精品解析：贵州遵义市凤冈县第二中学2026-2027学年度第一学期高二年级9月教学监测数学试卷

凤冈县第二中学2026-2027学年第一学期9月教学监测试题 高二数学 出题人：袁小勇 审题人：代现成 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应的位置粘贴条形码. 2．选择题答题时，请用2B铅笔进行填涂，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后在选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符号题意的. 1. 在复平面内，若，则z的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】因复数的共轭复数为， 其对应的点的坐标为，在第三象限. 2. （ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由两角和余弦公式知原三角函数式可化为，即可求值 【详解】根据两角和余弦公式，知： 故选：A 【点睛】本题考查了利用三角恒等变换化简求值，这里应用了两角和余弦公式将三角函数式化简并求值，属于简单题 3. 将正方体的棱长扩大到原来的两倍，其表面积扩大到原来的（ ）倍 A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】设原正方体棱长为，则表面积为；棱长变为，表面积变为，扩大到原来的4倍. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，因式分解得，解得， ，故， 由，移项通分得，等价于， 解得，即， 所以. 5. 已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形， 则圆柱的底面周长即为正方形的边长，正方形的边长即为圆柱的高， 所以正方形的边长为，圆柱的高为， 则圆柱侧面积为. . 6. 已知两条不同直线，两个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 在空间中，如果，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：空间中垂直于同一条直线的两条直线，可能平行、相交或者异面，故A错误； 对于B：等角定理要求方向相同才平行；两角相等，一组边平行，另一组边可以不平行，故B错误； 对于C：两个平行平面内的直线，可能平行，也可能异面，故C错误； 对于D：如果两个平面平行，一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行，这是面面平行的性质，故D正确. 7. 正四面体的边长为2，则该正四面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 如图所示正四面体中，为底面的外心，则平面， 上所有点到三点距离相等，在上取一点使满足， 则为正四面体的外接球球心， 为半径， 因为底面为等边三角形，为底面的外心，所以， 在直角三角形中有得，设， 在直角三角形中有即， 解得，代入球的体积公式得体积为. 8. 在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法的平行四边形法则可判断点的轨迹，由余弦定理求解边长，即可由等面积法求解内切圆半径，即可由三角形面积公式求解. 【详解】由， x，， 根据向量加法的平行四边形法则可知：动点的轨迹是以为邻边的平行四边形及其内部，其面积为的面积的2倍. 在中，设内角所对的边分别为， 因为，所以， 因为，所以，所以， 设的内切圆半径为，则，解得， 所以，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为. 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分. 9. 用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱柱，棱锥和棱台的定义结合图形分析判断即可 【详解】如图三棱柱，连接，则可得平面截三棱柱，得到一个三棱锥，所以D正确， 若用一个平行于平面的平面去截三棱柱，如图平面，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC正确， 因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误， 故选：BCD 10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，是由两种及以上正多边形围成的、所有棱长完全相等的多面体，有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的所有棱长均为6，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 棱长为2 B. 共有8个正六边形面和8个正方形面 C. 表面积为 D. 体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项AB，结合立体图形容易进行判断；选项C，分别计算8个全等的正六边形面和6个全等的正方形面的面积，进而求和得到阿基米德多面体的表面积为；选项D，阿基米德多面体体积为正八面体体积减去6个全等的四棱锥体积，分别计算两部分的体积，进而求得阿基米德多面体体积为. 【详解】选项A，因为正八面体的所有棱长均为6，截去的四棱锥都是全等的，所以截去后，剩余棱长为2，A正确. 选项B，根据立体图形可知，阿基米德多面体共有8个正六边形面和6个正方形面，B错误. 选项C，阿基米德多面体由8个全等的正六边形面和6个全等的正方形面组成. 单个正六边形面积为,单个正方形面积为. 所以阿基米德多面体表面积为，C正确. 选项D，阿基米德多面体体积为正八面体体积减去6个全等的四棱锥体积. 正八面体体积为两个全等的四棱锥的体积之和： 单个截去的四棱锥体积为. 所以阿基米德多面体体积为，即D正确. 11. 若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调递减区间是 C. 当时，函数有507个零点 D. 把的图象向右平移2个单位长度，纵坐标不变，可得的图象 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图象求出 确定函数解析式，再结合三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，.函数图象过点 和 ，且在 之间有一个波峰， 所以半个周期 ，即 . 由 ，得 ，所以 . 将点 代入，得 ， 由图象可知 处函数图象处于上升阶段，即 ，解得 . 因为 ，所以 ，故 . 选项A：由上述分析可知 ，故A错误； 选项B：令 ， 解得 . 所以 的单调递减区间是 ，故B正确； 对于C，令，即. 设，，；. 解方程可得或,， 在一个周期内有两个解. 当时有253个完整周期余下区间，能取个根， 所以当时，有507个零点，C正确； 选项D：，向右平移 2 个单位得到 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是边长为的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形面积公式求的面积，进而根据的直观图的面积，可得答案． 【详解】已知是边长为的正三角形， 所以的面积， 所以的面积为. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的平方等于向量自身数量积的性质，先求解两向量的数量积，再代入差向量的模长公式计算结果. 【详解】  ，代入，，得： ， 化简得，解得.  由差向量的模长平方公式可得： ， 代入，，得： ， 由于向量模长为非负数，因此. 14. 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设正四棱台上底面边长为，利用题设条件可求出石球的半径为，然后利用台体和球体的体积公式计算即可得到答案． 【详解】设正四棱台上底面边长为， 则其上底面的面积，下底面的面积，高， 故， 由题知石球与棱台上下底面相切，如图所示正四棱台，沿斜高作出如下截面， 则，故球的半径， 所以， 因此． 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）因为，分别是，的中点， 所以， 又因为在三棱柱中，，所以. 所以B、C、G、H四点共面. 在三棱柱中，为的中点，是的中点， 所以，，即四边形为平行四边形. 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面， 由（1）得平面，,平面 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）先证明B、C、G、H四点共面，再证得，进而根据线面平行的判定得证； （2）由中点根据中位线性质得，证得平面，再结合（1）中结论由线面平行证得面面平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 在中，角的对边分别是，满足． （1）求A； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，即可求解； （2）根据题意，利用正弦定理，求得，再由余弦定理求得，结合正弦定理，即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理得，即， 又由余弦定理， 可得，可得， 由正弦定理，可得. 17. 如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． （1）证明：四点共面． （2）证明：直线，，经过同一点． 【答案】（1）证明：连接，因为是的中位线，所以 ． 因为，是两个全等的矩形， 所以 ， 所以 ，则四边形为平行四边形，从而． 又因为，所以 ，故四点共面． （2）证明：为梯形，设 ， 因为平面 平面，所以平面 平面． 又因为 ，所以，即直线经过同一点 ． 【解析】 【分析】(1)利用中位线定理和平性定理证明，从而四点共面； (2)设两直线交于一点，利用线面关系和面面交线证明该点在上. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点E在线段上，且． （1）证明：平面 （2）设平面平面，证明： （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以，，所以平面. （2）因为底面为矩形，所以，因为平面， 平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. （3）过作，交于点，过作交于点， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，， 所以平面平面，又因为平面，所以平面， 因为平面，又平面，所以， 所以，又，则， 由，，所以， 因为，，所以， 所以点为线段上靠近的四等分点，即. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据线面平行的性质定理证明线线平行； （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，已知，，，，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N． （1）求； （2）若点M在线段上（端点除外），且，求的面积； （3）当点M、B位于直线的异侧时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】小问（1）根据题目条件找到与的关系进行求解；小问（2）先求出的长度再运用三角形的面积公式进行求解；小问（3）先设的长度，再建立与的关系，再将与的值代入题目的式子，最后结合基本不等式与三角函数的性质求出结果. 【小问1详解】 由题意得：点A，点B分别为的中点 ，， ， ，即. 【小问2详解】 方法一： 设，则， ， 即， ，解得或（舍去），即 ， 方法二： 由题意得：，且， 在中，， ， 在中，设， 则 或（舍去），即， . 【小问3详解】 当点M，B位于直线的异侧时 设，， ， 当时，，当时，， ， ， 其中，， ， ，当且仅当x＝2时，取等号； ，当时，取等号； 又，故等号能取得 综上可知，的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤冈县第二中学2026-2027学年第一学期9月教学监测试题 高二数学 出题人：袁小勇 审题人：代现成 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应的位置粘贴条形码. 2．选择题答题时，请用2B铅笔进行填涂，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后在选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符号题意的. 1. 在复平面内，若，则z的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （ ） A. 0 B. C. D. 1 3. 将正方体的棱长扩大到原来的两倍，其表面积扩大到原来的（ ）倍 A. B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两条不同直线，两个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 在空间中，如果，且，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 正四面体的边长为2，则该正四面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分. 9. 用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，是由两种及以上正多边形围成的、所有棱长完全相等的多面体，有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的所有棱长均为6，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 棱长为2 B. 共有8个正六边形面和8个正方形面 C. 表面积为 D. 体积为 11. 若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调递减区间是 C. 当时，函数有507个零点 D. 把的图象向右平移2个单位长度，纵坐标不变，可得的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是边长为的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是__________． 13. 已知，则______． 14. 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 16. 在中，角的对边分别是，满足． （1）求A； （2）求． 17. 如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． （1）证明：四点共面． （2）证明：直线，，经过同一点． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点E在线段上，且． （1）证明：平面 （2）设平面平面，证明： （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 19. 如图，已知，，，，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N． （1）求； （2）若点M在线段上（端点除外），且，求的面积； （3）当点M、B位于直线的异侧时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $