专题3.4.2 空间向量在立体几何中的应用--求距离（3大知识点+7大题型+21题强化） 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版2020选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.4.2 空间向量在立体几何中的应用--求距离 知识点一、点到直线的距离 1、已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． 2、用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解． 知识点二、异面直线间的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 知识点三、点到平面的距离 1、如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 2、用向量法求点到平面的距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝． 题型1：向量法求空间点到直线的距离 【方法点拨】用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 【例1】在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点坐标得到向量坐标，利用数量积求出向量在上的投影，再利用勾股定理求得点到线的距离. 【详解】已知，，， 则，， 设向量与夹角为， 则在上的投影为， ，． 所以， 点到直线的距离，， 则． 故选：D． 【跟踪训练】 1.在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件得出的坐标，进而表示出，的坐标，根据向量法计算即可得出距离. 【详解】    如图，建立空间直角坐标系， 则有. 又， 所以， 所以，，， 则，在上的投影向量的模为. 又， 所以点到直线的距离为. 故选：C. 2.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 3.在平行六面体中，已知，，点为平面上的动点，则点到直线的距离为 【答案】 【分析】由基向量求得，然后由空间点到直线的向量求法求解即可； 【详解】， ， 所以点到直线的距离为= 题型2：向量法求异面直线间的距离 【例2】在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】连接，，设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 求出与，都垂直的向量为，利用即可求. 【详解】    连接，，设， 由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，. 设与，都垂直的向量为， 则，即， 令，则，， 所以为与，都垂直的一个向量， 则线段的长度的最小值为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 3.正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 题型3：向量法求点到平面的距离 【方法点拨】利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 【例3】已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求平面的法向量，再利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为，则有， 取，得， 所以点点平面的距离，即四棱锥的高为. 故选：D 【跟踪训练】 1．已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为________ 【分析】求出向量，然后利用点到平面的距离公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又点在平面内，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 2.如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设，连接，证明平面，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】连接，设，连接， 由，得，所以， 因为底面是菱形，所以， 又因为，且，在平面内， 所以平面， 在中，，，所以， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：C. 3．如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，再结合棱锥的体积公式求解. 【详解】以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，. 在中，，， 所以. 又，，. 设平面的法向量为，则 ，取可得. 所以点到平面的距离为：. 所以. 4.如图，在长方体中，，点E在棱AB上移动，点F是棱BC的中点. (1)求证：； (2)当E为AB中点时，求直线EF到平面的距离； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】如图建立空间直角坐标系.（1）由可完成证明； （2）直线EF到平面的距离即为点E到平面的距离，由题可得平面的法向量，则点E到平面ACD1的距离为； （3）由题可得平面与平面法向量，据此可得平面与平面所成的角余弦值关于m的表达式，然后可得答案. 【详解】（1）以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，以1为单位长度建立空间直角坐标系如图，设， 则，，，，， 证明：因为，，所以， 所以，所以； （2）因为E为AB的中点，点F是棱BC的中点， 所以，则易得平面， 所以直线EF到平面的距离即为点E到平面的距离， 又，从而，，， 设平面的法向量为，则 即所以令，从而， 所以点E到平面的距离为. 题型4：向量法求直线到平面的距离 【例4】在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行以及点面距公式求得直线到平面的距离. 【详解】由题意，构建如图示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，则点到平面的距离， 又，平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离，即直线到平面的距离，为.    故选：D 【跟踪训练】 1．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由线线平行得到线面平行，直线到平面的距离等于点到平面的距离，建立空间直角坐标系，得到平面法向量，得到点到平面的距离. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则，故直线到平面的距离为. 故选：D 2. 我国古代数学名著《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”若由棱长为1的正方体斜解得到堑堵，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，将问题转化为点到平面的距离，利用向量法求解可得. 【解答过程】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 因为，且平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，取，得，则， 又，所以直线到平面的距离为. 故选：B.    题型5：向量法求平面到平面的距离 【例5】两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是_________. 【解题思路】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【解答过程】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量， 两平面间的距离. 【跟踪训练】 1. 空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为__________. 【答案】 【解题思路】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【解答过程】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为：. 2.如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 题型6：与距离有关的最值问题 【例6】如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面距离相等，得出关于平面的对称点为，利用对称点求出最短路径即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设关于平面的对称点为， 则， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以与到平面的距离， 即①，又，所以②， 所以由①②得，又由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 【跟踪训练】 1. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 题型7：综合提升 【例7】如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 【例8】如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意可得，再根据，即可求得点的坐标； （2）由（为平面的法向量），求解即可； （3）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）解：如图所示： ， 故， 因为， 所以； （2）解：因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时， 故， 即，解得； （3）解：， 设平面的法向量为， 则有 取， 则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. 【例9】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点. (1)求证平面； (2)求的值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，的坐标为或. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）利用共面向量定理及向量的坐标运算计算得解. （3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式列式求解. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是正方形，平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，于是 即平面，而平面，所以平面. （2）设，则，， 由四点共面，得， 因此，解得，所以. （3）由（2）得，则，设， 于是点，，而， 设平面的法向量为，则，取，得， 点到平面的距离，解得或， 所以线段上存在一点满足条件，点的坐标为或. 一、填空题 1.已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 【答案】 【分析】根据空间点到线距离公式进行求解即可. 【详解】已知，，， 所以，. 进而，. ，进而. 则点到的距离. 2.已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为________ 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可. 【详解】由题意得，， 所以点到直线的距离. 3．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为_________. 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 其中， 点C到平面的距离. 4.在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是___ 【分析】以H为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．利用空间向量法求出点P到平面的距离即可. 【详解】如图，取棱的中点F，连接， 则点P在平面的投影H在线段上，且， 连接，作，交线段于点G，易证两两垂直， 则以H为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，所以． 因为，所以， 所以，所以． 设平面的法向量为，则令，得， 故点P到平面的距离是． 5.如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为______. 【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可. 【详解】因为平面，，易知AD，CD，PD两两垂直， 以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意得，，，. 所以，，， 设为平面CPM的法向量，则，即， 不妨设，可得， 由，得， 则N到平面CPM的距离为. 6.在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 【答案】 【分析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法得出距离表达式，并根据二次函数性质即可求出距离最小值. 【详解】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，在平面内过并垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图：    因为，所以，，，， 所以，，. 设，则， 故点到直线的距离. 当时，等号成立； 因此点到直线的距离的最小值是. 故答案为： 7.已知长方体中，，点为侧面内任一点（含边界），且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】构建合适的空间直角坐标系，若且，可得，再应用向量法求到面的距离的最大值，最后应用三棱锥的体积公式求最大体积. 【详解】由题意，构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，， 若且，则，整理得， 由，，是面的一个法向量， 则，取，则， 又，则到面的距离， 综上，，故时， 显然是边长为的等边三角形，故， 所以三棱锥的体积的最大值为. 故答案为： 8.如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据题意设，然后利用空间向量求出点到的最小距离，从而可求出点的坐标，进而可求出的长 【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 二、选择题 9.如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定四棱锥的体积最大时，平面，然后以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求点面距． 【详解】由得，所以，四边形的面积是确定的， 点到平面为，则，因此 四棱锥的体积最大时，取得最大值，所以平面， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以点到平面的距离为， 故选：B． 10.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 11.在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解. 【详解】连接交于点O， 由题意，得，， ， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以，       设平面的一个法向量为，则， 所以，取， 则， 设顶点B到平面距离为d， 则， 当时， 当时，， 所以当即时点B到平面距离最大为. 故选：A. 13.已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出一个与都垂直的向量的坐标，根据空间距离的向量求法即可求得答案. 【详解】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 故， 设， 则； 设为与都垂直的向量， 则，令，则， 因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度， 故点P到直线的距离的最小值为， 故选：A 三、解答题 14.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用计算距离的方式计算即可. 【解答过程】（1）建立如图所示空间直角坐标系，    得,, ,,， 所以,， 所以点到直线的距离为； （2）设平面的一个法向量为， 由（1）可知,,， 易知， 令，得， 所以， 所以点到平面的距离为. 15.设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【解答过程】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 16.已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，. (1)求四棱锥的体积； (2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)存在，或 【分析】（1）找到四棱锥的高，利用四棱锥体积公式求出体积； （2）根据题目中的条件建立空间直角坐标系，表达出与，均垂直的向量，进而利用异面直线BF，DE的距离为1建立等式求出a. 【详解】（1） ∵侧面为正方形，∴， 又，且，面， ∴平面，又， ∴平面，取BC中点G， 则，∴平面. ∴. （2）以为原点，分别以BA，BC，所在直线建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 设，则，，. 设与，均垂直的向量为， 则，即，取， ∴异面直线BF，DE的距离，解得或. ∴或. 故存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1，且此时或. 17.如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 18. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，中点，连接，，易证两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直. （2）利用点到平面的距离的向量公式即可解出. 【详解】（1）取中点，中点，连接，. 因为为等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 平面，所以， 又底面是直角梯形，，所以. 又分别为，中点，所以，所以. 所以两两垂直. 故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 由，设，，，. 所以，. 因为. 所以，所以. （2）由（1）得，，，. 设平面的一个法向量为， 则，令，可得. 所以点到平面的距离. 19.如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，由点到平面距离的向量公式即可求解； 【详解】（1）由于平面平面，平面平面 ， 且平面， 平面， 平面，． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． 20.如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得∽，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，，，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面， 因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，，， 所以，， 所以∽，所以， 因为，所以，所以， 又，，平面，所以平面． （2）解：因为底面，平面， 所以， 因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设为平面的一个法向量， 因为，， 所以，即，令，可得． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：设，， 则，， 设到直线的距离为，则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 21.如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）在图1中，证得，取AC的中点O，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得； （2）以为原点，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设点到平面的距离为d，根据题意，求得，得到点到平面的距离为，令得到，结合向量的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）证明：在图1中，由，可得， 所以，则， 因为，可得，所以， 在图2中知，取AC的中点O，连接QO，BO， 又因为Q为PC的中点，可得，所以， 因为，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：由题意知，平面平面，平面平面，且，所以平面ABC，所以直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得，，所以， 设平面的法向量为，因此， 令，可得，，所以， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）解：假设线段AP上是否存在点M，使得三棱锥的体积为， 在中，，可得， 因为三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为d，可得，因此， 因此点到平面的距离为， 令（），由（2）得，， 又因为平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，且. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.4.2 空间向量在立体几何中的应用--求距离 知识点一、点到直线的距离 1、已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． 2、用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解． 知识点二、异面直线间的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 知识点三、点到平面的距离 1、如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 2、用向量法求点到平面的距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝． 题型1：向量法求空间点到直线的距离 【方法点拨】用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 【例1】在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在长方体中，，，点满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.在平行六面体中，已知，，点为平面上的动点，则点到直线的距离为 题型2：向量法求异面直线间的距离 【例2】在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【跟踪训练】 1.如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 题型3：向量法求点到平面的距离 【方法点拨】利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 【例3】已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为________ 2.如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 4.如图，在长方体中，，点E在棱AB上移动，点F是棱BC的中点. (1)求证：； (2)当E为AB中点时，求直线EF到平面的距离； 题型4：向量法求直线到平面的距离 【例4】在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 2.我国古代数学名著《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”若由棱长为1的正方体斜解得到堑堵，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 题型5：向量法求平面到平面的距离 【例5】两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是_________. 【跟踪训练】 1. 空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为__________. 2. 如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 题型6：与距离有关的最值问题 【例6】如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型7：综合提升 【例7】如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【例8】如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【例9】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点. (1)求证平面； (2)求的值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 一、填空题 1.已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 2.已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为________ 3．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为_________. 4.在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是___ 5.如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为______. 6.在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 7.已知长方体中，，点为侧面内任一点（含边界），且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最大值为 ． 8.如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 二、选择题 9.如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（    ）    A． B． C． D． 10.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 11.在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 12.如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（    ）    A． B． C． D． 13.已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 14.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离. 15.设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 16.已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，. (1)求四棱锥的体积； (2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由. 17.如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 18. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 19.如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． 20.如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 21.如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $