专题1.2 一定是直角三角形吗（3大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“一定是直角三角形吗”专题，核心知识点为勾股定理的逆定理，系统梳理其文字与符号表述、最长边判定规则及适用场景，衔接勾股数定义、规律及与勾股定理的区别联系，构建从性质到判定的知识支架。 资料以分层题型设计（基础、培优、压轴）为特色，通过生活情境题（如零件质检）、跨学科应用（如房梁安全）培养数学眼光与模型意识，新定义及规律探究题发展推理能力与创新意识，易错点总结助力课中教学与课后查漏补缺。

专题1.2 一定是直角三角形吗 知识点1：勾股定理的逆定理（直角三角形判定）   1. 文字表述：如果一个三角形的三边长a、b、c，满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。   2. 符号表述：在△ABC中，若三边长满足，则△ABC为直角三角形，且边长c所对的角为90°。   3. 核心判定规则：判定时必须以最长边作为平方等式右侧的边，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，不可随意套用公式。   4. 适用场景：无角度条件，仅通过三角形三边长判定三角形是否为直角三角形，是边长判定直角三角形的唯一核心依据。   5. 拓展延伸：设c为三角形最长边，若，三角形为锐角三角形；若，三角形为钝角三角形。 知识点2：勾股定理与逆定理的区别与联系 类别 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 已知三角形是直角三角形 已知三角形三边的数量关系 结论 推导三边平方关系 判定三角形为直角三角形 功能 性质应用，已知直角求边长、算面积 判定应用，已知边长判直角、定形状 联系 二者互为逆命题，均针对直角三角形三边关系，是数形结合的核心依据 知识点3：勾股数   1. 定义：满足的三个正整数，称为勾股数，小数、分数均不属于勾股数。   2. 必备条件：三个数均为正整数；两个较小数的平方和等于最大数的平方，二者缺一不可。   3. 常见勾股数：基础组（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（8,15,17）。   4. 核心规律：一组勾股数的正整数倍仍然是勾股数，如（3,4,5）的2倍（6,8,10）、3倍（9,12,15）均为勾股数，勾股数有无数组。   5. 通用构造公式：n＞1的正整数，为一组勾股数；n≥3的奇数，为一组勾股数。 【基础必考题型】 【题型1】三边数值判定直角三角形 1.核心知识点   勾股定理的逆定理定义；直角三角形边长判定规则；最长边的识别与平方计算。 2.解题方法技巧   ①先找出三边中最大的数值，确定为潜在斜边；   ②分别计算最大数的平方、另外两个小数的平方和；   ③对比两组数值，相等则为直角三角形，不相等则不是；   ④快速排除：三边数值不满足三角形三边关系的，直接排除。 【例题1】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题1-1】.（26-27九年级上·广东湛江·开学考试）以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．5，12，13 C．3，4，5 D． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）试判断由下列三边围成的三角形是不是直角三角形： (1)三边长分别为； (2)三边长之比为． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）试判断下列各组以为三边长的三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2】勾股数的识别与判断 1.核心知识点   勾股数的定义与两大必备条件；勾股数与直角三角形边长的区别；勾股数的整数倍规律。 2.解题方法技巧   ①第一步筛选：排除含小数、分数、0的数组，仅保留正整数组；   ②第二步验证：按最短边平方和等于最长边平方逐一验算；   ③速记常用勾股数组及其倍数，提升选择题解题速度。 【例题2】.（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-1】.（25-26八年级下·云南红河·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式题2-2】.（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【变式题2-3】.（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型3】网格格点三角形形状判定 1.核心知识点   网格线段长度计算；勾股定理、勾股逆定理综合应用；数形结合思想。 2.解题方法技巧   ①利用网格横纵格子数，结合勾股定理求出三角形三边平方；   ②无需开方求边长，直接通过三边平方的数量关系判定直角；   ③可结合网格特征，辅助判断锐角、钝角三角形。 【例题3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型4】生活实物情境直角判定 1.核心知识点   实际情境几何建模；勾股逆定理的生活化应用；直角的实际意义。 2.解题方法技巧   ①提取生活场景中的线段长度，抽象出三角形模型；   ②明确判定目标，利用三边关系验证是否存在直角；   ③常见场景：电线杆垂直检测、建筑直角校准、路径垂直判定。 【例题4】.（2025八年级上·全国·专题练习）车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图所示，按照规定，李师傅依次测量三条边的长度，由此判断该零件是否合格．李师傅这样做的依据是（    ） A．直角三角形两锐角互余 B．三角形两边之和大于第三边 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【变式题4-1】.（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 【变式题4-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形四个角都应是直角，他在挖完后测量发现，则他挖的地基______．（填“合格”或“不合格”） 【培优高频题型】 【题型5】非负数性质结合直角三角形判定 1.核心知识点   绝对值、平方、算术平方根的非负性；勾股逆定理；三角形形状判定。 2.解题方法技巧   ①多个非负数的和为0，则每一项均为0，据此求出三边长；   ②整理三边长度，识别最长边，验证平方关系；   ③结合边长结果，判定三角形形状并计算相关量。 【例题5】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，若，则的形状是________． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知的三边分别是a、b、c． (1)若，且a、b、c都是正整数，求周长的最大值． (2)若，判断的形状并说明理由． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·四川德阳·阶段检测）已知为的三边，且，判断的形状，并说明理由． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在中，，如果满足，则的形状是_______． 【题型6】不规则四边形面积求解 1.核心知识点   勾股定理与逆定理综合应用；图形分割思想；不规则图形面积计算。 2.解题方法技巧   ①连接四边形对角线，将四边形分割为两个三角形；   ②先用勾股定理求出对角线长度，再用逆定理判定第二个三角形为直角三角形；   ③分别计算两个直角三角形面积，求和得到四边形总面积。 【例题6】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，． (1)请判断的形状并说明理由； (2)求线段的长． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知在中，，求的面积． 【题型7】勾股数规律探究与求值 1.核心知识点   勾股数的通用规律；代数推理素养；不完全归纳法；公式推导。 2.解题方法技巧   ①观察已知勾股数组的数字特征，区分奇数、偶数勾股数规律；   ②结合通用构造公式，用代数式表示未知勾股数；   ③代入验证平方关系，确保结果符合勾股数定义。 【例题7】.（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料，回答问题． 主题 探索勾股数中的奇妙规律 提出问题 下面给出了四组勾股数：①②③④．问题1：请分别计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 分析猜想 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数． 推理证明 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若、、均为正整数，且．则是偶数． 证明：（ⅰ）当、均为偶数时，设，（、为正整数） 则：① 是正整数是一个完全平方数 设（是正整数），则 ② 是偶数． （ⅱ）当、均为奇数时， 设，，（、为非负整数），则： ∵完全平方数除以4的余数只能是0或1 不是完全平方数，这与是正整数相矛盾， ∴、不能均为奇数． （ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，，（为正整数，为非负整数）…… 问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【变式题7-2】.（2026·安徽合肥·一模）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：，，，． 第二类：，，，． (1)任写一组勾股数满足第一类形式为________； (2)假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数________，并证明你的猜想． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1) ； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为 ， ． 【压轴素养题型】 【题型8】跨学科情境综合应用 1.核心知识点   方位角与垂直关系；运动路程计算；勾股定理与逆定理综合；跨学科建模素养。 2.解题方法技巧   ①根据方位角、运动速度和时间，计算各线段路程长度；   ②抽象几何模型，判定三角形是否为直角三角形；   ③结合实际场景，求解最短距离、运动时间等实际问题。 【例题8】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）图是某超市的购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离．      (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到的距离． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图①，在中，为边上的高． (1)若，，，的形状为______． (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足时，是直角三角形，请你验证小明的发现是否正确？ (3)如图②是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图③所示的图形，已知斜梁．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁，请问该房梁是否安全？请直接写出答案． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·江西赣州·期中）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正西方120m处，点在点的正北方60米处（即，，）． (1)求证：； (2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更长？ 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． (1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； (2)若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 【题型9】新定义类三角形探究问题 1.核心知识点   新定义题型理解；勾股定理与逆定理综合；代数推理、创新探究素养。 2.解题方法技巧   ①准确解读题目新定义规则，提炼核心判定条件；   ②结合勾股相关知识，代入边长验证新定义；   ③通过代数推导、分类举例，完成探究与证明。 【例题9】.（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）定义：如果一个正整数m能表示成两个不同的正整数a和b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面四个结论：①不是广义勾股数；②是广义勾股数；③广义勾股数的2倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题9-1】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习（勾股定理）一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数． 关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3，4，5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是（九章算术）． 【问题解答】 (1)根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数； (2)若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ (1)请补全表中的勾股数． (2)对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． (3)某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． 易错点 1、忽略判定前提，未区分最长边，随意套用公式，导致判定结果错误。 2、混淆勾股数概念，将小数、分数组成的直角三角形边长误认为勾股数，遗漏“正整数”核心条件。 3、混淆勾股定理与逆定理，已知直角求边长用逆定理，已知边长判直角用勾股定理，定理适用场景颠倒。 4、三角形按角分类时，仅验证直角情况，忽略锐角、钝角三角形的平方关系判定，答题不完整。 5、动点、无图题型中，未进行分类讨论，遗漏部分直角情况，造成解题漏解。 重点 1、熟练掌握勾股定理逆定理的文字、符号表述，能通过三边长度快速判定直角三角形。 2、精准掌握勾股数的定义与规律，熟练识别常见勾股数，会利用倍数规律快速解题。 3、掌握不规则四边形、网格图形的直角判定与面积计算方法，熟练运用图形分割思想。 4、能将生活、跨学科情境抽象为几何模型，运用勾股逆定理解决实际问题。 难点 1、勾股定理与逆定理的综合辨析，精准区分二者适用场景，解决几何证明与计算综合题。 2、动态动点问题、新定义探究题，结合分类讨论、代数推理完成复杂题型求解。 3、结合非负数、坐标系、跨学科情境的复合型题型，实现数形结合与建模素养的综合运用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各组数据是勾股数的是（     ） A．0.3  0.4  0.5 B．     C．9  16  25 D．12  16  20 2．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 二、填空题 4．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 5．如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 6．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 三、解答题 7．高师傅有5根长度 （单位：）分别为，，，，的钢条，准备选3根焊接一个直角三角形钢架．请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合． 8．如图，在中，于点D，，，． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 9．若一个三角形的三条边长、、满足，则这个三角形是直角三角形吗？ 10．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 一定是直角三角形吗 知识点1：勾股定理的逆定理（直角三角形判定）   1. 文字表述：如果一个三角形的三边长a、b、c，满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。   2. 符号表述：在△ABC中，若三边长满足，则△ABC为直角三角形，且边长c所对的角为90°。   3. 核心判定规则：判定时必须以最长边作为平方等式右侧的边，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，不可随意套用公式。   4. 适用场景：无角度条件，仅通过三角形三边长判定三角形是否为直角三角形，是边长判定直角三角形的唯一核心依据。   5. 拓展延伸：设c为三角形最长边，若，三角形为锐角三角形；若，三角形为钝角三角形。 知识点2：勾股定理与逆定理的区别与联系 类别 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 已知三角形是直角三角形 已知三角形三边的数量关系 结论 推导三边平方关系 判定三角形为直角三角形 功能 性质应用，已知直角求边长、算面积 判定应用，已知边长判直角、定形状 联系 二者互为逆命题，均针对直角三角形三边关系，是数形结合的核心依据 知识点3：勾股数   1. 定义：满足的三个正整数，称为勾股数，小数、分数均不属于勾股数。   2. 必备条件：三个数均为正整数；两个较小数的平方和等于最大数的平方，二者缺一不可。   3. 常见勾股数：基础组（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（8,15,17）。   4. 核心规律：一组勾股数的正整数倍仍然是勾股数，如（3,4,5）的2倍（6,8,10）、3倍（9,12,15）均为勾股数，勾股数有无数组。   5. 通用构造公式：n＞1的正整数，为一组勾股数；n≥3的奇数，为一组勾股数。 【基础必考题型】 【题型1】三边数值判定直角三角形 1.核心知识点   勾股定理的逆定理定义；直角三角形边长判定规则；最长边的识别与平方计算。 2.解题方法技巧   ①先找出三边中最大的数值，确定为潜在斜边；   ②分别计算最大数的平方、另外两个小数的平方和；   ③对比两组数值，相等则为直角三角形，不相等则不是；   ④快速排除：三边数值不满足三角形三边关系的，直接排除。 【例题1】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系和勾股定理的逆定理判断，即验证两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方． 【详解】解：A选项中，不能构成三角形，故该选项不符合题意； B选项中，，，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C选项中，，，能构成直角三角形，故该选项符合题意； D选项中，，，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·广东湛江·开学考试）以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．5，12，13 C．3，4，5 D． 【答案】A 【详解】解：A. ，，，不能构成直角三角形， B. ，能构成直角三角形， C. ，能构成直角三角形， D. ，能构成直角三角形． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）试判断由下列三边围成的三角形是不是直角三角形： (1)三边长分别为； (2)三边长之比为． 【答案】(1)不是直角三角形 (2)是直角三角形 【分析】（1）先根据确定最长边，再用勾股定理的逆定理验证较短两边平方和与最长边平方是否相等； （2）根据边长比例设出三边长度，结合勾股定理的逆定理判断． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴， 又， ， ， ∴最长边为， ， ， 又∵当时，， ， 该三角形不是直角三角形； （2）解：设三边长分别为、、， ，， ， 该三角形是直角三角形． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）试判断下列各组以为三边长的三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是直角三角形，边所对的角是直角 (2)是直角三角形，边所对的角是直角 (3)不是直角三角形 (4)是直角三角形，边所对的角是直角 【分析】（1）先确定最长边，计算两条较短边的平方和与最长边的平方，根据二者是否相等判断是否为直角三角形；若为直角三角形，最长边所对的角为直角.是直角三角形； （2）类比（1）求解即可； （3）类比（1）求解即可； （4）类比（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵ ，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角； （2）解：∵，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角； （3）解：∵，最长边为和（长度均为）， 又，， ∴， ∴最长边所对的角不是直角，该三角形不是直角三角形； （4）解：设三边长的每份长度为（），则，，，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角． 【题型2】勾股数的识别与判断 1.核心知识点   勾股数的定义与两大必备条件；勾股数与直角三角形边长的区别；勾股数的整数倍规律。 2.解题方法技巧   ①第一步筛选：排除含小数、分数、0的数组，仅保留正整数组；   ②第二步验证：按最短边平方和等于最长边平方逐一验算；   ③速记常用勾股数组及其倍数，提升选择题解题速度。 【例题2】.（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股数． 【详解】解：A．，不是勾股数； B、C、D组分别满足，，，均为勾股数． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·云南红河·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【详解】解：勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数， 选项A中，且三个数均为正整数，符合题意； 选项C中，，，不满足勾股定理，不符合题意； 选项B中各数为无理数，选项D中各数为小数，均不是正整数，不符合题意． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 【详解】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方，两个条件缺一不可，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：∵勾股数要求三个数均为正整数， 选项A中三个数都是小数，选项B中三个数都是无理数，都不是正整数，因此A、B错误； 对选项C，∵ ，，可得，因此C错误； 对选项D，∵ ，且6、8、10都是正整数，满足勾股数的定义，∴D正确． 【题型3】网格格点三角形形状判定 1.核心知识点   网格线段长度计算；勾股定理、勾股逆定理综合应用；数形结合思想。 2.解题方法技巧   ①利用网格横纵格子数，结合勾股定理求出三角形三边平方；   ②无需开方求边长，直接通过三边平方的数量关系判定直角；   ③可结合网格特征，辅助判断锐角、钝角三角形。 【例题3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据网格的特点，分别求得、和，然后根据，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴； 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接． ∵， ， ∴， 是直角三角形，且． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积以及1个正方形面积即可求解； （2）根据已知边长得出，进而可得出． 【详解】（1）解：四边形的面积为：． （2）略 【变式题3-3】.（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 【题型4】生活实物情境直角判定 1.核心知识点   实际情境几何建模；勾股逆定理的生活化应用；直角的实际意义。 2.解题方法技巧   ①提取生活场景中的线段长度，抽象出三角形模型；   ②明确判定目标，利用三边关系验证是否存在直角；   ③常见场景：电线杆垂直检测、建筑直角校准、路径垂直判定。 【例题4】.（2025八年级上·全国·专题练习）车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图所示，按照规定，李师傅依次测量三条边的长度，由此判断该零件是否合格．李师傅这样做的依据是（    ） A．直角三角形两锐角互余 B．三角形两边之和大于第三边 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理；根据勾股定理的逆定理的定义即可求出结果． 【详解】解：根据题意，李师傅这样做的依据是勾股定理的逆定理； 根据勾股定理的逆定理得，若，则说明；则该零件合格； 故选：D． 【变式题4-1】.（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】 这个零件不符合要求，理由如下： 由图可知：，，，，， ，， 不是直角三角形、是直角三角形， ，， 故这个零件不符合要求． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断、的形状，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】略 【变式题4-2】.（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 【答案】(1) (2)这个零件合格． 【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）先分别算出得出，满足勾股逆定理，得出是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，，． ∴ （2）解：这个零件是合格的，理由如下： 由（1）得， ∵，， ∴ 即 ∴是直角三角形， ∴这个零件是合格的． 【变式题4-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形四个角都应是直角，他在挖完后测量发现，则他挖的地基______．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的方法成为解题的关键． 通过勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形可得，即可判断是否合格． 【详解】解：∵， ∴，即， 同理：， ∴他挖的地基是合格的． 故答案为：合格． 【培优高频题型】 【题型5】非负数性质结合直角三角形判定 1.核心知识点   绝对值、平方、算术平方根的非负性；勾股逆定理；三角形形状判定。 2.解题方法技巧   ①多个非负数的和为0，则每一项均为0，据此求出三边长；   ②整理三边长度，识别最长边，验证平方关系；   ③结合边长结果，判定三角形形状并计算相关量。 【例题5】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，若，则的形状是________． 【答案】直角三角形 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·重庆北碚·期末）已知的三边分别是a、b、c． (1)若，且a、b、c都是正整数，求周长的最大值． (2)若，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)25 (2)等腰三角形或直角三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、平方的非负性、三角形三边关系及因式分解的应用． （1）先将已知等式通过完全平方公式变形，再根据平方的非负性求出a、b的值，最后根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出周长的最大值； （2）先对已知等式进行移项，然后通过因式分解将等式变形，再根据因式分解的结果判断的形状． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴且， 解得，， 根据三角形三边关系，可得，即， ∵c是正整数， ∴c的最大值为12， ∴周长的最大值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴， ∴或， 当时，，此时是等腰三角形； 当时，，此时是直角三角形， ∴是等腰三角形或直角三角形． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·四川德阳·阶段检测）已知为的三边，且，判断的形状，并说明理由． 【答案】 是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定、绝对值和偶次方的非负性、完全平方公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据已知等式可得，从而可得，，再根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定即可得． 【详解】略 【变式题5-3】.（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在中，，如果满足，则的形状是_______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：， ， 即， 是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【题型6】不规则四边形面积求解 1.核心知识点   勾股定理与逆定理综合应用；图形分割思想；不规则图形面积计算。 2.解题方法技巧   ①连接四边形对角线，将四边形分割为两个三角形；   ②先用勾股定理求出对角线长度，再用逆定理判定第二个三角形为直角三角形；   ③分别计算两个直角三角形面积，求和得到四边形总面积。 【例题6】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，． (1)请判断的形状并说明理由； (2)求线段的长． 【答案】(1) 解：是直角三角形． 理由：在中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以是直角三角形． (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定得出是直角三角形即可； （2）根据等积法求出线段的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知是直角三角形，且， 因为， 所以． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 【答案】26 【分析】先根据勾股定理求出的长，再证明是直角三角形，再将与的面积求和即可得四边形的面积． 本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：， 中，， ∵、， ， 又∵在中， ，，， ， 是直角三角形，， ． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，，． ． （2）解：在中，，，， ，． ． ． ． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知在中，，求的面积． 【答案】 【分析】先求解，再利用勾股定理的逆定理证明，再进一步求解即可. 【详解】解：， 在Rt中，由勾股定理得， ， 在中，， ， 是直角三角形，， 的面积 【题型7】勾股数规律探究与求值 1.核心知识点   勾股数的通用规律；代数推理素养；不完全归纳法；公式推导。 2.解题方法技巧   ①观察已知勾股数组的数字特征，区分奇数、偶数勾股数规律；   ②结合通用构造公式，用代数式表示未知勾股数；   ③代入验证平方关系，确保结果符合勾股数定义。 【例题7】.（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 【答案】(1) ∵都是正整数， 且，， ∴， ∴是一组勾股数； (2) ∵表示大于1的整数， ∴，，都是正整数， ∵，， ∴， ∴、、是一组勾股数． 【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料，回答问题． 主题 探索勾股数中的奇妙规律 提出问题 下面给出了四组勾股数：①②③④．问题1：请分别计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 分析猜想 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数． 推理证明 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若、、均为正整数，且．则是偶数． 证明：（ⅰ）当、均为偶数时，设，（、为正整数） 则：① 是正整数是一个完全平方数 设（是正整数），则 ② 是偶数． （ⅱ）当、均为奇数时， 设，，（、为非负整数），则： ∵完全平方数除以4的余数只能是0或1 不是完全平方数，这与是正整数相矛盾， ∴、不能均为奇数． （ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，，（为正整数，为非负整数）…… 问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)；；；；发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数 (2) ① ② (3) 当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，（为正整数，为非负整数） 则： 为奇数，又 是偶数． 综上所述，是偶数． 【分析】（1）观察规律发现各组勾股数之和为偶数； （2）①将，代入计算即可求解；②代入，，即可求解； （3）仿照例题证明即可． 【详解】（1）解：；； ；； 发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数； （2）略； （3）略． 【变式题7-2】.（2026·安徽合肥·一模）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：，，，． 第二类：，，，． (1)任写一组勾股数满足第一类形式为________； (2)假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数________，并证明你的猜想． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 解：可猜想：第二类每组勾股数的第一个数为偶数，记为m，则． 证明：， ， ∴， m为偶数，且，故和为正整数， ∴是一组勾股数． 【分析】（1）根据第一类每组勾股数的三个数之间的规律可得答案； （2）根据第二类每组勾股数的变化规律，猜想并证明即可． 【详解】（1）解：取第一个数为11，第二个数为60，第三个数为61， ∵，， ∴， 故一组勾股数满足第一类形式为（答案不唯一）； （2）略 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1) ； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为 ， ． 【答案】(1)9 (2) 证明： ， ∴， ∴是勾股数； (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据表格信息，列式求解即可； （2）根据表格，运用整式的混合运算法则证明即可； （3）根据题意将变形得到，则，结合（2）的结论计算即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，当时，，，， ∵是勾股数，即， ∴， ∴，代入得，， 解得，， 故答案为：9； （2）略 （3）解：∵， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：，． 【压轴素养题型】 【题型8】跨学科情境综合应用 1.核心知识点   方位角与垂直关系；运动路程计算；勾股定理与逆定理综合；跨学科建模素养。 2.解题方法技巧   ①根据方位角、运动速度和时间，计算各线段路程长度；   ②抽象几何模型，判定三角形是否为直角三角形；   ③结合实际场景，求解最短距离、运动时间等实际问题。 【例题8】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）图是某超市的购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离．      (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到的距离． 【答案】(1)是直角三角形；理由如下： 购物车侧面简化示意图中，支架，，两轮中心的距离， ，即， 是直角三角形． (2) 【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ，，， ， 由（1）得，是直角三角形， ， ， 购物车上篮子的左边缘到的距离为． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图①，在中，为边上的高． (1)若，，，的形状为______． (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足时，是直角三角形，请你验证小明的发现是否正确？ (3)如图②是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图③所示的图形，已知斜梁．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁，请问该房梁是否安全？请直接写出答案． 【答案】(1)直角三角形 (2)正确 (3)不安全 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：不安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ，， ， 不是直角三角形， ∴这个房梁不安全． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·江西赣州·期中）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正西方120m处，点在点的正北方60米处（即，，）． (1)求证：； (2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更长？ 【答案】(1) 证明：在中，米，米，米， ， ， ， (2)路线更短 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． (1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； (2)若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 【答案】(1) 解：他的说法正确．理由如下： ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，． (2)风筝垂直下降的高度为 【分析】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，用勾股定理解三角形，求风筝高度(勾股定理的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用勾股定理的逆定理求解； （2）先求得，再利用勾股定理求得，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度． 【详解】（1）略 （2）由题意得，， ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∴， 即风筝垂直下降的高度为． 【题型9】新定义类三角形探究问题 1.核心知识点   新定义题型理解；勾股定理与逆定理综合；代数推理、创新探究素养。 2.解题方法技巧   ①准确解读题目新定义规则，提炼核心判定条件；   ②结合勾股相关知识，代入边长验证新定义；   ③通过代数推导、分类举例，完成探究与证明。 【例题9】.（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）定义：如果一个正整数m能表示成两个不同的正整数a和b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面四个结论：①不是广义勾股数；②是广义勾股数；③广义勾股数的2倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义的理解与应用，有理数的计算，理解题目的定义并正确应用是解题关键．根据题目的定义逐项判断即可． 【详解】解：①∵其中2和3是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故①错误． ②∵ 其中3和是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故②正确． ③设m是广义勾股数，且 (a、b为不同的正整数)， 则 ， ∵a、b是不同的正整数， ∴和也是正整数，且，满足广义勾股数的定义， ∴广义勾股数的2倍是广义勾股数，故③正确． ④例如 它们都是广义勾股数， 但无法表示成两个不同正整数的平方和，不满足广义勾股数的定义， ∴不同的广义勾股数的和不一定是广义勾股数，故④错误． 综上，正确的结论有②③，共2个， 故选：B． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果； （3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习（勾股定理）一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数． 关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3，4，5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是（九章算术）． 【问题解答】 (1)根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数； (2)若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数． 【答案】(1) (2) 证明：∵， 又∵，且， ∴， ∴， ∴是中的最大数， ， 是一组勾股数． 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论． 【详解】（1）解：把代入，，中， 得，，， 这组勾股数为； （2）略 【变式题9-3】.（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ (1)请补全表中的勾股数． (2)对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． (3)某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． 【答案】(1) 补全表中的勾股数如下： (2) 解：根据表格信息可知，，，， 证明：∵，，， ∴， ∴； (3)． 【分析】本题考查了勾股数，数字规律，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格中提供的数据可得答案； （）根据表格中规律可得，，，然后通过完全平方公式即可求解； （）设，由于最短边可种株花，则有，从而求出，，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， ∵最短边可种株花， ∴， 由（）可得，， ∴该直角三角形上一共可以种植花（株）， 故答案为：． 易错点 1、忽略判定前提，未区分最长边，随意套用公式，导致判定结果错误。 2、混淆勾股数概念，将小数、分数组成的直角三角形边长误认为勾股数，遗漏“正整数”核心条件。 3、混淆勾股定理与逆定理，已知直角求边长用逆定理，已知边长判直角用勾股定理，定理适用场景颠倒。 4、三角形按角分类时，仅验证直角情况，忽略锐角、钝角三角形的平方关系判定，答题不完整。 5、动点、无图题型中，未进行分类讨论，遗漏部分直角情况，造成解题漏解。 重点 1、熟练掌握勾股定理逆定理的文字、符号表述，能通过三边长度快速判定直角三角形。 2、精准掌握勾股数的定义与规律，熟练识别常见勾股数，会利用倍数规律快速解题。 3、掌握不规则四边形、网格图形的直角判定与面积计算方法，熟练运用图形分割思想。 4、能将生活、跨学科情境抽象为几何模型，运用勾股逆定理解决实际问题。 难点 1、勾股定理与逆定理的综合辨析，精准区分二者适用场景，解决几何证明与计算综合题。 2、动态动点问题、新定义探究题，结合分类讨论、代数推理完成复杂题型求解。 3、结合非负数、坐标系、跨学科情境的复合型题型，实现数形结合与建模素养的综合运用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各组数据是勾股数的是（     ） A．0.3  0.4  0.5 B．     C．9  16  25 D．12  16  20 【答案】D 【分析】先利用勾股数为正整数的要求排除非整数选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：A．各数为小数，均不是正整数，故不是勾股数； B．各数为分数，均不是正整数，故不是勾股数； C．，，，故不是勾股数； D．，，且12，16，20均为正整数，故是勾股数． 2．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定每组数的最长边，验证两条较短边的平方和与最长边的平方是否相等，相等则可作为直角三角形三边长． 【详解】解：A选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； B选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； C选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； D选项，最长边为， ∵， ∴能作为直角三角形的三边长，故符合题意． 3．如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】先通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再利用南北方向线互相平行的性质求出的度数，作差算出与的夹角，从而确定相对于的方位． 【详解】解：， ， ， ，如下图： ， ， ， 此时机器狗位于点的北偏西方向上． 二、填空题 4．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 【点睛】 5．如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 【答案】 【分析】证明是直角三角形，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴． 6．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数． 【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：， 移项得：， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角， 因此． 三、解答题 7．高师傅有5根长度 （单位：）分别为，，，，的钢条，准备选3根焊接一个直角三角形钢架．请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合． 【答案】 共有2种符合要求的钢条组合： 长度为，，的钢条组合； 长度为，，的钢条组合. 【分析】先列出常见基础勾股数及其倍数，与题目中的钢条长度比对，直接锁定符合条件的组合；再按最长边优先原则验证，排除其余组合． 【详解】解：常见基础勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25等，其正整数倍仍为勾股数， 6，8，10是3，4，5的2倍，故长度，，的钢条组合满足条件， 10，24，26是5，12，13的2倍，故长度，，的钢条组合满足条件． 其余组合均不满足勾股定理的逆定理． 8．如图，在中，于点D，，，． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，， ∴ 5， ∵， ∴是直角三角形，且． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出． （2）先求出，再利用勾股定理逆定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴AD； （2）解：略； 9．若一个三角形的三条边长、、满足，则这个三角形是直角三角形吗？ 【答案】 这个三角形是直角三角形． 【分析】利用等式的性质变形可得 ，即可证明结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即， 整理得 ， ∵ ，，是三角形的三边长， ∴ 根据勾股定理逆定理该三角形是直角三角形． 10．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $