第12章·因式分解·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第12章·因式分解·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 准确判断因式分解及其方法归属，掌握分解的完整性 · 综合运用提公因式、公式法与十字相乘法分解因式 · 掌握分组分解法，处理四项以上多项式的分解 · 能由因式分解的结果求参数、判断整除与取值 · 会用因式分解解决化简求值与几何面积等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.因式分解的概念与方法识别 判断变形是否为因式分解及所用方法 完全平方、平方差、十字相乘的识别特征 分解不彻底、方向颠倒等常见错误 概念辨析例题：分解因式：x2-8x+16 答案：(x-4)2 解析：x2-8x+16=x2-2·x·4+42，套用完全平方公式 ☆ 2.提公因式与公式法的综合 先提公因式再套公式的常见流程 实数范围内分解时使用求根公式 整体思想：把多项式整体看作一个字母 概念辨析例题：在实数范围内分解因式：2x2-3x-6 答案：2(x-)(x-) 解析：令 2x2-3x-6=0，求根公式得 x=，故分解为 2(x-)(x-) ☆ 3.十字相乘法与分组分解法 十字相乘：竖分常数项、交叉检验 分组分解：分组后提公因式或套公式 四项分组常见「2-2」「3-1」分组策略 概念辨析例题：分解因式：x2+5x+6 答案：(x+2)(x+3) 解析：6=2×3 且 2+3=5，故 x2+5x+6=(x+2)(x+3) ☆ 4.因式分解的应用 由分解结果求参数（比较对应系数） 整除性判断：化积后分析因子 几何图形面积、简算中的因式分解应用 概念辨析例题：若 x2+mx-6=(x-2)(x+3)，求 m 答案：m=1 解析：(x-2)(x+3)=x2+x-6，比较 x 项系数得 m=1 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 因式分解 多项式 → 整式积 恒等变形、分解彻底 提公因式 ma+mb=m(a+b) 提尽公因式 平方差 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项异号 完全平方 a2±2ab+b2=(a±b)2 三项结构 十字相乘 x2+(p+q)x+pq 检验交叉项 分组分解 先分组再提公因式/公式 组内组间可分解 ⚠️ 核心考点 【考点1】因式分解的概念与判断（第1-5题） · 判断变形是否为因式分解：右边是整式积且恒等 · 注意分解要彻底 · 可代特殊值快速检验 1．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·期中）下列各等式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【考点2】提公因式法分解因式（第6-9题） · 提公因式要提尽，公因式含负号时提前 · 提后余式继续分解 · 注意多项式整体作公因式 6．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数）______． 7．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 8．（24-25七年级上·上海·阶段检测）分解因式： ______． 9．（24-25七年级上·上海·阶段检测）分解因式：． 【考点3】公式法分解因式（第10-13题） · 两项平方差、三项完全平方、二次三项十字相乘 · 实数范围用求根公式 · 套公式前先提公因式 10．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长______． 11．（25-26七年级上·上海·期中）已知，求的值． 12．（25-26七年级上·上海·阶段检测）因式分解：． 13．（23-24七年级上·上海静安·期中）先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项．按照这个思路， (1)试把多项式分解因式； (2)试把多项式分解因式． 【考点4】十字相乘法分解因式（第14-22题） · 竖分常数项、横乘验交叉项 · 二次项系数非 1 时竖分二次项 · 符号配对避免错项 14．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 15．（23-24七年级上·上海·期末）如果多项式在整数范围内可以因式分解，那么m可以取的值是______． 16．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 17．（23-24八年级下·四川眉山·期中）两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的多项式为 _____ 18．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 19．（23-24八年级上·江西赣州·阶段检测）阅读下列材料，回答问题．（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式： (4)分解因式：； 20．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 21．（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）因式分解：． 22．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段检测）因式分解： 【考点5】分组分解法分解因式（第23-31题） · 分组后各组可提公因式或套公式 · 常见 2-2、3-1 分组 · 分组后整体可再分解 23．（22-23八年级下·广东茂名·期中）的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 24．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 _____种填法． 25．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 26．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）因式分解______． 27．（24-25七年级上·上海·期中）已知，且，求的值． 28．（25-26七年级上·上海·寒假作业）因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 29．（12.2第4课时 因式分解的方法（分组分解法）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪教版2024））当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 30．（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：． 31．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． （2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？ 【考点6】综合提公因式与公式法（第32-35题） · 先提公因式再套公式，注意顺序 · 实数范围用求根公式 · 结果写为整式积形式 32．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级上·上海·期末）多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为______． 34．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 35．（24-25七年级上·上海·阶段检测）因式分解：． 【考点7】因式分解的应用（求值与变形）（第36-41题） · 由分解结果比较系数求参数 · 利用完全平方结构凑参数 · 恒等变形后列方程 36．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 37．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知，则（　　） A． B． C．7 D．11 39．（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 40．（2024·四川成都·三模）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： ，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若 是“正巧数”，则的值为______________． 41．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，则______； 【考点8】因式分解的应用（简算、几何与探究）（第42-47题） · 面积图形用面积法列等式 · 简算用公式凑整 · 阅读材料题按规则转化 42．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 43．（23-24九年级上·湖北随州·阶段检测）对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 44．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是________． 46．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 47．（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 💯 课后巩固 复习建议 · 先判断方法再动手，避免套错公式 · 「一提二套三分组」，按步骤推进 · 实数范围分解记得求根公式 · 由积的形式求参数：展开比较系数 · 应用问题先建模再分解，注意完整性 【作业1】．（20-21八年级上·甘肃天水·期末）将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26七年级上·上海·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）已知a、b、c为正整数，且，那么的最小值等于（    ） A．11 B．10 C．8 D．6 【作业5】．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【作业6】．（2024·上海嘉定·三模）因式分解：__________ 【作业7】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）因式分解：______． 【作业8】．（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：_______． 【作业9】．（2024·上海·模拟预测）因式分解： ____________. 【作业10】．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若，那么代数式的值为__________． 【作业11】．（24-25七年级上·上海·期中）已知：，则_____． 【作业12】．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)_____； (2)________； (3)_____． 【作业13】．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解：_____． 【作业14】．（23-24八年级上·上海长宁·期末）在实数范围内因式分解：____________________． 【作业15】．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如果，那么_______． 【作业16】．（24-25七年级上·上海·期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 【作业17】．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段检测）若、、为非零实数，且，求证：． 【作业18】．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章·因式分解·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 准确判断因式分解及其方法归属，掌握分解的完整性 · 综合运用提公因式、公式法与十字相乘法分解因式 · 掌握分组分解法，处理四项以上多项式的分解 · 能由因式分解的结果求参数、判断整除与取值 · 会用因式分解解决化简求值与几何面积等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.因式分解的概念与方法识别 判断变形是否为因式分解及所用方法 完全平方、平方差、十字相乘的识别特征 分解不彻底、方向颠倒等常见错误 概念辨析例题：分解因式：x2-8x+16 答案：(x-4)2 解析：x2-8x+16=x2-2·x·4+42，套用完全平方公式 ☆ 2.提公因式与公式法的综合 先提公因式再套公式的常见流程 实数范围内分解时使用求根公式 整体思想：把多项式整体看作一个字母 概念辨析例题：在实数范围内分解因式：2x2-3x-6 答案：2(x-)(x-) 解析：令 2x2-3x-6=0，求根公式得 x=，故分解为 2(x-)(x-) ☆ 3.十字相乘法与分组分解法 十字相乘：竖分常数项、交叉检验 分组分解：分组后提公因式或套公式 四项分组常见「2-2」「3-1」分组策略 概念辨析例题：分解因式：x2+5x+6 答案：(x+2)(x+3) 解析：6=2×3 且 2+3=5，故 x2+5x+6=(x+2)(x+3) ☆ 4.因式分解的应用 由分解结果求参数（比较对应系数） 整除性判断：化积后分析因子 几何图形面积、简算中的因式分解应用 概念辨析例题：若 x2+mx-6=(x-2)(x+3)，求 m 答案：m=1 解析：(x-2)(x+3)=x2+x-6，比较 x 项系数得 m=1 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 因式分解 多项式 → 整式积 恒等变形、分解彻底 提公因式 ma+mb=m(a+b) 提尽公因式 平方差 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项异号 完全平方 a2±2ab+b2=(a±b)2 三项结构 十字相乘 x2+(p+q)x+pq 检验交叉项 分组分解 先分组再提公因式/公式 组内组间可分解 ⚠️ 核心考点 【考点1】因式分解的概念与判断（第1-5题） · 判断变形是否为因式分解：右边是整式积且恒等 · 注意分解要彻底 · 可代特殊值快速检验 1．（23-24七年级上·上海金山·期末）下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，根据提公因式法、公式法及十字相乘法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海·期中）下列各等式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟记定义并正确理解是解题的关键． 把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，据此作答即可． 【详解】A． 等式右边不是整式积的形式，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C． 分母中含有未知数，不是整式乘积形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； D． 是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义和正确性，掌握知识点是解题的关键． 因式分解是将多项式写成几个整式的乘积的形式，且变形必须恒等．选项A是展开而非分解；选项B分解正确；选项C未彻底分解；选项D含有分式，不是整式乘积． 【详解】解：A：是乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B：，是因式分解，符合题意； C：，虽恒等但可进一步分解为，未彻底分解，不符合题意； D：，含分式，不是整式乘积，也不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键； 多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可． 【详解】A．右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； B．，右边括号内不是整式，是分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； D．是因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解的定义是将一个多项式化为几个整式的积的形式． 选项A是整式乘法，选项C左边不是多项式，选项D仅提取数字，选项B符合定义． 【详解】解：因式分解需满足左边为多项式，右边为整式的积， 选项A：左边为积，右边为多项式，是整式乘法，不符合因式分解的定义； 选项B：左边为多项式，右边为，是积的形式，符合因式分解的定义； 选项C：左边含分式，不是多项式，不符合因式分解的定义； 选项D：左边为多项式，右边为积的形式，但仅提取数字，不符合因式分解的定义； 故选：B． 【考点2】提公因式法分解因式（第6-9题） · 提公因式要提尽，公因式含负号时提前 · 提后余式继续分解 · 注意多项式整体作公因式 6．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数）______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键，直接利用提取公因式法分解因式得出即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海·阶段检测）分解因式： ______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，通过变形将式子化为具有公因式的形式是解题的关键．先将题中的变形为，然后提取公因式，最后对括号内的式子进行化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海·阶段检测）分解因式：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解．因式分解就是把一个多项式写成几个因式乘积的形式，本题中首先提公因式，得到原式，然后把中括号里的展开得到原式，再利用完全平方公式分解因式可得结果为． 【详解】解： ． 【考点3】公式法分解因式（第10-13题） · 两项平方差、三项完全平方、二次三项十字相乘 · 实数范围用求根公式 · 套公式前先提公因式 10．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长______． 【答案】/ 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解；通过完成平方将方程转化为平方和为零的形式，从而求出和的值． 【详解】解：， ∴， 化简得 ， 所以 且 ， 解得 ， ， 因此 ． 12．（25-26七年级上·上海·阶段检测）因式分解：． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，掌握好公式法并分组分解是解题关键． 先用完全平方公式将部分代数式进行因式分解，再使用平方差公式． 【详解】解：． 13．（23-24七年级上·上海静安·期中）先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项．按照这个思路， (1)试把多项式分解因式； (2)试把多项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】（1）仿照材料根据原式加上配成完全平方公式，再减去，运用平方差公式因式分解即可； （2）仿照材料根据原式加上配成完全平方公式，再减去，再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，阅读材料、掌握材料介绍的方法是解答本题的关键． 【考点4】十字相乘法分解因式（第14-22题） · 竖分常数项、横乘验交叉项 · 二次项系数非 1 时竖分二次项 · 符号配对避免错项 14．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】十字相乘法 【分析】此题主要考查的是十字相乘法分解因式等有关知识，对常数16的正确进行质因数分解，是解题的关键． 利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：根据“十字相乘法”得， ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ∴的值一共有6个， 故选：C． 15．（23-24七年级上·上海·期末）如果多项式在整数范围内可以因式分解，那么m可以取的值是______． 【答案】或 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成和，和，和，和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：的取值是或， 故答案为：或． 16．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·四川眉山·期中）两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的多项式为 _____ 【答案】 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用 【分析】由于看错了一次项系数即值看错而与的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开求出与的值；同样，看错了常数项即值看错而与的值正确，可将运用多项式的乘法法则展开求出的值，进而得出答案．本题考查的是因式分解的应用，掌握求解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ，； 又， ． ∵二次三项式为： 原多项式为， 故答案为：． 18．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解．设，原式可分解得，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解：设， 则原式 ， ∴ ． 19．（23-24八年级上·江西赣州·阶段检测）阅读下列材料，回答问题．（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式： (4)分解因式：； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意根据，进行分解因式即可； （2）仿照题意根据，进行分解因式即可； （3）仿照题意根据，进行分解因式即可； （4）把看做一个整体，仿照题意根据，进行分解因式即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 20．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解，先用平方差公式，再用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 21．（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式，直接利用十字相乘法分解因式得出答案 【详解】解： ． 22．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段检测）因式分解： 【答案】， 【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ， 【考点5】分组分解法分解因式（第23-31题） · 分组后各组可提公因式或套公式 · 常见 2-2、3-1 分组 · 分组后整体可再分解 23．（22-23八年级下·广东茂名·期中）的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴的分解因式结果中，含有因式， 故选：C． 24．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 _____种填法． 【答案】5 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去或者都符合题意，由于，那么添加符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 故答案为：5． 25．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）因式分解______． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题主要考查因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】解： 27．（24-25七年级上·上海·期中）已知，且，求的值． 【答案】 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查了利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意，合理分组，将两多项式相减得到a，b，c的关系，代入等式求解即可得到答案；． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴，即， ∵， ∴． 28．（25-26七年级上·上海·寒假作业）因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【知识点】分组分解法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：； （2） ， ， ， （3）， ， ， ， ， ， ， 当时，最小值为． 29．（12.2第4课时 因式分解的方法（分组分解法）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪教版2024））当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【答案】，1 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分组分解法、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了分组因式分解的配方法求最值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 将二次三项式配成完全平方形式，然后根据非负性即可解答； 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，二次三项式取得最小值，最小值为1． 30．（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．利用分组分解法因式分解即可． 【详解】解：原式 31．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． （2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？ 【答案】（1）三角形是等腰三角形；（2）是等边三角形 【知识点】分组分解法、因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解的应用； （1）把通过因式分解求值即可； （2）通过把配方后根据非负数的性质判断即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴这个三角形是等腰三角形． （2）∵， ∴． ∴， 即． ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 【考点6】综合提公因式与公式法（第32-35题） · 先提公因式再套公式，注意顺序 · 实数范围用求根公式 · 结果写为整式积形式 32．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 33．（23-24七年级上·上海·期末）多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为______． 【答案】或 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解得到分组后的公因式是，由此可得和此单项式分成一组后应得到公因式，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴第一种情况，与一组， ∴ ； 第二种情况，与一组， ∴ ； 故答案为：或． 34．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 35．（24-25七年级上·上海·阶段检测）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了十字相乘法与完全平方公式法分解因式；先用十字相乘法分解因式，再对每个因式分别用十字相乘法与完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【考点7】因式分解的应用（求值与变形）（第36-41题） · 由分解结果比较系数求参数 · 利用完全平方结构凑参数 · 恒等变形后列方程 36．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 37．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用 【分析】本题主要考查的是完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解把所求代数式进行变形．根据题意可得，，，再利用提公因式法原式可变形为，再利用完全平方公式可变形为，然后代入，即可求解． 【详解】解： ，，， ，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 38．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知，则（　　） A． B． C．7 D．11 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．根据题意可得，再由完全平方公式，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选B． 39．（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 40．（2024·四川成都·三模）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： ，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若 是“正巧数”，则的值为______________． 【答案】9 【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算．将整理为，据“正巧数”定义可得出的值． 【详解】解：， 是“正巧数”， ． 故答案为：9． 41．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，则______； 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点8】因式分解的应用（简算、几何与探究）（第42-47题） · 面积图形用面积法列等式 · 简算用公式凑整 · 阅读材料题按规则转化 42．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 43．（23-24九年级上·湖北随州·阶段检测）对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意得出，进而可得只要是合数，就是好数，即可求解． 【详解】解：由，可得 ， 所以，只要是合数，就是好数， 以内的好数有：、、、、 故选：C． 44．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 【详解】解：由题意得：大正方形的面积为：， 则大正方形的边长为． 故选：A． 45．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是________． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解，将等式右边的式子利用多项式乘以多项式的法则展开，根据恒等式，得到对应项相同，得到，根据最小，得到的绝对值相差最大，且负数大于正数，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 46．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 【答案】(1) 解：这种速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐） 例如： (2) 设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为， ∴ ∴满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同； 故答案为：；． (3) 解：设 ， ∴ ∴ ∴ ∵是素数， ∴， ∵是正整数， ∴ 解得： ∴ 【知识点】有理数四则混合运算、计算多项式乘多项式、平方差公式分解因式、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了整式的乘法以及因式分解的应用，解二元一次方程组； （1）根据材料写出速算方法，并用速算方法计算，即可求解； （2）设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为， 进而按照整式的乘法进行计算，最后根据因式分解得出结论； （3）设 ， ，得出，根据平方差公式因式分解得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 47．（25-26八年级上·吉林长春·期中）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 💯 课后巩固 复习建议 · 先判断方法再动手，避免套错公式 · 「一提二套三分组」，按步骤推进 · 实数范围分解记得求根公式 · 由积的形式求参数：展开比较系数 · 应用问题先建模再分解，注意完整性 【作业1】．（20-21八年级上·甘肃天水·期末）将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键． 直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 【作业2】．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选D． 【作业3】．（25-26七年级上·上海·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了运用完全平方公式分解因式，熟知完全平方式的特点是解题关键，根据完全平方式的特点“两个数的平方和，加（减）它们积的2倍”逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意； B. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意； C. 是完全平方式，能用完全平方公式分解，分解为，符合题意； D. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意﹒ 故选：C 【作业4】．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）已知a、b、c为正整数，且，那么的最小值等于（    ） A．11 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用．将式子转化为，根据a、b、c为整数，以及，假设，则有两种情况，或，进而得到当时，的值最小，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵a、b、c为整数， ∴均为整数， 假设， ∵， ∴有两种情况， ①，此时：； ②，此时：； ∴的最小值为； 故选B． 【作业5】．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 【作业6】．（2024·上海嘉定·三模）因式分解：__________ 【答案】 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查运用分组分解法和公式法分解因式，原式先去括号，再运用公式法进行因式分解即可 【详解】解： 故答案为： 【作业7】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）因式分解：______． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查因式分解，将原式展开再分组为，再根据平方差公式和提公因式法进行分解即可．掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【作业8】．（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：_______． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解，根据进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【作业9】．（2024·上海·模拟预测）因式分解： ____________. 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法进行因式分解成为解题的关键. 将分成，然后各组分别因式分解，最后提取公因式即可. 【详解】解： 故答案为： 【作业10】．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若，那么代数式的值为__________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了求代数式的值、因式分解的应用，由已知条件得出，，，再将式子化为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解： ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【作业11】．（24-25七年级上·上海·期中）已知：，则_____． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、完全平方公式分解因式、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了运用公式法分解因式、解二元一次方程序组、求代数式的值．首先把拆成和两项，可以得到，然后用完全平方公式分解因式得到，根据平方的非负性可以得到二元一次方程组解方程组可以求出，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ，， 解方程组， 得：， ． 故答案为： ． 【作业12】．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)_____； (2)________； (3)_____． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法的应用是解题的关键． （1）先去括号，再利用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）先利用完全平方公式化简整理后，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【作业13】．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解：_____． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法、平方差公式分解因式 【详解】解： 【作业14】．（23-24八年级上·上海长宁·期末）在实数范围内因式分解：____________________． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【作业15】．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如果，那么_______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查代数式求值，先把变形为，再把变形为，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【作业16】．（24-25七年级上·上海·期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列代数式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用： （1）由于1块型的面积为，1块型的面积为，1块型的面积为所以型2块，型4块，型4块的总面积为； （2）把减去，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长； （3）把减去2，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长与面积，所以从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板满足要求，据此求出正方形边长，进而求出其面积即可． 【详解】（1）解：1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为， ∴型2块，型4块，型4块的总面积为； 故答案为： （2）解：从这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下纸板的总面积为， ∵剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，且 ∴此正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下： ， 此时正方形的边长为， ∴大正方形面积为：． 【作业17】．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段检测）若、、为非零实数，且，求证：． 【答案】 证明：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键． 【详解】略 【作业18】．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)空白部分的面积为． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键 （1）先用两种方式图形的面积，然后写成等式即可解答． （2）①先根据长方形的周长公式列出关于的方程，然后整体求解即可；②由图可得空白部分的面积是，几何第一步中求出的的值以及阴影部分的面积，即可求得空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ，整列得： ，解得：． 答：的值为5； ②由图形可知：空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为，且阴影部分的面积表示为， ∴， ∵， ∴，解：， ∴． 答：空白部分的面积为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $