专题02 整式的乘法 期中复习讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题02整式的乘法期中复习讲义 ☆ 复习目标 1理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，能直接运用法则进行基础 计算，分清各个运算法则之间的区别，避免混淆。 2能够逆向使用幂的相关运算法则，对式子变形，求出代数式的值。 3,掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，规范展开 计算，留意符号问题。 4.会进行整式乘法相关的化简求值，先展开化简，再代入数值计算，规范解题步 骤。 5.掌握整式乘法里结果与字母取值无关类题型的解题思路，会通过令对应项系数为 0求参数。 6.能够结合图形面积，利用整式乘法列式、推导和计算。 7.会结合实际情境列出整式，借助整式乘法解决实际问题。 8理清运算顺序，能综合运用幂的运算、整式乘法、合并同类项完成混合运算。 ☆ 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 同底数幂相乘 ★★ 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 积的乘方运算 题型七 积的乘方的逆用 题型八 计算单项式乘单项式 试卷第1页（共3页） ★★★ 题型九 利用单项式乘法求字母或代数式的值 ★★★ 题型十 计算单项式乘多项式及求值 ★★★ 题型十一 单项式乘多项式的应用 ★★★ 题型十二 利用单项式乘多项式求字母的值 题型十三 ★★★ 计算多项式乘多项式 ★★★ 题型十四 (x+p)(x+)型多项式乘法 ★★★★ 题型十五 已知多项式乘积不含某项求字母的值 ★★★★ 题型十六 多项式乘多项式一一 化简求值 ★★★★ 题型十七 多项式乘多项式与图形面积 ★★★★ 题型十八 多项式乘法中的规律性问题 ★★★★★ 题型十九 整式乘法混合运算 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点01：幂的基本认识 形如a”,a为底数，n为指数 含义：a"表示n个a相乘 区分： 试卷第2页（共3页） a:底数只有a (a)”:底数是a 最大基础陷阱：括号决定底数范围 知识点02：三大核心幂运算公式（详细拓展+对比表格） 运算名称 公式 运算法则 易错点 同底数幂相乘 am.a"-amn 底数不变，指数相加 相乘指数加，不是乘 幂的乘方 (am)n-am.n 底数不变，指数相乘 不要指数相加 积的乘方 (ab)"=a"b" 每个因式分别乘方 最容易漏系数乘方 深度拓展区分（老师必讲） 1同级运算（乘、除）一指数加减 2高级运算（乘方）一指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点03：公式逆向运用 七年级想拿高分，必须会逆用公式，所有难题全部来自逆向变形 正向公式 逆向公式 解题用途 am*n-am.an am.an=amrn 指数拆分、凑指数、求值 amn=(am)n amn=(an)m 高次幂改写、幂的大小比较 试卷第3页（共3页） 正向公式 逆向公式 解题用途 a"bm=(ab)n ambm=(ab)m 同指数简便合并运算 知识点04整式乘法三类基础运算（核心三类） 1.单项式×单项式 ·运算步骤：①系数相乘；②同底数幂分别相乘；®单独字母直接保 留 公式示例：3x2y·(-2xy)=-6xy4 ·口决：系数乘系数，同底幂加指数，独有字母照抄 2.单项式×多项式 法则：用单项式去乘多项式每一项，再把积相加（乘法分配律） 公式：m(a+h+c)=ma+mb+mc(不漏顶、符号准) 注意符号：同号得正，异号得负 结果要合并同类项 文字语言 符号表示 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项 p (athte) 式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 =pa十pb十pc(p,a,b,c都是单项式) 3.多项式×多项式 法则侧：先用一个多项式每一项乘另一个多项式海一项，再合并同类项 公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn(不重不漏) 步骤逐项相乘→确定符号一→合并同类项→化为最简 试卷第4页（共3页） 文字语言 符号表示 般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每 (年b)p4) 项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 =ap十aq十bp十bq(a,b,p,q都是单项式) 三类整式乘法对比表 乘法类型 核心依据 运算关键 单×单 同底数幂、积的乘方 系数、字母分开算 单×多 乘法分配律 不漏乘多项式任意一项 多×多 多次分配律 逐项相乘，最后合并同类项 知识点05混合运算顺序 1,先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2再乘除（整式乘法） 3.最后加减，有括号先算括号内 知识点06高频易错汇总表 错误情形 错误计算 正确计算 错误原因 同底数幂混淆加减乘 x2+x3=x5 无法合并，保留原式 加法不能指数相加 幂的乘方指数相加 x23=x (x2)3=x6 幂乘方指数应相乘 积的乘方漏乘单个因式 (2xy2=2xy2 (2xy)=4xy2 系数2也要平方 单×多漏乘常数项 3x(x-2)=3x2-2 3x(x-2)=3x2-6x 单项式要乘括号全部项 试卷第5页（共3页） 错误情形 错误计算 正确计算 错误原因 负号乘多项式不变号 -a(h-2)=-ah-2a -ab+2a 负数乘括号内负数得正 互为相反数底数不转换(xy)3=(y-)3 (Xy)3=-y-x)3 奇次幂符号相反 (☒+2) 多项式相乘漏项 x2+5x+6 两顶必须交叉相乘 (x+3)=x246 ☆ 题型精析 题型一同底数幂相乘 1.计算（a)°(-aj°= 2.下列运算正确的是() A.x3.x4=x12 B.(r)=x2 c.(-x°+x=(-x D.x+x=x 3.计算(yヅ(y)的结果是《) A. x'yi2 C. D.xp 题型二同底数幂乘法的逆用 4.x2m+"可写成（) A.x2.xmtn B.x2m.x2n C.x2m.x D.2xm 5计，2 2022 =() A.1 B.1 D.z 试卷第6页（共3页） 6.我们知道下面的结论：若a”=a”(a>0,且a≠1)，则m=n.设2m=3,2”=6, 2P=12 m n p 下列关于“，“，三者之间的关系正确的是() A.n-mp=-1 B.m+n=2p C.m+p=2n D.p+n=2m 题型三用科学记数法表示数的乘法 7.据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团SPT-CLJ2337-5942 的中心，该星系团距离地球约70亿光年，质量约为太阳的1000万亿倍.已知太阳的质量约 2×1030kg 为 ,则用科学记数法表示该星系团的质量，约为() A.2x10%kg B.2x10%kg C.2x10%kg D.2x10%kg 8.雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行，假设某时刻雷达向飞机发射电磁波， 电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了5×10秒.已知电磁波的传播速 度为3.0×10米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为米.（结果用科学记数法表示） 9.科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×10GB,一张普通唱片 的容量约为25GB,则蓝光唱片的容量是普通唱片的()倍.（用科学记数法表示） A.2×10 B.5×10 C.8×103 D.8×104 题型四幂的乘方运算 10.计算：[-（←丁 11.下列计算正确的是() A.2a2+3a2=6a2 B.a+a2=a 试卷第7页（共3页） c.(a2}'=a D.(3aj}2=9a2 12.若为正整数，则 K2+1 A. C.2 D 题型五幂的乘方的逆用 13.己知a”=2,则a4m= 14.若3"+3"+3"=9”，则m与n的关系是() A.m=n B.3m=n C.m+l=n D.m+1=2n 15若0=3，b=9,c=27 则“，b,C的大小关系为() A.c>a>b B.b>a>c C.axb>c D a>c>b 题型六积的乘方运算 16.计算：（4ab)= 17.己知a>0,b>0,b1,且a6r=a ,则”的值是() A.-2 B.2 C.3 D.4 18.下列各式中，计算过程正确的是() A.x3+x2=x3+3=x6 B.x3.x3=2x3=x6 C.x5x D.x(-x°=-x2* 题型七积的乘方的逆用 2026 19.计算： ×1.520×(-1)275= 试卷第8页（共3页） 55+55+55+55+55.43+43+43 20.已知2+2+2+2+2×10+10+10=2 ,则n的值为一 1 A.0 B.3 C.3 D.1 题型八计算单项式乘单项式 2.计算：（-2r3xy)= 23.计算.2(-2x= 24.下列计算正确的是（) A.-x(2-x)=-x2+2x B.(6xy2）3x=18x2y c.(x-3(x+5)=x2-15 D.(2x-(x+1）=2x2+x-1 题型九利用单项式乘法求字母或代数式的值 25.设y")(y)=y,则的值为() A.1 B.-1 C.3 D.3 27.已知单项式6am+b+1与-4a2mb-的积与7a3b是同类项，则mn的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 题型十计算单项式乘多项式及求值 28计算(x-) 的结果为() 试卷第9页（共3页） A.x2-x B.x2-2 C.x2-1 D.x2-3 29.已知m-4m-1=0,则代数 2m(m-4) 的值为一 30.已知a+6=mab=”,化简(a-26-2) 的结果是() A.n+4 B.n-4 C.-2m+4 D.n-m4 题型十一单项式乘多项式的应用 31,小明家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的长方形示意图如图所示.现要 进行修补，有A,B,C三种地砖可供选择，则需要A砖(） -3a+b a☐a☐b b 6 A砖B砖C砖 破损部分示意图 A.6张 B.5张 C.2张 D.0张 32.a△b按照图①的程序进行计算，a☆b按照图②的程序进行计算.下列说法正确的有 () /输入a 输入b 输入a 入b )×( Xm +1 )+( 输出a△b 输出a☆b 图① 图② A.a△b=b△a B (aAb)Ac=a(bAc) C.a☆b=b☆a D.(a☆b)☆c=a☆(b☆c) 3.如图，长方形4BCD是由两个长为O,宽为b的长方形BPEO和DMGN(a> ,两个 试卷第10页（共3页） 相同的大正方形APHN和FQCM,以及小正方形EFGH无缝拼接组成.若阴影部分（四 个直角三角形)的面积是正方形EFGH面积的4倍，则6的值是 G E 题型十二利用单项式乘多项式求字母的值 34.要使(2++)+2x 中不含有尤的四次项，则等于() A.1 B.2 C.3 D.4 35.若0、b为正整数，且2x(r+3列=2+3 ,则心等于() A.6 B.8 C.9 D.16 a b=ad-be ，如2-2 =4×(-2)-0×2=-8 36.对于实数a,b,c,d,规定一种运算cd x-2-2x+1 -1a .若ab的取值与x无关，则42b的值为 题型十三计算多项式乘多项式 37.计算： (2x-3)(x+2) 的结果是 38.若M=(x-3x-5),N=2-8x,则M N.(填“><或“=") 39.若-43x+川=3x2+mx-2 .则() A.m=-7,n=5 B.m=7,n=5 C.m=-7,n=-5 D.m=7,n=-5 试卷第11页（共3页） 题型十四(x+p)+q)型多项式乘法 40.若(x+(x-5)=2+m+ ,则() A.a=-4,b=-5B.a=4,b=-5 C.a=5,b=-4D.a=-5,b=-5 41.已知x+mx+)=+2g-6,则m+m）m 的值为 42.如果x+a(x-2)=2+bx-6」 对于任意x都成立，那么、b的值分别是() A.a=3,b=5 B.a=3.b=1 C.a=-3,b=-1 D.a=-3,b=-5 题型十五已知多项式乘积不含某项求字母的值 43.若多项式x-m与多项式x+3的乘积不含x的一次项，则m的值为() A.-3 B.0 C.3 D.9 4.已知(：++3r-3x+m的展开式中不含2和×项，则2m+3n 45.若整式(-+2+)-x 开化简后含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a 的值是() A.-1 B.1 C.1 D.0 题型十六多项式乘多项式一化简求值 46。已知m+n=-2,mn=-2,则-m1-） 的值为() A.-3 B.-1 C.1 D.5 47.已知6=1，a-b=-3,则代数式(a+26-2） 的值为一 48.若多项式2x2+c-14是由整式x-2与另一个整式2x+m相乘得到的，则k的值为 () A.3 B.4 C.5 D.6 试卷第12页（共3页) 题型十七多项式乘多项式与图形面积 49,有若干如图所示的正方形和长方形卡片，若要拼一个长为2a+),宽为a+2） 的长 方形，那么需要A类卡片()张. C A B a A.1 B.2 C.4 D.5 50.如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的正方形ALMW和两个边长为6的正方形 DEFG、HIJK 2S3+S1-S2=2 ABCD 若阴影部分的面积满足 则长方形 的面积为 EN D G S3 51.如图，正方形ABCD和正方形AEFG叠放在一起，点E在边AB上，点G在边AD上， M是BE的中点.若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是() E M A.EM·EB B.EM·AE C.AE·AM D AM.EM 题型十八多项式乘法中的规律性问题 52.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式 试卷第13页（共3页） (a+b)” 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算 (口+b的展开式中第三项的系数为（） (a+b)0·········1 (a+b)'······11 (a+b)2······121 (a+b)3.·····1331 (a+b)4.····14641 (a+b)5.··15101051 。。。。。 A.45 B.55 C.2025 D.2026 53.观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)x2+x+1=x3-1 (x-1)x3+x2+x+1=x4-1 根据规律计算：2206+2225+224+22023+…+24+23+22+2+1= 54。我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式(a+b)”( 为非负整数)展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为： (a+b=a+4ab+6db+4ab+h.若（x-2=r-10r'+40x+mr+80x-32,则m 的值为() 左 右 积 商 立 方 乘 四 试卷第14页（共3页） A.10 B.40 C.-60 D.-80 题型十九整式乘法混合运算 =ad-be,23引=2x4-1x3=5 55.对a,b,c,d定义一种新运算：bd ,如14 ,计算 4 56,等式（广-2w2xy]-=y中的括号内应填入（） A.8xy B 8x2y2z C.2x'ya D +2x2y2z 57.若x2+x-2=0.那么代数式(x-6)(x+3)-2x(x-1)的值为() A.40 B.4 C.-18 D.-20 解答题 58.计算。 03-（-2x小g+ 23a°(d2a-(-a）-a2 59.计算： 03x(6 2(a-3(a+2) 62m(n--8mn-m） 试卷第15页（共3页） 60.【知识回顾】有这样一类题：代数式-y+6+3x-5y-l的值与x的取值无关，求a 的值；通常的解题方法；把x,y看作字母，☑看作系数，合并同类项，因为代数式的值与 x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式(a+3)x-6y+5 ,所以a+3=0,即a=-3 【理解应用】 3[2x+(x-)-x-3y]+6(r+y-的值与无关，求'的值： 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b,有7张图1中的纸片按照图2方式 不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设 右上角的面积为，左下角的面积为，当4B的长变化时， S-S2 的值始终保持不变， 求a与b的数量关系. 夕 S D 图1 图2 61.为美化校园，某校计划在现有的一块边长为a的正方形草坪ABCD中挖出一块长方形 空塘EFGH设计喷泉适景，点G,在(CD,且满是DH=GC-b,BH-分，a>2b 4 B D H (I)求长方形空地EFGH的面积；（用含a,b的式子表示） (②考b=名，诗别断造景后保留的草坪面积能香超过原米草坪面积的手，访说明理由， 3 62.我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》 中记载的“杨辉三角”· 试卷第16页（共3页） ......(Q+b)=a+b .(a+b)2=a2+2ab+b2 .(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 1 .(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 此图揭示了（α+b)(”为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此律可 解决如下问题： (1)图中括号内的数为一： (②(a+b)° 展开式共有项，第3项系数为」 45-10×44+40×43-80×42+80×4-32 (3)利用上面的规律计算： 试卷第17页（共3页） 专题02整式的乘法期中复习讲义 1.理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，能直接运用法则进行基础计算，分清各个运算法则之间的区别，避免混淆。 2.能够逆向使用幂的相关运算法则，对式子变形，求出代数式的值。 3.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，规范展开计算，留意符号问题。 4.会进行整式乘法相关的化简求值，先展开化简，再代入数值计算，规范解题步骤。 5.掌握整式乘法里结果与字母取值无关类题型的解题思路，会通过令对应项系数为 0 求参数。 6.能够结合图形面积，利用整式乘法列式、推导和计算。 7.会结合实际情境列出整式，借助整式乘法解决实际问题。 8.理清运算顺序，能综合运用幂的运算、整式乘法、合并同类项完成混合运算。 题型 考察方向 难度 题型一 同底数幂相乘 ★ 题型二 同底数幂乘法的逆用 ★★ 题型三 用科学记数法表示数的乘法 ★★ 题型四 幂的乘方运算 ★ 题型五 幂的乘方的逆用 ★★ 题型六 积的乘方运算 ★ 题型七 积的乘方的逆用 ★★ 题型八 计算单项式乘单项式 ★★ 题型九 利用单项式乘法求字母或代数式的值 ★★★ 题型十 计算单项式乘多项式及求值 ★★★ 题型十一 单项式乘多项式的应用 ★★★ 题型十二 利用单项式乘多项式求字母的值 ★★★ 题型十三 计算多项式乘多项式 ★★★ 题型十四 (x+p)(x+q)型多项式乘法 ★★★ 题型十五 已知多项式乘积不含某项求字母的值 ★★★★ 题型十六 多项式乘多项式 —— 化简求值 ★★★★ 题型十七 多项式乘多项式与图形面积 ★★★★ 题型十八 多项式乘法中的规律性问题 ★★★★ 题型十九 整式乘法混合运算 ★★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:幂的基本认识 形如 an，a 为底数，n 为指数 含义：an表示 n 个 a 相乘 区分： -an：底数只有 a (-a)n：底数是 -a 最大基础陷阱：括号决定底数范围 知识点02:三大核心幂运算公式（详细拓展 + 对比表格） 运算名称 公式 运算法则 易错点 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 相乘指数加，不是乘 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 不要指数相加 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 最容易漏系数乘方 深度拓展区分（老师必讲） 1.同级运算（乘、除）→ 指数加减 2.高级运算（乘方）→ 指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点03:公式逆向运用 七年级想拿高分，必须会逆用公式，所有难题全部来自逆向变形 正向公式 逆向公式 解题用途 am+n=aman aman=am+n 指数拆分、凑指数、求值 amn=(am)n amn=(an)m 高次幂改写、幂的大小比较 anbn=(ab)n anbn=(ab)n 同指数简便合并运算 知识点 04 整式乘法三类基础运算（核心三类） 1.单项式 × 单项式 · 运算步骤： ① 系数相乘；② 同底数幂分别相乘；③ 单独字母直接保留 · 公式示例：3x2y (-2xy3) = -6x3y4 · 口诀：系数乘系数，同底幂加指数，独有字母照抄 2.单项式 × 多项式 法则：用单项式去乘多项式每一项，再把积相加（乘法分配律） 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc（不漏项、符号准） 注意符号：同号得正，异号得负 结果要合并同类项 3.多项式 × 多项式 法则：先用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再合并同类项 公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（不重不漏） 步骤 逐项相乘→确定符号→合并同类项→化为最简 三类整式乘法对比表 乘法类型 核心依据 运算关键 单 × 单 同底数幂、积的乘方 系数、字母分开算 单 × 多 乘法分配律 不漏乘多项式任意一项 多 × 多 多次分配律 逐项相乘，最后合并同类项 知识点 05 混合运算顺序 1.先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2.再乘除（整式乘法） 3.最后加减，有括号先算括号内 知识点 06 高频易错汇总表 错误情形 错误计算 正确计算 错误原因 同底数幂混淆加减乘 x2+x3=x5 无法合并，保留原式 加法不能指数相加 幂的乘方指数相加 (x2)3=x5 (x2)3=x6 幂乘方指数应相乘 积的乘方漏乘单个因式 (2xy)2=2x2y2 (2xy)2=4x2y2 系数 2 也要平方 单 × 多漏乘常数项 3x(x-2)=3x2-2 3x(x-2)=3x2-6x 单项式要乘括号全部项 负号乘多项式不变号 -a(b-2)=-ab-2a -ab+2a 负数乘括号内负数得正 互为相反数底数不转换 (x-y)3=(y-x)3 (x-y)3=-(y-x)3 奇次幂符号相反 多项式相乘漏项 (x+2)(x+3)=x2+6 x2+5x+6 两项必须交叉相乘 题型一 同底数幂相乘 1．计算______ 【答案】 【详解】解：． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，运算错误； 选项B：，运算正确； 选项C：，运算错误； 选项D：与不是同类项，不能合并，运算错误． 3．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 题型二 同底数幂乘法的逆用 4．可写成（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拆分指数为与的和，匹配同底数幂相乘形式． 【详解】解：． 5．计算：=（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把原式转化为，再利用积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：． 6．我们知道下面的结论：若（，且），则．设，，，下列关于，，三者之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的数值关系，结合幂的运算规则推导指数间的等式． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴． 题型三 用科学记数法表示数的乘法 7．据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约亿光年，质量约为太阳的万亿倍．已知太阳的质量约为，则用科学记数法表示该星系团的质量，约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将倍数“1000万亿”转化为科学记数形式，再结合太阳质量计算星系团质量即可． 【详解】解：∵万亿，太阳质量约为， ∴该星系团质量为． 8．雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．(结果用科学记数法表示) 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是明确同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据距离等于速度乘以时间计算即可． 【详解】解：（m）， 故答案为：． 9．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解： ． 故选：C． 题型四 幂的乘方运算 10．计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 11．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，计算错误； B选项：与不是同类项，不能合并，计算错误； C选项：，计算错误； D选项：，计算正确． 12．若为正整数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘法的意义化简括号内的加法，再进行幂的乘方运算． 【详解】解：括号内为个相加，得，原式． 题型五 幂的乘方的逆用 13．已知，则________ 【答案】16 【分析】幂的乘方的运算性质为：幂的乘方，底数不变，指数相乘，公式为（m、n均为正整数），该公式可逆向使用，即． 【详解】解：所求式子的指数为，符合幂的乘方逆用的形式，因此可变形为： 已知，将其代入变形后的式子计算：． 14．若，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将等式两边化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等则指数相等，推导与的关系即可． 【详解】解：， ， ． 15．若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个幂的底数统一为3，通过比较指数大小判断数值大小关系． 【详解】解：，， ∵，， ∴． 题型六 积的乘方运算 16．计算：___________ 【答案】 【详解】解：． 17．已知，，，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积的乘方法则计算左边，对比等式两边对应指数即可求出的值． 【详解】解：∵根据积的乘方运算法则，可得， 又∵，且，， ∴，对应指数相等，可得． 18．下列各式中，计算过程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应运算法则逐一判断各选项的计算过程即可． 【详解】解：∵A选项中，是合并同类项，正确结果为，选项错误将合并同类项当作同底数幂乘法计算，过程错误； ∵B选项中，是同底数幂乘法，正确计算为，选项中间步骤错误合并系数得到，过程错误； ∵C选项中，，正确计算为，选项错误将的指数记为，过程错误； ∵D选项，正确计算过程为，计算过程正确． 题型七 积的乘方的逆用 19．计算：______． 【答案】 【分析】将化为分数，利用积的乘方的逆运算对原式变形，再逐步计算即可． 【详解】解：，， 原式， ， ， ， ． 20．已知，则n的值为_____ ． 【答案】 【详解】 ， 解得：． 21．如果，则的结果是（     ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再逆用积的乘方化简所求式子后代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 题型八 计算单项式乘单项式 22．计算：_______． 【答案】 【详解】解：． 23．计算：________． 【答案】 【分析】先计算每个因式的积的乘方，再分别计算系数乘积和同底数幂的乘积，得到最终结果． 【详解】解： ． 24．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以单项式法则，多项式乘以多项式法则，多项式乘以单项式法则，进行逐一计算即可求解． 【详解】解：A．，计算不正确，故不符合题意； B．，计算不正确，故不符合题意； C．，计算不正确，故不符合题意； D．，计算结果正确，故符合题意； 故选：D． 题型九 利用单项式乘法求字母或代数式的值 25．设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 26．若，，则____________． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 27．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 题型十 计算单项式乘多项式及求值 28．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，进而算出式子的结果． 【详解】解：． 29．已知，则代数式的值为______． 【答案】2 【分析】先整理所求代数式，再根据已知条件得到的值，整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 30．已知，化简的结果是（    ） A．n＋4 B．n–4 C．n–2m＋4 D．n–m–4 【答案】C 【分析】先按照整式乘法法则运算可得，再加括号可得，最后将整体代入即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、整式的乘法等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 题型十一 单项式乘多项式的应用 31．小明家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的长方形示意图如图所示．现要进行修补，有三种地砖可供选择，则需要砖（     ） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】D 【分析】根据题意计算出破损的总面积，然后计算分别需要三种砖的数量即可求解． 【详解】解：根据题意得：破损的总面积， 计算每一块三种砖的面积为：砖的面积；砖的面积；砖的面积， ∴需要三种砖的数量分别为：0，6，2块． 32．按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算．下列说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算每个选项中等式左右两边式子，再比较即可． 【详解】解：，，即，故A正确；      ， ， 故，B错误； ，，故C错误；      ， ， ，故D错误． 33．如图，长方形是由两个长为，宽为的长方形和，两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是________． 【答案】 【分析】设小正方形的边长为，先根据边长关系得出，再根据阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍建立等式，化简即可得． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由图可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∵阴影部分（四个直角三角形）的面积为，正方形的面积为，且阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍， ∴，即， 整理得：， ∴， ∴， ∴． 题型十二 利用单项式乘多项式求字母的值 34．要使中不含有的四次项，则等于(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】展开后合并同类项，令四次项的系数为零计算即可． 【详解】原式 中不含有的四次项， ， 解得：． 故本题选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减中不含某项问题，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键． 35．若、为正整数，且，则等于（     ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】先根据整式乘法法则可得，，再求出字母a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴，， 解得，. ∴． 36．对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据新运算规则将转化为整式的运算，根据运算结果与的取值无关，得到关于、的关系式，即，再利用新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 的取值与无关， ， ∴． 题型十三 计算多项式乘多项式 37．计算： 的结果是__________． 【答案】 【详解】解：． 38．若，，则________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】比较两个多项式的大小，采用作差法，计算，根据结果的符号判断大小关系． 【详解】解：展开得， 计算得， ， ， ． 39．若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， ∵ ， ∴ ，， 解得，． 题型十四 (x+p)(x+q)型多项式乘法 40．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式、多项式相等的条件计算即可． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ，． 41．已知，则的值为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、代数式求值等知识点，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式法则将等式左侧展开，然后利用对应系数法即可求出和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵． ∴， ∴． 故答案为：12． 42．如果对于任意都成立，那么、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将等式左侧展开，根据等式对任意成立则对应项系数相等列方程求解． 【详解】解：． ∵ 等式对任意都成立， ∴ 对应项系数相等． 由常数项相等得， 解得． 由一次项系数相等得， 代入得． 题型十五 已知多项式乘积不含某项求字母的值 43．若多项式与多项式的乘积不含x的一次项，则m的值为（     ） A． B．0 C．3 D．9 【答案】C 【分析】先计算两个多项式的乘积，根据乘积不含x的一次项可知一次项系数为0，由此求解m的值即可． 【详解】解： ∵乘积不含的一次项 ∴一次项系数等于0，即 解得． 44．已知的展开式中不含和项，则________． 【答案】 【分析】将原式展开合并同类项后，根据不含和项得到这两项的系数为，列方程求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含和项， ∴和项的系数均为，可得 ， 解得，， 将，代入得 ． 45．若整式展开化简后含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，以及已知多项式乘积不含某项求字母的值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将整式展开并合并同类项，根据条件“不含二次项”和“含一次项”建立方程求解即可． 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 又∵含有x的一次项， ∴，即， ∴， 故选：A． 题型十六 多项式乘多项式 —— 化简求值 46．已知，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：C． 47．已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【详解】解：已知，， 则代数式． 48．若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 题型十七 多项式乘多项式与图形面积 49．有若干如图所示的正方形和长方形卡片，若要拼一个长为，宽为的长方形，那么需要类卡片（    ）张． A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：由题意得：， 由图可知A类卡片的面积为，所以需要A类卡片2张． 50．如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为_________． 【答案】90 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为：，宽为：，故 的长为：，宽为：，故； 的长为：，宽为：，故． ∵， 解得 故答案为：90． 51．如图，正方形和正方形叠放在一起，点在边上，点在边上，是的中点．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形边长为，正方形边长为，求出，，，进而得到阴影部分的面积，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：设正方形边长为，正方形边长为， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∵阴影部分的面积 ， A、，无法求出，不符合题意； B、，无法求出，不符合题意； C、，无法求出，不符合题意； D、，一定能求出，符合题意． 题型十八 多项式乘法中的规律性问题 52．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．45 B．55 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴第三项系数为． 53．观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：_____． 【答案】 【详解】解：根据规律可得， ∴， ∴． 54．我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式（为非负整数）展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：．若，则的值为（     ） A．10 B．40 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得的展开式，令，则可得到的展开式，结合题意可得答案． 【详解】解：由题意得，， 令， 则 ， 又∵， ∴ 题型十九 整式乘法混合运算 55．对a，b，c，d定义一种新运算：，如，计算_________． 【答案】 【分析】根据新定义规则把行列式化为常规乘法，利用多项式乘法法则展开，合并同类项即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，整式的乘法混合运算，掌握新定义规则，整式的乘法混合运算法则是解题关键． 56．等式 中的括号内应填入（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用整式的乘法运算法则、乘除法互为逆运算及幂的运算法则求解． 【详解】由原式，得 ∴括号中式子应为． 故选C． 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算、乘除法互为逆运算、幂的运算法则等知识；能够运算乘、除法互为逆运算的性质，对原等式进行变形是解题关键． 57．若x2+x﹣2＝0．那么代数式（x﹣6）（x+3）﹣2x（x﹣1）的值为（　　） A．40 B．4 C．﹣18 D．﹣20 【答案】D 【分析】根据题意，得，再结合整式混合运算性质计算，即可得到答案． 【详解】∵x2+x﹣2＝0 ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了整式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握整式混合运算的性质，从而完成求解． 解答题 58．计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 解： ； （2）解： ． 59．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 60．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键． 理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； 能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得． 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 61．为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【答案】(1) (2) 保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由如下： 当时， ， 原正方形面积为， 保留的草坪面积为， ∵， ∴， 因此，保留的草坪面积能超过原来草坪面积的． 【分析】本题考查整式的应用，正确进行列代数式和代入求值是解答本题的关键． （1）分别求出、，根据长方形面积计算公式求解即可； （2）代入，求出长方形面积，再求出保留的面积，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）略 62．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为_____； (2)展开式共有_____项，第3项系数为_____； (3)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6 (2)6，10 (3)32 【分析】（1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，然后写出的展开式，进而求解即可； （3）将原式还原为展开式的形式，然后求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴图中括号内的数为； （2）解： ， ， ， ∴ ∴的展开式有6项，第3项系数为； （3）解：依题意，， ∴ ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $