2026--2027学年湘教版数学九年级上册期中仿真模拟题（一）[范围：第1-3章]

湘教版数学九年级上册期中仿真模拟题（一）[范围：第1-3章] 一、选择题 1．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在Rt中，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．下列是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．据统计，温州某地2024年底的生态公园已建面积为2600亩，预计到2026年底达到6807亩。设年平均变化率为x，请根据以上信息列出关于x的一元二次方程（　　） A．2600（1+2x）=6807 B． C．6807（1-2x）=2600 D． 5．将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（　　） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 6．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点到踏脚的距离为米，现在踏脚着地，则捣头点上升了（　　）米． A． B． C． D． 7．如图，四边形 ABCD，A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形.已知点A(4，12)的对应点为A'(1，3)，若.A'B'=3.5，则 AB 的长为(　　) A．10.5 B．12 C． D．14 8．把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，D、B、C三点共线，若，则的长为（　　） A．6 B． C． D．2 9．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 10．在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（　　） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 二、填空题 11．已知，那么　 　． 12．如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为　 　． 13．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，BE、若AB＝4，，则BE＝　 　. 14．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是　 　． 15．设x1，x2为一元二次方程 的两根，则的值为　 　. 16．某种服装原价每件元，经两次降价，现售价每件元，这种服装平均每件降价的百分率是　 　． 17．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于　 　． 18．如图，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连结AC、BE、DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF＝BE；④S△COD∶S四边形AFOE＝2∶3．其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题 19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为． （1）将向左平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； （3）若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 20．计算 （1） 已知 求x：y的值. （2） 3tan45°-4sin60°·cos30°. 21．计算：． 22．解下列方程： （1） （2） （3）（4-x)x=（4-x) 23．如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，直线EF分别交 DA， BC的延长线于点E， F，分别交AB， BD， DC于点 G， H， I，已知EG=GH=HI=IF，求 的值. 24．如图，在四边形ACBD中，AB⊥CD且AB平分 CD，∠BCD＝∠DAE。在CD上取一点F，使CF＝2AF. （1）求证：E是BD的中点. （2）若∠CAF的平分线AG交BC于点G，交 CB于点 H， 求证： BD·AH＝AG·AF. 25．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6） 26．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题。 （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程.变形为x（x+2)=35； ②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即因此，可得新的一元二次方程∵x表示边长，∴2x+2=12，即x=5。 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根.但是从新方程可以得到原方程的另一个根是　 　。 （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长)。 （3）拓展应用：一般地对于形如：的一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为4。那么a=　 　，b=　 　，方程.的一个正根为　 　。 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段 ∴，即 解得：d=18 故答案为：B 【分析】根据比例线段即可求出答案. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，，， ∴ ∴． 故选C． 【分析】 本题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义. 先在直角中，利用勾股定理由已知的斜边和一条直角边求出另一条直角边AC；再根据锐角三角函数中正弦的定义（角B的对边与斜边的比值），代入边长计算出sinB的数值. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、方程含有两个未知数，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的要求，此选项不符合题意； B、方程是分式方程，不是整式方程，此选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的要求，此选项不符合题意． D、方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，此选项符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”逐项判断解答即可． 4．【答案】D 【解析】【解答】根据题意可得． 故答案为：D. 【分析】 设年平均变化率为x， 根据题意列方程解答即可． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变， 故答案为：C． 【分析】根据锐角三角函数的定义：锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，据此即可得到答案. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 故选：A ． 【分析】本题的关键是两条垂线平行，构造出一组相似直角三角形，即由于垂直于地面，故，结合相似三角形三边对应之比为定值，对应计算即可。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点A(4，12)的对应点为A'(1，3)， ∴位似比， ∵位似图形对应边的比等于位似比， ∴， 又∵A'B'=3.5， ∴． 故答案为：D． 【分析】先根据点A(4，12)和A'(1，3)的坐标，利用勾股定理计算出，，得到位似比；再根据位似图形的性质，对应边的比等于位似比，即；最后代入A'B'的值，计算得AB=14． 8．【答案】A 【解析】【解答】解：把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，、、三点共线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：A． 【分析】首先根据全等三角形的性质可得出三角形ABD是等腰直角三角形，进而得出AB=，进而根据 含30度角的直角三角形的性质， 即可得出BC=6。 9．【答案】A 【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴反比例函数y＝的图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少， ∵， ∴， 故答案为：A． 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得出，解方程得出m的值，进而确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论． 10．【答案】C 【解析】【解答】解：四边形为矩形，，， ，，， 设与交于点， 由翻折的性质得：，，，， 为等腰三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作于，则，如图： 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，则，如图： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ． 综上所述：的长为或， 故选：C． 【分析】 首先根据矩形的性质，可以得到，，且。设和的交点为，根据图形翻折的性质，可得，，，同时。分两种不同的情况进行讨论：① 当时，过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一的性质，可得。设，那么，，对使用勾股定理，可得到。之后可以证明，根据相似三角形对应边成比例，可得，也就是，解这个方程就能得到对应的即DM的长度； ② 当时，可得，结合翻折的性质可得，在中由勾股定理可以求出。再证明，根据相似三角形的性质得到，也就是，由此即可求出的长度. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 【分析】设，再代入代数式即可求出答案. 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】根据正方形的性质得到，，结合可证明，然后根据相似三角形对应边成比例得，即． 13．【答案】5 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4 ∴AD=CD=BC=AB=4，∠D=∠C=90° 在△ADE中，∠D=90° ∴ ∴ ∴CE=CD-DE=3 在△BCE中，∠C=90° ∴ 故答案为：5 【分析】根据正方形性质可得AD=CD=BC=AB=4，∠D=∠C=90°，根据正切定义可得DE，根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理即可求出答案. 14．【答案】20米 【解析】【解答】解：∵， ∴物体的水平距离为米， ∴该物体所经过的路程（米）， 故答案为：20米． 【分析】根据坡度求得物体移动的水平距离，再利用勾股定理即可求得物体经过的路程． 15．【答案】20 【解析】【解答】解：∵x1，x2为一元二次方程 ∴ ∴ 故答案为：20 【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案. 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：设这种服装平均每件降价的百分率是x， 由题意得： 解得：x=0.1或x=-1.9（舍去） 服装平均每件降价的百分率是10% 故答案为：. 【分析】设这种服装平均每件降价的百分率是x，由题意得：，解方程并检验即可. 17．【答案】2025 【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：2025 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，核心是利用“方程的根能使方程左右两边相等”这一性质求解代数式的值。因为m是方程的一个根，所以将x=m代入该方程，方程依然成立，即。通过移项变形，将常数项移到等号右边，可直接得到，无需额外求解m的具体数值。 18．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ， ∵ EC是AB的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形ACBE是平行四边形， ， ∴四边形ACBE是菱形， ∴①正确； ∵四边形ACBE是菱形 ， ， ， ， ， ∴②正确； ∵四边形ACBE是菱形， ， ， ， ， ， ， ∴③错误； 设则 ， ，， ， ∴④正确； 故答案为： ①②④. 【分析】根据平行四边形的性质得到CD=2AO，然后证明△AOE∽△DCE，得到EO=OC，得到四边形ACBE是菱形判断①；根据菱形的性质和平行线的性质判断②；证明△AOF∽△CDF，根据对应边成比例判断③；设表示，判断④解答即可. 19．【答案】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求​​ （3） 【解析】【解答】（3）解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为， 故答案为：． 【分析】（1） 将向左平移5个单位长度， A（3，2），B（1，0），C（5，1）对应点（-2，2），（-4，0），（0，1）描点连线． （2）由（1）知（-2，2），（-4，0），（0，1）将 以点O为位似中心 ，放大到两倍对应点横纵坐标乘以-2得（4，-4），（8，0），（0，-2），描点连线． （3） 点M是的中点， M(2，1)向左平移5个单位长度得（-3，1）以点O为位似中心 ，放大到两倍对应点横纵坐标乘以-2得点（6，-2）． （1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为， 故答案为：． 20．【答案】（1）解：由，得x-2y=y. ∴x=3y， ∴x：y=3：1. （2）解：原式 . 【解析】【分析】 (1) 根据比例的性质求解即可； (2) 根据特殊锐角（30°，45°，60°）的三角函数求值并化简即可. 21．【答案】解： ． 【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值。分别计算各项，再合并得结果。 22．【答案】（1）解：， 因式分解，得， ∴或， 解得，； （2）解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； （3）解： 方程变形为， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法，分别运用因式分解法、公式法、因式分解法求解三个方程。 （1）观察方程左边的二次三项式，可通过十字相乘法分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为0，即可得到两个一元一次方程，求解得到方程的两个根； （2）方程无法直接因式分解，先确定二次项系数、一次项系数和常数项，计算根的判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可得到两个实数根； （3）先将右边的项移到左边，提取公因式 进行因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别令因式为0求解即可，注意不能直接两边除以 ，避免漏根。 23．【答案】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ​​​​​​ 【解析】【分析】根据AAS得到，即可得到，再根据平行可得，根据对应边成比例得到，然后计算即可. 24．【答案】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即 故． （2）证明：据（1）可知， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）利用菱形根据菱形的性质得到，再根据等角对等边得到，即可得到，然后根据平行线得到，即可得到，根据两角相等证明，根据对应边成比求出，证明结论即可； （2）先根据三角形的外角和角的和差得到，利用角平分线可得，进而得到，根据对应边成比例证明即可． 25．【答案】63米 【解析】【解答】解：作BE⊥DH于点E，则GH=BE、BG=EH=10，如图所示， 则GH=BE，BG=EH=10m，AG=43m， 设AH=x， 则BE=GH=43+x， 在Rt△ACH中，CH=AH·tan∠CAH=tan55°•x≈1.4x， ∴CE=CH﹣EH=1.4x﹣10， ∵∠DBE=45°， ∴BE=DE=CE+DC， ∴43+x=1.4x﹣10+35， 解得：x=45， ∴CH=1.4x=1.4×45=63m． 答：塔杆CH的高为63米． 【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AHtan∠CAH=1.4x，由题意知CE=1.4x-10，再根据BE=DE列出方程求解即可得出答案. 26．【答案】（1）x=-7 （2）解：将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3）2；-3；1 【解析】【解答】（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： （3） ∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．． 【分析】本题以赵爽弦图为背景，考查一元二次方程的几何解法，体现数形结合的数学思想。 （1）对于得到的新方程 ，根据平方根的意义，等式两边开平方可得 ，分别求解两个一元一次方程，除了正根外，另一个解即为原方程的负根。 （2）类比材料中的解法，先将方程变形为"x乘以(x减常数)等于常数"的形式，确定矩形的长和宽；再构造四个相同矩形围成的大正方形，分别用整体法和局部法表示大正方形的面积，建立等式得到新的一元二次方程，结合边长为正的条件开平方求解，即可得到方程的正根。 （3）先由中间小正方形的面积求出其边长，设矩形的宽为x，用含x的式子表示矩形的长；根据矩形面积为3列出方程，整理为一般形式后对比 即可得到a、b的值；再仿照材料中的方法构造大正方形面积等式，求解得到方程的正根。 学科网（北京）股份有限公司 $