第三章整数及其加减（单元测试） -2026—2027学年北师大版数学七年级上册

第三章整数及其加减 一、单选题 1．下列各式中 ，单项式有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，图1有6个黑色棋子，图2有9个，图3有12个，按此规律，图2024有（　　）个黑色棋子． A．6072 B．6075 C．6069 D．6066 3．已知圆锥的体积为，其中为底面半径，为圆锥的高． 当，时，圆锥的体积为（　　）． A． B． C． D． 4．若与是同类项，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，长方形ABCD被分成六个小正方形，已知中间一个小正方形的边长为2，其他正方形的边长分别为a，b，c，d，则a的值为 （　　） A．8 B．9 C．10 D．11 6．若与的差仍是单项式，则的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．下列各式中运算正确的是（　　） A．2a﹣a=1 B．a2+a2=a4 C．3a2b﹣4ba2=﹣a2b D．3a3+2a3=5a6 8．下列计算正确的是（　　） A．3a2﹣a2=3 B．m+n=2m2 C．3x2+x3=4x5 D．5x2y3﹣5y3x2=0 9．按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是（　　） A．4 B．6 C． D． 10．现有一列数a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，其中a3＝2020，a7＝－2018，a98＝－1，且满足任意相邻三个数的和为常数，则a1＋a2＋a3＋…＋a98＋a99＋a100的值为（　　） A．1985 B．－1985 C．2019 D．－2019 11．下列图形都是由边长为“1”的小正方形按一定规律组成，其中第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有14个边长为1的小正方形……则第10个图形中边长为1的小正方形的个数为（　　） A．72 B．64 C．54 D．50 12．探索规律：右边是用棋子摆成的“H”字，第一个图形用了 7 个棋子，第二个图形用了 12 个棋子，按这样的规律摆下去，摆成 第 20 个“H”字需要棋子（　　） A．97 B．102 C．107 D．112 二、填空题 13．我校即将举办学科节活动，现计划采购一批文具用品，其中笔记本单价为元，记号笔单价为元，则购买25本笔记本和10支记号笔共付　 　元. 14．多项式3x2y﹣2xy+1的二次项系数为　 　． 15．一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星，…，第9个图案有　 　个五角星． 16．若 是五次多项式，则 的值为　 　. 17．）多项式3x|m|y2+（m+2）x2y﹣1是四次三项式，则m的值为　 　． 18．一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式是　 　． 19．如下表从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2012个格子中的整数为　 　． 3 a b c ﹣1 2 … 20．有一个三位数，其中百位数字为，十位数字为，个位数字为，这个三位数用含有、、的整式表示为　 　． 21．将从1开始的连续自然数按图规律排列： 列 行 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 … … … … … 第 行 … … … … 规定位于第 行，第 列的自然数10记为 ，自然数15记为 …按此规律，自然数2018记为　 　. 22．如图，已知直线 ： ，过点 作x轴的垂线交直线 于点 ，在线段 右侧作等边三角形 ，过点 作x轴的垂线交x轴于 ，交直线L于点 ，在线段 右侧作等边三角形 ，按此作法继续下去则 的纵坐标为　 　．（n为正整数） 23．一个四位自然数的千位为，百位为，十位为，个位为，其中、、、互不相同且均不为0，小明发现部分满足，他称这样的四位数为“小明数”．例如：四位数，，3762是“小明数”．最大的“小明数”是　 　；去掉十位数字得到新三位数，则满足为正整数的最小“小明数”是　 　． 三、解答题 24．如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数． 求： （1），，的值； （2）的值． 25．对于有理数，定义一种新运算“”，规定． （1）计算：； （2）计算：． 26．下面的算式是按照某种规律排列的： ，，，，，，，，，． 请问： （1）第13个算式的和是多少？ （2）第2008个算式是什么？ 27．已知的相反数是-3，的倒数是，是多项式的次数，求的值． 28．若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为，，，我们可将这个三位数可记为． （1）若，则________； （2）一定能被________整除（请从大于3的整数中选择一个合适的数填空） （3）任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同且不为零，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“黑洞数”，则这个“黑洞数”是________． 29．海口市某校七年级有5名教师带学生去公园秋游，公园的门票为每人30元，现有两种优惠方案，甲方案：带队教师免费，学生按8折收费；乙方案：师生都按7.5折收费． （1）若有m名学生，则用式子表示两种优惠方案各需要多少元? （2）当m=40时，采用哪种方案优惠? （3）当m=100时，采用哪种方案优惠? 30．为切实提高学生体质，国家体育总局在全国各级各类学校中广泛、深入地开展全国亿万学生阳光体育运动简称“阳光体育”运动某学校的操场是一个长方形，长为米，宽比长少x米，实施“阳光体育”运动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将操场的长和宽都增加x米 求操场原来的周长是多少米？ 当时，求操场扩大后的周长 31．从1至9这九个数字中任意选择三个互不相同的数字，由这三个数字可以组成六个不同的两位数，把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以22，探究所得的结果. 例：选1，2，3三个数字，可以组成12，13，21，23，31，32，则这六个两位数的和为12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6. （1）选择与上例不完全相同的三个数字，重复上例的过程，写出你的计算过程和结果，并观察你的结果与你选择的三个数字有什么关系. （2）（1）的规律对任意选择的三个1至9 的不同数字都成立吗? 请你说明理由. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】在 中，单项式有： ，共计3个 故答案为：B 【分析】由数或字母的积所组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也叫单项式，据此逐一判断即可. 2．【答案】B 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， 选：B． 【分析】本题考查代数式求值，根据给定的圆锥的体积公式，把，，代入计算，即可求解. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵与是同类项 ∴n=3，m=1 ∴2024m+n=2024×1+3=2027. 故答案为：A. 【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，据此求出m、n的值，再代入计算可得答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：由图可得， c-b=2，2a-d=2，d-c=2，b-a=2， ∴(c - b) +(2a - d) +(d - c)+(b-a)=2+2+2+2， ∴c-b+2a-d+d-c+b-a=8， ∴a=8； 故答案为：A. 【分析】根据题意和图形，可以得到c-b=2，2a-d=2， d-c=2，b-a=2，然后将它们相加即可得到a的值. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵与的差仍是单项式， ∴n＝3，2m＋n＝5， ∴n＝3，m＝1， ∴m＋n＝1＋3＝4， 故答案为：C． 【分析】根据同类项的定义可得n＝3，2m＋n＝5，求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可。 7．【答案】C 【解析】【解答】解：（A）2a﹣a=a，故A错误； （B）a2+a2=2a2，故B错误； （D）3a3+2a3=5a3，故D错误； 故选C 【分析】根据合并同类项的法则即可求出答案． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵3a2﹣a2=2a2， ∴选项A不符合题意； ∵m和n不是同类项， ∴m+n是最简结果，选项B不符合题意； ∵3x2和x3不是同类项，不能合并， ∴选项C不符合题意； ∵5x2y3﹣5y3x2=0， ∴选项D符合题意， 故答案为：D． 【分析】合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对选项A、D作出判断；不是同类项的不能合并，因此可对选项B、C作出判断；就可得出正确的选项。 9．【答案】D 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵任意相邻三个数的和为常数， ∴a1+a2+a3=a2+a3+a4， a2+a3+a4=a3+a4+a5， a3+a4+a5=a4+a5+a6， ∴a1=a4，a2=a5，a3=a6， ∴原式为每三个数一个循环； ∵a3＝2020，a7＝－2018，a98＝－1， ∵ ， ， ∴a1= a7=－2018，a2=a98=－1， ∴a1+a2+a3=－2018－1+2020=1； ∵ ， ∴a100=a1=－2018； ∴a1+a2+a3+…+a98+a99+a100 =（a1+a2+a3）+…+（a97+a98+a99）+a100 = ； 故答案为：B. 【分析】根据任意相邻三个数的和为常数列出求出a1=a4，a2=a5，a3=a6，从而得到每三个数为一个循环组依次循环，再求出a100=a1，然后分组相加即可得解． 11．【答案】C 【解析】【解答】第一个图形有9个小正方形，第二个图形有9+5=14个小正方形，第三个图形有9+5×2=19个小正方形，则第n个图形有9+5(n-1)=5n+4个小正方形，即第10个图形中小正方形的个数为：5×10+4=54个. 【分析】根据图形不难发现规律，图形中小正方形的个数依次增加5个，所以第n个应该为9+5（n-1），当n等于10时，代入即可. 12．【答案】B 【解析】【解答】摆成第一个“H”字需要2×3+1=7个棋子， 第二个“H”字需要棋子2×5+2=12个； 第三个“H”字需要2×7+3=17个棋子； 第n个图中，有2×(2n+1)+n=5n+2（个）． ∴摆成 第 20 个“H”字需要棋子的个数=5×20+2=102个． 故答案为：B. 【分析】（1）观察图形，正确数出个数。 （2）再进一步数出图3中棋子的个数，发现：在7的基础上，依次多5个。据此即可解答问题。 13．【答案】（25a+10b） 【解析】【解答】解： 笔记本单价为元，记号笔单价为元， 购买25本笔记本和10支记号笔共付：（25a+10b）元， 故答案为：（25a+10b）. 【分析】根据笔记本的本数×单价+记号笔的支数×支数可得结果. 14．【答案】-2 【解析】【解答】解：∵多项式3x2y﹣2xy+1的二次项是﹣2xy， ∴二次项系数为：﹣2． 故答案为：﹣2. 【分析】由题意可知二次项是-2xy，据此即可解答。 15．【答案】28 【解析】【解答】分析数据可得： ∵第1个图案中小基础图形的个数为3×1+1=4； 第2个图案中基础图形的个数为3×2+1=7； 第3个图案中基础图形的个数为3×3+1=10； ∴依规律可知第5个图案中基础图形的个数为3×9+1=28个． ∴第9个图案有19个五角星． 故答案为28． 【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 16．【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得： ，解得 故答案为：6. 【分析】多项式中，次数最高的项的次数就是多项式的次数，依此建立关于m的一元一次方程求解即可. 17．【答案】2 【解析】【解答】解：∵多项式3x|m|y2+（m+2）x2y﹣1是四次三项式， ∴|m|+2=4，m+2≠0， ∴|m|=2，且m≠﹣2， ∴m=2． 故答案为：2 【分析】根据四次三项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是3，所以可确定m的值． 18．【答案】﹣x2+5x﹣3 【解析】【解答】根据题意得：(3x﹣2)﹣(x2﹣2x＋1)＝3x﹣2﹣x2＋2x﹣1＝﹣x2＋5x﹣3， 故答案为：﹣x2＋5x﹣3． 【分析】由题意知，已知两个多项式的和和其中的一个多项式，求另一个多项式，则只需用和减去已知的多项式即可列式并用去括号法则和合并同类项法则计算即可求解。 19．【答案】﹣1 【解析】【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴3+a+b=a+b+c， 解得c=3， a+b+c=b+c+（﹣1）， 解得a=﹣1， 所以，数据从左到右依次为3、﹣1、b、3、﹣1、b， 第9个数与第三个数相同，即b=2， 所以，每3个数“3、﹣1、2”为一个循环组依次循环， ∵2012÷3=670…2， ∴第2012个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为﹣1． 故答案为：﹣1． 【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是2可得b=2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2012除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解． 20．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意，这个三位数可以表示为， 故答案为：． 【分析】根据是三位数百位上的数字十位上的数字个位上的数字，即可求解. 21．【答案】（505，2） 【解析】【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列. ∵2018÷4＝504…2， 504＋1＝505， ∴2018在第505行， ∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列， ∴自然数2018记为（505，2）. 故答案为：（505，2）. 【分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列.用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可. 22．【答案】 【解析】【解答】解：把x=1代入y= x，得y= ， ∴B1的坐标为（1， ）， ∵△A1B1C1为等边三角形， ∴A1C1=A1B1= ，∠B1A1C1=60°， ∴A1A2= cos30°= ， ∴A2的坐标为（ ，0）， 把x= 代入y= x，得y= ， ∴B2的坐标为（ ， ），即； 同理得到B3的坐标为（ ， ）； ∴Bn的坐标为 ． 故答案为： ． 【分析】先确定B1的坐标为（1，），再根据等边三角形的性质得到A1C1=A1B1=，∠B1A1C1=60°，利用锐角三角函数的定义可得A1A2= cos30°= ，则A2的坐标为（，0），于是可确定B2的坐标为（，），同理得到B2的坐标为（，），然后观察B1、B2、B3的坐标，可得到它们的规律，再写出Bn的坐标。 23．【答案】； 24．【答案】（1），， （2） 25．【答案】（1） （2） 26．【答案】（1）26 （2） 27．【答案】 28．【答案】（1） （2）（答案不唯一） （3） 29．【答案】（1）甲方案：24m，乙方案：22.5（m+5）；（2）甲方案；（3）乙方案 30．【答案】操场原来的周长是米；当时，操场扩大后的周长米. 31．【答案】（1）解：（1）选择5，7，8这三个数字， 组成的六个不同两位数分别为57，58，75，78，85，87， 这六个两位数的和：57 + 58 + 75 + 78 + 85 + 87=440， 用所得的和除以22得，440÷22=20， 而5 + 7 + 8 = 20，结果等于选择的5，7，8的和 （2）解：设选择的三个数字为a，b，c（1≤a≤b≤c≤9且a，b，c为整数）， 组成的六个不同两位数分别为10a + b，10a + c，10b + a，10b + c，10c + a，10c + b； 这六个两位数的和：(10a + b)+(10a + c)+(10b + a)+(10b + c)+(10c + a)+(10c + b) =(10a + 10a + a + a)+(b + c + 10b + 10b + 10c + 10c) =(20a + 2a)+(2b + 2c + 20b + 20c) =22a + 22b + 22c =22(a + b + c) 用所得的和除以22得：22(a + b + c)÷22 = a + b + c. 故对于任意选择的三个1至9的不同数字，用组成的六个两位数的和除以22，所得结果都等于这三个数字的和，（1）的规律成立 【解析】【分析】（1）取三个与题目中完全不同的数字，进行求和，再除以22，观察规律即可； （2）设选择的三个数字为a，b，c，表示出这六个两位数通过对它们求和，再除以22后观察规律. 学科网（北京）股份有限公司 $