精品解析：四川遂宁市大英县育英初级中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

九年级数学限时训练 一．选择题（每小题3分，共18小题，计54分） 1. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，由此逐项判断即可． 【详解】解：，，， 、、均不是最简二次根式， 的被开方数为整数，不含分母，且不含能开得尽方的因数， 是最简二次根式，故答案为． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、 ，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 使代数式有意义的x的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为零求解即可． 【详解】解：有意义可得： 且 解得：且， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和分母不为零，掌握二次根式有意义的条件和分母不为零是解题的关键． 4. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 5. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；根据此定义即可进行解答． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，是一元二次方程，符合题意； C、，含有4个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，再去进行判断． 6. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程有实数解的条件是．计算各方程的，的一元二次方程有实数解． 【详解】解：、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； B、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； C、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； D、根的判别式，符合题意； 故选：． 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A. b B. ﹣b C. 2a﹣b D. ﹣2a+b 【答案】B 【解析】 【详解】解：由数轴上点的位置，得：a＜0＜b，|a|＞|b|． 原式= ﹣（b﹣a）=﹣a﹣b+a=﹣b．故选B． 8. 用配方法解方程，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将常数项移至方程右侧，两边加上一次项系数一半的平方，把左侧化为完全平方式. 【详解】解：∵， ∴， ∴，即. 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即． ∵方程有实数根， ∴． ∴． ∴． ∴． 综上，的取值范围是且． 10. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则该三角形第三边的长是（ ） A. 6 B. 3或7 C. 3 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】把方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两数之积为0，两因式至少有一个为0，转化为两个一元一次方程，分别求出两方程的解即可得到原方程的解，进而得到三角形的第三边长． 【详解】方程x2-10x+21=0可化为：（x-3）（x-7）=0， 解得：x1=3，x2=7， ∴三角形的第三边长为3或6， 当第三边长为3时，由3+3=6，得到三边不能构成三角形，舍去； 所以第三边长为7， 故选D． 【点睛】此题考查了运用因式分解法解一元二次方程，以及三角形的三边关系，运用因式分解的方法解一元二次方程的前提必须是方程坐标利用因式分解的方法把和的形式化为积的形式，右边为0，此方法的理论依据为ab=0，得到a=0或b=0，三角形的三边关系为：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，利用此性质把求出的方程的解x=3舍去． 11. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将道路平移，可得到长方形的长为，宽为，直接代入面积公式即可． 【详解】解：由题意可列式：． 12. 若，则化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 13. 已知，则的算术平方根是（ ） A. B. C. ±2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出b，进而求出a，根据算术平方根的概念计算即可． 【详解】解：由题意得：b-8≥0，8-b≥0， 解得：b=8， 则a=2， ∴=4， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，算术平方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 14. 下列关于二次函数的性质，说法不正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 它的图象的对称轴是y轴 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小． 【详解】A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点，故该选项是正确的，不符合题意； B、的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的，不符合题意； C、的图象的对称轴是y轴, 开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为的图象开口向上，有最小值，故该选项是错误的，符合题意． 故选：D． 15. 把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线是：； 整理得：； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 16. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 17. 已知点是抛物线上的两点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：由得抛物线对称轴为直线． ∵，即点、到对称轴的距离相等， ∴点、关于抛物线对称轴对称， ∴． 18. 如图，是抛物线图象的一部分，已知抛物线的对称轴是，与轴的一个交点是，有下列结论： ①； ②； ③； ④抛物线与轴的另一个交点是； ⑤点，都在抛物线上，则有． 其中正确的是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0， ∴abc＞0，故①正确； 由抛物线的图象知：当x=-2时，y＞0， 即4a-2b+c＞0，故②错误； ∵抛物线的对称轴为x=2， ∴-=2，b=-4a， ∴4a+b=0，故③正确； ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是x=2，与x轴的一个交点是（-1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；故④正确； ∵对称轴方程为 x=2， ∴（-3，y1）可得（7，y1） ∵（6，y2）在抛物线上， ∴由抛物线的对称性及单调性知：y1＞y2，故⑤错误； 综上所述①③④正确． 故选B. 【点睛】该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（每小题4分，共6小题，共计24分） 19. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义可得，解之即可求解，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 20. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是______． 【答案】-3 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+x+（m2-9）=0， 得m2-9=0， 解得：m=±3， ∵m-3≠0， ∴m=-3， 故答案是：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解，注意方程有意义，其二次项系数不能为0． 21. 若实数m，n满足，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解． 【详解】解：由题意知，m，n满足， ∴m-n-5=0，2m+n−4=0， ∴m=3，n=-2， ∴， 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 22. 若二次函数的图像最高点的纵坐标为3，则的值是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由抛物线顶点纵坐标且为最高点得出，且，解之可得． 【详解】解：二次函数的图象最高点的纵坐标为3， ，且， 解得：或舍去， 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式与性质． 23. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】2021 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：2021 24. 已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】由，以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：且， 综上，的取值范围是且． 三．解答题（共8小题，计72分） 25. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）3． 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算． （1）利用零指数幂、绝对值、立方根和算术平方根计算即可； （2）利用平方差公式和二次根式的乘法进行计算，再进行加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 26. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解出一元二次方程即可． （2）利用提公因式法解出一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 移项得， 配方得， 开平方得或， ，， ，． 【小问2详解】 解：， 移项得， 提公因式得， 或， ，． 27. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；2 【解析】 【分析】根据分式的运算法则对代数式进行化简，然后把a，b的值代入求值． 【详解】解：原式=÷==； 当a=，b=时，=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 28. 关于的方程为． （1）证明：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程的两个实数根，满足，求出的值． 【答案】（1）证明：一元二次方程为， ，，， ， ， ，即， 方程有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的值的符号即可判定； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根的和与两根的积，再根据，代入即可得到关于的方程，从而求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两个实数根，， ，， ， ， ， 解得． 29. 温州某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出160件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件，设这种商品的销售单价为x元． （1）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求x的值． （2）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】（1）11或9 （2）当商品的销售单价定为元时，该商店销售这种商品获得的利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据“利润值=（销售单价购进单价）销售量”，列出一元二次方程，即可求解； （2）设销售的总利润为元，根据题意列出函数关系式，再利用配方法求得结果． 【小问1详解】 根据题意得，， 解得，； ∴x的值为11或9． 【小问2详解】 设销售的总利润为元，根据题意得， ， ∵， ∴， 当时，有最大值， 答：当商品的销售单价定为元时，该商店销售这种商品获得的利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用和配方法的应用，正确理解题意、正确列出一元二次方程是解题关键． 30. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）解析式为，顶点坐标为 （2）点P的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质； （1）用待定系数法即可求得解析式，再解析式配方即可求得顶点坐标； （2）首先验证P是顶点时是否满足题意，再考虑点P在x轴上方时的情况即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 解析式配方得， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴顶点到x轴距离为4， 则，表明点P是抛物线的顶点时，也满足， ∴点P坐标为； 当点P在x轴上方时，设，其中， ∵， ∴，即， 解得：， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或． 31. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． （2）若点M是关于x的一元二次方程为的衍生点，若点M在直线上，求m的值； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）m的值为 （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）解方程后，根据定义即可求点坐标； （2）求出方程的解为，，根据，得出，根据点M在直线上，求出，即可得出答案； （3）先求出直线经过定点，则方程的衍生点为，即可求，， 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得：， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵， ∴直线恒过定点，则方程的衍生点M为， ∴根据根与系数的关系有，， 即， ∴，． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，点为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解新定义衍生点，熟练掌握一次函数的图像及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学限时训练 一．选择题（每小题3分，共18小题，计54分） 1. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 使代数式有意义的x的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A. b B. ﹣b C. 2a﹣b D. ﹣2a+b 8. 用配方法解方程，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则该三角形第三边的长是（ ） A. 6 B. 3或7 C. 3 D. 7 11. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 若，则化简为（ ） A. B. C. D. 13. 已知，则的算术平方根是（ ） A. B. C. ±2 D. 2 14. 下列关于二次函数的性质，说法不正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 它的图象的对称轴是y轴 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 有最大值 15. 把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 16. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 17. 已知点是抛物线上的两点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 18. 如图，是抛物线图象的一部分，已知抛物线的对称轴是，与轴的一个交点是，有下列结论： ①； ②； ③； ④抛物线与轴的另一个交点是； ⑤点，都在抛物线上，则有． 其中正确的是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（每小题4分，共6小题，共计24分） 19. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 20. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是______． 21. 若实数m，n满足，则__________． 22. 若二次函数的图像最高点的纵坐标为3，则的值是__________． 23. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_________． 24. 已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 三．解答题（共8小题，计72分） 25. 计算： （1）； （2）． 26. 解方程： （1）； （2）． 27. 先化简，再求值：，其中，． 28. 关于的方程为． （1）证明：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程的两个实数根，满足，求出的值． 29. 温州某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出160件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少20件，设这种商品的销售单价为x元． （1）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求x的值． （2）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？ 30. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 31. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． （2）若点M是关于x的一元二次方程为的衍生点，若点M在直线上，求m的值； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $