第11章《整式的乘除》 考点汇编（考点内容：11.5因式分解） 2026--2027学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版第11章《整式的乘除》考点汇编参考答案 （考点内容：11.3乘法公式） ( 考点汇编 ) 考点1：因式分解的定义 例1、下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（    B   ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    C  ） A、 B、 C、 D、 2、下列式子从左到右的变形是因式分解的是（    D   ） A、 B、 C、 D、 考点2：提取公因式法分解因式 例2、多项式各项的公因式是（　A　） A、xy B、2xz C、3xy D、3yz 【同步练习】多项式的公因式是（　C　） A、 B、 C、 D、 例3、把多项式因式分解，结果正确的是（　C　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】把多项式进行因式分解，所得的结果是（　D　） A、 B、 C、 D、 例4、利用因式分解计算：（　D　） A、﹣2 B、2 C、 D、 【同步练习】肯定能被（　B　）整除 A、79 B、80 C、82 D、83 例5、已知，，则的值为（　D　） A、6 B、8 C、10 D、24 【同步练习】如图，边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，则的值为（　C　） ( b a )A、60 B、16 C、30 D、11 考点3：运用公式法分解因式 例6、课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（　C　） 用平方差公式分解下列各式： （1）（2） （3） （4） A、第1道题 B、第2道题 C、第3道题 D、第4道题 【同步练习】 1、下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　D　） A、 B、 C、 D、 2、下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是（　A　） A、 B、 C、 D、 例7、把代数式因式分解，结果正确的是（　C　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】把多项式分解因式，结果正确的是（　C　） A、 B、 C、 D、 例8、已知，则的值为（　B　） A、2 B、4 C、6 D、8 【同步练习】 1、若，则的值为（　C　） A、3 B、6 C、9 D、12 2、已知，，则的值为（　C　） A、6 B、﹣6 C、12 D、 例9、下列各式可以用完全平方公式进行因式分解的是（　B　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（　D　） A、 B、 C、 D、 例10、已知可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　D　） A、 B、2 C、4 D、 【同步练习】关于x的二次三项式能直接用完全平方公式分解因式，则a的值是（　D　） A、 B、 C、12 D、 例11、把多项式分解因式，结果正确的是（　B　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】分解因式正确的是（　D　） A、 B、 C、 D、 考点4：分组分解法分解因式 例12、把分解因式结果正确的是（　B　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） （7）； （8） 【详解】（1）解原式 （2）解原式 （3）解原式 （4）解原式 （5）解原式 （6）解原式 （7）解原式 （8）解原式 例13、先阅读下列两段材料，再解答下列问题： （一）例题：分解因式： 解：将“”看成整体，设，则原式，再将“M”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法； （二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了。 过程为： 这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法。 利用上述数学思想方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）分解因式：； （3）分解因式： 【详解】（1）解原式 （2）解原式 （3）解原式 【同步练习】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程为： 这种分解因式的方法叫分组分解法、利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边a，b，c满足，判断的形状。 【详解】（1）解原式 （2）解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴或 故是等腰三角形 考点5：十字相乘法分解因式 例14、多项式可因式分解为，则m的值为（　D　） A、6 B、 C、5 D、 【同步练习】 1、二次三项式（m是整数），在整数范围内可分为两个一次因式的积，则m的所有可能值有（　C　）个 A、4 B、5 C、6 D、8 2、若关于x的二次三项式因式分解为，则b的值为（　B　） A、4 B、3 C、﹣4 D、 例15、先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多。 十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）、如：将式子和分解因式，如图：； 请你仿照以上方法，探索解决下列问题： （1）分解因式：；（2）分解因式： 【详解】（1）解原式 （2）解原式 【同步练习】分解因式 （1） （2） （3） （4） 【详解】（1）解原式 （2）解原式 （3）解原式 （4）解原式 考点6：因式分解的应用 例16、观察下列因式分解的规律： ， （1）根据以上规律，分解因式：____ _； （2）化简：； （3）直接写出结果：_____. 【详解】（1）解： （2）解原式 ……… （3）解原式 【同步练习】 1、观察下列等式，并回答问题。 ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除。 （1）的结果是5的 倍； （2）设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被5整除。 【详解】（1）解： （2）解： ∵k为整数， ∴为整数 ∴与的平方差能被5整除。 2、定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”。例如：，，，则8，16，24都是“和谐数”。 （1）特例感知：40________“和谐数”（填“是”或“不是”） ； （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； （3）迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形ABCD，其边长为51，求阴影部分的面积。 【详解】（1）解：∵，40是正整数，11和9为连续的正奇数 ∴40是“和谐数”； （2）“和谐数”能被8整除． 理由： ∵k是正整数 ∴能被8整除 ∴能被8整除； ( 1 B C D A 3 5 )（3）解：由题意，阴影部分的面积为 ， ∴阴影部分的面积为1352． 例17、阅读材料：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式。但对于二次三项式，就不能直接运用公式了。此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”。利用“配方法”，解决下列问题： （1）因式分解：__________； （2）若的三边长是a，b，c，满足，且c为偶数，求的周长的最小值； （3）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值。 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， 解得：， ∵的三边长是a，b，c ∴ 又∵c边的长为偶数 ∴，6，8 当，，时，的周长最小，最小值是：； （3）解： ∴当时，多项式有最大值，最大值是9． 【点评】本题考查了配方法，三角形三边关系，分解因式的应用，解题的关键是正确理解题意给出的方法，本题属于基础题型。 【同步练习】阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务。 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则。” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式、配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用。 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值。 解：原式 ∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为 任务： （1）用配方法将因式分解； （2）用配方法求：当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少？ （3）当________时，代数式有最大值，是_______. 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． （3）解： ∵ ∴ ∴当，即时，的值最大，最大值为． ( 师生互动 ) 1、若多项式可分解为，则的值为（   C   ） A、2 B、 C、1 D、 2、已知多项式因式分解后是，则m的值为（  A    ） A、 B、 C、4 D、5 3、若，，则为（ C     ） A、15 B、75 C、57 D、95 4、对于任意整数n，多项式都能被（   A  ）整除。 A、4 B、5 C、6 D、7 5、如果，，那么的值为（   A  ） A、9 B、4 C、8 D、2 6、若k为任意整数，则的值不一定能（ C     ） A、被2整除 B、被3整除 C、被4整除 D、被6整除 7、把下列各式因式分解： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【详解】（1）解原式 （2）解原式 （3）解原式 （4）解原式 （5）解原式 （6）解原式 ( 探究应用 ) 1、已知，，则_______；【答案】84 2、已知，则_________；【答案】 3、已知，则的值是________；【答案】8 4、若，则_____________；【答案】2024 5、若，，，则的值为______；【答案】3 6、已知，，，那么的值为_________；【答案】3 7、舒越同学在写回家作业时，意外发现了一类“奇特的数”，顿时来了兴致，准备好好研究一番。 定义：如果一个正整数N可以写成两个连续奇数的平方差，即的形式（k为正整数），那么称N为“奇巧数”，k称为N的等级、例如：当时，，所以8为“奇巧数”，它的等级是1. （1）下列各数中，为“奇巧数”的是______；（填序号）①32；②36；③40 （2）请说明：任意一个“奇巧数”都一定是偶数的四倍； （3）已知两个“奇巧数”A，B，它们的等级分别为a，b（a，b为正整数，）.若，，求A，B 【详解】（1）解：由“奇巧数”定义， （k为正整数）． ①，为正整数，故32是“奇巧数”； ②，k不是正整数，故36不是“奇巧数”； ③，为正整数，故40是“奇巧数”； （2）证明：设“奇巧数”的等级为k（k为正整数）， 则． ∵k为正整数 ∴为偶数． ∴任意一个“奇巧数”都一定是偶数的四倍． （3）解：由（1）知对于“奇巧数”N，（k为正整数） ∵A的等级为a，B的等级为b， ∴， ∵ ∴，即 ∵ ∴， 联立得，解得：， ∴， 8、【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用。 例1：因式分解： 解：原式 例2：若，利用配方法求M的最小值。 解： ∵， ∴当时，M有最小值1 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：； （2）已知 ，求的值； （3）已知， ，试比较P，Q的大小。 【详解】（1）解：； （2）解： ∴，， ∴； （3）解： ∵ ∴， ∴． 【点评】用配方法将各式凑成完全平方式与其他整式的和，然后根据平方的非负性解决问题。 9、先读例题，解决下面问题 例题：若，求m、n. 解：∵ ∴ ∴， 问题： （1）若，求的值； （2）已知a、b、c是的三边，满足；c是三角形最长边，直接写出c的取值范围。 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ （2）解：∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 解得， ∵a、b、c是的三边，c是三角形最长边 ∴ 10、阅读材料：若，求m、n的值。 解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若，求x、y的值； （2）已知a，b，c是的三边长，满足，且是等腰三角形，求c的值。 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴，． （2）解：∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， 解得， ∵是等腰三角形， ∴或 经检验，或都符合三角形的三边关系． 11、阅读以下文字并解决问题： 【方法呈现】形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变。即：.像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法。 同样地，把一个多项式进行局部配方可以用来解决代数式的最小值（或最大值）问题。 例如： 因为 所以 则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是 【尝试应用】 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：； （2）借助“配方法”因式分解：； （3）若，求M的最大值，并求出此时a的值。 【详解】（1）解：∵ ∴添加常数为4． （2）解： （3）解： ∵ ∴ ∴ ∴M的最大值是3，此时 ∴相应的a的值是． 12、项目式学习： 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”。 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到。 素材2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法。 （1）任务目标1：根据素材1，把分解因式； （2）任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式： 【详解】（1）解： （2）解：①令 则原式 所以； ②令， 则原式 所以原式． 13、常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法。但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）先因式分解，再求值：，其中， 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴原式． 14、【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得 ，这种分解因式的方法称为分组分解法。 根据以上方法回答下列问题： （1）【尝试填空】____ ____； （2）【解决问题】因式分解：； （3）【拓展应用】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由。 【详解】（1）解：原式  ． （2）解：原式． （3）这个三角形是等边三角形，理由如下： ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴这个三角形是等边三角形． 15、请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”。 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）因式分解：； （2）因式分解：________（直接写出结果）； （3）因式分解： 【详解】（1）解：设， 则 ； （2）解： （3）解： ． 16、“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法、在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题。从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等。 分组分解法：例如： 拆项法：例如： （1）利用分组分解法，因式分解：； （2）利用拆项法，因式分解：； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式。 ( 图 1 b a b a b b b 图 2 b a c a b c ) （3）根据图1，多项式可以因式分解为 ； （4）根据图2，若，，求的值。 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：由图可知长方形的宽为，长为 ∴长方形的面积为 ∴多项式分解因式为； （4）解：由图2可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为 ∵， ∴ ∴或 ∵图形的边长不能为负数， ∴舍去负值， ∴ 第11章《整式的乘除》考点汇编（考点内容：11.5因式分解）参考答案——————第 19 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版第11章《整式的乘除》考点汇编 （考点内容：11.3乘法公式） ( 考点汇编 ) 考点1：因式分解的定义 例1、下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（      ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、下列从左到右的变形，属于因式分解的是（      ） A、 B、 C、 D、 2、下列式子从左到右的变形是因式分解的是（      ） A、 B、 C、 D、 考点2：提取公因式法分解因式 例2、多项式各项的公因式是（　　） A、xy B、2xz C、3xy D、3yz 【同步练习】多项式的公因式是（　　） A、 B、 C、 D、 例3、把多项式因式分解，结果正确的是（　　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】把多项式进行因式分解，所得的结果是（　　） A、 B、 C、 D、 例4、利用因式分解计算：（　　） A、﹣2 B、2 C、 D、 【同步练习】肯定能被（　　）整除 A、79 B、80 C、82 D、83 例5、已知，，则的值为（　　） A、6 B、8 C、10 D、24 【同步练习】如图，边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，则的值为（　　） ( b a )A、60 B、16 C、30 D、11 考点3：运用公式法分解因式 例6、课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（　　） 用平方差公式分解下列各式： （1）（2） （3） （4） A、第1道题 B、第2道题 C、第3道题 D、第4道题 【同步练习】 1、下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　） A、 B、 C、 D、 2、下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是（　　） A、 B、 C、 D、 例7、把代数式因式分解，结果正确的是（　　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】把多项式分解因式，结果正确的是（　　） A、 B、 C、 D、 例8、已知，则的值为（　　） A、2 B、4 C、6 D、8 【同步练习】 1、若，则的值为（　　） A、3 B、6 C、9 D、12 2、已知，，则的值为（　　） A、6 B、﹣6 C、12 D、 例9、下列各式可以用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（　　） A、 B、 C、 D、 例10、已知可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　） A、 B、2 C、4 D、 【同步练习】关于x的二次三项式能直接用完全平方公式分解因式，则a的值是（　　） A、 B、 C、12 D、 例11、把多项式分解因式，结果正确的是（　　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】分解因式正确的是（　　） A、 B、 C、 D、 考点4：分组分解法分解因式 例12、把分解因式结果正确的是（　　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） （7）； （8） 例13、先阅读下列两段材料，再解答下列问题： （一）例题：分解因式： 解：将“”看成整体，设，则原式，再将“M”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法； （二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了、 过程为： 这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法。 利用上述数学思想方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）分解因式：； （3）分解因式： 【同步练习】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程为： 这种分解因式的方法叫分组分解法、利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边a，b，c满足，判断的形状。 考点5：十字相乘法分解因式 例14、多项式可因式分解为，则m的值为（　　） A、6 B、 C、5 D、 【同步练习】 1、二次三项式（m是整数），在整数范围内可分为两个一次因式的积，则m的所有可能值有（　　）个 A、4 B、5 C、6 D、8 2、若关于x的二次三项式因式分解为，则b的值为（　　） A、4 B、3 C、﹣4 D、 例15、先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多。 十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）、如：将式子和分解因式，如图：； 请你仿照以上方法，探索解决下列问题： （1）分解因式：；（2）分解因式： 【同步练习】分解因式 （1） （2） （3） （4） 考点6：因式分解的应用 例16、观察下列因式分解的规律： ， （1）根据以上规律，分解因式：____ _； （2）化简：； （3）直接写出结果：_____. 【同步练习】 1、观察下列等式，并回答问题。 ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除。 （1）的结果是5的 倍； （2）设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被5整除。 2、定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”。例如：，，，则8，16，24都是“和谐数”。 （1）特例感知：40________“和谐数”（填“是”或“不是”） ； （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； ( 1 B C D A 3 5 )（3）迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形ABCD，其边长为51，求阴影部分的面积。 例17、阅读材料：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式。但对于二次三项式，就不能直接运用公式了。此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”。利用“配方法”，解决下列问题： （1）因式分解：__________； （2）若的三边长是a，b，c，满足，且c为偶数，求的周长的最小值； （3）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值。 【同步练习】阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务、 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则。” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式、配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用。 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值。 解：原式 ∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为 任务： （1）用配方法将因式分解； （2）用配方法求：当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少？ （3）当________时，代数式有最大值，是_______. ( 师生互动 ) 1、若多项式可分解为，则的值为（      ） A、2 B、 C、1 D、 2、已知多项式因式分解后是，则m的值为（      ） A、 B、 C、4 D、5 3、若，，则为（      ） A、15 B、75 C、57 D、95 4、对于任意整数n，多项式都能被（     ）整除。 A、4 B、5 C、6 D、7 5、如果，，那么的值为（      ） A、9 B、4 C、8 D、2 6、若k为任意整数，则的值不一定能（      ） A、被2整除 B、被3整除 C、被4整除 D、被6整除 7、把下列各式因式分解： （1） （2） （3） （4） （5） （6） ( 探究应用 ) 1、已知，，则_______； 2、已知，则_________； 3、已知，则的值是________； 4、若，则_____________； 5、若，，，则的值为______； 6、已知，，，那么的值为_________； 7、舒越同学在写回家作业时，意外发现了一类“奇特的数”，顿时来了兴致，准备好好研究一番。 定义：如果一个正整数N可以写成两个连续奇数的平方差，即的形式（k为正整数），那么称N为“奇巧数”，k称为N的等级、例如：当时，，所以8为“奇巧数”，它的等级是1. （1）下列各数中，为“奇巧数”的是______；（填序号）①32；②36；③40 （2）请说明：任意一个“奇巧数”都一定是偶数的四倍； （3）已知两个“奇巧数”A，B，它们的等级分别为a，b（a，b为正整数，）.若，，求A，B 8、【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用。 例1：因式分解： 解：原式 例2：若，利用配方法求M的最小值。 解： ∵， ∴当时，M有最小值1 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：； （2）已知 ，求的值； （3）已知， ，试比较P，Q的大小。 9、先读例题，解决下面问题 例题：若，求m、n. 解：∵ ∴ ∴， 问题： （1）若，求的值； （2）已知a、b、c是的三边，满足；c是三角形最长边，直接写出c的取值范围。 10、阅读材料：若，求m、n的值。 解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若，求x、y的值； （2）已知a，b，c是的三边长，满足，且是等腰三角形，求c的值。 11、阅读以下文字并解决问题： 【方法呈现】形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变。即：.像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法。 同样地，把一个多项式进行局部配方可以用来解决代数式的最小值（或最大值）问题。 例如： 因为 所以 则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是 【尝试应用】 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：； （2）借助“配方法”因式分解：； （3）若，求M的最大值，并求出此时a的值。 12、项目式学习： 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”。 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到。 素材2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法。 （1）任务目标1：根据素材1，把分解因式； （2）任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式： 13、常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法。但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）先因式分解，再求值：，其中， 14、【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得 ，这种分解因式的方法称为分组分解法。 根据以上方法回答下列问题： （1）【尝试填空】____ ____； （2）【解决问题】因式分解：； （3）【拓展应用】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由。 15、请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”。 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）因式分解：； （2）因式分解：________（直接写出结果）； （3）因式分解： 16、 “数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法、在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题。从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等。 分组分解法：例如： 拆项法：例如： （1）利用分组分解法，因式分解：； （2）利用拆项法，因式分解：； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式。 ( 图 1 b a b a b b b 图 2 b a c a b c ) （3）根据图1，多项式可以因式分解为 ； （4）根据图2，若，，求的值。 第11章《整式的乘除》考点汇编（考点内容：11.5因式分解）——————第 12 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $