精品解析：重庆市第一中学校2026-2027学年高二上学期十月定时练习数学试题

重庆一中高2028届高二上期十月定时练习 数学试题卷 时间：2026年10月23日8:00-10:00 注意事项： 1．答卷前，学生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的焦点分别为与，为椭圆上一点，则的周长等于（ ） A. 5 B. 10 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出，进而可求解. 【详解】由椭圆方程可知，如图： 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为. 2. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化为抛物线的标准方程即可得解. 【详解】由抛物线化为标准方程得， 则抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：A. 3. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，则直线分别为和, 直线的斜率，直线的斜率, 因为，所以, 因此，“”是两直线垂直的充分条件； 若直线与直线 相互垂直， 则，解得， 因此，“”也是两直线垂直的必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线相互垂直”的充分必要条件. 4. 在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，已知，，， ，所以， 绕直角边旋转一周，所得几何体为圆锥， 底面半径为，高为，母线长为， 所以. 5. 已知为椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，设，由得，且． 所以． 当且仅当时等号成立，此时，点在椭圆上，故的最大值为4． 6. 已知正三棱锥的高为2，侧面与底面所成角的正切值为4，若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，底面于，正三棱锥的外接球的球心在它的高上，在中，利用勾股定理列方程求出外接球的半径，可得体积. 【详解】如图， 底面于，延长，交于， 由正三棱锥的结构可知为的中点，，其外接球的球心在它的高上， 所以，所以侧面与底面所成的角为， 所以，即，解得. 因为为等边三角形，所以， 设球的半径为，在中， 由勾股定理得，即，解得， 故球的体积为． 7. 如图，直角三角形所在的平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为，，为平面上的动点，且的面积为，则点的轨迹为（ ） A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】先确定动点P到斜线的距离为定值，再利用面面垂直和直角三角形的数量转换并建立直角坐标系求解动点轨迹方程，即可求解. 【详解】在直角中，，， 设到斜线的距离为， 则由三角形面积公式可得：，解得， 即平面内动点到空间斜线的距离恒为1， 因为平面平面，平面平面，， 由面面垂直的性质定理得：直线平面， 过点作，连接， 因为，平面，平面，所以， 平面，则平面，平面， 所以，又因为，平面， 所以平面，平面，则， 因为平面，平面，所以， 是直角三角形，则， 在直角中，，，则， 联立得：， 以为原点，为轴，在平面内建立平面直角坐标系，设， 则，，，， 代入得：，所以点的轨迹是椭圆. 8. 已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称性可得，且，不妨设，由余弦定理可得，结合离心率公式即可求解. 【详解】直线与双曲线都关于原点对称，则它们的交点也关于原点对称，记C的下焦点为， 利用对称性，四边形为平行四边形，则，， 可得，且， 不妨设，，， 离心率． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线C：，下列结论正确的有（ ） A. 若，则曲线C的渐近线为 B. 若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C. 若曲线C表示椭圆，则 D. 若曲线C表示双曲线，则或 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据双曲线的计算公式求解；B选项，根据圆的标准方程计算即可；C选项，根据椭圆的标准方程计算即可；D选项，根据双曲线的标准方程计算即可. 【详解】A选项，当时，，曲线的渐近线为：，所以A选项错误； B选项，若曲线C表示圆，则，解得，则曲线为，圆的半径为，所以B选项正确； C选项，曲线C表示椭圆，则，解得：且，所以C选项错误； D选项，曲线C表示双曲线，则，解得：或，所以D选项正确. 10. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P是线段上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 点P到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出平面的法向量，验证向量与法向量垂直，结合线不在平面内，证得线面平行，判断选项A；设动点P的坐标，计算与的数量积，证明数量积恒为0，得到两线垂直，判断选项B；找到平面的法向量，先算出直线与平面所成角的正弦值，再求出余弦值对比判断对错，判断选项C；证明平行平面，将动点P到平面的距离转化为定点A到平面的距离，代入点到平面距离公式求值，判断选项D． 【详解】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则， P是线段上的一个动点，则，， 向量，平面中，， 设平面法向量为，则，令， 故， ，故， 又平面，故平面，A正确； ， ，恒成立，故，B正确； 平面的法向量，， 设直线与平面所成角为，则， 故，故C错误； ，平面中，， 设平面的法向量为，则， 令，则，， 故平面，点P到平面的距离即为点到平面的距离， ，故，故D正确． 11. 过抛物线E：焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O为坐标原点，直线，分别交抛物线的准线于点C，D，则下列说法正确的是（ ） A. E的准线方程为 B. C. 四边形的面积为，的面积为，则 D. 若与的面积之比为4，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由得，由准线方程直接写出即可；选项B，联立直线AB：与抛物线，由根与系数关系得、，把|AB|化为的函数，用求最小值后与题设比较；选项C，由、、与、、共线（已知）写出、的纵坐标，由，可证（BC平行轴、CD在准线上），再将与化为的函数求比值；选项D，分别求与，令其比值等于4解出，再代入求. 【详解】解法一： 设，，直线AB过焦点，可设为 联立得，由根与系数的关系得，， 选项A，抛物线即中，由准线方程得准线为，A正确； 选项B，由，， 则 （当且仅当时取等号），与选项不符，B错误； 选项C，由、、三点共线，设， 则，即，又，故，所以BC平行于轴； 同理，，四边形ABCD为直角梯形， ， 由，， 得， 而， 故，即，C正确； 选项D，假设A点在第一象限，，， 故， 由，，，， 代入化简得，得（），， 则，， 此时，D正确 解法二 对A：抛物线，则，，准线方程：．A正确； 对B：当AB与x轴垂直时，取得最小值2p，．B错误； 对C：由A，O，C三点共线可得，同理可得， 则根据抛物线的性质， ，，．C正确； 对D：， 同理可得， ，则， ，则，， 根据焦半径公式，则， ，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为空间向量，，且， 所以，解得：，所以. 13. 数学家阿波罗尼斯曾证明：平面内到两定点距离之比为定值（不为0）的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点M满足，则面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将距离比例转化为动点的轨迹方程，再把三角形面积最大问题转化为圆上点到直线的距离最大问题． 【详解】以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，设． 由，两边均非负，平方得，整理得， 故动点的轨迹是以为圆心、为半径的圆． 因为直线为轴，所以在边上的高为，面积为． 由轨迹方程得，从而，当，时取等号， 且这两点均满足原距离条件，因此面积的最大值为． 14. 已知A为椭圆C：的左顶点，P为抛物线E：上任意一点，，记Q的轨迹方程为M，若M的顶点与椭圆C的左焦点重合，则椭圆C的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量关系将抛物线上的点坐标用动点表示，代入抛物线方程求得轨迹的方程；再求出的顶点坐标，由其与椭圆左焦点坐标重合建立的等量关系，进而求得离心率. 【详解】由题可知，设点，因为，所以， 可得，则， 代入抛物线E得，即，其顶点为， 所以，所以． 四、解答题：大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，D是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形， 由于D为的中点，故，可得， 所以． 因为，，，平面， 所以平面．因为平面， 故，又平面, 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理证，再结合直棱柱性质推出平面得到，最后由线面垂直判定定理证明结论； （2）利用等体积转换，以为底、为高，代入三棱锥体积公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 16. 已知椭圆：的通径长为3，其离心率． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，为椭圆上一点，若，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用通径长公式和离心率公式求出和，从而得到椭圆的方程． （2）设，，，将直线和椭圆联立方程组，利用韦达定理得到，由得到，由为椭圆上一点，将代入椭圆，通过计算得到． 【小问1详解】 椭圆：的通径长为3， 则①， 因为，所以②，， 联立①②，解得，， 则椭圆的方程为． 【小问2详解】 直线与椭圆交于，两点， 设，，， 则，得，则， 因为，所以， 因为为椭圆上一点，所以代入椭圆得： ， 解得， 即， 将代入， 整理得到，解得或． 17. 的内角，，所对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，设的内切圆半径与外接圆半径分别为，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角恒等变换及正弦定理，结合直角三角形内切圆、外接圆的半径得解. 【小问1详解】 由，得， 所以，， 所以． 【小问2详解】 由，得， 即，由正弦定理可得，即. 代入，得， 所以， 故是以A为直角的直角三角形． 所以， 即， 又， 所以． 18. 如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点． （1）设平面平面，求与平面所成角的大小； （2）求四面体的外接球的表面积； （3）点在侧面内（包含边界），且平面与平面的夹角的余弦值为，求点的轨迹长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长DA，CB交于Q，连接PQ，根据已知得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，得到为直线l与平面所成角，求出是等腰直角三角形，从而与平面所成角的大小. （2）方法一，空间向量法:设四面体的外接球的球心，则，利用两点间的距离公式列出的方程组，通过计算得到的值，从而得到，利用球的表面积公式求出四面体的外接球的表面积.方法二，几何法：求出底面的三边长，求底面的外接圆半径，求到外心 的距离，设球心到底面距离为，通过列方程计算求出，计算外接球半径与表面积. （3）求出平面的法向量，求出平面的法向量，通过讨论和得，从而得到N的轨迹长度． 【小问1详解】 延长DA，CB交于Q，连接PQ，则平面平面． 因为平面平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，即，， 平面，平面， 所以平面， 则为直线l与平面所成角， 因为，，所以， 因为，所以是的中位线， 则， 因为，，所以是等腰直角三角形， 则，即与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 方法一：空间向量法 以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系， 因为， 所以，，，， 设四面体的外接球的球心，则， 则， 即，即，． ，， 则四面体的外接球的表面积为. 法二：几何法 因为，，所以， 取的中点，连接， 因为，所以， 因为，，所以， 因为，，所以，， 因为，所以四边形是矩形，则， 则， 因为，所以是等腰三角形，，底边 ， 则的外心必在上， 设，则，则， 则， 即， 则有， 则， 因为，所以是直角三角形， 则， 则球心在过且垂直于底面的直线上，与同侧， 设到底面距离为，设四面体的外接球的半径为， 则， 因为到底面距离为，所以， 因为，所以， 解得， 即，即， 则， ， 则四面体的外接球的表面积为. 【小问3详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设，，则， 设平面的法向量为， 则， 当时，，可取，则N的轨迹为线段AD； 当时，取，得， 则， 化简得． 设中点为，则的轨迹为线段． 故N的轨迹长度为． 19. 已知直线与双曲线的上支交于，两点，弦的中点为，过点，分别作直线：的垂线，垂足分别为，，与轴的交点为． （1）判断直线与以为直径的圆的位置关系； （2）证明：； （3）记与的交点为，与的交点为，记，的面积分别为，，求的最小值． 【答案】（1）直线l与以AB为直径的圆相交 （2）设，，则． 联立得． ，有． ． 所以． （3）9 【解析】 【分析】（1）通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系直接判断相交； （2）设，，则，通过联立方程组用韦达定理表示，由直线斜率关系判断两直线平行； （3）将面积之和表示出来得，平方可得的关系，利用韦达定理将表达式转化为含的一元二次，通过换元可以直接求最值. 【小问1详解】 设，，则 由题可知，双曲线中，渐近线为 恒过定点 所以直线过双曲线的焦点， 直线与双曲线的上支交于，两点，所以 直线l是双曲线的上准线，圆心E到直线l的距离， 所以直线l与以AB为直径的圆相交． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）同理可得，AF方程为，CE方程为． 所以，即． 所以，故G为AF的中点，同理H为BF的中点． 所以 ， 令，则 所以， 令 ，． 有对称性有和时不变， 所以当时，， 所以当即时，有最小值9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2028届高二上期十月定时练习 数学试题卷 时间：2026年10月23日8:00-10:00 注意事项： 1．答卷前，学生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的焦点分别为与，为椭圆上一点，则的周长等于（ ） A. 5 B. 10 C. 3 D. 6 2. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正三棱锥的高为2，侧面与底面所成角的正切值为4，若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直角三角形所在的平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为，，为平面上的动点，且的面积为，则点的轨迹为（ ） A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 8. 已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线C：，下列结论正确的有（ ） A. 若，则曲线C的渐近线为 B. 若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C. 若曲线C表示椭圆，则 D. 若曲线C表示双曲线，则或 10. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P是线段上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 点P到平面的距离为 11. 过抛物线E：焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O为坐标原点，直线，分别交抛物线的准线于点C，D，则下列说法正确的是（ ） A. E的准线方程为 B. C. 四边形的面积为，的面积为，则 D. 若与的面积之比为4，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，若，则________． 13. 数学家阿波罗尼斯曾证明：平面内到两定点距离之比为定值（不为0）的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点M满足，则面积的最大值为________． 14. 已知A为椭圆C：的左顶点，P为抛物线E：上任意一点，，记Q的轨迹方程为M，若M的顶点与椭圆C的左焦点重合，则椭圆C的离心率是______． 四、解答题：大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，D是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 已知椭圆：的通径长为3，其离心率． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，为椭圆上一点，若，求的值． 17. 的内角，，所对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，设的内切圆半径与外接圆半径分别为，，求． 18. 如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点． （1）设平面平面，求与平面所成角的大小； （2）求四面体的外接球的表面积； （3）点在侧面内（包含边界），且平面与平面的夹角的余弦值为，求点的轨迹长度． 19. 已知直线与双曲线的上支交于，两点，弦的中点为，过点，分别作直线：的垂线，垂足分别为，，与轴的交点为． （1）判断直线与以为直径的圆的位置关系； （2）证明：； （3）记与的交点为，与的交点为，记，的面积分别为，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $