专题03 因式分解（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上学期

专题02 整式的乘除 考点01 因式分解的意义与提公因式法分解因式 考点02 公式法分解因式 考点03 十字相乘法分解因式 考点04 分组分解法分解因式 考点05 因式分解的综合与应用 考点01 因式分解的意义与提公因式法分解因式 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得到答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A选项从左到右是整式乘法运算，结果为多项式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符题意； B选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C选项等式右边仍然是和的形式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D选项等式左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意． 2．（25-26七年级上·上海·期末）下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可．熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：甲同学：∵ 原式 ， ∴ 正确； 乙同学：原式 ， ∴ 正确． 故甲乙均对． 故选：C． 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，通过观察第二项中的可转化为，从而与第一项形成公因式，提取公因式后进一步分解即可． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 4．（25-26七年级上·上海·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 5．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解， 通过提取公因式 ，将原式化简为 ，再结合负数的偶次幂为正的性质，得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 6．（25-26七年级上·上海·期末）已知等式：，则________． 【答案】 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求原式，将展开为，然后比较求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 【答案】 【详解】解：． 8．（25-26七年级上·上海·期末）若，，则_________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 先对所求代数式利用提公因式法进行因式分解，将其转化为含已知条件与的形式，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：， 当，时，原式， 故答案为：20． 9．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知：，，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，把所求式子因式分解得到，进一步变形得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：7． 11．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 12．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 对分子、分母提取公因式分解因式，最后约分． 【详解】解： ． 14．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 15．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解的应用，先提公因式分解因式，再根据多项式乘以多项式的计算法则去小括号后合并同类项，进一步根据多项式乘以多项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 考点02 公式法分解因式 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式；平方差公式适用于两个平方项的差，即形式为 ，需检查各选项是否可化为该形式． 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐项检查各选项是否符合该形式． 【详解】解：对于A：能用平方差公式分解因式，不能用完全平方公式分解，故不符合题意； 对于B：，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意； 对于C：，能用完全平方公式分解，故符合题意； 对于D：，常数项应为，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意， 故选：C． 4．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 5．（25-26七年级上·上海·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的方法，利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、 ， 故选：． 6．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．熟悉根据完全平方公式进行因式分解，是解题的关键．可以将看作一个整体，根据完全平方公式将原式转化为即可． 【详解】解：， ， ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题可利用平方差公式对原式进行因式分解，需要先将原式变形为平方差的形式，再逐步分解．本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的形式以及多次运用公式的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海嘉定·阶段检测）因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题考查用分组分解法进行因式分解，采用三一分组是解答此题的关键． 利用分组分解法将前三项提取公因式后利用完全平方公式分解，再整体提取公因式后利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先将原式整理为平方差的形式，先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解，直至分解彻底即可． 【详解】解： ． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，关键是掌握完全平方公式即可得出结果． 将看成整体，应用完全平方公式因式分解，再利用十字相乘法分解即可得出结果； 【详解】解：原式 ． 11．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简、因式分解、“配方法”的应用，熟练掌握利用“配方法”得到完全平方式是解题的关键． （1）通过“配方法”得到完全平方式，进行因式分解即可； （2）通过将分成与的和，得到两个完全平方式，根据完全平方式的值大于等于0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由于， 则， 解得， 因此的值为． 12．（25-26七年级上·上海·期中）如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ； （2）解：①，， ； ② ． 考点03 十字相乘法分解因式 1．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： （1）_________， （2）________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）根据十字相乘法可进行分解因式． 【详解】解：（1）， 故答案为； （2）， 故答案为． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 4．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 【答案】或 【分析】根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出，列举所有整数对并计算p，即可求出p． 【详解】解：∵可以因式分解为，且， ∴， ∵均为整数， ∴或或或或或或或， 当或时，； 当或时，； 当或时，； 当或时，； 综上所述，满足条件的的值是或． 5．（25-26七年级上·上海松江·期末）若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 【答案】/或/或 【分析】本题考查公式法的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键． 设因式分解形式为，则，，由为整数，、为整数，枚举的整数解求即可． 【详解】解：因式分解形式为， 故，， 由于为整数，且， 则、为整数， 的整数解有：，或，或，或，， 对应： 当，时； 当，时； 当，时； 当，时， 故整数的值为或， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 7．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的综合运用，涉及十字相乘法分解因式．先将看作一个整体，把原式转化为关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解；再对分解后得到的因式中可继续分解的部分，再次用十字相乘法分解，直至所有因式在有理数范围内均不能再分解． 【详解】解：原式， ． 8．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查换元法、十字相乘法和完全平方公式，利用换元法进行化简是解题的关键． 首先将用t进行表示并结合十字相乘法进行化简，化简结束后将再代入并结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】解：令，则， ∴． 9．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 连续两次运用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解： 10．（25-26七年级上·上海普陀·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）先用换元法，再利用十字相乘法分解因式即可． （2）先用分组分解法，再利用公式法分解因式即可． 【详解】（1）解：令， 则原式变成：， ， 再把代入得， 故 （2）解： 考点04 分组分解法分解因式 1．（25-26七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 3．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．通过分组分解法，将原式分为两组，分别提取公因式后，再提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解： 5．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的分组分解法，以及完全平方公式、平方差公式的应用．关键是通过合理分组，将原式转化为可利用公式分解的形式：先把原式中能构成完全平方的项结合，得到完全平方式后，再与剩余项结合形成平方差的形式，最后用平方差公式完成分解． 【详解】解：原式 ． 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 通过分组分解，将多项式分为两组后分别提取公因式，再提取两组的公因式完成因式分解． 【详解】解： ． 7．（25-26七年级上·上海虹口·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先分组，再由平方差公式分解． 【详解】解： ． 8．（25-26七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先将多项式变形为，再利用完全平方公式分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 9．（25-26七年级上·上海松江·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先分组， 利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 10．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 考点05 因式分解的综合与应用 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列分解因式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．利用因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A项正确，不符合题意； B、，故B项正确，不符合题意； C 、，故C项不正确，符合题意； D、，故D项正确，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 3．（25-26七年级上·上海·期末）利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 【答案】D 【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即． 4．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）若，且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．． 【答案】A 【分析】本题考查多项式的因式分解与整数性质的综合应用，解题关键是利用多项式乘法展开后对应系数相等，枚举所有满足条件的整数对计算k的可能值，进而判断选项. 【详解】解：∵ ∴对比系数可得， ∵a、b为整数且 ∴所有满足条件的整数对及对应k值为： ； ； ； ； ； ； （交换a、b位置，k值不变，略） ∴k的可能值为，6不在其中 ∴k的值不可能是6， 故选：A， 5．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征并能灵活运用是解题的关键． 先利用平方差公式对进行因式分解，然后根据已知条件找出另一个因式，解题思路是先对式子进行变形分解，再结合已知因式确定另一个因式． 【详解】解： 因为有一个因式是， 所以另一个因式是， 故选：D． 6．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，将给定表达式通过因式分解和约分进行化简． 【详解】解：长方形的面积为， 因为长方形的长为， 所以宽为：． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海·一模）分解因式：___________． 【答案】 【分析】将原式变形为，再根据平方差公式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方差公式的应用，掌握提取公因式法和乘法公式进行因数分解是解题的关键． 9．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 10．（25-26七年级上·上海·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 11．（25-26七年级上·上海·阶段检测）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)根据材料内容，求代数式的最大值； (3)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1)；7 (2)4 (3)2 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用， （1）根据平方的非负性，求出结果即可； （2）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解． 掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值， ∵时，， ∴时，的最小值为7． （2）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 12．（25-26七年级上·上海宝山·期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 【答案】（1）①是 ②1013，1012 （2）7 （3）所有4的倍数（4除外）都是“方差数” （4）41，43，44，45，47，48，49 【分析】本题主要考查了新定义“方差数”的理解与应用，因式分解的应用，解题的关键是理解新定义运算．根据“方差数”的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：①， 16是“方差数”； ②因为， 所以2025是“方差数”． 故答案为：①是；②1013，1012． （2）解：当时，不论取何值，都是“方差数”，理由如下： ， 要使不论取何值，都是“方差数”， 则，即， 此时，， 是正整数且， 和都是正整数，且，满足“方差数”的定义， 当时，无论不论取何值，都是“方差数”． （3）解：能． 设为正整数且， 则， 所以这样的数都是“方差数”， 即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”． （4）解：由题意和（3）可知，所有奇数（1除外）都是“方差数”， 所有4的倍数（4除外）都是“方差数”， 所以40到50之间（不包含40和50）的所有“方差数”是：41，43，44，45，47，48，49． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除 考点01 因式分解的意义与提公因式法分解因式 考点02 公式法分解因式 考点03 十字相乘法分解因式 考点04 分组分解法分解因式 考点05 因式分解的综合与应用 考点01 因式分解的意义与提公因式法分解因式 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期末）下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 3．（25-26七年级上·上海·阶段检测）分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·上海·期末）已知等式：，则________． 7．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 8．（25-26七年级上·上海·期末）若，，则_________． 9．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 10．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知：，，则______． 11．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 12．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 13．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算 14．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 15．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． 考点02 公式法分解因式 1．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：__________． 7．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_____． 8．（25-26七年级上·上海嘉定·阶段检测）因式分解：_____． 9．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 11．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 12．（25-26七年级上·上海·期中）如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 考点03 十字相乘法分解因式 1．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： （1）_________， （2）________． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 4．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 5．（25-26七年级上·上海松江·期末）若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 7．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 8．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： 9．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 10．（25-26七年级上·上海普陀·期末）因式分解： (1) (2) 考点04 分组分解法分解因式 1．（25-26七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 4．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解：_____． 5．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 7．（25-26七年级上·上海虹口·期末）因式分解： 8．（25-26七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 9．（25-26七年级上·上海松江·期末）因式分解：． 10．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 考点05 因式分解的综合与应用 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列分解因式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 3．（25-26七年级上·上海·期末）利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 4．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）若，且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为__________． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）分解因式：______． 8．（25-26七年级上·上海·一模）分解因式：___________． 9．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)． 10．（25-26七年级上·上海·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 11．（25-26七年级上·上海·阶段检测）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)根据材料内容，求代数式的最大值； (3)已知：，，求代数式的值． 12．（25-26七年级上·上海宝山·期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $