第10讲 空间角与距离的向量计算讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

第10讲 空间角与距离的向量计算讲义 【知识点01】空间角的向量计算 设直线的方向向量分别为；直线与平面所成角为，方向向量为，平面法向量为；平面法向量分别为。 1. 异面直线所成角： 两异面直线所成角，满足 即两直线方向向量夹角的余弦的绝对值。 2. 线面角： 直线与平面所成角，是方向向量与法向量夹角的余角，故 3. 二面角： 设二面角，其大小等于两半平面法向量夹角或其补角，满足 正负号由二面角的锐、钝及法向量取向决定。 空间角公式速查表： 角 公式 取值范围 异面直线所成角 θ∈ 线面角 θ∈ 二面角 θ∈[0,π] 【知识点02】空间距离的向量计算 1. 点到平面的距离： 点到平面的距离，在上任取一点，取为的法向量，则 即点到平面的距离等于在法向量方向上的投影长。 2. 点到直线的距离： 点到直线的距离，在上任取一点，取方向向量，则 3. 线面距、面面距： 当直线平行于平面，或两平面平行时，可将线面距、面面距转化为点到平面的距离：在线（或面）上任取一点，用点面距公式计算。 易错点一　线面角用错公式（误用 cos）。 线面角是方向向量与法向量夹角的余角，故，不是。切记线面角用正弦，这是本讲最常出错处。 易错点二　异面直线所成角未取锐角。 异面直线所成角，公式为。当时必须取绝对值，否则求得的是钝角。 易错点三　二面角正负号（锐角/钝角）判断失误。 。当两法向量同时指向二面角内侧或外侧时取负（夹角的补角）；一内一外时取正。判断困难时，应结合图形或点在平面两侧的位置确定。 易错点四　点面距公式中向量取向错误。 公式中，是点指向平面上点的向量；必须是平面上的点。向量方向反了会改变点积符号，务必加绝对值。 易错点五　线面距、面面距未转化为点面距。 求线面距（线平行于面）或面面距（两平行面）时，必须先转化为点到平面的距离：在线或面上任取一点，套用点面距公式。不能直接套异面直线间距离等其它公式。 易错点六　距离公式漏绝对值。 距离恒为正，点积结果可能为负，因此点面距、点线距公式中必须带绝对值（分母为正）。漏掉绝对值是导致结果错误的常见原因。 【题型一】异面直线所成角 【例1】（25-26高二·上海青浦·期末）在正方体中，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 【变式1-1】（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)证明：无论点在边的何处，都有． 【变式1-2】（26-27高二上·上海奉贤·阶段检测）已知直四棱柱，，，，，． (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的高为4，求异面直线与所成角的大小． 【变式1-3】（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图所示，四面体的棱长，． (1)证明：； (2)求实数a的取值范围； (3)当时，求异面直线与所成角的大小． 【题型二】线面角 【例2】（25-26高二·上海·期末）已知平行六面体，点为的重心． (1)求证：、、三点共线； (2)若平面，，，求直线与平面所成角的大小． 【变式2-1】（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形为长方形，平面，，． (1)若分别是的中点，求证：∥平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 【变式2-2】（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱，上的动点（不与端点重合），且． (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是．求直线与平面所成角的正弦值． 【变式2-3】（2026·上海·三模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，且，，，，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成的角的大小． 【题型三】二面角 【例3】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，正四棱锥中，棱长均为2，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【变式3-1】（2026·上海·模拟预测）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 【变式3-2】（24-25高二下·上海·阶段检测）如图，在四棱锥P-ABCD中，，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，以的边为直径在三角形外作半圆，半圆恰好位于平面内，，半圆的面积为，是边长为2的等边三角形，平面平面，为半圆弧上一点（不含端点）． (1)判断的形状； (2)若点为线段上一点．求证：平面平面； (3)求二面角的大小． 【题型四】点到平面的距离 【例4】（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，在长方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【变式4-1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在长方体中，，E是边上的点，F是边上的点，． (1)求证: 平面； (2)求到平面的距离． 【变式4-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 【变式4-3】（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【题型五】线面距离 【例5】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，，求： (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【变式5-1】如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【变式5-2】如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，是的中点，是的中点.    (1)求点到直线MN的距离； (2)求直线MN到平面的距离. 【变式5-3】如图，在梯形中，，，，，平面且.    (1)求直线到平面的距离； (2)求二面角的大小； (3)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为? 【题型六】面面距离 【例6】已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为________． 【变式6-1】已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________． 【变式6-2】直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【变式6-3】设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【题型七】综合应用 【例7】（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，在矩形中，、分别是线段、的中点，，．将沿翻折，在翻折的过程中点记为点． (1)从翻折至的过程中，求点运动的轨迹长度； (2)设为的中点，当点的投影在直线上时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)翻折过程中，设二面角的平面角为，求的最大值． 【变式7-1】（26-27高二上·上海奉贤·阶段检测）如图，在四面体中，，，是中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的最大值； (3)求二面角的正弦值的最小值． 【变式7-2】（25-26高二上·上海宝山·阶段检测）某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4.高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点P为圆弧（包括端点）上的动点. (1)若，求工作台的表面积. (2)若平面时，求点P与的最短距离. (3)若，当点P在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围. 【变式7-3】（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图所示，纸片由三个直角三角形拼接而成，，且，，先将其沿AC翻折至，再沿将其翻折为成的二面角，使得、B两点分别位于平面的两侧，、C两点位于平面的同侧． (1)求二面角的大小； (2)延长交平面于F点，求，并求直线与平面所成角的大小； (3)求平面与平面所成锐二面角的大小． 1. 核心思想：建系 → 用坐标表示方向向量、法向量 → 套角与距离公式 → 结合图形确定取值。 2. 公式速记： 3. 易错点：①线面角用正弦；②异面角取锐角、点积取绝对值；③二面角由图形定锐钝；④点面距中 A 在平面内、向量从点指向面；⑤线面距/面面距先转化为点面距；⑥距离公式勿漏绝对值。 一、填空题 1．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，则直线与平面所成角的大小为__________（用反三角表示） 2．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）空间中，为互相垂直的两条异面直线，直线与所成角的大小为，则直线与所成角的大小的取值范围为________． 3．（25-26高二上·上海金山·期末）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧．若顶点到平面的距离分别为，则该正方体的棱长为_____． 4．（25-26高二上·上海·期末）两个共顶点于且轴共线的圆锥分别记为和，底面中心分别为和，居于同侧，底面半径分别为和，在的底面圆周上任取一点，在的底面圆周上任取一点，直线和的夹角为，则的最大值为__________. 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________. 6．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为_____________.（结果用反三角函数表示） 7．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，已知、、与平面所成角分别为60°、45°、30°，平面，为垂足，又有斜足A、B、C三点在同一直线上，且，则的长等于________. 8．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）在棱长为1的正方体中，若点为的中线上一点，且到平面、平面、平面的距离的平方和记为，则的取值范围为_________． 9．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，点为对角线的三等分点，点到正方体的各顶点的距离的不同取值的个数为______（个）. 10．（26-27高二上·上海奉贤·阶段检测）如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．若顶点、、到平面的距离分别为1、2、4，那么其余四个顶点到的距离构成的集合是______． 11．（25-26高二上·上海松江·期末）棱长为2的正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值为________．    12．（25-26高二上·上海松江·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为上的动点，则的最小值为________．    二、单选题 13．（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．（26-27高二上·上海崇明·期中）已知 是各条棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二·上海·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形内部（不含边界）运动，给出以下两个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足与平面所成角的大小为60°． 判断正确的是（   ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②均正确 D．①②均不正确 16．（24-25高二上·上海·期中）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．  B．  C．   D．   三、解答题 17．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知三棱柱所有棱长均为2，平面平面，直线均与平面ABC垂直．过线段AC中点作平面平面，记平面与线段交点为． (1)求直线与平面ABC所成角的大小； (2)求证：，并求点到直线AB的距离． 18．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）在长方体中，，，为的中点． (1)求直线与平面所成的角； (2)求点到平面的距离． 19．（25-26高二上·上海·期末）某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于的点，是的中点．    (1)求证：直线平面； (2)若，求直线到平面的距离； (3)建筑学中常用体形系数表示建筑物与室外大气接触的外表面积与其所包围的体积的比值，即，为建筑物暴露在空气中的外表面积(不包括地面的面积，圆台下底视为地面），为建筑物所包围的体积，求此圆台的体形系数． 20．（26-27高二上·上海徐汇·阶段检测）已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知是等边三角形． (1)求AC和PD所成角的大小； (2)求O到平面PBC的距离； (3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角，并说明点E此时所在的位置． 21．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． (1)若平面，求的值； (2)若，设二面角的大小为，求的值； (3)若，求点到平面的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 第10讲空间角与距离的向量计算讲义 2核心知识 【知识点01】空间角的向量计算 设直线i、的方向向量分别为a、b:直线与平面c所成角为0，方向向量为a,平面法向量为i;平面c、β 法向量分别为n1、n2。 1.异面直线所成角： 两异面直线所成角9∈0,1，满足c0s0= a-B 0∈(0，π/2] lall- 即两直线方向向量夹角的余弦的绝对值。 2.线面角： 直线与平面所成角0∈(0，罗1，是方向向量与法向量夹角B的余角，故sn0= an a =lcosβ1 3.二面角： n1'n2 设二面角∈[0，π]，其大小等于两半平面法向量夹角或其补角，满足cos6=± In kn2 正负号由二面角的锐、钝及法向量取向决定。 空间角公式速查表： 角 公式 取值范围 异面直线所成角 cos 0=- la 0e0,5 线面角 sin 0= la a 0e0,5 c0s0=± n1'n2 二面角 n-n2 0∈[0， 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【知识点02】空间距离的向量计算 1.点到平面的距离： 点P到平面“的距离在a上任取一点A,取为c的法向量，则d=仿- :(A为上任意一点) 即点P到平面a的距离等于PA在法向量方向上的投影长。 2.点到直线的距离： APxa 点P到直线的距离，在1上任取一点A,取方向向量à，则 (常用|AP×/|a计算) 3.线面距、面面距： 当直线平行于平面，或两平面平行时，可将线面距、面面距转化为点到平面的距离：在线（或面）上任取一点， 用点面距公式计算。 烫易错辨析 易错点一线面角用错公式（误用cos)。 线面角0是方向向量ā与法向量i夹角β的余角，故sin0=|cosβ，不是cos0。切记线面角用正弦，这是本讲 最常出错处。 易错点二异面直线所成角未取锐角。 异面直线所成角9∈(0，n/2],公式为cos0= ab 同。当ā6<0时必须取维对值，否则求得的是钝角。 易错点三二面角正负号（锐角/钝角）判断失误。 n1'n2 c0s0=± 。当两法向量同时指向二面角内侧或外侧时取负（夹角的补角）：一内一外时取正。判断困 难时，应结合图形或点在平面两侧的位置确定。 2 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 易错点四点面距公式中向量取向错误。 公式d= 六A 中，PA是点P指向平面上点A的向量；A必须是平面C上的点。向量方向反了会改变点积符号， 务必加绝对值。 易错点五线面距、面面距未转化为点面距。 求线面距（线平行于面）或面面距（两平行面）时，必须先转化为点到平面的距离：在线或面上任取一点，套用 点面距公式。不能直接套异面直线间距离等其它公式。 易错点六距离公式漏绝对值。 距离恒为正，点积结果可能为负，因此点面距、点线距公式中必须带绝对值（分母为正）。漏掉绝对值是导致结 果错误的常见原因。 典例精讲 【题型一】异面直线所成角 【例1】(25-26高二·上海青浦期末)在正方体ABCD-ABCD中，点E为棱DD的中点，则异面直线AE与BC所 成角的大小为 【答案】arccos 3W10 10 【详解】以点A为坐标原点，AB、AD、AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， A 不妨设正方体ABCD-ABCD的棱长为2，则A(0,0,0)、E(0,2,1)、B(2,0,0)、C(2,2,2), 3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 AE=(0,2,1).BC=(0,2,2). cos(A正，BG AE·BC 6_310 AE·BC 5x22=10, 所以异面直线AB与BC所成角的大小为ceos30 10 【变式1-1】(26-27高二上·上海徐汇阶段检测)如图，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形，PA=AB=1, AD=2,点F是PB的中点，点E在边BC上移动. (I)求异面直线PB与AD所成角的大小： (2)证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE 【详解】(I)由题可得PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形， 故PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB, 建立空间直角坐标系，以A为原点，AD方向为x轴，AB方向为y轴，AP方向为z轴， 由题意：A(0,0,0),B(0,1,0),D(2,0,0),P(0,0,1), 则PB=(01,-1)AD=(2,0,0) PB.AD=2×0+1×0+(-1)×0=0, 4 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 所以P⊥AD,即异面直线PB与AD所成角为2 11111) A B D 2)点p是pg的中点，所以50引因tF-0》 设点E在边BC上，因为B(01,0),C(21,0),可设E(l,0),0≤1≤2， 则PE=(1,0)-(0,0,1)=(6,1-1) E=0x+1+(-)-号}0， 所以AF⊥PE,即AF⊥PE, 故无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE 【变式1-2】(26-27高二上：上海奉贤阶段检测)己知直四棱柱ABCD-ABCD,AB⊥AD,AB11CD,AB=2, AD=3,CD=4. 5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 D B B (1)证明：直线AB11平面DCCD: (2)若该四棱柱的高为4，求异面直线AB与AD所成角的大小 【详解】（①）根据题意可知AB∥DC,A4∥DD, 注意到AB,AA￠平面DCCD,DC,DDC平面DCCD, 则AB,A4II平面DCCD,又AB,AAC AABB, ABOAA=A则平面AABB 11平面DCCD,又直线ABc平面AABB, 所以直线AB∥平面DCCD: (2)以A为原点，分别以AB、AD、A4所在直线为x,少2轴建立空间直角坐标系，由题知高A4=4, 则A(0,0,0),A(0,0,4),B(2,0,0),D(0,34得向量：4B=(2,0,4),AD=(0,34) 计算数量积和模长：4B.AD=2×0+0x3+(-4)x4=-16,4B=V2+02+(4=25,AD=v02+32+4=5. 设异面直线AB与A0所成角为g0<0≤受.则C0s0cs<A,B,AD,&=A,B-AD 16-85 ABAD 2V5×525 8V5 异面直线所成角为arccos 25 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 D B 【变式1-3】(26-27高二上·上海黄浦阶段检测)如图所示，四面体ABCD的棱长AB=CD=a, AC=AD=BC=BD=2 D (1)证明：AB⊥CD (2)求实数a的取值范围； (3)当a=√2时，求异面直线AD与BC所成角的大小. 【详解】()证明：取AB的中点为E,连接DE,CE 因为DA=DB,CA=CB,所以DE⊥AB,CE⊥AB, 又DE,CEc平面DCE,DEOCE=E,所以AB⊥平面DCE 又DCC平面DCE,所以AB⊥CD 7 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 C②在MC中，4E=8E-受BC-2所以cF=VC-BF-4子 同理，DE= 4 根据三角形三边关系可知CE-DE<CD<CE+DE, 所以0<a<2, 4、 4,化简得。2<8'又a>0:解得0<a<22 (3)AD=AB+BD,BC=BD+DC. AD.BC=AB+BD)BD+DC)=AB.BD+AB.DC+BD'+BD.DC. 2 在 RtABED 中，B6=g-5,BD=2所以cos∠ABD=E-2=2 22 BD 24 √2 同理， cos∠BDC=2-2, 24 所以B-D=-0cms乙4BD=2x2x-1 BD.DC--pCcos/BDC--2xx2-1. 4 由(1)知AB⊥CD,所以AB.DC=0,又BD=4, 8 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 所以AB.BD+AB.DC+BD+BD.DC=-1+0+4-1=2,即AD.BC=2, AD.BC 2 1 又MD=BC=2:所以异面直线，D与C所成角余弦值为ADBC2x22, AD BC 所以异面直线4D与BC所成角的大小为3 D B 【题型二】线面角 【例2】(25-26高二·上海期末)已知平行六面体ABCD-ABCD,点P为△4BD的重心. (①)求证：A、P、C三点共线： (2)若AA⊥平面ABCD, (瓜，)-行，AB=AD=AM=2,求直线BC与平面DPC所成角的大小. 【详解】(I)由点P为△ABD的重心， 所以D=4+4-4+号40+4回到 +(AD-4+-)(4B+D+). 又AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA,故AC=3AP, 又AC与AP交于A,故A、P、C三点共线。 9 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)由题设，连结AC,交BD于O,则AC⊥BD, 以0为原点，OB、OC、A4为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 所以B1,00）,C0,5,0）,D(-1,0,0),4(0,-5,2）,C(0,5,2,D（-1,02). .BC=（1,5,2,AD=（-1,5,-2,AB=(1,3,-2 面4-o4网-片a2小-325引r-5副 西=45-5引 nCD=0 设平面CDp的法向量i=化y,)故i-CP=0' -x-V3y+2z=0 n=(351,23) BC·i 设直线p与平面。p所成角为，则sinB= 23-5 BC DPC BC闭2V2×21020' 因此，直线BC与平面DPC所成角的大小为csin 20 10 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 B B 【变式2-1】(2025·上海浦东新·二模)如图，四边形ABCD为长方形，PA⊥平面ABCD,AB=AP=2,AD=3 D E (I)若E、F分别是PB、CD的中点，求证：EF∥平面PAD; (2)边BC上是否存在点G,使得直线PG与平面PAD所成的角的大小为30°？若存在，求BG长；若不存在，说明理 由 【详解】() B 11 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 法一：取AP中点M,连接EM、DM, .ME //AB,DF//AB, .ME//DF, :ME=)AB,DF=号4B, 2 ∴.ME=DF, ∴.四边形DFEM为平行四边形， ..EF //DM ,DMC平面PDA,EF在平面PDA外， .EFII平面PDA 法二：如图建立空间直角坐标， P 则D(3,0,0),B(0,2,0),P0,0,2). F3,1,0).E0,11).C3,2,0), .EF=(3,0,-1), 易知平面PAD的一个法向量n=(0,1,O) 12 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ..EF.n=0, 且EF在平面PDA外 ∴.EFII平面PDA (2) B 法一：作GH⊥AD,垂足为H,连接PH, ,PA⊥平面ABCD,GH在平面ABCD内， ,PA⊥GH,又AD,PA为平面PAD内两条相交直线， .GH⊥平面PAD, ∴.直线PG与平面PAD所成的角为∠GPH=30°， HG 1 :.PH =tan30°= .PH=23 .'BG=AH=PH2-PA2=22 .边BC上存在点G,使得直线PG与平面PAD所成的角为30，BG=2V2. 法二：设BG=1(0≤1≤3)，则GL,2,0), 13 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 .PG=,2,-2), 易知平面PAD的一个法向量n=(0,1,0), 设PG与n的夹角为p, 则sin30°IcospH 2 √P+8: 解得：1=2√2， ∴.边BC上存在点G,使得直线PG与平面PAD所成的角为30°，BG=2V2 【变式2-2】(25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测)如图，PB是圆柱O0的母线，四边形ABCD是底面内接正方形.点 E,F是棱BC,CD上的动点(E,F不与端点重合)，且CE=DF, ·O1 。 B (I)证明：AE⊥平面PBF; (2)已知圆柱OO的体积为π，PB=2,点A到直线PF的距离是1.求直线CD与平面PAE所成角的正弦值. 【详解】(I)在正方形ABCD中，由CE=DF,得BE=CF, tan∠BAE=BE_CF =tan ZCBF，则∠BAE=∠CBF,∠BA4E+∠FBA=∠CBF+∠ 因此AE⊥BF,由PB是圆柱OO的母线，得PB⊥平面ABCD,而AEc平面ABCD,则AE⊥PB, 又BF∩PB=B,BF,PBC平面PBF, 14 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 所以AE⊥平面PBF (2)设圆柱O0的底面圆半径为r,圆柱O0的体积为元，PB=2,得2.PB=元， √2 解得r= ，则AB=BC=1显然直线BA'BC'BP两两垂直， 以点B为原点，BA,BC,BP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,0),P(0,02), 设BE=1(0<1<1),则E(04,0),F(1,0), ZA 0 A B 长 AP=(-1,0,2)PF=(41,-2) 由点到直线的距离是，得，A AP.PE PF =1,则5- A PE 1 而011解得1=号cm=00G-(号0 n.AP=-x+2z=0 设平面 的法向量为 ,则 iE=-x+y=0取，得 .2 PAE i=(x,y,z） 3 2=1方=(2,3,1） 设直线CD与平面PAE所成的角为O,O为锐角， 15 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 nCD 则sin0=cos(i,CD) 2V14 CD V1417, 所以直线CD与平面PA ,所成角的正弦值为 14 7 【变式2-3】(2026上海三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且BCAD,AB⊥AD, AB=AD=2BC=2,PC=V3,E为PD的中点，F为AD的中点. B (I)求证：CE∥平面PAB； (2)求证：平面PCF⊥平面ABCD: (3)求直线PB和平面PCD所成的角的大小. 【详解】0取pA中点G,达接GE,GB,由E为pD中点，得GE1AD且GE=AD, 又BC/AD:BC=AD,则GE/BC且GE=BC,四边形BCGE为平行四边形， 因此CE/GB,又GBc平面PAB,CEC平面PAB, 所以CEII平面PAB 16 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 G A ②由F为AD的中点，CAD:BC-4D,有四边形ABCF为平行月边形， 则CF IAB,而AB⊥AD,则CF⊥AD,由△PAD是等边三角形，得PF⊥AD, 又PFOCF=F,PF,CFc平面PCF,因此AD⊥平面PCF,而ADc平面ABCD 所以平面PCF⊥平面ABCD (3)在正APAD中，PF=V5=PC,取CF中点O,连接PO,则P0⊥CF, 由平面PCF⊥平面ABCD,平面PCF∩平面ABCD=CF,POC平面PCF, 得PO⊥平面ABCD,在平面ABCD内作Oy⊥CF,则直线OC,O,OP两两垂直， 以0为原点，直线OC,0少，OP分别为七，，2轴建立空间直角坐标系， Z B 由(2)知CF=AB=AD=2BC=2,则B1,-1,0),P0,0,V2),D(-1,1,0),C1,0,0), PB=(L,-1,-√2)，CD=(-2l,0),CP=(-1,0,V2),设平面PCD的法向量为i=(x,y2), 17 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 CP.n=-x+√2z=0 CDi=-2x+y=0,令2=得n=6N2,2N2. 2=1 设pB与平面pCD所成角为g则m0cosP阻，同Bl-,25-2 PB |PB121111, 所以直线PB与平面pCD所成的角为aresin2 11 ZA D 【题型三】二面角 【例3】(26-27高二上·上海浦东新阶段检测)如图，正四棱锥V-ABCD中，棱长均为2，E为棱C的中点 D B (I)证明：VAW平面DEB； (2)求二面角V-BD-E的余弦值 【详解】I)连结AC,BD于点O,连结OE,EB,ED, 正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，所以O是AC,BD的中点， 18 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 因为E为棱C的中点，所以在aVAC中，OEIIVA, 又OEC平面DEB,VA文平面DEB,所以VAII平面DEB (2)几何法： 由题意可知，D=B=VC=VA=DC=BC=2,BD=2√2 所以△DC,△BDC是全等的等边三角形，△DB是等腰三角形， 因为E为棱C的中点，O是BD的中点， 所以EO⊥BD,VO⊥BD. 根据二面角的定义可得∠VOE是二面角V-BD-E的平面角， VE=1,ED=EB=V5,0=√4-2=V2,E0=V3-2=1, 在 0E中，由余弦定理可得cos∠0E=0+E0-E_2+1-lV2 2VO.EO 222 V2 所以二面角v-BD-E的余弦值为2： D B 向量法： 以O为坐标原点，过点O分别作OxBC,OyAB,以Or所在直线为z轴建立空间直角坐标系O-, 19 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 5得r0a②L0-l0c-0C5号号)。 -岁号.丽=220. 设平面EBD的一个法向量为n=(x,y,z), + z=0 2 x+ 2 由n.EB=0, 得 ,取，可得 iDB=0 2x+2y=0 x=1 n=0,-1,V2) 因为OC⊥BD,OC⊥O,BDVO=O,BD,Oc平面BD, 所以OC⊥平面BD,即OC=(-11,0)是平面BD的一个法向量， cos(n,OC)= n.0C_1×-)+(-)×1+2x0_-2V2 W1+1+2×V1+12W22· 图为面角一D一F为说三面角，所以面角一D一E的余弦植为名 【变式3-1】(2026上海模拟预测)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD, △ADE是正三角形，EF=2,AB=4,AD=2. B (1)求证：EF/1AB: (2)求二面角F-BC-D的大小. 20 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【详解】(I)因为ABIICD,AB￠平面CDEF,CDc平面CDEF, 所以ABII平面CDEF, 又平面ABFE平面CDEF=EF,ABc平面ABFE, 所以EFIAB: (2)如图，分别取AD,BC的中点O,M,连接OE,OM,则OM⊥BC,OM=AB, 因为△ADE是正三角形，所以OE⊥AD,OE=V3, 又平面ADE⊥平面ABCD,平面ADEO平面ABCD=AD,OEC平面ADE, 所以OE⊥平面ABCD, 如图，以点0为原点建立空间直角坐标系，则B(1,4,0),C(-1,4,0),E0,0,5),F(0,2,V5) 故CB=(2,00),C示=(1，-2,5)。 设平面BCF的法向量为i=(x,y,z), CB=2x=0 则有1 -CF=x-2y+5z=0'令，2，得 z=2 =V3' 则可取i=0,V5,2）, 因为OE⊥平面ABCD, 所以OE=(0,0,VB)即为平面ABCD的一个法向量。 则cos(元，0E)=方.0正 252万 o √7x57· 21 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 27 所以二面角F-BC-D的大小为arccos 7 B 【变式3-2】(24-25高二下上海阶段检测)如图，在四棱锥-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为 2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1, (I)取线段PA中点M,连接BM,证明：BM∥平面PCD: V10 PE (②线段PD上是否存在一点B,使得平面BAC与平面D1C所成锐二面角的余弦值为5？若存在，求出PD的值： 若不存在，请说明理由。 【详解】(I)在四棱锥P-ABCD中，取PD中点N,连接MN, 22 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 由M为pA的中点，且MD=2BC=I得N/AD1/BC,MN=AD=1=BC, 则四边形BCNM为平行四边形，BM/ICN,而CNC平面PCD,BM￠平面PCD, 所以BMII平面PCD (2)取AD的中点O,连接PO,OC，,由△PAD为等边三角形，得PO⊥AD, 而平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,POC平面PAD, 则PO⊥平面ABCD,由A0=BC=1,AO1IBC,得四边形ABCO是平行四边形， 于是OC1IAB,而AB⊥AD,则OC⊥AD,直线OC,OD,OP两两垂直， 以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为七，y,z轴建立空间直角坐标系，如图， Z D 则A0,-1,0),D0,1,0),C1,0,0),B1,-1,0),P0,0,V3). 令PE=PD=(0,2,-V32),2∈[0,1]， AE=AP+PE=(0,1,V3)+(0,2,-V32)=(0,1+元，V3-V32),AC=(1,1,0), AC=a+b=0 设平面EAC的法向量为m=a.9则 m.AE=1+)b+(N3-V3)c=0' 取b=V3(1-),得m=(31-2,V3(1-1),2+),平面D4C的法向量为0P=(0,0,5) 23 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 OP.m 于是cos(OP,m= √5(2+1)10 0Pm3√72-102+75· 化简得32-102+3=0又0小，解得2-=，可焉-号 PE 1 10 PE 1 所以线段PD上存在点E:使得平面E4C与平面D4C夹角的余弦值为5，PD3 【变式3-3】(26-27高二上·上海黄浦阶段检测)如图，以△ABC的边BC为直径在三角形外作半圆O,半圆O恰好位 于平面ABC内，AB=2V5,半圆O的面积为2元，△PAC是边长为2的等边三角形，平面PAC⊥平面ABC,D为半 圆孤上一点（不含端点）· D (1)判断△ABC的形状； (2)若点M为线段PD上一点.求证：平面PAC⊥平面BCM: (3)求二面角A-PB-C的大小. 【详解】(1)半圆O的面积为2π，则半径r=2,直径BC=4, 又△PAC是边长为2的等边三角形，则AC=2, 且AB=2N5,则AC2+BC2=AB2, 所以∠ACB=90°，则△ABC是直角三角形 (②)由(1)可知，AC⊥BC, 24 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 又平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC, BCC平面ABC,所以BC⊥平面PAC, 由BCC平面BCM,可得平面PAC⊥平面BCM (3) ZA D B 以C为原点，CA为x轴正半轴，CB为y轴正半轴，过C作平面ABC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,4,0). 等边aPAC在平面xO2内，故P10,⑤)， 所以PA=1,0,-5,PB=（-1,4-5. 设平面PAB的法向量为i=(x,y,2), PA-n=x-3z=0 则PBi=-x+4y-52=0取，=2”则x z=2 x=2W3,y=5 所以i=(25,v5,2, c乎=1,0，V5),CB=(0,4,0), 公 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 设平面CPB的法向量为m=(a,b,c), CP.m=a+3c=0 则 CB.m=4b=0 ,取。=1则。=-5所以m=(5,0小 显然，二面角A-PB-C为锐三面角，设二面角A-PB-C的平面角为B, 则cos0= n.m -6+2 4219 m:mV12+3+4×V3+12W1919’ 2v19 所以二面角的大小为arccos 19 【题型四】点到平面的距离 【例4】(26-27高二上上海黄浦阶段检测)如图，在长方体ABCD-AB,CD中，AB=AD=3,AA=6,E为AM的 中点. B E (I)求证：AC1平面BDE: (2)求点A到平面BDE的距离. 【详解】(I)证明：连接AC,设BD∩AC=F,连接EF. 由题意可知四边形ABCD为正方形，所以F为AC的中点， 在△CA4中，E为A4的中点，所以EF IIAC. 又EFc平面BDE,AC女平面BDE内，所以ACII平面BDE 26 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 B D D E (2)以D为原点，以DA,DD,DC所在直线为xy,z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0,0,0,A(3,0,0),E(3,3,0),B(3,0,3) 所以DE=(3,3,0),DB=(30,3),DA=(3,0,0) 设平面BDE的法向量为m=(x,y,z), DE.m=0 「3x+3y=0 则DBm=0即3x+32=0令x=1则 则=-1,2=-1所以m=,-1,-) DA.m3 所以点到平面的距离为 =√3 A BDE m1+1+1 B D1 【变式4-1】(26-27高二上·上海浦东新阶段检测)如图，在长方体ABCD-4B,CD,中，AB=2,BC=4,A4=3, E是边AD上的点，F是边CC上的点，DE=CF=1. 27 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 D E B D B (I)求证：BD⊥平面CEF: (2)求A到平面CEF的距离. 【详解】（①）以D为原点，DA,DC,DD为正方向，建立如图所示空间直角坐标系 B(4,2,0),C(0,2,0),E(1,0,3),F(0,2,2),A4,0,0) 所以CE=(1,-2,3),CF=(0,0,2),DB=(4,2,0) 因为CE·BD=4-4-0=0,CF.BD=0+0+0=0 所以BD为平面CEF的法向量，所以BD⊥平面CEF (2)因为DB=(4,2,0),所以平面CEF方程为4x+2y-2)=0, 12×4+0-21_6W5 即2x+y-2=0所以A到平面CEF的距离为2+P 5 4 D B D 28 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【变式4-2】(25-26高二上上海期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD, AB⊥BC,∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=3. (I)求点D到平面PBC的距离. (2)求直线PD与平面PBC所成角的大小. 【详解】(I)因为PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,BCI/AD,所以AB⊥AD, 以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系A-z, 由题意可得 D A(0,0,0)B(1,0,0）P(0,0,1)D(0,3,0) 过点C作CE L AD于点E,则四边形ABCE为矩形，所以CE=AB=1,AE=BC, 在RtACED中，∠CDE=4S°，所以ED=CE=1,因为AD=3,所以BC=AE=AD-ED=2, 所以C1,2,0)。则PB=(1,0,-1),BC=(0,2,0), i.PB=x-z=0 设平面 PBC 的法向量为万=k小则（月-BC=2y=0、取：=1得，=ly=0所以n=(L0,) 又BD=(-130)所以点D到平面pBC的距离d BD:i-1x1+3x0+0x1-1=V2 D V12+02+12 52 (2)由(1)可知PD=(03,-),平面PBC的一个法向量i=(,0,), 29 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 PD.n 所成角为，则sin0=cos(PD, 0×1+3×0+(-1)×1 15 设直线 与平面 PD PBC PDM02+32+(-}P+0+Pi0210 所以直线pD与平面PBC所成角的大小为acsn 10 【变式4-3】(25-26高二下·上海宝山期中)如图所示正四棱锥S-ABCD,SA=SB=SC=SD=2,AB=V2,P为侧棱 SD的中点. (I)求直线SC与平面ABCD所成角的正弦值： (2)求点P到平面SBC的距离. 【详解】(1)连接AC,BD交于点O,连接SO, 因为正四棱锥S-ABCD, 所以SO⊥平面ABCD 故∠SCO为直线SC与平面ABCD所成的角. 在正方形ABCD中，AB=V2,则对角线4C=(2)+(2=2. 0C=74C=l.在0c中Sc=2 sinsco=sosc2-oc2 SC SC 2 2 30 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 即直线sC与平面ABCD所成角的正弦值为2 (2) B C 以0为原点，OB,OC,OS方向分别为x,八2轴. 由(1)知S0=V3,0B=0D=0C=0A=1, 则0(0,0,0)，B(1,0,0),C(01,0),D(-1,0,0),S0,0,V3 p为0中点懒0) 向=-1o.6-0-4,F（l9) 设平面SBC的法向量为方=(，y,2). n.CB=x-y=0 i.C☒=-y+V3z=0 令2=1，得y=V3,x=V5.故i=(N33,1 点P到平面SBC的距离d: 31 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 cp.n 25+-5+ 2 -52i V+3+ 77 【题型五】线面距离 【例5】(24-25高二上·上海期中)如图，在正方体ABCD-ABCD中，AB=3,求： D i B (I)证明：CD/I平面ABCD: (②)求直线CD到平面ABCD的距离. 【详解】(L因为CDIICD,CDC平面ABCD,CDa平面ABCD,所以CD1/平面ABCD (2)因为CD1/平面ABCD,所以点C到平面ABCD即直线CD到平面ABCD的距离 方法1：以D为原点，分别以DA、DC、DD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， D 6 C B 32 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 则4(3,0,0)，B(33,0),G(0,3,3),D(0,0,3),所以AB=(0,3,0),AD=(-3,0,3),C℃=(0,0,3)， AB.n=0 3y=0 设平面ABCD的法向量为万=(x2小则aDi=0 即 -3x+3z=01 令x=1,则y=0,z=1,所以i=(山，0，)是平面ABCD的一个法向量 所以点C到平面ABCD的距离d= CC 332 |√221 方法2：连接BC,BC交于点O,则BC⊥BC, 因为AB⊥BC,AB⊥BB,BCBB=B,BC,BB,C平面BCCB 所以AB⊥平面BCCB,又BCC平面BCCB,所以AB⊥B,C, 又AB∩BC=B,AB,BCC平面ABCD,所以B,C⊥平面ABCD, 所以CO是点C到平面ABCD的距离， 因4q-3:所以4-，即直线⑩到平商4C0的毫为3近 2 B D 【变式5-1】如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为棱DD,CD的中点. 33 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (I)求证：B,F1/平面ABE； (2)求直线B,F到平面ABE的距离 【详解】(I)证明：以A为原点，AB,AD,DA所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系A-2. 2◆ A D B AI由题意得 A: B(2,0,0）A(0,0,2),B(2,0,2)E(0,2,1)F(1,2,2) 所以BE=（-2,2,1),BA=(-2,0,2),BF=(-1,2,2) BEn=0--2x+2y+z0 设平面4BE的一个法向量为元=(：，2)易知B4i=0{-2x+22=0, 令x=2,得y=1,z=2,所以i=(21,2)BFn=-2+2+0=0,B,F1n, 又BF4平面ABE,BFII平面ABE (2)由(1)可知B,F1I平面ABE,故求直线BF到平面ABE的距离可转化为点B到平面ABE的距离， 因为B,B=(0,0,-2),由(1)可知平面4BE的一个法向量为i=(21,2), 34 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 设直线BF到平面4BE的距离为d. 则ds B,B.n0+0-44 33 【变式5-2】如图，己知正三棱柱ABC-ABC的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB的中点，P是 B,C的中点 B (I)求点P到直线N的距离： (2)求直线MN到平面APC的距离 【详解】(1)因为三棱柱ABC-AB,C为正三棱柱，M,P分别为BC,BC的中点， 所以MC,MA,MP两两垂直 故可以M为原点，建立如图空间直角坐标系： 2 A B P M 35 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 因为三棱柱ABC-4AB,C的侧棱和底面边长均为2， maa0叭c4Laor4aio叭Pan245.号5 所以Mr=(0,0,2)' MN- 所以os(匝，）-j 品9原号 MP.MN 所议点p到w的面兴为：网血)-2号-反 (2)设平面4PC的法向量为m=(x,y,2), 因为PA=(0,V3,0,PC=(1,0,-2). mLPA mPA=3y=0 由m1P元→m-pc=x-2z=0'可取m=(20,1) 平面APC 所以MN到平面APC的距离即为点M到平面APC的距离， 为： M.m_(0,02-(2.0,225 m (2,0,1)55 【变式5】如图.在得形CD中，ADC∠46C-至B=BC-a乙DC=om 25 ,PAL平面ABCD 且PA=a」 36 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 --------D B C (I)求直线AD到平面PBC的距离； (2)求二面角P-CD-A的大小； (3)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为3 a? 【详解】(I):AD/BC,AD4平面PBC,BCC平面PBC, AD∥平面PBC, 故点A到平面PBC的距离，即为直线AD到平面PBC的距离， 作AH⊥PB于H, PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,∴.PA⊥BC, :BC⊥AB,又PAOAB=A,PA,ABC平面PAB,.BC⊥平面PAB, 又AHc平面PAB,∴BC⊥AH, 又PBOBC=B,PB,BCC平面PBC,·AH⊥平面PBC, 即AH的长为点A到平面PBC的距离，也即直线AD到平面PBC的距离， 在等腿R△P1B中，AH=。 , √2 所以直线AD到平面PBC的距离为2a: 37 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)过点A作A0⊥CD,交CD于点，连接P№， 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以PA⊥CD 又400PA-=A,A0,PAC平面PAg, 所以CD⊥平面PAQ, 又POc平面PAg,所以PO⊥CD, 所以∠PQA即为二面角P-CD-A的平面角， 过C作CM⊥AD于M, 则四边形ABCM为矩形，故CM=AB=a, 在RIACMD中，CM=as∠a0C-25 5, 可得CD=V5a,DM=2a,所以AD=3a, 又sin∠ADc= 5,所以0=3V 50, 则an∠PgA=PA=v5 A0 3' 所以二面角p-CD-A的大小为nca 3 38 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 D D B (3)假设存在点卫，使点A到平面PCF的距离为3a, √6 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系， 设AF=tt∈[0,3a]）, 则A(0,0,0),C(a,a,0),F(0,,0),P(0,0,a, 故AP=(0,0,a),FP=(0,-t,a,FC=(a,a-t,0), 设平面PCF的法向量为n=(x,y,z), i.FP=-ty+az=0 则有 n.FC=ax+(a-t)y=0' 令x=a-t,则y=-a,z=-l,所以n=(a-4,-a,-), hA正 -at 故点A到平面PCF的距离为 V(a-t)}2+a2+2’ -at V6 a-}+a+230,解得 所以 =2a 6 所以存在点F,使点A到平面PCF的距离为 a 39 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 B 【题型六】面面距离 【例6】己知点A(,0,0),B(0,10),C0,02),PL,-1,0),则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为 【路号 【详解】解：因为点A,0,0),B(01,0),C(0,0,2),P(1,-1,0), 所以AB=(-1,1,0,AC=(-1,0,2)AP=(0,-1,0) 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), AB.n=0 x+y=0 则 AC方=0：即 -x+2z=0’ 所以过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为d= 4p._2 3 丛言家为：号 【变式6-1】已知ABCD-ABCD是棱长为1的正方体，则平面ABD与平面CBD的距离为， 40 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】 3 【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 24 D A 则A1,0,0),B(L,1,0),D(0,0,0),C(0,1,1),D(0,0,),B0,1,1). 可得AB=(0,1,1),AD=(-1,0,1),BC=(-1,0,),DC=(0,L,1). 因为AD=BC,AB=DC,则AD∥BC,AB∥DC, 所以AD∥BC,AB∥DC, 因为AD平面CBD,BCC平面CBD,AB￠平面CBD,DCC平面CBD, 所以AD‖平面CBD,AB,I平面CBD, 又AD,∩AB=A,AD,ABC平面ABD, 所以平面ABDI平面CBD, 所以平面ABD与平面CBD的距离等于点C到平面ABD的距离d, i·AB=y+z=0 设平面A8D的法向量为，=K为2)则，4D=-x+2=0 41 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 令z=1,可得x=1,y=-1,所以n=(L,-1,), CB 又因 CB=4,0,0 ,所以d= 3 √3 所以平面ABD与平面CBD的距离为3： 5 故答案为： 3· 【变式6-2】直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱4A=3,M、N分别为ABAD 的中点，E、F分别是CD,BC的中点. O M B D (I)求证：平面AMN∥平面EFBD: (2)求平面AMN与平面EFBD的距离. 【详解】()证明：法一连接BD,NF,:MN分别为ABAD的中点， E、F分别是CD,BC的中点， .MNIEFIB,D,·MNt平面EFBD,EFc平面EFBD, ∴.MN∥平面EFBD,NF平行且等于AB, .ABFN是平行四边形，∴ANIBF 42 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 :ANC平面EFBD,BFC平面EFBD,∴.ANI∥平面EFBD, AN∩MN=N,∴平面AMNI∥平面EFBD: 法二：如图所示，建立空间直角坐标系D2, Z M A B 则 A(2,0,0),M(1,0,3),B(2,2,0),E(01,3) F(1,2,3),N(2,l3),∴.EF=(1l,0),MN=(1l,0),AM=（-l,0,3),BF=（-1,0,3), .EF MN,AM=BF,:EF//MIN,AM//BF, :MNt平面EFBD,EFc平面EFBD,.MNI∥平面EFBD, :AN￠平面EFBD,BFC平面EFBD,∴.ANI∥平面EFBD, 又MN∩AM=M,∴.平面AMNI∥平面EFBD (2)法一：平面AMN与平面EFBD的距离=B到平面AMN的距离h. Aw,4M=AN=i0MN2Sm5i0-9 2 2 a1V19,11 :由等体积可得？2 -h= 32 231,h=6i9 19· 法二 设平面AMW的一个法向量为=(x2）, 43 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 i.MN=x+y=0 则：AM=-x+3z=0'则可取元=(3，-3刘 AB=(0,2,0), i.AB 平面。与平面 的距离为d= 6619 AMN EEBD |iV9+9+119 【变式6-3】设正方体4BCD-ABCD的棱长为2，求： (L)求直线BC到平面ABD的距离： (2)求平面ABD与平面BCD间的距离。 【详解】(1)以D为原点，DA,DC,DD为x,y,2轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则D(0,0,0)B(2,2,0)A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,0), 所以CB,=(2,0,2),DA=(2,0,2),DB=(2,2,0),所以CB I DA,即CB∥DA, 又CBT平面ABD,DAC平面ABD,所以CBII平面ABD, 所以直线BC到平面ABD的距离等于点B到平面ABD的距离. 设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z), DA =2x+2z=0 则i-D丽=2x+2y=0令x=1则n=山，-1-）又4E=(0,20) x=1 所以点4到平南40的距离d-g2-20 33 44 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 D 1 B D B (2)由(1)知CBII平面ABD,同理，DB1平面ABD, 又BCODB=B,BC,DBC平面BCD, 所以平面ABD/I平面B,CD, 即平面ABD与平面B,CD间的距离等于点B到平面ABD的距离. 由（山知，点g到平面4BD的距离d= 4B才2_23 |V33 √3 所以平面ABD与平面BCD间的距离为3 【题型七】综合应用 【例7】(26-27高二上·上海黄浦阶段检测)如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，AD=1, AB=2.将△ADM沿DM翻折，在翻折的过程中A点记为P点. N D (I)从△ADM翻折至△NDM的过程中，求点P运动的轨迹长度； 45 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (2)设T为AM的中点，当点P的投影在直线DT上时，求直线PM与平面ABCD所成角的正弦值： D B (3)翻折过程中，设二面角P-BC-D的平面角为B,求tan8的最大值. 【详解】(I)取DM的中点为E,则从△ADM翻折至△NDM的过程中，点P运动的轨迹是以点E为圆心，AE为半 径的半图，因为D=14M=号4B=1, 在RtAADM中，AD=AM=1,故斜边DM=√AD2+AM2=√2， 由等面积法，得AE=D:AM_1x1V2 DM—=万=)，所以点p运动的轨迹长度为)×π=V 2 B (2)以A为原点，分别以AB、AD所在直线为x、y轴，建立空间直角坐标系， 由题意得各点坐标：A(00,0),B(2,0,0),D(0,10),C(21,0),M为AB中点故M(1,0,0),N为CD中点故 N11,0), 为 中点，故 ,设点在平面 上的投影为，由题意在直线 T AM ABCD H H 46 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 0r上.设1-0)，为参数) 则P代行-(h>0为竖坐标) o-() 0-1-02+h=1 由翻折不变性 ,列方程 PD=1 PM=1 Pw2=+01-o+R= 两式相藏酒去，化简得-3t+2=0一（子将一写代入0=1，解得4=号， 2 2 设直线 与平面 所成的角为，则sina=h=3=2,故直线 与平面 所成角的正弦值为2 PM ABCD a -PM-1-3 PM ABCD (3)三面角P-BC-D的棱为BC,BC平行于y轴，过P作PH⊥平面ABCD,垂足为H;过H作HE⊥BC于E, 连接PE, PH⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,故PH⊥BC,因为HE⊥BC,PHHE=H, 所以BC⊥平面PHE,PEc平面PHE,故BC⊥PE, 因为PE⊥BC,HE⊥BC,所以∠PEH即为二面角的平面角O, 由PD=PM=1可推得P的横、纵坐标相等，即x,=,故设P(x,X,2)(z≥0)，则H(x,x,0) 47 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 PH z P到底面距离PH=2'H到BC的水平距离HB=2-x(BC在x=2处)，因此a8= HE2-x 由PD=1代入坐标得约束条件x+(x-12+z2=1一z2=2x-2x(x∈[0,1]） 将，=2x-2F代入mg:得日标函数了e)=25-2x. 2-x 告茶设因登器 =2-，x∈[0，]： 12-:e2,则2-，代入化简得e)=y=月+602， 令=[别]则，如4@-2这是开口向下的=次通数。对轴为[当时闪 3 11 取得最大值好因此/w一得2 即tang的最大值为2 【变式7】(26：27高二上~上海奉贤阶段检测)如图，在四面体ABCD中，AB=AC=AD=1,∠B1C=∠BDC 2 M是BC中点. (I)证明：AM⊥DM: (2)求直线AD与平面ABC所成角的最大值： (3)求二面角B-AD-C的正弦值的最小值. 48 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【详解】(I)连接AM,DM,因为AB=AC,，M是BC中点，由等腰三角形三线合一得AM⊥BC。 在RaBC中，8-AC-1∠B4C-受故C=NA份+AC-2:角边中线4M8C- 29 在R△BDC中，∠0C-分M是BC中点，故每边中线DM=8C= 2 中，AM2+DM2 △AMD 由勾殷定理道定理得∠MD=分，即AM⊥DM (2)由(I)知AM⊥BC,AM⊥DM,且BC∩DM=M,BC,DMC平面BCD,因此AM⊥平面BCD, 又AMC平面ABC,故平面ABC⊥平面BCD,交线为BC, 过D作DH⊥BC于H,由面面垂直的性质得DH⊥平面ABC,则LDAH即为直线AD与平面ABC所成的角，记为a, M H 在RaCD中，DM= 二，由垂线段最短得DH≤DM,当且仅当DM1BC时取等号， 因此sina= DH AD =DIS2 2 故。的最大值为牙，即直线AD与平面AB℃所成角的最大值为买 (3)以M为原点，MB为x轴，平面BCD内垂直于BC的直线为'轴，MA为z轴建立空间直角坐标系， 49 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 -9D wa4Ξac号ad4aa) 由∠BDC-受：M为BC中点，可知D在以BC为直径的圆（x0平面内)上， 设D/ 2 2 2 0∈0,2)且0≠00≠元（当0=0时：D,B重合，当g=元时：D,C重合，都构不成 四面体)， 设平面 ABD -x- 2 220 h·AD=V2 0s02 2 22=0 n=(sin0,1-cos0,sin0) ACD 8盟a0y9r-05-a-l8ao 2 2 %D= 2 2 2 所以nn2=cos20-1=-sin20. 2sin20+1+cos20-2cos0x2sin20+1+cos0+2cos0=3-cos g-2c0s0x3-cos0+2cos0 50 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (3-cos20)-(2cos20)=9+cos*0-10cos20=(cos20-1)(cos20-9)=sin20(9-cos20)=sing.9-cos20, 设二面角B-AD-C的平面角为B,B∈[0,2m], n.n 则lcos月=cos,n= sin20 sin sin9-cos20 19-cos20' sin20 9-(cos20+sin20) 8 2V2 所以sinB=V1-eos2B=-g-cos2g 9-cos20 19-cos20 9-cos20 当w0小值0即，-燕g兰时分号，-0是大为g北时ngk用最小恤2号。 3π 2v2 即二面角B-AD-C的正弦值的最小值为 【变式7-2】(25-26高二上·上海宝山阶段检测)某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱 柱ABCD-ABCD,其底面边长为4.高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为V2的圆柱体的四分之一，点P为 圆弧E,(包括端点)上的动点 D E21 P D C B (①)若DD=3,求工作台的表面积 (②)若DB⊥平面DEF时，求点P与B的最短距离 (3)若DD,=3,当点P在圆弧E,B(包括端点)上移动时，求平面P4C与平面ABC所成的锐二面角的正切值的取 51 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 值范围 【详解】()因为D,D,=3,所以工作台的表面积AB×BCx2+(AB+BC)x2x1+x2πx2×3+DD,xN2x2 48+32 π+62 (2)如图，以D为原点，以DA,DC,DD,的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-z, ZA D E F2 D C B 设DD2=m. 则D(0,0,0),D(0,0,1+m),EV2,0,1,F0,v2,1,B(4,41), DB=(4,4,1),EF=(-V2,2,0,ED,=(2,0m); DB⊥平面DEF, .DB-ED,=-4V2+0+m=0,m=42, :点P在圆弧E,B(包括端点)上移动， 则P(ab,1+4W2),d+B=2, 52 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 :P8=Va-4}+(b-4+(42=V66-8a+b. -(a+b)2≤2(c2+b), 即a+b≤2(a+b2)=2,当且仅当a=b时等号成立， :.PB≥V66-8×2=5V2, ∴点P与B的最短距离为5V2 (3)若DD2=3,由2)知4(4,0,1)，C(0,4,1),B(4,4,1), 设∠EDP-a:Pa64小则，=ow-ising0引 所以a+b=2sna+到2.2]， 又4C=（-4,4,0),4P=(a-4,b,3). 设平面PAC的法向量为i=(x,,z), i:4C=-4x+4y=0 则1i4P=(a-4)x+y+3a=0' 令5=1则L4g） 取平面ABG的-个法向量m=(0,0,), 设平面PAC1与平面AB,G所成的锐二面角的大小为0， 53 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 a+b-4 3 则cos0=cosm,= m m万 2+a+b-4y 3 sin=1-cos20= √2 0<0< .∴sin0>0 6W2+33V2 则tan8 3v2 a+b-4,由a+b∈[V2,2]则an9e 7’2 62+33W2 :平面P4C与平面4BC所成的锐二面角的正切值的取值范围为 72 【变式7-3】(26-27高二上·上海黄浦阶段检测)如图所示，纸片由三个直角三角形拼接而成， ∠BAC=∠DAC=∠ADE= 2,且AB=DE=4'AC=AD=23,先将其沿AC翻折至BD=2,再沿AD将其翻折为 E'-AD-C成6的二面角，使得E、B两点分别位于平面ACD的两侧，E、C两点位于平面ABD的同侧. (I)求二面角D'-AC-B的大小： D'F (②延长ED交平面ABC于P点，求EF,并求直线DE与平面ABC所成角的大小： (3)求平面AD'E与平面ABC所成锐二面角的大小. 【详解】(1)因为AC⊥AB,AC⊥AD',ABOAD=A,AB,AD'C平面ABD,AC文平面ABD', 54 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 所以AC⊥平面ABD',故∠BAD'为二面角D'-AC-B 通过余弦定理可知cos∠BAD'= 2-9aw (2)建立如图空间直角坐标系A-z, E 可知A0,0,0),B(4,0,0),C0,25,0）,设D(a,0,c),E(xy,z), 2+c2=(23 因为 ,可知 AD'=2√3BD=2 (a-4)2+c2=4 解得a=3,c=5,即D3,0,V5】 AD=3,05),DE=(x-3,z-5),因为D.DE=0,可知3x-3+5-5=0, AE'=4+(25=27,即x+y+2=28, 时时DF4c=Fceo君=4255-12,4C-02.0,即2Bv-l2 综上所述，解得x=2,y=23,2=2√3，可知E(2,2V5,23) 55 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 x=3-t 因为直线 方向向量 =25g) 所以直线 对应的方程为{y=2V31 D'E D'E 2=3(1+1)1ER 当z=0时，解得x=4,y=-2V3,故F4,-25,0） 可知DF=(4-3}+(-23-0+0-5=1+12+3=4, D'F 4 1 EF=4-2+-25-25+0-25=4+48+12=8,所以56F=82 平面Bc法向量有-Q0少所以如a- m_55 m414 (3)设平面ADE法向量乃=(m,m,k),因为AD=(3,0V⑤)，AE=(2,23,23) 3m+V3k=0 所以建立方程组 2m+25n+2k=0解得西=（1-子5.同) 所以cosB= 1. 4 课堂小结 1.核心思想：建系→用坐标表示方向向量、法向量→套角与距离公式→结合图形确定取值。 2.公式速记： a-6 c0s0= Wal- (异面角)：sin8= an a (线面角) cos0=士 nI'n2 inF (二面角)：d=i (点面距) 训 56 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 3.易错点：①线面角用正弦：②异面角取锐角、点积取绝对值；③二面角由图形定锐钝；④点面距中A在平面 内、向量从点指向面：⑤线面距/面面距先转化为点面距；⑥距离公式勿漏绝对值。 积课后作业 一、填空题 1.(24-25高二上上海松江阶段检测)在空间直角坐标系中，己知点O(0,0,0),A(,00),B(0,0,1),P(3,2),则直线 AP与平面OAB所成角的大小为， (用反三角表示) 【答案】arcsin 2-3 【详解】解：由题意可知OA=(1,0,0),OB=(0,0,1),AP=(2,2,) 设平面OAB的法向量为n=(x,y,z), OA=x=0 则 0B.n=2=0'取。 n=(0,l,0) 设AP与平面OAB所成角为a, 则sina= AP.nl 2 APInl 3' 所以a-arcin 3 2 故答案为：arcsin 2.(26-27高二上·上海黄浦阶段检测)空间中a'b为互相垂直的两条异面直线，直线与a所成角的大小为6，则 直线C与b所成角的大小的取值范围为 57 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 ππ 【答案】32 【详解】根据题意，设空间中直线a的方向向量为=(L,0,0),直线b的方向向量为b=(01,0),直线c的方向向量为 c=(x,y,z）, πla.c 因为直线。与，所成角的大小为石，所以0石同日， 6 即2+少+2，两边平方整理得=3y+2): 设直线与，所成角为，则os0= 6.d cb bcx+y+2 c0s0= 1 将 代入，可得 2vy+2 2=3y2+z2） 21+ sz20则c0s日=。22=1 2y+云2+7，可得。单调递减， cos 所以当，=0：即2=0时：c0s6取得最大值，即e0s0 2解得0- 当1→o·即y=0时，cos0取得最小值，即os0=0解得0=受 2 ππ 所以直线。与6所成角的大小的取值范围为32 3.(25-26高二上·上海金山期末)如图，某正方体的顶点A在平面a内，三条棱AB,AC,AD都在平面C的同侧， 若顶点B、C、D到平面α的距离分别为2√W23、V0,则该正方体的棱长为一 58 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 a 【答案】35 【详解】设正方体的棱长为a,取{AB,AC,AD作为空间向量的一组基底， 设单位向量n是平面α的一个方向向上的法向量，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,少z), 使得n=xAB+yAC+zAD 由题意：AB在n上的投影长度为2√2， 所4-25-c40-25与-w532 同理：y= 2:z=V10 3 03 所时+而-层39 a 又同=l,所以a=35 故答案为：3V5 4.(25-26高二上·上海期末)两个共顶点于P且轴共线的圆锥分别记为和'，底面中心分别为0和02，居于P同 侧，底面半径分别为片和5，PO=3,P0,=4,片=4，片=3，在的底面圆周上任取一点M,在，的底面圆周上任取一 点N,直线PM和PN的夹角为O,则cosO的最大值为 24 【答案】25 59 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 【详解】如图所示，以O2为坐标原点建立空间直角坐标系 01 P0=3,P02=4,片=4,3=3∴.02(0,0,0)，0，(0,0,10)，P0,0,4) 设N(3cosa,3sina,00≤a<2m),M(4cosB,4sinB,100≤B<2m). .PM=(4cos B,4sin B,-3),PN=(3cosa,3sina,-4) ..PM=/(4cos B)+(4sin B)2+(-3)2 =5,PN=/3cosa)2+(3sina)2+(-4)2=5. PM.PN=12cos a cos B+12sin asin B+12=12cos(a-B)+12 PM·PW ∴cos0=cos(PM,PW 12cos(a-)+12_12cos(a-)+12 PMPN 5×5 25 24 当cos(a-)=1时，cos0有最大值，最大值为25 24 故答案为： 25 5.(25-26高二上·上海阶段检测)在直棱柱ABC-ABC中，D为AB的中点，AB=BC=2,AA=1,AC=2V2则异 面直线BD与AC所成角的大小为. 【答案】3 【详解】如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB为z轴，建立空间直角坐标系， 60 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 D C市 则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,1),B(0,0,1),D1,0,1), 则BD=(1,0,1),AC=(-2,2,0) 设异面直线BD与AC所成角为B, 则cos0= IBD·AC 21 |BD川AC1√2×222' 所以异面直线BD与AC所成角的大小为3 故答案为：3 6.(24-25高二上上海松江期中y如图，正方体ABCD-4BCD的棱长为2，则二面角B-AC-D的大小为 (结果用反三角函数表示) D C By 、 D C B 61 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【答案】arccos3 【详解】 D Ci A B C 如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,2),D(0,0,2). ∴.AC=(-2,2,0),AB=(0,2,2),AD=(-2,0,2) -2x+2y=0 设平面B4C的法向量为n=(k,y,),则2y+2z=0· 令x=1,则y=1,z=1,故n=(1,l,-1), 同理可得平面ACD的法向量为m=(I,l,1), m-n 1 ..cos(m,n)= 网丽3，二面角B-AC-D的大小为areos 故答案为：arccos3 7.(24-25高二上·上海阶段检测)如图，已知PA、PB、PC与平面a所成角分别为60°、45°、30°，P0⊥平面C, O为垂足，又有斜足A、B、C三点在同一直线上，且AB=BC=1Ocm,则PO的长等于 62 宋老师数学图文制作室 81 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 【答案】5V6cm 【华解】设p0=g则PA=后PB=2:PC=2x 又PB是△PAC底边AC上的中线， 2PB=PC+PA,AC=AP+PC, (2PB)-(PC+PA)=PC+2PCPA+PA (AC=(AP+PC)=AP+2APPC+PC=AP'-2PAPC+PC, 所以4PB+AC=2PC2+2P,则4PB2=2PC2+2P-AC2, 所以8x=82+2-40,故r=56,所以p0=56 故答案为：5V6cm 8.(26-27高二上上海黄浦阶段检测)在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，若点P为△ACD的中线OD上一点， 且P到平面ABCD、平面A4DD、平面CCDD的距离的平方和记为f(P),则f(P)的取值范围为. 【答案】 【详解】以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系， 63 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 11 由正方体棱长为1得：4,0,0：C0,10)D(0,0),4C的中点0220) 设0P=O四：1e0则p直壁标为'20 平面ABCD的方程为z=0,P到该平面的距离平方为： 平面M0D的方程为y=0”p到该平面的距离平方为， 4 1-02 平面CCD,D的方程为x=0'p到该平面的距离平方为°4 因此n-0-+0-+r=3-1+5 1 4 4 2 2’te[0,1' 该=次函数开口向上，对称轴为10，， 有时m取小值-分 当，=1时，了仍取最大位-1+ 3 故f(P的取值范围为， 9.(25-26高二上上海期中)如图，在正方体ABCD-ABCD中，点P为对角线BD,的三等分点，点P到正方体的 各顶点的距离的不同取值的个数为一（个）· 64 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 0 B D C B 【答案】4 【详解】 Z小 D C B Di---- 不妨设正方体的棱长为1， 如图，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dz, D(0,0,0).A1,0,0).B(1,1,0).C(0,1,0). D(0,0,）A(1,0,1,B(1,1,1),C(0,11), 因为点P为对角线BD的三等分点，由正方体的对称性可知，无论P靠近B还是靠近D,其到各顶点距离的取值集合 相同，不纺设P-号丽， 因为B丽--所以原-（号》 65 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 设P小则即=-h-)-(》.解得》 所以p4-,-0-+o--Pm---o--9 c----5.m-o w---哥-1.m-到-- c-o---1.m--o---25 综上点p到各顶点的距高的不同取值有9525,1，共4个不同的值 10.(26-27高二上上海奉贤·阶段检测)如图，正方体ABCD-ABCD的一个顶点A在平面a内，其余顶点在a的 同侧.若顶点B、D、A到平面的距离分别为1、2、4，那么其余四个顶点到α的距离构成的集合是 B a 【答案】3,5,6,7乃 【详解】因为B、D、A到平面a的距离分别为1、2、4， 所以D,A1的中点到平面a的距离为3，所以D到平面a的距离为6： 66 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 B,4的中点到平面a的距离为2，所以B到平面。的距离为5 3 D,B的中点到平面。的距离为2，所以c到平面a的距离为3： C,4的中点到平面a的距离为2，则C到平面a的距离为7： 因此其余四个顶点到的距离构成的集合是3,5,6,7}. 11.(25-26高二上·上海松江·期末)棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M是AB的中点，则DB与CM所成角的 余弦值为」 D B D -------1---C M B V15 【答案】 15 【详解】 Z本 D B D A M B 67 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 如图建立空间直角坐标系：则D(0,0,0),B(2,2,2),C(02,0),M(21,0) 所以DB=(2,2,2),CM=(2,-1,0), 所以cos(DB,CM DB..CM 2×2+2×(-1) 2 DE CM22+22+2×22+(-1 2W3x5=15 5 故答案为： 15 12.(25-26高二上·上海松江期末)己知正四棱柱ABCD-AB,CD的底面边长为1，侧棱44=V5，P为4B上的动 点，则A+PD的最小值为 D 【答案】V√4+5 【详解】方法一：如图1，连接DC 因为正四棱柱ABCD-AB,CD的底面边长为1，侧棱AA=V5, 所以tan∠AAB=AB=1-V5 A45=3，所以∠A4B=30 由正四棱柱的结构知D4上AB,即∠D4B=90°，四边形DABC为矩形 将平面A4B沿AB展开至平面DABC,点A至点A,如图2 68 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 D D P D D B 图1 图2 则AP+PD,的最小值即4，D的长度 在aD44,中，4D=1,∠D44=90°+30°=120°，44=V3, 由余弦定理得4，D=V2+(5-2x1×V3cos120°=V4+V5 故答案为：√4+√5 方法二：如下图，建立空间直角坐标系： A B B 则A1,0,0),D(0,0,5): 因为P为4B上的动点，由∠A4B=30°可知∠ABA=60°， 所以可设P,y5(1-(0≤y≤)， 69 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 所以AP=(0,y5(1-y,DP=(y,-3y）, m以+m=m+m--6+32--0-e-旷0-。 -0ef30月，aor4e可0哥o0可。 求最小恤求平面直角坐标系中，点k0到点怎写}NQ)面考之和的受水板 如下图，作点N(0,)关于x轴的对称点N(O,-), M 则所求最小值为MW -+5 故答案为：√4+√5 二、单选题 13。(2425高二上上海期中)空间中，已知两条直线n,其方向向量分别为a石，则“位，6-号”是“m与n所 成角为4”的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 70 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】由位)-牙，可以推出m与n所成角为牙 但n与n所成角为子时、（位列-子政子。 所以（ā，-香是m与n所成角为4的充分不必要条件 故选：A 14.(26-27高二上·上海崇明期中)已知ABC-AB,G是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱C℃的中点， 则点G到平面AB,D的距离为() √2 A. B.2 D3 40 【答案】B 【详解】以A为空间直角坐标原点，以垂直于AC的直线为x轴，以AC为y轴，以A4为z轴建立空间直角坐标系， 由ABC-ABC是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC的中点， 故4aa0ua号小p9caa 所瓜=-（经号0G-0受0=0a学， 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z), 71 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 a 二x+2y+am=0 2 所以 令，则 a i.AD=ay+号z=0 2 y=1x=V5,z=-2 所以n=(3,l-2), DG.n a 故点C到平面ABD的距离d= 3+1+4=4a. C B D 15.(25-26高二·上海阶段检测)如图，己知正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方 形BB,CC内部（不含边界）运动，给出以下两个结论： ①存在点P满足PD⊥MB, ②存在点P满足PD与平面ADM所成角的大小为60°. 判断正确的是() D C A B D C A.①正确，②不正确 B.①不正确，②正确C.①②均正确D.①②均不正确 【答案】C 72 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则兮Aa少naQA 设PL3Ge0y则@-02 DP=(x1,z-1): 若PD1MB,则MDP-=2十z-1=0,解得2=2 所以存在点P满足PD⊥MB,故O正确： 因为D4=-L0):M-（1分- 设平面4DM的法向量为i=(a,bc): n.D,4=a=0 -0M=a+6-e=0取a-02 则 设PD与平面4D,M所成角为0，(0≤0≤60)， 则sin0= DP.n z+1 DPH网5xV2+1+(z-I =0'2=1则m0=2=255 令 5=5>2，所以0>60 x=0'2=0' 则sin6=1=ov5 i0=10<2,所以0<60 所以存在点P满足PD,与平面ADM所成角的大小为60°，故②正确： Z小 D B 16.(24-25高二上上海期中)若正四面体A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相 等，则动点P的轨迹与ABC组成图形可能是() 73 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 B B C D 【答案】D 【详解】设正四面体A-BCD的棱长为1，设等边△ABC的中心为点O,取AB的中点E, 连接PO、CE,则PO⊥平面ABC,CE⊥AB, 以点O为坐标原点，AB、CE、OD的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， D 、A B 小gd小c9小a9 设点PK0 nCB=1 5 20+ b=0 2 设平面 的法向量为 ,则 cD=56+6。 BCD n=(a,b,c) 3 74 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 BP.n v6r、v6 2y+6 则点到平面 的距离为d= 2 BCD 列 3 3 而点到直线 的距离为y- P AB 6 V6x-V2y- 根据题意可得」 3 =Y- 3 6 在平面ABC内，如下图所示： O 在平面直角坐标系0中，易知点C 6 5,5 则kc=63=5,所以，直线 -0 的方程为 2 BC y=3x- 3 3 即v5x-y-5 2=0,D6x一√2y-3=0 显然，AMBC区域（包括边界）的点的坐标均满足v6x-V2y-550,且y5 3 6, V6x-V2y-V6 所以，由 =V- 可得6-2y-6-3y-5 6 3 2 即石s-B+列y+35.26-0,即点p在。18CK城内的轨迹是一条线段 6 75 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 直线v6x-(3+v2)y+35-26 =0的斜率为k 6 6 3+21, 则动点P的轨迹与线段AC的交点靠近点A,D选项合乎题意， 故选：D 三、解答题 17.(26-27高二上·上海徐汇阶段检测)如图，己知三棱柱ABC-ABG所有棱长均为2，平面ABC11平面4BC, 直线A4BB、CC均与平面ABC垂直.过线段AC中点M作平面a/平面ABBA,记平面a与线段AC交点为N. (I)求直线AM与平面ABC所成角的大小： (2)求证：MNIIAA,并求点N到直线AB的距离. 【详解】(1)由于A4⊥平面ABC,故∠AMA即为直线AM与平面ABC所成的夹角， 由于AM=2,AM=)AC=l,故tan∠AMA=44=2, 21 AM 则直线4M与平面ABc所成角为arctan2. (2)由于△ABC为等边三角形，且三棱柱ABC-ABC为直三棱柱， 由于A4/MN,因此N是AC的中点， 取BC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， uc0-lo4aao(0管-aauo. 76 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 3 ANAB 故点到直线AB的距离为， w- 9 AB ZA A ⊙ 18.(26-27高二上·上海黄浦阶段检测)在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=1,A4=2,E为DD的中点. D B D ”二 B (I)求直线BE与平面ABBA所成的角： (2)求点B到平面ACE的距离. 【详解】(1)由题可知，建立以D为原点的空间直角坐标系， 77 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 D B E B 则A(1,0,0),B(11,0),C(01,0),E(0,0,1), 易知平面ABBA的一个法向量i=(1,0,0),BE=（-1,-1,1), 设直线B与平酒84所成的角为000》】 BE BE.n -15 则sin8=cos BE,n BE· W1+1+1×13, 所以直线BE与平面ABB4所成的角为rein5 : (2)AC=(-11,0),AE=(-1,0,1), 设平面ACE的一个法向量m=(x,y,z), -x+y=0 则-x+2=0,不妨取x=”∴m=1 设点B到平面ACE的距离为d, mBE-1-1+1√3 m 53 78 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 则点B到平面ACE的距离为3： 19.(25-26高二上·上海期末)某圆台形建筑如图所示，圆台OO2的轴截面AAC℃为等腰梯形， AC=2AA=2AG=4,B为底面圆周上异于A,C的点，P是BC的中点. A B (1)求证：直线CP/平面AAB: (2)若AB=BC,求直线CP到平面AAB的距离： (③)建筑学中常用体形系数、表示建筑物与室外大气接触的外表面积与其所包围的体积的比值，即9。，B为建筑物一 暴露在空气中的外表面积（不包括地面的面积，圆台下底视为地面），V,为建筑物所包围的体积，求此圆台的体形系 数S 【详解】(I)取AB中点为H,连接AH,HP 因为p为BC的中点，所以P14C且D-4C, 在等腰梯形AACC中，AC11AC且AC=2AC, 所以HP11AC且HP=AC, 所以四边形ACPH为平行四边形，所以AH11CP, 又CP平面AAB,AHC平面AAB, 79 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 所以CPI平面4AB A (2)因为AB=AC,所以O,B1AC,以O2为坐标原点，分别以O4,OB,O,O为七，少z轴，建立空间直角坐标系， O2一2，如图所示： Z A 在等腰梯形AACC中，AC=2A4=2AC=4, 所以等摄标形的高为=4-(1C,4C=5】 又AC114C且4G=)AC=2, 所以0(0,0,0)，4(2,0,0)，41,0,5，B(0,2,0),C(-2,0,0),C(-1,0,5 因为P是BC的中点，所以P(-L,1,O), 所以4G=(-2,0,0),BA=（1,-2,V5,AB=(-2,2,0) 设平面AAB的法向量为i=(x,y,z), 80 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 i.B4=x-2y+V5z=0 所以{4B=-2x+2y-0,令2=1得i=(55,小 z=1’ 所以直线CP到平面AAB的距离为： d= i-4G25_22 2W21 所以直线Cp到平面A4B的距离为)： (3)由2)有A4=2-+0-0+(0-3=2,h=5 又04=24G=04=)AC=2, 2 所以5=04=1，r=02A=2, 所以S侧=(+w)×A4=(πx1+πx2)×2=6m,S=r2=元，S2=m2=4π， 所以E=S侧+S=6π+π=7元， 所以火-写8+5网+sh-+vx4+4x5-75。 3 S=B=7π=5 所以V。7N3π 3 所以此圆台的体形系数为5。 20.(26-27高二上：上海徐汇阶段检测)已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上 的射影是AC与BD的交点O,已知∠BAD=60,△PDB是等边三角形. 81 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 B (I)求AC和PD所成角的大小： (2)求O到平面PBC的距离： (3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角，并说明点E此 时所在的位置. 【详解】(I)因为ABCD是菱形，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O,所以PO⊥底面ABCD, AC⊥BD,如图建立空间直角坐标系， B 因为菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，△PDB是等边三角形， 所以AV5,0,0,B(0,1,0),C(-3,0,0,D(0,-1,0),P0,0,N3), 则CA=(25,0,0,Dp=(0,15), 所以CADP=0,则CA⊥DP, 所以AC和PD所成角的大小为90° 82 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (2)由1)知，CF=(N5,0,v3),BP=(0,-1,v5,0P=(0,05), 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z), [Cp.m=0N5x+3z=0 则Pm=0即{-y+3z=0' 令z=1,则x=-l,y=5,即m=（-1,5,, 所以O到平面8C的距离为d- m0丽_ m55 (3)设E=4D,∈[0，，因为AD=(-5,-1,0): 所以AE=（3,-,0,则E(N5-3,-元，0，即PE=(V5-5,-,-5) 由(2)知，平面PsC的一个法向量为m=(山，5，)】 设直线PE与平面PBC所成的角为a, PE.m 25 25 所以当2=3 时，sina最大，即。最大，此时sina=号 5 所以当点五在线段D上且正=4D时，直线PB与平面PBC所成的角最大，最大角的为acs 5 21.(26-27高二上上海宝山·阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD,△PAD是边长为4 aCM=2,e(0,) 的等边三角形：1D1BC·BLCC-4-D,N是按CP上的点，月 21 83 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (I)若PAII平面BDM,求九的值： (回若=号，设二面角M-BD-4的大小为0：求n0的值： xA-号，求点p到平面wB的距离， 【详解】(1)取AD的中点O,连接PO,连接CO, 因为△PAD是边长为4的等边三角形，所以P0LAD,且PO=2N3,，AO=2, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,POC平面PAD, 所以POL⊥平面ABCD 又因为ADIIBC,AB⊥BC,所以AB⊥AD 因为BC-4B4D,所以BC=2AB=4则A0=BC 因为AD1IBC,所以四边形ABCO是矩形， 以O为原点，OC,OD,OP所在直线分别为x,y,2轴，建立空间直角坐标系， 则A(0,-2,0)，B(4,-2,0),C(4,0,0),D(0,2,0),P0,0,25 设M(xwyw,2w),因为CM=CP,所以(xw-4,yw,2w)=2-40,23), 84 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 解得xw=4-4,yw=0,2M=23,则M(4-4,0,232 设平面BDM的法向量为i=(x,y,z), 则DB=(4,-4,0),DM=(4-4,-2,2V32】 DB⊥n DB.=0 [4x-4y=0 则DM1万'即1DM.n=0'l(4-4)x-2y+25z=0' 取y=V3孔，解得x=V5,z=21-1, 则平面BDM的一个法向量i=(V3,N32,2-, PA=(0,-2,-25. 因为PAII平面BDM,所以n⊥PA,即n-PA=0, 所以5(-2)+(2--23)=0，即1-3=0，解得3=号 4 ,0, 43 M 3 平面。 BDM 的法向量元=(25,25， 平面ABD的法向量取n=(0,0,1), 设二面角M-BD-A的大小为B,0<0<π， %n21 则cos0= -m网5，所以sin0=-cos0=24_26 5 85 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 设平面MAB的法向量为m=(x,y,z), [4x=0 则m1B 即m:AB=0,即4 m⊥AM ma-0'+2+45:=0 3 解得x=0,取z=-3,解得y=2√3，则m=(0,25,-3, 点P0,0,25),A(0,-2,0),PA=(0,-2,-23), 设点P到平面MAB的距离为d, PA.m |-45+63 23_2W7 m V25+(-3 7 ,2√7 所以点p到平面MAB的距离为 ZA A B 86