2026-2027学年北师大版 九年级数学上学期期中自测卷（1-4章）

2026-2027学年九年级数学上学期期中自测卷（1-4章) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1.如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是( 俯视 左视→ 主视 A. 2.已知x=2是一元二次方程a-2x2+4x-a=0的一个根，则a的值为( A.0或4 B.-4 C.4 D.0 3.在线段AB上取C、D两点，已知AB=6cm,AC=1cm,且四条线段AC、CD、DB、AB是 成比例线段，则线段CD的长为()Cm. A.4 B.3 C.2或3 D.4或3 4.小明拿一个三角形木框在太阳下玩耍，发现三角形木框在地面上的投影不可能是() A.三角形 B.一条线段 C.四边形 D.三角形或一条线段 5.如图，利用几个全等的直角三角板（含30°角）拼摆成如下的四边形ABCD,其中是菱形 但不是正方形的有() 300 1 (2 A.①② B.②③④ C.②③ D.①④ 6.已知a,b是关于x的一元二次方程x-2x+t-2t+4=0的两个实数根，则(a+4)(b+4)的 最小值是() A.11 B.20 C.28 D.36 7.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2,∠ABC=60°，E,F是对角线BD上的动点，且 BE=DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点.下列说法错误的是() A.存在无数个平行四边形MENF B.存在无数个矩形MENF C.存在无数个菱形MENF D.存在无数个正方形MENF 8.如图，四边形ABCD中，AB‖CD,∠B=90°，DE垂直平分AC,交AC于点O,交AB于点 E.若BE=3,CD=5,则AC的长为() A.5 B.8 C.43 D.4V5 9.如图，在Rt△ABC中，AB=m,BC=n,∠ABC=90°，点D为BC上一点，且BD=AB, DE⊥BC,且∠EAC=45,则△EDC的周长是()· E B D A.2n B.n+2m C.m2+n2 D.1.5m 10.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2,E为线段AB上任意一动点，以 CE为斜边作等腰Rt△CDE连接AD'下列说法：①∠BCE=∠ACD:②AC⊥ED:⑧ △ADC一△BEC;④AD‖BC;⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为)：正确的结论 是( A.①②④ B.①③⑤ C.①③④ D.①③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.用配方法解一元二次方程x2+8x-1=0,将它转化为x+m=n的形式，则m+n= 12.如图，AD‖EB‖FC,若AB=1,AC=3,DF=4,则DE= B/ 13.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在AD上，BF⊥AE,垂足为G.若EG=3, 则正方形ABCD的边长为 F 14.已知关于x的一元二次方程x2+3x+c=0的两根分别为x1=a,X2=b.若满足a2+4a+b=2c, 则c的值为 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8.点0为AB边中点，点P为线段AC上 一动点.将△APO沿PO折叠，点A的对应点为A,直线OA与线段AC交于点Q.当△OPQ与 △ABC相似时，线段OP的长为 16.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E是CD边上一点，连接AE,过点A作AF⊥AE 交CB的延长线于点F,连接EF交AB边于点G.若EA=EG,则BG的长为 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17.(6分)解方程： (1)x-32=2x-1川x-3: (2)3x-x-2=0. 3 18.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，以AB,BD为邻边 作口ABDE,DE与AC交于点O,连接EC. D (1)求证：四边形ADCE是菱形； (2)若AB=AE,OE=2,求BC的长. 19.(8分)在边长为1的小正方形网格坐标系中，△ABC顶点均为格点，点A-2,-4,对 应位似点A4,8 Y (1)描出AC中点D,写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将△ABC放大得到△ABC1,画出图形. 20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+m-2x-m=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x+1x,+1=-1,求m的值. 21.(10分)如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体. 主视 主视图 左视图 俯视图 (1)请在方格中分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图. (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持主视图和左视图不变，最多可以 再添加 个小立方块. 22.(10分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每 盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中， 该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出 2盒，设猪肉粽每盒售价X元，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）· (1)猪肉粽每盒的进价为 兀； (2)若每盒利润率不超过50%，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若x满足50≤x≤65，求商家每天的最大利润. 23.(12分)一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜 中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m(即FC=4m)放在点F处.从点F处 向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼晴距地面的高 度ED、GH为1.5m,已知点B、C、D、F、H在同一水平线上，且 GH⊥FH,ED⊥CD,AB1BH·（平面镜的大小忽略不计) 方案二：如图2，利用标杆CD测量灯柱的高度.已知标杆CD高1.5m,测得 DE=2m,CE=2.5m' 方案三：如图3，利用三角板的直角边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上.已知两 条边CE=0.4m,EF=0.2m,测得边CE离地面距离DC=1.5m. 三种方案中，方案」 不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度. A F M E B CD FH B D B 图2 图3 24.（12分)综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形ABCD内部一点，且∠CED=90°，将△DEC绕点C逆时针 旋转90°，得到△BEC,延长EB与DE的延长线交于点F A E E B B Er 3 图1 图2 图3 猜想证明： (1)判断四边形ECEF的形状，并说明理由； (2)探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线EE与BD交于点O,点O 始终是线段BD的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸： (3)如图3，若该正方形ABCD的边长为4，连接BE,在点E运动的过程中，当△BEC是等腰 三角形时，直接写出DE的长. 参考答案 一、选择题 1.A 解：该螺栓上部是圆柱，下部是正六棱柱 ∴·从上往下看，圆柱的投影是一个圆，正六棱柱的投影是一个正六边形 .该螺栓的俯视图是一个正六边形，中间有一个圆. 2.A 解：：x=2是一元二次方程a-2x+4x-a=0的-个根， .将x=2代入原方程得：a-2×2+4×2-a=0, 整理化简得a2-4a=0, 解得a=0或a=4. 原方程是一元二次方程， ∴.二次项系数a-2≠0，即a≠2 ,Q=0和a=4都满足条件， .a的值为0或4 3.C 设CD长为xcm, .AB=6cm,AC=1cm. .BD=AB-AC-CD=5-xcm, ,四条线段AC、CD、DB、AB是成比例线段， “器 即1=5-x 解得x=2或3， .CD的长为2或3cm. 故选：C. 4.C 解：当木框平面与光线不平行时，投影为三角形；当木框平面与光线平行时，投影为一条线 段；三角形的三条边投影后无法形成四条边，因此不可能是四边形. 故选：C. 5.C 解：设全等直角三角板的短直角边为a,斜边为2a, :长直角边为2a-d=3a' 图①，AB为斜边，BC为长直角边， ∴.AB=2a'BC=V3a AB≠BC, ,:.四边形ABCD不是菱形； 图②，四条边均为直角三角形的斜边， :.四条边长度均为2a :.四边形ABCD是菱形， 又：对角线长分别为2a和23a,不相等， .四边形ABCD不是正方形，符合题意； 图③，AB为斜边，长度为2a,由图可知AD由两段短直角边拼接而成， ∴.AD=a+a=2a' .∴.AB=AD' 又：'四边形ABCD是平行四边形， :.四边形ABCD是菱形， .∠A=60°≠90， :.四边形ABCD不是正方形，符合题意； 图④，四条边均为直角三角形的斜边， :.四条边长度均为2a :.四边形ABCD是菱形， .∠DAB=30°+60°=90°， :.四边形ABCD是正方形，不符合题意； 综上所述，是菱形但不是正方形的有②③. 6.D 解：a,b是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两个实数根， ∴.△=(-2t)2-4×1×(t-2t+4)=8t-16≥0，解得t≥2， 且. .∴(a+4)b+4)=ab+4(a+b)+16=(t-2t+4)+4×2t+16=t2+6t+20. t≥2，t2+6t+20=(t+3)2+11, ∴.(a+4)b+4)≥(2+3)2+11=36， .（a+4)(b+4)的最小值是36，故选D. 7.D 解：如图，连接AC,AC、BD交于点O,连接MN, A M D :四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD, .BE=DE' ..OE=OF' :M,N分别是边AD,边BC上的动点. 若MN过点O时， :四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC'AD‖BC, ∴.∠OAM=∠OCN,∠OMA=∠ONC, .△OAM≌△OCNAAS' ∴.OM=ON, .MN过点O时，四边形MENF是平行四边形， 即存在无数个平行四边形MENF, 故A说法正确，不符合题意； 只需OM=ON,EF=MN,四边形MENF是矩形， 而E,F是对角线BD上的动点，即存在无数个矩形MENF, 故B说法正确，不符合题意； 只EF⊥MN,四边形MENF是菱形， :E?F是对角线BD上的动点，即存在无数个菱形MENF, 故C说法正确，不符合题意； 只需EF⊥MN,EF=MN,四边形MENF是正方形， 此时符合要求的正方形只有一个，不存在无数个， 故D说法错误，符合题意D 8.D 解：如图，连接CE, D .DC‖AB .∴.△DOC一△EOA, 能8 :DE垂直平分AC .∴.CO=AO'CE=AE, ·器8 .∴.AE=DC=CE=5' .BC=CE2-BE2=52-32=4' ∴.AC=VBC2+AB=V42+82=4V5· 9.A 解：.BD=AB=m, .∴.CD=BC-BD=n-m' 过点A作AG⊥DE交DE的延长线于点G, G A B F D ∴.∠AGD=90°， .DE⊥BC、∠ABC=90, .∴.∠GDB=90°， :.四边形ABDG为矩形， AB=BD=m' :.四边形ABDG为正方形，· ∴.∠BAG=90o, 将△AGE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,则F在BC上， .∴.AF=AE∠FAB=∠EAG' .∠EAC=45, ∴.∠CAG=45°-∠EAG=45°-∠BAF ∴.∠FAC=90°-∠BAF-∠CAG=90°-∠BAF-45°-∠BAF=45, .∴.∠FAC=∠EAC 在△AFC和△AEC中， AF=AE ∠FAC=∠EAC, AC=AC .∴△AFC≌△AEC SAS ∴.FC=EC, .'DE+EC=EG+DG+FC=BF+DG+BC-BF=DG+BC=m+n' .△EDC的周长为CD+DE+EC=n-m+m+n=2n 10.D 解：，△ABC、△DCE都是等腰直角三角形， AB-AC-2BC-2,CD-DE- 2 E, 2 ∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45, ①.∠ACB=∠DCE=45°， .∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE, 即∠ECB=∠DCA,故①正确； ②.∠BAC=90°， ∴.AC⊥AB, 若AC⊥ED,则AB‖DE或AB与DE重合， 当AB‖DE时AB和DE无交点，这和E为AB上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③C”=AC2 ECBC=2,∠ECB=∠DCA, ∴.△ADC一△BEC,故③正确； ④.△ADC一△BEC, ∴.∠DAC=∠B, 又，∠B=∠ACB, ∴.∠DAC=∠BCA, .AD‖BC,故④正确； ⑤，△ABC为等腰直角三角形且BC=2, △ABC的面积为定值， :S#形ABCD=S△AC+S△ACD, ,当△ACD的面积最大时，梯形ABCD的面积最大， 如图，过点A作AH⊥BC于点H,则AH为等腰直角△ABC斜边上的中线， AD‖BC, ,△ACD中AD边上的高为定值（即为1）， 当△ACD的面积最大时AD最长， .△ADC一△BEC, ..AD_2 BE2 ∴.当AD最长时，BE也最长， ,E为线段AB上任意一动点， 当E、A重合时BE最长， 此时BE=AB=2,则AD=2BE=1, 5san=2AD+BC小AH=×1+2x1 2, 即四跑形ABCD的页积菜大值为号故⑤正商： 综上，正确的结论是①③④⑤. 二、填空题 11.21 解：x+8x-1=0 x2+8x=1 x2+8x+16=1+16 x+42=17 ∴.m=4,n=17, 则m+n=4+17=21. 12. 3 解：AD EB FC, ·DE-AB DF AC .DE_1 43’ 解得DE= 13.2V5 解：设正方形ABCD的边长为2a,则AB=AD=CD=2a,∠D=∠BAD=90°， ∴.∠BAG+∠EAD=90°， E是CD的中点， DE-CD-0, AE-VAD+DE2=2aP+a2=5a' EG=3, ∴AG=AE-EG=5a-3, BF⊥AE, ∴.∠AGB=90°=∠D, .∠BAG+∠ABG=90°， .∠ABG=∠EAD. ∴.△ABG~△EAD, AG AB 即5a-320 Q V5a' 解得a=V5, ∴.正方形ABCD的边长为25！ 14.-1 解：·关于x的一元二次方程x+3x+C=0的两根分别为X1=a,x2=b, a2+3atc=0,a+b=-3-3, 1 ∴.a2=-3a-c' .∵a2+4a+b=2c ∴.-3a-c+4a+b=2c, 整理得：a+b=3c, .3c=-3,解得c=-1 15.3或15 4 解：AB=10,点O为AB边中点， .0A=5, 由勾股定理得，BC=AB-AC2=6, 由折叠的性质可知，0A=OA=5,∠POA=∠P0A=克∠AOQ, 当∠PQ0=90°时，如图1， 图1 当△OPQ与△ABC相似时，△OPQ一△ABC, ∠POQ=∠BAC=∠AOP=30°，此时不成立，舍去； 当∠OPQ=90°时，如图2，A、Q、C三点重合，此时△QOP一△ABC,P为AC的中点， C(O)(A) 图2 ∴0P=BC=3: 当∠POQ=90°时，如图： A(O) B(A') 此时点Q与点A重合，点A与点B重合， 此时AO=BO=5 .'∠POA=∠C=90°，∠A=∠A, ∴△AOP-△ABC, ..OP_AO BC AC' ..OP_5 681 0p=15 综上所述，线段OP的长为3或5 故答案为：3或号 16.3-9/5 解：过点E作ET⊥AB于点T D E G B ..EA=EG ∴.AT=>, ,四边形ABCD是矩形， .∠D=∠BAD=∠ABC=90°，AD=BC=1,AB=CD=2,AB‖CD .AF⊥AE .∠1=∠2=90°-∠3 .∠D=∠ABF=90° ∴.△ADE一△ABF ..DE=AD_1 BF AB 2 设DE=x,BF=2x,则EC=2-X, ,ET⊥AB,∠D=∠DAB=90 ∴.四边形ATED是矩形， .AT=DE=>=X,则BG=2-2X .ABCD ∴.△FBG一△FCE ·BF_BG ·CFCE ,2X=2-2x 1+2X2-X 整理得，x2+x-1=0 解得x,851,x-5-1(含)， 2 BG=2-2×51-=3-5. 2 三、解答题 17.(1)解：x-3=2x-1川x-3, x-32-2x-1x-3=0' x-3x-3-2x-1=0' x-3-x-2=0' .x-3=0或-x-2=0: ∴.X1=3,X2=-2 (2)解：3x2-x-2=0, 整理得3x2-2X-4=0, 由题意得，a=3,b=-2,c=-4, .b2-4ac=-22-4×3×-4=52>0 ·x=-2±82_2±2/31±V13 2×3 6 3 即x=1+13 3 X,=1- 3 18.(1)证明：，四边形ABDE为平行四边形， ∴.AE=BD' :AD是边BC上的中线，∠BAC=90, ∴.BD=CD .'AE=CD' :.四边形ADCE是平行四边形， 又.∠BAC=90°，AD是边BC上的中线， ..AD=-BC=CD, :.平行四边形ADCE是菱形； (2)解：，∵四边形ADCE是菱形，OE=2 ∴.DE=2OE=4 :AB=AE?四边形ABDE为平行四边形， ∴.四边形ABDE是菱形， ∴.BD=AB=DE=4 ,AD是边BC上的中线， ∴.BC=2BD=8 19.(1)如图，AC中点D-2.5,-1.5: (2)由A-2,-4对应A14,8,得位似比为2，将△ABC各顶点坐标放大2倍，再取相反数， 顺次连接即可得到△A1BC1.. B 20.(1) △=(m-22-4×1×-m=m2-4m+4+4m =m2+4 .m≥0 .m2+4≥4>0 即△>0恒成立 :.无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)解：由根与系数的关系： X1+X2=-m-2=2-m’X1X2=-m' x1+1x2+1=-1: x1x2+X1+X2+1=-1? -m+2-m+1=-1 解得m=2. 21.(1) 如图： 主视图 左视图 俯视图 (2)解：保持主视图和左视图不变，可在如下位置添加， 主视 即最多可以再添加2个小立方块 故答案为：2. 22.(1)解：设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价a-10元， 8000-6000 ,解得a=40, aa-10 检验：当a=40时，分式方程分母a≠0，a-10≠0，所以a=40是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元. (2)解：每盒利润率不超过50%，即X-40×100%≤50%， 40 解得x≤60， 由题意，得x-40100-2×x-50=1350, 解得：x1=85(舍去)，x2=55, 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元. (3)解：设猪肉粽每盒售价X元，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：y=x-40100-2×x-50=-2x2+280x-8000, 配方得：y=-2x-70+1800, ∴当x<70时，y随着x的增大而增大， ∴.当x=65时，y=-2×65-70+1800=1750(元)， 答：商家每天的最大利润是1750元. 23.二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得CD=1m,ED=1.5m,∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC, .△ABC一△EDC' ·AB_BC ·EDDC, AB-BC-ED-1.5BC. CD 根据题意可得FC=4m,FH=1.5m,GH=1.5m,∠AFB=∠GFH,∠GHF=∠ABF, .△ABF一△GHF, ·a盟那 AB-GH-BF-15-BC+4-BC+4. FH 1.5 .∴.1.5BC=BC+4' 解得BC=8, AB=12米. 即灯柱高12米. 24.(1)四边形ECEF是正方形. 理由如下：将Rt△DEC绕点C逆时针旋转90°得到BEC. ∴.CE=CE,∠ECE=90°，∠CEB=∠CED=90°， ∴.∠CEF=90°， ∴.四边形ECEF是矩形. 又CE=CE. ∴四边形ECEF是正方形. (2)证明：如解图，过点B作BM‖DE,交EE于点M M ∴.∠OBM=∠ODE,∠OMB=∠OED,∠BME=∠FEE, 由(1)得四边形ECEF是正方形， ∴.∠FEE=∠FEE=45°， ∴.∠BME=∠BEM=45°， ∴.BM=BE, 由旋转性质，DE=BE, ∴.BM=DE, 又.：∠OBM=∠ODE,∠BOM=∠DOE, .△BOM≌△DOE(ASA). ∴.BO=D0 即点O是BD的中点； (3)解：正方形ABCD边长为4， ∴.BC=CD=4,BD=42, 情况1：如解图，当EB=BC时，连接BD. E B(F E .EF=EC, .EF=EB. EF≤EB, ∴点F与点B重合，DF与DB重合 ∴.点E在BD上，∠BEC=∠FEC=90°， .∠BCE=∠CBE=45°， ∴.∠DCE=∠BCE=45°，∠CDE=∠CBE=45°， ∴.∠DCE=∠CDE=45°， ∴.EC=ED, n版号0-2a 情况2，当BE=BC=4时， 由(1)得四边形ECEF是正方形， .EC=EF,∠F=∠E=90°， ∴.Rt△BFE≌△Rt△BE CHL ∴BF=BE=FE 由旋转得，DE=BE, .DE=LEC, 2 在Rt△DEC中DC=4,DE2+EC2=DC2 ∴.DE+2DE2=16 解得DB=4S5（负值已舍去). 情况3-当CE=CB时， CB=CD>CE. ∴.此种情况不存在. 综上所述，当△BEC是等腰三角形时，DE的长为22或45