专题03 乘法公式与整式的除法 期中复习讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题03乘法公式与整式的除法期中复习讲义 1.理解平方差公式、完全平方公式的结构特征，清楚公式的由来，能直接套用两个乘法公式进行基础计算。 2.会识别公式中 a、b 对应的整式，掌握公式变形，能逆用平方差、完全平方公式求值、化简。 3.熟练运用乘法公式解决化简求值、求代数式参数、图形面积推导类问题，区分容易混淆的公式。 4.掌握同底数幂除法法则，明确底数不为 0 的要求，会进行同底数幂除法运算，能逆用法则进行式子变形计算。 5.理解零指数幂的意义，牢记零指数幂的规定，能进行零指数幂相关简单运算。 6.熟练掌握单项式除以单项式的运算方法，分别对系数、同底数幂做除法运算。 7.掌握多项式除以单项式法则，会把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，注意符号。 8.能够综合运用乘法公式、整式乘除、合并同类项完成混合运算，理清运算顺序。 9.会利用整式除法、乘法公式解决代数式求值、参数求解、实际应用问题，规范书写解题步骤。 题型 考察方向 难度 题型一 运用平方差公式进行运算 ★ 题型二 平方差公式与几何图形 ★★ 题型三 运用完全平方公式进行运算 ★ 题型四 通过对完全平方公式变形求值 ★★★ 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 ★★★ 题型六 求完全平方式中的字母系数 ★★★ 题型七 整式的混合运算 ★★★ 题型八 同底数幂的除法运算 ★ 题型九 同底数幂除法的逆用 ★★ 题型十 零指数幂 ★ 题型十一 幂的混合运算 ★★ 题型十二 计算单项式除以单项式 ★★ 题型十三 用科学记数法表示数的除法 ★★ 题型十四 多项式除以单项式 ★★★ 题型十五 整式四则混合运算 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1 平方差公式 1.公式形式 (a+b)(a-b)=a2-b2 2.文字描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.结构特征 左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； 右边：相同项的平方 减去 相反项的平方。 4.变形拓展 (b+a)(-b+a)=a2-b2 (-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)（逆用：因式分解） 5.用面积法证明公式 6.平方差公式适用条件 知识点 2 完全平方公式 （1）完全平方和 (a+b)2=a2+2ab+b2 数和的平方 = 平方和 + 两倍乘积 （2）完全平方差 (a-b)2=a2-2ab+b2 两数差的平方 = 平方和 − 两倍乘积 统一口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方 重要变形拓展 (a-b)2=(b-a)2 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a+b)2-(a-b)2=4ab 公式的推导过程 公式的几何意义 知识点 3 乘法公式综合易错对比表 公式名称 原式 常见错误写法 正确结果 平方差 (x+3)(x-3) x2-3 x2-9 完全平方和 (x+2)2 x2+4 x2+4x+4 完全平方差 (x-5)2 x2-25 x2-10x+25 知识点 4 同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 am÷an=am−n(a≠0，m、n为正整数，m>n)\) 2.零指数幂规定：a0=1(a≠0) 任何非零数的 0 次幂等于 1；00无意义 3.拓展：多个同底数连除 am an ap=am-n-p 4.底数互为相反数转换 (a-b)5(b-a)2=-(b-a)3 知识点 5 单项式 ÷ 单项式 1.运算步骤： ① 系数相除；② 同底数幂分别相除（指数相减）； ③ 只在被除式含有的字母，连同指数直接保留在结果中。 2.示例： 12x3y4(-3xy2)=-4x2y2 3.注意：除式不能为 0 知识点 6 多项式 ÷ 单项式 法则：多项式里每一项分别除以单项式，再把所得商相加 (ma+mb+mc)m = a+b+c 核心依据：乘法分配律逆用 易错点：多项式每一项都要除，符号同步运算 知识点 7 全章节高频易错汇总表 错误类型 错误计算 正确计算 错误原因 完全平方漏中间项 (a-4)2=a2-16 a2-8a+16 忘记 2ab 项 平方差漏平方 (x+2)(x-2)=x2-2 x2-4 常数未平方 同底数除法指数相加 x5 x2=x7 x3 除法指数应相减 零次幂判断错误 00=1、30=0 30=1，00无意义 只有非零数 0 次幂为 1 多项式除单项式漏项 (2x2-4x)2x=x2 x-2 常数项也要相除 负号完全平方变号错误 (-x+1)2=-x2+2x-1 x2-2x+1 平方后符号为正 单项式除法丢独有字母 8x2y2x=4x 4xy 被除式独有字母保留 题型一 运用平方差公式进行运算 1．下列各式中能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 题型二 平方差公式与几何图形 4．观察题图，从图1到图2可表示的等式为（     ） A． B． C． D． 5．大正方形与小正方形按如图方式摆放，点在线段上，点在线段上，点是线段延长线上的一点，且阴影部分的面积为，则大正方形与小正方形的面积之差为_____． 6．某中学手工社团开展实践活动，同学们准备了大小不同的长方形硬纸板，把纸板进行裁剪、重新拼接，借助图形面积的等量关系探究乘法公式的几何意义．将图1的阴影长方形裁剪后拼接得到图2所示的阴影图形．裁剪拼接只改变图形形状，阴影部分面积保持不变，因此可以验证的一个乘法公式是(     ) A． B． C． D． 题型三 运用完全平方公式进行运算 7．计算：_____． 8．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义．若，则________． 9．若，那么a，b，c应为（     ） A． B． C． D． 题型四 通过对完全平方公式变形求值 10．若，，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D．1 11．若，则_______ ． 12．若，则（     ） A． B． C． D．至少一个为0 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 13．如图可以解释的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 14．如图，小明准备在自家院子里开辟一块正方形空地用来设计果园、菜园和花园，其中菜园种植菠菜和黄瓜．初步设计菜园和花园两个正方形区域共，其中菜园中种植黄瓜的长方形区域为．设正方形菜园的边长为，正方形花园的边长为，那么，这块正方形空地的边长为________． 15．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（     ） A． B． C． D． 题型六 求完全平方式中的字母系数 16．如果是一个完全平方式，则a的值为（     ） A．6 B． C． D． 17．若是一个完全平方式，则_________． 18．若是关于的完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或2 D．或 题型七 整式的混合运算 19．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 20．计算：______． 21．若，其中，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 题型八 同底数幂的除法运算 22．计算：_______． 23．若，，则的值为__________． 24．下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 题型九 同底数幂除法的逆用 25．若，，则（     ） A． B． C． D． 26．若，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 27．计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 题型十 零指数幂 28．（     ） A．0 B．1 C． D．无意义 29．下列计算一定正确的是（     ） A． B． C． D． 30．若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型十一 幂的混合运算 31．计算的结果是（      ） A． B． C． D． 32．计算：（2x）3•（﹣x）4÷x2＝______． 33．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十二 计算单项式除以单项式 34．计算：________． 35．计算______． 36．已知，则（     ） A．， B．， C．， D．， 题型十三 用科学记数法表示数的除法 37．纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 38．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 39．月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需_____小时．（结果用科学记数法表示） 题型十四 多项式除以单项式 40．计算：___． 41．计算：__________． 42．小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 题型十五 整式四则混合运算 43．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 44．__________． 45．调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式为（    ） A． B． C． D． 解答题 46．计算： (1) (2) (3) (4) 47．计算： (1) (2)； (3)． 48．【问题背景】在数学活动课上，同学们利用拼图探究整式乘法公式，通过对同一面积的不同表达和比较来理解公式，是我们学习的重要方法，如图，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图），且在分割过程中面积没有变化． 【探索归纳】 (1)若将图中的大正方形看作一个整体，则它的面积是 （用含，的式子表示）； 图中四部分的面积之和是 （用含，的式子表示）；因此，可以得到等式 ； 【学以致用】 (2)若，，分别求和的值； 【拓展应用】 (3)若，直接写出的值． 49．如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． (1)图1，阴影面积______； (2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是______（写成多项式乘法的形式）； (3)由上图可以得到乘法公式______； (4)运用得到的公式，计算：． 50．【教材呈现】： 已知是含字母的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求． 【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况： 当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ； 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ． 综上所述，为或或． 【解后反思】 ①上述解答过程得到等式：， 观察等式左边多项式的系数发现：． ②结合多项式的因式分解又如： ， 发现这两个多项式的系数规律：． ③一般地：若关于的二次三项式（a、b、c是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系． (1)请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：___________； 【解决问题】 (2)若多项式加上一个含字母的单项式，就能表示为一个含的二项式的平方，请写出所有满足条件的单项式，并对进行因式分解； (3)若关于的多项式是一个含的多项式的平方，求实数的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03乘法公式与整式的除法期中复习讲义 1.理解平方差公式、完全平方公式的结构特征，清楚公式的由来，能直接套用两个乘法公式进行基础计算。 2.会识别公式中 a、b 对应的整式，掌握公式变形，能逆用平方差、完全平方公式求值、化简。 3.熟练运用乘法公式解决化简求值、求代数式参数、图形面积推导类问题，区分容易混淆的公式。 4.掌握同底数幂除法法则，明确底数不为 0 的要求，会进行同底数幂除法运算，能逆用法则进行式子变形计算。 5.理解零指数幂的意义，牢记零指数幂的规定，能进行零指数幂相关简单运算。 6.熟练掌握单项式除以单项式的运算方法，分别对系数、同底数幂做除法运算。 7.掌握多项式除以单项式法则，会把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，注意符号。 8.能够综合运用乘法公式、整式乘除、合并同类项完成混合运算，理清运算顺序。 9.会利用整式除法、乘法公式解决代数式求值、参数求解、实际应用问题，规范书写解题步骤。 题型 考察方向 难度 题型一 运用平方差公式进行运算 ★ 题型二 平方差公式与几何图形 ★★ 题型三 运用完全平方公式进行运算 ★ 题型四 通过对完全平方公式变形求值 ★★★ 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 ★★★ 题型六 求完全平方式中的字母系数 ★★★ 题型七 整式的混合运算 ★★★ 题型八 同底数幂的除法运算 ★ 题型九 同底数幂除法的逆用 ★★ 题型十 零指数幂 ★ 题型十一 幂的混合运算 ★★ 题型十二 计算单项式除以单项式 ★★ 题型十三 用科学记数法表示数的除法 ★★ 题型十四 多项式除以单项式 ★★★ 题型十五 整式四则混合运算 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1 平方差公式 1.公式形式 (a+b)(a-b)=a2-b2 2.文字描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.结构特征 左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； 右边：相同项的平方 减去 相反项的平方。 4.变形拓展 (b+a)(-b+a)=a2-b2 (-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)（逆用：因式分解） 5.用面积法证明公式 6.平方差公式适用条件 知识点 2 完全平方公式 （1）完全平方和 (a+b)2=a2+2ab+b2 数和的平方 = 平方和 + 两倍乘积 （2）完全平方差 (a-b)2=a2-2ab+b2 两数差的平方 = 平方和 − 两倍乘积 统一口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方 重要变形拓展 (a-b)2=(b-a)2 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a+b)2-(a-b)2=4ab 公式的推导过程 公式的几何意义 知识点 3 乘法公式综合易错对比表 公式名称 原式 常见错误写法 正确结果 平方差 (x+3)(x-3) x2-3 x2-9 完全平方和 (x+2)2 x2+4 x2+4x+4 完全平方差 (x-5)2 x2-25 x2-10x+25 知识点 4 同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 am÷an=am−n(a≠0，m、n为正整数，m>n)\) 2.零指数幂规定：a0=1(a≠0) 任何非零数的 0 次幂等于 1；00无意义 3.拓展：多个同底数连除 am an ap=am-n-p 4.底数互为相反数转换 (a-b)5(b-a)2=-(b-a)3 知识点 5 单项式 ÷ 单项式 1.运算步骤： ① 系数相除；② 同底数幂分别相除（指数相减）； ③ 只在被除式含有的字母，连同指数直接保留在结果中。 2.示例： 12x3y4(-3xy2)=-4x2y2 3.注意：除式不能为 0 知识点 6 多项式 ÷ 单项式 法则：多项式里每一项分别除以单项式，再把所得商相加 (ma+mb+mc)m = a+b+c 核心依据：乘法分配律逆用 易错点：多项式每一项都要除，符号同步运算 知识点 7 全章节高频易错汇总表 错误类型 错误计算 正确计算 错误原因 完全平方漏中间项 (a-4)2=a2-16 a2-8a+16 忘记 2ab 项 平方差漏平方 (x+2)(x-2)=x2-2 x2-4 常数未平方 同底数除法指数相加 x5 x2=x7 x3 除法指数应相减 零次幂判断错误 00=1、30=0 30=1，00无意义 只有非零数 0 次幂为 1 多项式除单项式漏项 (2x2-4x)2x=x2 x-2 常数项也要相除 负号完全平方变号错误 (-x+1)2=-x2+2x-1 x2-2x+1 平方后符号为正 单项式除法丢独有字母 8x2y2x=4x 4xy 被除式独有字母保留 题型一 运用平方差公式进行运算 1．下列各式中能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 2．计算：________． 【答案】 【分析】将原式变形为平方差公式的结构，先利用平方差公式计算，再展开完全平方项化简即可． 【详解】解：原式 ． 3．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，只有两个二项式相乘时，存在一项完全相同，另一项互为相反数，才能用平方差公式计算，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，式子中不存在完全相同的项和互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意； B选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意； C选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意； D选项，式子中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算，符合题意． 题型二 平方差公式与几何图形 4．观察题图，从图1到图2可表示的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图可得，图2是由图1中的四个等腰梯形拼成的平行四边形，再根据面积关系即可得结论． 【详解】解：由图可知，图2是由图1中的四个等腰梯形拼成的底为，高为的平行四边形，则图2的面积为， ∵图1中四个等腰梯形的面积和可以看作是两个正方形的面积差，即， ∴从图1到图2可表示的等式为． 5．大正方形与小正方形按如图方式摆放，点在线段上，点在线段上，点是线段延长线上的一点，且阴影部分的面积为，则大正方形与小正方形的面积之差为_____． 【答案】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则两正方形的面积之差为．两个阴影三角形与的底分别为、，且，高分别为与，由三角形面积公式，阴影面积，由阴影面积为即可求出面积差． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∵四边形与四边形都是正方形，且点在线段上，点在线段上， ∴，， ∴，． ∵点在的延长线上，且， ∴点到直线的距离为， ∴以为底、为高，其面积为； ∵于点，点在上， ∴点到直线的距离为， ∴以为底、为高，其面积为． ∴阴影部分的面积为， ∴， 即大正方形与小正方形的面积之差为． 【点睛】本题考查正方形的性质与三角形面积的计算，考查割补思想的应用．解题关键是发现两个阴影三角形的底相等（），而高分别为两正方形的边长（与），从而阴影面积，故两正方形的面积之差等于阴影面积的倍，无需分别求出边长即可求解． 6．某中学手工社团开展实践活动，同学们准备了大小不同的长方形硬纸板，把纸板进行裁剪、重新拼接，借助图形面积的等量关系探究乘法公式的几何意义．将图1的阴影长方形裁剪后拼接得到图2所示的阴影图形．裁剪拼接只改变图形形状，阴影部分面积保持不变，因此可以验证的一个乘法公式是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出图1，图2阴影部分的面积，即可解答． 【详解】解：图1的面积为， 图2的面积为， 因此可以验证的乘法公式是． 题型三 运用完全平方公式进行运算 7．计算：_____． 【答案】 【详解】解：原式 ． 8．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义．若，则________． 【答案】4 【分析】根据题目定义的运算规则列出关于的方程，化简后求解即可． 【详解】解：由题意得，， 展开左边各项得，， 去括号合并同类项得，， 移项得， 解得． 9．若，那么a，b，c应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式右边展开整理，根据多项式相等时对应项系数相等，列方程求解a，b，c的值. 【详解】展开整理等式右边得：， ∵等式对应项系数相等 ， ∴，，， 将代入，得，解得， 将，代入，得，解得， 即． 题型四 通过对完全平方公式变形求值 10．若，，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】B 【分析】将所求转化为含已知和的式子，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴． 11．若，则_______ ． 【答案】 【分析】对两边同时平方，化简即可． 【详解】解：对已知等式两边同时平方，即， 根据完全平方公式展开，得， 化简后得， 移项整理得． 12．若，则（     ） A． B． C． D．至少一个为0 【答案】B 【分析】首先将等式变形构造完全平方结构，分组转化为完全平方式的和，然后利用平方非负性推导结论． 【详解】解： ∴，，， ∴． 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 13．如图可以解释的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：图形的面积可表示为，也可以表示为， 即可以解释的乘法公式是． 14．如图，小明准备在自家院子里开辟一块正方形空地用来设计果园、菜园和花园，其中菜园种植菠菜和黄瓜．初步设计菜园和花园两个正方形区域共，其中菜园中种植黄瓜的长方形区域为．设正方形菜园的边长为，正方形花园的边长为，那么，这块正方形空地的边长为________． 【答案】 【分析】根据题意可知，，再由进行计算即可． 【详解】解：根据题意，，， ， 解得（负值已舍去）， 则这块正方形空地的边长为． 15．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出图甲和图乙中的阴影部分面积，再根据图甲和图乙中阴影部分面积相等，即可得到答案． 【详解】解：图甲中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即为； 图乙中阴影部分面积为一个长为，宽为的长方形面积，即为； ∵图甲和图乙中阴影部分面积相等， ∴． 题型六 求完全平方式中的字母系数 16．如果是一个完全平方式，则a的值为（     ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式，可写成，展开对比一次项系数，求出的值． 【详解】解：， ， ， 所以， 17．若是一个完全平方式，则_________． 【答案】或 【详解】解：是完全平方式， ，， 中间项满足 ， ， 解得或． 18．若是关于的完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， ∴，即或． 题型七 整式的混合运算 19．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的混合运算．利用单项式乘以多项式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 故选：D 20．计算：______． 【答案】 【分析】利用乘法交换律调整计算顺序，先通过平方差公式简化运算，再展开完全平方得到结果． 【详解】解： ． 21．若，其中，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算等知识点，掌握运用作差法比较整式的大小解题的关键． 运用作差法、整式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴（）， ∴． 故选A． 题型八 同底数幂的除法运算 22．计算：_______． 【答案】 【分析】先计算乘方，再从左到右进行乘除运算即可． 【详解】解：． 23．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先由已知得，，再根据同底数幂的乘法的逆运算将所求式子变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 24．下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，故错误． 选项B：，正确． 选项C：，故错误． 选项D：，故错误． 题型九 同底数幂除法的逆用 25．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用同底数幂的除法法则，将转化为已知幂的商，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 26．若，且，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用同底数幂的除法法则，将变形为，代入已知值计算． 【详解】解：∵，，， ∴． 27．计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同底数幂的除法运算及同底数幂的乘法运算的逆运算计算即可． 【详解】解：． 题型十 零指数幂 28．（     ） A．0 B．1 C． D．无意义 【答案】B 【分析】判断非零后计算零指数幂． 【详解】解：∵， ∴． 29．下列计算一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都等于，而无意义，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，无意义，故不一定正确； ，故错误； 当时，，无意义，故不一定正确； ，，，故正确． 30．若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂运算．关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小． 利用零指数，负整数指数幂，有理数乘方运算法则分别计算，然后比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：B． 题型十一 幂的混合运算 31．计算的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方公式和同底数幂的除法公式． 【详解】， 故选D． 32．计算：（2x）3•（﹣x）4÷x2＝______． 【答案】8x5 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式＝8x3•x4÷x2 ＝8x7÷x2 ＝8x5． 故答案为：8x5． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 33．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 题型十二 计算单项式除以单项式 34．计算：________． 【答案】 【分析】运用单项式除法的运算法则，分别对系数和同底数幂进行计算即可得到结果． 【详解】解： ． 35．计算______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 36．已知，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ，， 解得，． 题型十三 用科学记数法表示数的除法 37．纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（    ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，求出1立方米立方纳米，即可求解． 【详解】解：1纳米米， 1立方米立方纳米， 的空间可以放个的物体， 故选：D． 【点睛】本题考查了单位之间的转化，解题的关键是：要掌握纳米与米之间的转化． 38．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【答案】D 【详解】解：由题意得． 39．月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需_____小时．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据时间路程速度，即可求解． 【详解】解：由题意得： 飞机飞行时间为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式除法的应用，掌握相关运算法则是解题关键． 题型十四 多项式除以单项式 40．计算：___． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可求解. 【详解】解：原式 ； 41．计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据单项式乘以多项式和多项式除以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 42．小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出原多项式，再用原多项式除以，即可求解． 【详解】解：原多项式为， 正确的计算结果是． 题型十五 整式四则混合运算 43．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法等知识点，利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，完全平方公式，合并同类项的法则对各项进行运算即可，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 44．__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 45．调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键；根据整式的运算法则计算即可； 【详解】解：根据题意可得： 故选：D 解答题 46．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将所有单项式的系数相乘确定符号和系数值，再把同底数幂分别按照同底数幂乘法法则合并指数，最后将剩余字母连同其指数保留得到结果． （2）利用多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可． （3）调整因式内项的顺序构造出平方差公式的标准形式，套用平方差公式展开后化简得到结果． （4）把看作整体作为平方差公式的相同项，和作为互为相反数的项，先用平方差公式计算，再对得到的完全平方式展开化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 47．计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再分别计算同底数幂的除法和乘法，最后合并即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘除即可； （3）先将底数都化成，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 48．【问题背景】在数学活动课上，同学们利用拼图探究整式乘法公式，通过对同一面积的不同表达和比较来理解公式，是我们学习的重要方法，如图，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图），且在分割过程中面积没有变化． 【探索归纳】 (1)若将图中的大正方形看作一个整体，则它的面积是 （用含，的式子表示）； 图中四部分的面积之和是 （用含，的式子表示）；因此，可以得到等式 ； 【学以致用】 (2)若，，分别求和的值； 【拓展应用】 (3)若，直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)5 【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式求解即可； （2）根据，求解即可； （3）设，则，，根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图1中的大正方形的边长为，则其面积为； 图中四部分的面积之和是， 因此，可以得到等式； （2）解：∵，， ∴， ； （3）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 49．如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． (1)图1，阴影面积______； (2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是______（写成多项式乘法的形式）； (3)由上图可以得到乘法公式______； (4)运用得到的公式，计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由图1，阴影部分由大正方形面积减去小正方形面积即可． （2）由图2，代入梯形面积公式化简得． （3）图1与图2面积相等，可得到平方差公式． （4）利用平方差公式，化简计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，图1的阴影面积为． （2）解：由题意可得，图2梯形的面积为 ． （3）解：由题意，图1和图2的阴影面积相等， 因此可得平方差公式． （4）解： ． 50．【教材呈现】： 已知是含字母的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求． 【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况： 当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ； 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ． 综上所述，为或或． 【解后反思】 ①上述解答过程得到等式：， 观察等式左边多项式的系数发现：． ②结合多项式的因式分解又如： ， 发现这两个多项式的系数规律：． ③一般地：若关于的二次三项式（a、b、c是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系． (1)请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：___________； 【解决问题】 (2)若多项式加上一个含字母的单项式，就能表示为一个含的二项式的平方，请写出所有满足条件的单项式，并对进行因式分解； (3)若关于的多项式是一个含的多项式的平方，求实数的值． 【答案】(1)； (2)为或或， 当 时，， 当 时，， 当时，； (3)1 【分析】（）观察发现多项式的系数规律即可． （）根据完全平方公式，先化成即可得到；当为含字母的四次单项式是可化为即可求得． （）根据（）得到的规律代入计算即可． 【详解】（1）（1）观察发现多项式的系数规律可知； （2）（2）当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方 ， ； 当 时，; 当 时，; 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ， ， 当时，; 综上所述，为或或； （3）解：， 根据可得：， 解得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $