专题04因式分解期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制)七年级数学上册

专题04因式分解期中复习讲义 1.理解因式分解的概念，分清因式分解和整式乘法的互逆关系，能判断变形是否属于因式分解。 2.会准确找出多项式的公因式，熟练使用提公因式法分解因式，注意符号，分解到不能再分解为止。 3.掌握平方差公式、完全平方公式，能单独运用公式法进行因式分解。 4.掌握先提公因式、再用公式的综合分解方法，规范分解步骤，避免分解不彻底。 5.会利用因式分解进行简便运算，简化大数算式的计算。 6.能根据因式分解的结果，求式子中的字母参数。 7.会用十字相乘法对二次三项式进行因式分解。 8.掌握分组分解法，合理分组后再提公因式或套用公式分解多项式。 9.会借助因式分解化简代数式、求值，规范书写步骤。 10能够利用因式分解解决图形面积、代数式证明、规律探究等综合问题。 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是因式分解 ★ 题型二 已知因式分解的结果求参数 ★★ 题型三 公因式 ★ 题型四 提公因式法分解因式 ★★ 题型五 判断能否用公式法分解因式 ★★ 题型六 平方差公式分解因式 ★★ 题型七 完全平方公式分解因式 ★★ 题型八 综合运用公式法分解因式 ★★★ 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 ★★★ 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 ★★★ 题型十一 十字相乘法 ★★★★ 题型十二 分组分解法 ★★★★ 题型十三 因式分解的应用 ★★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 因式分解基础概念 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 2. 因式分解 vs 整式乘法（互逆变形） 变形类型 形式特点 举例 整式乘法 积 → 和差（展开） (x+2)(x-2)=x2-4 因式分解 和差 → 积（拆分） x2-4=(x+2)(x-2) 3. 分解标准（三要求） （1）结果必须是几个整式相乘，不能出现加减； （2）每个因式不能再继续分解（分解彻底）； （3）首项系数一般为正，相同因式写成幂的形式，不含中括号。 4. 常见判定误区 x2+2=x(x+) 不是因式分解：右边出现分式，不是整式。 知识点02：提公因式法（通用第一步） 1. 公因式查找方法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x，系数 6、9，最大公约数为 3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2，公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2，取x2 2. 特殊公因式：多项式型公因式 符号转换规律（高频考点） (y-x) = -(x-y) (y-x)2 = (x-y)2 (y-x)3 = -(x-y)3 3. 解题步骤 1.确定完整公因式；2. 整体提取公因式；3. 剩余项为1时不可省略；4. 调整符号，保证首项为正。 4. 常见易错点 漏写剩余常数1、只提字母不提系数、相反数形式因式符号转换出错。 知识点03：公式法 公式类型 适用形式 分解公式 结构特征 平方差公式 二项式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项、一正一负、两项均为完全平方式 完全平方和 三项式 a2+2ab+b2=(a+b)2 首尾项为正的平方项，中间项为两底数乘积的 2 倍 完全平方差 三项式 a2-2ab+b2=(a-b)2 首尾项为正的平方项，中间项为负的两底数乘积的 2 倍 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点 05 拓展：分组分解法（四项及以上多项式） 1. 适用场景：四项式，无整体公因式，分组后能提公因式 / 套公式 类型 1：分组提公因式 ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b) 类型 2：分组套平方差 x2-y2+x+y\ =(x+y)(x-y)+(x+y) =(x+y)(x-y+1) 知识点 06 常考易错点汇总表 错误类型 错误写法 正确分解 错误原因 分解不彻底 x4-16=(x2+4)(x2-4) (x2+4)(x+2)(x-2) x2-4还能平方差分解 完全平方漏 2 倍项 x2-4x+4=(x-2)(x+2) (x-2)2 混淆平方差与完全平方 提公因式丢常数 1 5x-5xy=5x(-y) 5x(1-y) 第一项提取后剩余 1 首项负号不变号 -x2+4=-(x2+4) -(x+2)(x-2) 提取负号，平方差符号改变 混淆乘法与分解 (x+3)2=x2+6x+9\)（分解题写展开） x2+6x+9=(x+3)2 搞反互逆变形方向 分解结果含加减 x2-9=x(x-) (x+3)(x-3) 出现分式，不是整式积 题型一 判断是否是因式分解 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 2．下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：（1），不是因式分解； （2），不是因式分解； （3），不是因式分解； （4），不是因式分解； （5），是因式分解； （6），是因式分解； 故是因式分解的有2个． 3．下列从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解是指将多项式化为几个整式乘积的形式，再逐项判断即可． 【详解】解：∵ A选项符合因式分解的定义，故该选项符合题意； ∵ B选项是整式乘法运算，结果是多项式，不是因式分解，故该选项不符合题意； ∵ C选项右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； ∵ D选项右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意． 题型二 已知因式分解的结果求参数 4．若将多项式因式分解得，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先将因式分解后的乘积展开，根据多项式相等时对应系数相等，即可求解的值． 【详解】解：展开右侧的因式乘积： ， 又， 两个多项式对应系数相等，常数项满足， 解得：． 5．若二次三项式可分解为，则的值为________． 【答案】 【分析】将分解后的整式展开，根据两个多项式相等则对应项系数相等，列方程求出和的值，再计算． 【详解】解：先展开，得： ， 二次三项式可分解为， 对应项系数相等，可得，， 解得， 将代入，得， 解得， ． 6．如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（     ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故 故选B 【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键． 题型三 公因式 7．多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个多项式各项的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，最大公约数是2， 各项均含字母与，的最低次数为1，的最低次数为1， ∴该多项式的公因式为． 8．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公因式是多项式各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积，按规则求出各选项的公因式，即可得到答案． 【详解】解：根据公因式的确定规则，对各选项逐一判断： ∵ 选项A：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为 ，∴ 公因式为 ，故不符合题意； ∵ 选项B：多项式，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，∴ 公因式为，故不符合题意； ∵ 选项C：多项式，系数和的最大公约数为，相同字母的最低次幂为，的最低次幂为，∴ 公因式为，故符合题意； ∵ 选项D：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，公因式为 ，故不符合题意． 9．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 题型四 提公因式法分解因式 10．分解因式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 11．若，，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】先将所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∵ ，， ∴ ． 12．若，则式子的值为（     ） A．0 B．4044 C．4054 D．4064 【答案】C 【详解】解： ． 题型五 判断能否用公式法分解因式 13．下列各多项式中不能用公式法分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式和完全平方公式逐项分析即可得解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，能用平方差公式分解，故不符合题意； B、，能用完全平方公式分解，故不符合题意； C、不能用公式法分解，符合题意； D、，能用完全平方公式分解，故不符合题意； 故选：C． 14．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能运用公式法分解因式，不符合题意； （3），符合题意； （4）不能运用公式法分解因式，不符合题意． ∴能运用公式法分解因式的有2个． 故选：B． 15．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 题型六 平方差公式分解因式 16．因式分解：_____________________． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 17．若，满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出的值，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 18．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用完全平方公式法、平方差公式法、提取公因式法分解因式进而判断即可． 【详解】A．，错误，故不符合题意； B．，选项未分解彻底，故不符合题意； C．，与左边的不符，故不符合题意； D．，因式分解正确，故符合题意； 题型七 完全平方公式分解因式 19．分解因式：______． 【答案】 【分析】先整理原式为，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 20．已知，，，则代数式______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，先计算出的值，再把所求式子变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ， ∴ ， 故答案为：． 21．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，正确掌握因式分解的定义和方法是解题的关键． 根据因式分解的定义和方法逐一判断每个选项即可． 【详解】解：选项A：，但原式右边为，分解不彻底，故选项A不符合题意； 选项B：是乘法公式，并非因式分解，故选项B不符合题意； 选项C：左边，右边，两边不相等，故选项C不符合题意； 选项D：左边，右边，两边相等，故选项D符合题意． 故选：D． 题型八 综合运用公式法分解因式 22．在实数范围内因式分解：_______． 【答案】 【分析】先利用求根公式求出方程的两个根，再进行因式分解即可． 【详解】解：方程， ∵， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握利用求根公式在实数范围内因式分解的方法是解题的关键． 23．下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案． 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，故该选项因式分解错误，不符合题意； C. ，不能再分解，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项因式分解错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键． 24．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 25．把多项式分解因式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照先提取公因式，再用完全平方公式继续分解的步骤计算，即可得到正确结果． 【详解】解：． 26．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解要求结果为几个整式乘积的形式，结合因式分解的基本方法逐一判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，是将乘积展开为多项式，不是因式分解，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、右边是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解定义，该选项不符合题意； D、，正确，符合要求，该选项符合题意． 27．下列因式分解正确的为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，与选项A的等式右边不符， ∴A错误． ∵，选项B分解不彻底， ∴B错误． ∵因式分解的结果需为整式的积，选项C中的右边为和的形式， ∴C错误． ∵由完全平方公式得，符合因式分解要求， ∴D正确． 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 28．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两个因数凑成整百数与2的和差，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：． 29．结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察式子特征，提取公因式后可利用完全平方公式简化运算． 【详解】解： ． 30．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上________． 【答案】/0.5 【详解】解： ． 题型十一 十字相乘法 31．分解因式：______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查因式分解，掌握运用十字相乘法分解因式是解题的关键． 利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为． 32．因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，准确的计算是解决本题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 33．将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，可设（其中a、b为整数）则可求出，再根据可确定a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴可设（其中a、b为整数） ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 题型十二 分组分解法 34．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 35．阅读下面例题：把多项式因式分解． 解：原式． 依照上述方法因式分解：________． 【答案】 【分析】仿照例题，先将前三项分组分解得到完全平方式，再提取中间两项的公因式，最后把看作整体，用完全平方公式分解因式． 【详解】解：原式 ∵， ∴原式 把看作整体，根据完全平方公式，可得原式． 36．已知，，则整式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， ， 故选：C． 题型十三 因式分解的应用 37．能被下列哪个数整除（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】解：原式 ． 则在这四个选项中，能被7整除． 38．如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列出大正方形的面积，再根据完全平方公式因式分解，即可得出大正方形的边长. 【详解】解：由题意得： 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：． 39．已知，，，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出，，的值，再对所求代数式变形因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 解答题 40．请用因式分解计算：． 【答案】 【详解】解： ． 41．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ． 42．因式分解 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】 （1）把看作整体换元，展开分解后回代再继续分解； （2）先分解两个二次因式，重新组合后得到相同整体，换元分解后回代再继续分解； （3）重新分组后得到相同的整体，换元分解后回代再继续分解； （4）重新分组相乘得到相同的二次部分，换元后整理可得到完全平方； （5） 变形后将看作整体换元，分解后化简得到结果． 【详解】（1）解：令 原式 ； （2）解：原式 令 原式 ； （3）解：原式 令 原式 ； （4）解：原式 令， 则， 原式 代入 整理得： 原式 ； （5）解： 令 原式 回代 得： 原式 ． 43．探究题 已知 (1)若，求证： (2)利用结论计算：已知，求的值． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）将代入题干给出的恒等式，化简即可得证； （2）利用（1）的结论，将对应数值代入公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，，， ∵， ∴由（1）的结论得， 即， ∴． 44．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题．从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如： ． 拆项法：例如： ． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解 ； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式 可以因式分解为 ； (4)根据图2，若 ，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用分组分解法把分成两组，分别提公因式分解因式； （2）把中凑出一个完全平方式，再分组分解因式； （3）根据长方形的面积可得，再进行因式分解； （4）根据正方形的面积可得，把整体代入即可求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由图可知长方形的宽为，长为， 长方形的面积为， 多项式分解因式为； （4）解：由图可知正方形的边长为， 正方形的面积为， ， ， 或， 图形的边长不能为负数， 舍去负值， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题04因式分解期中复习讲义 ☆ 复习目标 1理解因式分解的概念，分清因式分解和整式乘法的互逆关系，能判断变形是否属 于因式分解。 2会准确找出多项式的公因式，熟练使用提公因式法分解因式，注意符号，分解到 不能再分解为止。 3,掌握平方差公式、完全平方公式，能单独运用公式法进行因式分解。 4.掌握先提公因式、再用公式的综合分解方法，规范分解步骤，避免分解不彻底。 5.会利用因式分解进行简便运算，简化大数算式的计算。 6能根据因式分解的结果，求式子中的字母参数。 7会用十字相乘法对二次三项式进行因式分解。 8掌握分组分解法，合理分组后再提公因式或套用公式分解多项式。 9会借助因式分解化简代数式、求值，规范书写步骤。 10能够利用因式分解解决图形面积、代数式证明、规律探究等综合问题。 ☆ 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是因式分解 ★★ 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 ★★ 题型四 提公因式法分解因式 ★ 题型五 判断能否用公式法分解因式 ★★ 题型六 平方差公式分解因式 ★ 题型七 完全平方公式分解因式 ★★★ 题型八 综合运用公式法分解因式 试卷第1页（共3页） ★★★ 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 ★★★ 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 ★★★★ 题型十一 十字相乘法 ★★★★ 题型十二 分组分解法 ★★★★★ 题型十三 因式分解的应用 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 因式分解：把多项式化成几个整式的积的形式 核心 概念 分解原则：一提二套三查，分解到不能再分解为止 公因式找法：取各项系数的最大公约数，取相同字母的最低次幂 提公因式法 符号处理：首项为负时，整体提取负号，括号内各项全部变号 易错点：提公因式后，剩余项为1时不要漏写 因式分 平方差公式：a2-2=(a+b)(a-b) 基本方法 完全平方公式：a2士2ab+b2=(a士b)2 公式法 易错点：完全平方公式的中间项系数别漏写，平方差公式要分清同号项 和异号项 第三步：检查分解是否彻底，结果是否为最简整式积的形式 第一步：先提公因式（含负号先处理符号） 综合步骤 第二步：再套公式（平方差/完全平方） 知识点01因式分解基础概念 1.定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫 试卷第2页（共3页） 分解因式)。 2.因式分解VS整式乘法（互逆变形） 变形类型 形式特点 举例 整式乘法 积→和差（展开） (x+2)x-2)=x2-4 因式分解 和差一积（拆分） x2-4=(x+2)(x-2) 3.分解标准（三要求） (1)结果必须是几个整式相乘，不能出现加减： (2)每个因式不能再继续分解（分解彻底）； (3)首项系数一般为正，相同因式写成幂的形式，不含中括号。 4.常见判定误区 x2+2=x(x+)不是因式分解： 右边出现分式，不是整式。 知识点02：提公因式法（通用第一步） 1.公因式查找方法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x,系数6、9，最大公约数为3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2,公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2,取x2 试卷第3页（共3页） 2.￥ 特殊公因式：多项式型公因式 符号转换规律（高频考点） (y-x)=-(x-y) y-x)2=(☒-y)2 (y-x)3=-(x-y)3 3.解题步骤 1确定完整公因式；2.整体提取公因式；3.剩余项为1时不可省略；4. 调整符号，保证首项为正。 4.常见易错点 漏写剩余常数1、只提字母不提系数、相反数形式因式符号转换出错。 知识点03：公式法 公式类型 适用形式 分解公式 结构特征 a2-b2=(a+b)(a 平方差公式 二项式 两项、一正一负、两项均为完全平方式 b) 首尾项为正的平方项，中间项为两底数乘积的 2 a2+2ab+h2=(a+ 完全平方和 三项式 h)2 倍 首尾项为正的平方项，中间项为负的两底数乘积 a2-2ab+b2=(a- 完全平方差 三项式 b)2 的2倍 试卷第4页（共3页） 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04：因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理化简符号，规范书写结果 知识点05拓展：分组分解法（四项及以上多项式） 1.适用场景：四项式，无整体公因式，分组后能提公因式/套公式 类型1：分组提公因式 ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b) 类型2：分组套平方差 x2-y2+x+y列 =(x+y)(x-y)+(x+y) =(x+y)(x-y+1) 试卷第5页（共3页） 知识点06常考易错点汇总表 错误类型 错误写法 正确分解 错误原因 分解不彻底 x416=(x2+4)(x2-4) (x2+4)(x+2)(x-2)x2-4还能平方差分解 完全平方漏2倍项 x2-4x+4=(x-2)(区+2) (x-2)2 混淆平方差与完全平方 提公因式丢常数1 5x-5xy=5x(-y) 5x(1-y) 第一项提取后剩余1 提取负号，平方差符号 首项负号不变号 -x244=-(x2+4) -(x+2)(x-2) 改变 (x+3)2=x2+6x+9)(分 混淆乘法与分解 x2+6x+9=(X+3)2搞反互逆变形方向 解题写展开) 分解结果含加减 x2-9=xx9 (☒+3)(x-3) 出现分式，不是整式积 X ☆ 题型精析 题型一判断是否是因式分解 1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是() A.a(a+b)=atab B.a+2a+1=a(a+2)+l C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D 2a2-6ab=2a(a-3b) 2.下列从左到右变形，是因式分解的有() 3ac:2)f-16+6r-6c+40-+6r,8)2-1=x 试卷第6页（共3页） 4（-2x+32x+3)=4+9y:5)3x-6y=3(-2列，6 3x2y-xy=y(3x-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列从左到右的变形是因式分解的是() A.r-6x+9=(x-3)2 B.(a+3(a-3)=d2-9 C.r-4+3x=(x-2)(x+2)+3x D.x+4r+10=(x+2}+6 题型二已知因式分解的结果求参数 4.若将多项式+a-12因武分解得x+3训-)，则P的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 5.若二次三顶式-m-6可分解为任-3+川），则m+”的值为 6.如果把二次三项式+2x+C分解因式得 +2x+c=(x-l(x+3),那么常数C的值是 () A.3 B.-3 C.2 D.-2 题型三公因式 7.多项式 4x2y-6xy2+2xy 的公因式是() A.2x B.2y C.2xy D.4xy 3y2 8.下列多项式中，各项的公因式为的是() A.-y B.6y2-12.y2 C.9-5y D.3y-6y 9.将6ab(-+8a(x-少因式分解，应提取的公因式是（) 试卷第7页（共3页） A.2ab(x-y) B 48ab(x-y)2 c.48ab(x-y)月 D.2ab(x-y) 题型四提公因式法分解因式 10.分解因式r0-3)+x(0-) 的正确结果是() A.(0y-3)(x+x) B.x(0y-3)(x+1) c.(y-3(r2-x D.x(0y-3)(x-1) 11.若=-2x-y=3 则代数式 xy-xy2 的值是一 12.若a=-2026,则式子0+2025a++口+2027a-l 的值为() A.0 B.4044 C.4054 D.4064 题型五判断能否用公式法分解因式 13.下列各多项式中不能用公式法分解的是() A.x2-(-y)2 B.a2-ab+b2 4 C.x2-2x-1D.25-10x+x2 14.下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有() (d)4-12)9r6-3b+1(3)f-x+号 (4)-x2-y2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 下列多顶武：04ry:回4y,@+2边-6.@t47 4:⑤ m2n2+4-4mn 其中能用公式法分解因式的是() A.①③④⑤ B.②④⑤ C.②③④D.②③④⑤ 题型六平方差公式分解因式 试卷第8页（共3页） 16因式分解：16-(3a-2b)2= 17.若x,y满足r+y+5+(x-y-9=0,则2-y的值为 18.下列因式分解正确的是() A.a2-b2=(a-b2 B.ab+2ab+b=b(a+2a+l) c.x-2-y=(x-yy D.m-m=m(m+1(m-1) 题型七完全平方公式分解因式 19.分解因式：+4(x+2)-4= 2025,6=2025-1 20.已知a=2024-, 025,c=2026-1 2025,则代数式 a2+b2+c2-ab-bc-ca= 21.下列因式分解正确的是() A.2ab-4ab=2a(62-2b) B.(m+n)(m-n)=m2-n2 C.r+2gy-4y2=(x-2y} D.-my+4y-4m=-m(2-y）} 题型八综合运用公式法分解因式 22.在实数范围内因式分解：2x2-6x+3= 23.下列分解因式正确的是() A.ma+mb=m(a+b) B.8-2m=m(8m-2） 试卷第9页（共3页） C.a'-2ab+262=(a-by D.x2-1=(-2 24.将a4-2a2+1分解因式，所得结果正确的是() A.a(a2-2)+1 B.(a-2(a2+ .(a2-)2 D.(a-0(a+1)2 题型九综合提公因式和公式法分解因式 25.把多项式x3-2x2+x分解因式，正确的是() A.(x-1)2 B.x(x-)2 c.(r2-2x+) D x(x+1)2 26.下列因式分解正确的是() A.(a-2}2=d2-4a+4 B.a+4=(a+2)(a-2) c.a-10a+25=a(a-10)+25 D.2r2-4a+2=2(a-12 27.下列因式分解正确的为() A.-ab*+2ab-3b=-b(ab-2a-3) B.a-1=(a2+a-) C.x2+2x+3=x(x+2)+3 题型十因式分解在有理数简算中的应用 28.计算198×202的结果是() A.39996 B.39998 C.40002 D.40004 29.60×3.52-120×3.5×1.5+60×1.52结果为() A.240 B.242 C.232 D.225 试卷第10页（共3页) 202520262 30.小明在计算202520252+202520272-2时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看 题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 题型十一十字相乘法 31.分解因式：x2-5x+6= 32.因式分解.(+3x+242+8x+3)-90= x2+5xy-2y2 33.将 分解因式，结果正确的是() A.(3x-yx+2列B.(3x+x-2列）C.(3x+2yx-D (3x-2y)(x+y) 题型十二分组分解法 34.把1-a2-b2-2b分解因式，正确的分组为() A.1-(a+b2+2ab) B.（1-a2）-(b2-2ab) c.（1-2ab)+(-a2-b) D.-a2-b）-2ab x2-2xy+y2-2x+2y+1 35.阅读下面例题：把多项式 因式分解. 解：原式=-八-2(x-)+1=c-y- x2+2xy+y2+4x+4y+4= 依照上述方法因式分解： 36.已知+y=6,2-x=-3,则整式 2+xy-x2-z 的值为() A.9 B.-9 C.18 D.-18 试卷第11页（共3页） 题型十三因式分解的应用 37.(-8m+(-820 能被下列哪个数整除() A.3 B.5 C.7 D.9 38.如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形 卡片1张，长，宽分别为a,b的长方形卡片4张.现使用这9张卡片拼成一个大的正方 形，则这个大正方形的边长为() e d a b A.2a+b B.4a+b C.a+2b D.a+3b 39.已知a=2026x+2025,b=2026x+2026,c=2026x+2027,则代数式 a2+b2+c2-ab-ac-bc的值为 解答题 40.请用因式分解计算：1012-101×190+952， 41.把下列各式因式分解： 03a-36 ②2-9x+y9 6)+y+2y3-(6x-y-2} 4x+y-14x+)+49 (5062-0.01 ⑥y-22+y 试卷第12页（共3页） ()(a+4-16a2 (8)2-y+ 43: (o2+2+ (10)6x+1x+2)+ 42.因式分解 a2+3x-302+3x+4)-8 a+3x+24x2+8x+3)-90 6)2x-702x+5r2-9-91 ④16(6x-102x-103x+100x-1+25 5)(6x+7(3x+40x+1）-6 43.探究题 已知+h+c-3ac=(a+h+ea2+8+e2-ab-bc-a) (1)若a+b+c=0,求证：a3+b+c3=3abc (2)利用结论计算：已 2025+2026+(4051)=0.求2025°+2026°-405的值. 44.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方 法.在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读 下面材料完成相应问题.从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有 提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等. 分组分解法：例如： x2-2xy+y2-4=(x2-2y+y2）-4=(x-y}2-22=(x-y-2(x-y+2) 试卷第13页（共3页） 拆项法：例如： x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3) (1)利用分组分解法，因式分解a-ab+1-b； (2)利用拆项法，因式分解x2-6x-16: 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到 因式分解的恒等式. b a a b b a b b a 图1 图2 (3)根据图1，多项式a2+2b2+3ab可以因式分解为_： (4)根据图2，若d2+b+c2=60,ab+bc+ac=2,求a+b+c的值. 试卷第14页（共3页）