形时，必须选取最长边作为c进行验证； 3.勾股数要求是正整数，小数、分数不属于勾股数； 4.已知直角三角形两边长，未指明是直角边还是斜边时，需要分类讨论； 5.区分定理与逆定理：由直角推导线段平方关系，用勾股定理；由三边平方关系判定直角，用逆定理。 ✵典例精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．已知在中，，，则（     ） A．16 B．28 C．32 D．48 2．如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形，让同学们按以下步骤完成画图： （1）画出的中点E，连接； （2）以点E为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F； （3）以为边画正方形，点H在边上． 在画出的图中有一条线段的长是，这条线段是______； 3．如图，在中，，求的长和的周长． 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积计算 1．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为、、，若，，则的值为（     ）． A．4 B．2 C．22 D．不能确定 2．如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为_____． 3．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 题型3.利用勾股定理求线段平方和（差）、证明线段平方关系 1．在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 2．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 3．完成下面的问题： (1)问题探究 如图1，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：； (2)问题解决 如图2，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，直接写出骑行小道的长． 题型4.勾股定理的证明、以弦图为背景的计算题 1．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   2．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，现有以下结论：①正方形的面积为；②；③是的中点；④．其中正确的是________． 3．【课本再现】 (1)如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，其中直角三角形两直角边长分别为，斜边长为．请利用图验证勾股定理； 【知识应用】 (2)如图，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； 【拓展提升】 (3)如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则_______． 题型5.用勾股定理构造图形解决问题 1．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为米，若将它往水平方向向前推进米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例如：已知，均为正实数，且求的最小值，如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． 则，；因此当，，三点共线时有最小值，最小值为根据上述的方法，代数式的最小值为______． 3．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺寸），求的长． 题型6.勾股数（数）问题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A，B，C，D的面积分别为2，4，1，2．则最大的正方形E的面积是________． 3．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为“勾股数”． (1)请你写出两组勾股数：6，________，________；5，________，________． (2)清朝的数学家罗士琳提出了如下两个构造勾股数的法则： ①如果是大于1的奇数，那么，，是一组勾股数； ②如果是大于2的偶数，那么，，是一组勾股数． 根据上面两个法则，若一组勾股数中有一个数为24，求出符合上述法则的所有勾股数． 题型7.判断三边能否构成直角三角形 1．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，已知正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，且．点P从点A出发，沿正方形的边顺时针走一圈，当以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形时，线段的长为__________． 3．如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 题型8.在网格中判断直角三角形 1．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 2．图中，是直角三角形的序号是________． 3．如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处）． (1)由图①可知，则______，______． (2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点，其中，，并求出的面积．（只要画出一个符合条件的） 题型9.利用勾股定理的逆定理求解 1．在中，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 2．如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为___________． 3．如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 题型10.勾股定理逆定理的拓展问题 1． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 2．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 3．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13 2．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 3．下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，为的中点，则的值是（） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为______________． 6．三角形花坛的三边长分别为，，，则这个花坛的面积是_____________． 7．如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索_____m． 三、解答题 8．如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 9．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 10．如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $