3.4.3 求角的大小 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

学生版 第 3 章 空间向量及其应用 3.4 空间向量在立体几何中的应用 3.4.3 求角的大小 本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升； 因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻； 本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力； 【学习目标】 学习目标 学科素养 1、理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角；（重点、难点） 2、二面角的求法； 3、空间三种角的范围；（易错点） 1、逻辑推理：借助空间角的求解； 2、数学运算：求平面的法向量； 【自主学习】 问题导学：预习教材P111－P113的内容，思考以下问题： 1、空间三种角的定义及其范围；2、空间三种角的向量求法； 【知识梳理】 1、用空间向量求夹角问题 分类 图示 计算公式 夹角 异面直线所成的角 （其中为异面直线的方向向量） 直线与平面所成的角 （其中为直线的方向向量，为平面的法向量） 两个平面的夹角 （其中为两平面的法向量） 【思考】 1、直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？ 【提示】 设为平面α的一个法向量，为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为， 则 2、二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？ 条件 平面α，β的法向量分别为，，，所构成的二面角的大小为，〈，〉＝φ， 图形 关系 θ＝φ θ＝π－φ 计算 cos θ＝cos φ