精品解析：天津市第五十七中学2026-2027学年高三上学期第一次月检测数学试卷

五十七中学2026～2027学年度第一学期第一次月检测 高三数学 （2026.10） 一、单选题（每题5分，共60分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设a则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 设、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A. B. C. D. 6. 下列结论中，错误的是（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B. 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 7. 已知函数，记，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 8. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 3 10. 若函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，下列关于函数的说法中，不正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的单调递增区间为， D. 函数是奇函数 11. 函数的部分图像如图所示，给下列说法： ①函数的最小正周期为； ②直线为函数的一条对称轴； ③点为函数的一个对称中心； ④函数的图像向右平移个单位后得到的图像. 其中不正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围( ) A. B. C. (0，1) D. 二、填空题（每题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 13. 若复数z满足（其中是虚数单位），则z的虚部为______． 14. 在的二项展开式中，的系数为_______（请用数字作答）. 15. 函数的单调递增区间是______. 16. 若，且，则______． 17. 某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有________种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则________． 18. 已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 三、解答题 19. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求在上的最大值和最小值． 20. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，. （1）求角C的大小； （2）求的值； （3）求的值. 21. 在长方体中，，，，，． （1）求证：面； （2）求面与面的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 22. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）设是函数的两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五十七中学2026～2027学年度第一学期第一次月检测 高三数学 （2026.10） 一、单选题（每题5分，共60分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据补集定义求出，再根据交集定义即可求出的结果. 【详解】解：，，， ， . 故选：B. 2. 设a则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合不等式的性质检验充分必要性即可判断． 【详解】解：当时成立，但没有意义，及充分性不成立； 当则此时成立，即必要性成立． 故选：B 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】，， 因为，所以，即， 而， 所以. 故选：B. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求奇偶性，排除BD，再由特殊区间的正负，排除A. 【详解】定义域为R， 且， 所以为偶函数，排除BD； 当时，，故排除A 故选：C 5. 设、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，或与相交，故A错； 对于B，，或或l与不垂直相交，故B错； 对于C，或m，n相交或m，n异面，故C错； 对于D，，故D对． 6. 下列结论中，错误的是（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B. 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，将数据排序后，根据百分位数的定义得到答案；B选项，由正态分布的对称性得到答案；C选项，将样本中心点代入回归方程，求出；D选项，由得到D错误. 【详解】A选项，数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9， ，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A正确； B选项，因为，根据对称性可知， 故，B正确； C选项，已知经验回归方程为，且，则， 解得，C正确； D选项，，故不能得到此结论，D错误 故选：D 7. 已知函数，记，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可以看出，f（x）是偶函数，并且在[0，+∞）上单调递增，从而得出，并且可以得出，从而由f（x）在[0，+∞）上的单调性即可得出a，b，c的大小关系． 【详解】f（x）是偶函数，在[0，+∞）上单调递增； ∴b＝f（log0.23）＝f（﹣log0.23）； ∵50.2＞50＝1，； ∴； ∴； ∴b＜c＜a． 故选A． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及增函数的定义． 8. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论各个选项中函数的定义域、奇偶性和单调性即能得到答案. 【详解】A选项：函数定义为，，是偶函数，A选项不正确； B选项：函数定义为，，是奇函数， 函数在上单调递增，在上单调递减，B选项不正确； C选项：函数定义为，，是奇函数， 因为，所以函数在定义域内单调递增，C选项正确； D选项：函数定义为，，是奇函数， 因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减，D选项不正确. 故选：C. 9. 若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对数的运算法则求出的值，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由， 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 10. 若函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，下列关于函数的说法中，不正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的单调递增区间为， D. 函数是奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项，从而得出结论. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得， 时，，为的最大值，所以选项A正确； 时，，所以选项B正确； 令，则 ，所以选项C错误； 为奇函数，所以选项D正确. 故选：C. 11. 函数的部分图像如图所示，给下列说法： ①函数的最小正周期为； ②直线为函数的一条对称轴； ③点为函数的一个对称中心； ④函数的图像向右平移个单位后得到的图像. 其中不正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的部分图像求出的解析式，再根据三角函数的图像与性质，判断题目中的命题是否正确. 【详解】解：由图像可知：,,可得,故①正确； 由，可得，所以， 又，可得，，可得，故，令，可得，当时，对称轴为， 故②正确； 令，可得，当时，对称中心为，故③正确； 函数的图像向右平移个单位后得到，即，故④错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查命题真假的判断及三角函数的性质与平移，属于中档题. 12. 已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围( ) A. B. C. (0，1) D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出f(x)图像，判断y＝m与y＝f(x)图像有3个交点时m的范围即可. 【详解】∵有3个零点， ∴有三个实根， 即直线与的图像有三个交点. 作出图像， 由图可知，实数的取值范围是(0，1). 故选：C. 二、填空题（每题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 13. 若复数z满足（其中是虚数单位），则z的虚部为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得，再根据虚部定义可得结果. 【详解】由题意可得； 由虚部定义可得z的虚部为2. 故答案为：2 14. 在的二项展开式中，的系数为_______（请用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项展开式通项为， 令，解得, 所以， 故答案为： 15. 函数的单调递增区间是______. 【答案】 【解析】 【分析】先由函数解析式求出定义域，再根据复合函数单调性的判定方法，即可得出单调递增区间. 【详解】由可得，解得或， 即函数的定义域为， 令，， 因为是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以在上单调递减，在上单调递增； 又对数函数是减函数， 根据复合函数同增异减的原则，可得的单调递增区间是. 故答案为：. 16. 若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件结合对数的运算性质，用表示出，代入中可得到关于的方程，解方程即可求解. 【详解】由知， 所以，且， 两边取以2为底的对数得，所以. 同理，由得. 所以，即，解得. 17. 某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有________种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则________． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】利用排除法，总的方案数减去甲和乙选择的课程的方案数即可得到甲和乙选择的课程不同的方案数；分有一个人选择“九章算术”和两个人选择“九章算术”两种情况，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求得事件中包含的方案数，再利用条件概率公式求得 【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 故答案为：30；. 18. 已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 三、解答题 19. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求在上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）（） （3）最小值为，最大值为2 【解析】 【分析】（1）首先将函数解析式化简，再根据最小正周期公式求解即可； （2）根据正弦函数的单调递增区间，整体法列出不等式，解不等式即可求解； （3）根据，求出解析式中对应的整体范围，结合正弦函数的图象可得到最值. 【小问1详解】 依题意函数 ， 所以的最小正周期． 【小问2详解】 由（1）可得， 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为（）． 【小问3详解】 当时，， 所以，， 所以在上的最小值为，最大值为2． 20. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，. （1）求角C的大小； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理即可求解； （3）先求出，再利用三角恒等变换结合二倍公式即可求解. 【小问1详解】 解： 由正弦定理将角化为边整理得： 所以 又 所以 【小问2详解】 解：由（1）知，，又， 由正弦定理得： 即 解得： 【小问3详解】 解：由题知，， 即 所以 所以为锐角 由（2）知， 所以 所以 所以 即. 21. 在长方体中，，，，，． （1）求证：面； （2）求面与面的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；方法二：由面面角的向量求法可得；方法三：作辅助线，可证平面，进而可知平面与平面的夹角为，即可得面面夹角余弦值； （3）方法一：由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积； 方法二：由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积； 方法三：由（2）可知点到平面的距离为，进而可求三棱锥体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法三：由题意可知：，，， 则，则， 过点作，设，，连接， 由（1）可知：平面，则平面，可得，， 且，平面，可得平面，则， 可知平面与平面的夹角为， 因为，，， 则，可得，， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 方法三：由题意可知：，，，， 则的面积， 由（2）可知点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 22. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； （3） ， 则， 因为是函数的两个极值点， 即是方程的两不等正根， 所以，得， 令，则， 得， 则， 所以 ， 则， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）求导，然后求出，，根据点斜式写出直线方程； （2）求导，然后分和讨论求的单调区间； （3）根据极值点为导函数的零点，令，利用韦达定理将用表示，代入，构造函数求其最值即可. 【小问1详解】 当时，， 得，则，， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，在上单调递增，无减区间， 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用韦达定理，令达到消元的目的，常用的换元有等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $