第11章 整式的乘除 期中复习模拟试卷（培优）2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

第11章 整式的乘除 期中复习模拟试卷（培优） 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 一、单选题 1．下列多项式中，含有因式的多项式是（ ）. A． B． C． D． 2．已知，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 5．已知，，则代数式的值为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 6．，（其中），则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 7．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如，因此、都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（    ） A． B． C． D． 8．实数、、且，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 10．已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 11．关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（　　） ①当的结果为关于的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式与的乘积中不含项时，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 13．若，．则_____． 14．分解因式：= ___________． 15．把式子化简的结果是_________． 16．如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为___________． 三、解答题 17．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 18．某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，试将用含、、的代数式表示出来． 19．在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式 除法的化简： 即． (1)请你完成下面的竖式计算．          即 (2)已知多项式，能被多项式整除，求的值． 20．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的代数式用记号的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的代数式），把时的代数式的值用来表示．例如：时代数式的值记为． 已知． (1)求的值； (2)若与的积的展开式中不含项，求n的值； (3)已知，且，求代数式的值． 21．综合与实践 【材料阅读】 杨辉（13世纪）是我国南宋时期杰出的数学家，钱塘（今杭州）人，与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他于1261年写下《九章算术》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，例如： “平方”对应的展开式：； “立方”对应的展开式：． 【理解应用】 阅读以上材料，解答下列问题： (1)填空： ； (2)已知，． ①求的值． ②求的值． 22．如图①，沿长方形中的虚线将这个长方形平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)观察图②，补充完整，之间的等量关系式： ； (2)根据（1）中得到的关系式，填空：若，则 ； (3)实际上，有许多代数恒等式都可以用图形的面积来表示．如图③，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．它的面积表示了以下恒等关系： 请利用上述等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，求的值； ②若实数x，y，z满足，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月20日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列多项式中，含有因式的多项式是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应先对所给的多项式进行因式分解，根据分解的结果，然后进行判断． 【详解】A、y2-2xy-3x2=（y-3x）（y+x)，故不含因式(y+1)． B、（y+1）2-（y-1）2=[（y+1）-（y-1）][（y+1）+（y-1）]=4y，故不含因式(y+1)． C、（y+1）2-（y2-1）=（y+1）2-（y+1）（y-1）=2（y+1），故含因式（y+1)． D、（y+1）2+2（y+1）+1=（y+2)2，故不含因式（y+1)． 故选C 【点睛】本题主要考查公因式的确定，先因式分解，再做判断，在解题时，仅看多项式的表面形式，不能做出判断． 2．已知，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则是解题关键． 【详解】解：左式，右式， ∴， 故． 3．小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握提取公因式和平方差公式是解题关键． 通过提取公因式和平方差公式进行因式分解，找出三个连续因子即可． 【详解】解：∵ ∴ 能被2024、2025、2026整除， 故选：B． 4．已知，，，比较、、的大小（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算．逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选：A． 5．已知，，则代数式的值为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法，代数式求值，利用提取公因式法，分解因式，将已知条件代入求值． 【详解】解：，， ， 故选：C． 6．，（其中），则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先展开，再利用作差法求出，最后将差变形为完全平方式判断符号即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ． 7．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如，因此、都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，灵活推导 “天才数” 的特征是解题的关键．根据 “天才数” 的定义，设两个连续奇数为和（为整数），利用平方差公式计算得出 “天才数” 一定是的整数倍，进而验证各选项得到答案． 【详解】解： “天才数”可表示为两个连续奇数的平方差，设两个连续奇数为和，为整数， 利用平方差公式计算得：， “天才数”一定是的整数倍对选项验证：，不是整数，所以不是天才数； ，是整数，此时为整数，所以是天才数；同理98和100不是 “天才数”. 8．实数、、且，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知等式得到x=y，z=0，从而分别分析各选项． 【详解】解：∵， 则， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴，成立， ∵， ∴且， ∴，，， 故B、C、D错误， 故选A． 【点睛】本题考查了等式的性质，有理数的混合运算，解题的关键是得到x=y，z=0． 9．已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图1阴影部分面积得出，根据图2阴影部分形状得出面积为，利用已知方程组通过平方差公式变形建立与的关系求解． 【详解】解：由图1可知，阴影部分为长方形，长为，宽为； 图1阴影面积． 图2阴影部分为长方形，长为，宽为， 图2阴影面积． 已知，即；，即． ∴， ∴， ， ， ． ， ， ， 即图2中阴影面积为8． 10．已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】将原式转化为含的幂的形式，便于判断位数． 【详解】解：． ∵是1后面带9个0的正整数，共10位． ∴的位数为10． 11．关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（　　） ①当的结果为关于的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式与的乘积中不含项时，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①计算的值，再根据题意列方程求解；②计算的值，根据题意列方程求，的值，再计算；③先求的值，再根据题意列方程求解；④先求，再列方程求解． 【详解】解：①， ，均为非零常数， ， ， 故①正确； ②， ，， ， 故②是正确的； ③， ， ， 故③是错误的； ④ ， ， 解得：， ， 故④是错误的； 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式，整式的加减，方程思想是解题的关键． 12．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据“和谐数”的定义推导得出任意正的“和谐数”都是的正整数倍，再分别对三个结论逐一化简验证即可． 【详解】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数， 化简：， 任意“和谐数”都是的正整数倍， 验证结论：， 是正整数， 是的倍数，故正确； 验证结论： ， ， ，是的倍数， 是“和谐数”，故错误； 验证结论：设，是正整数， 是“和谐数”， ，得， “和谐数”是的倍数， 是的倍数，， 是的倍数， 是奇数，即是奇数， 是“和谐数”， 是的倍数，得是奇数； 是奇数，是奇数， ，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即（为正整数）， ，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确； 综上，正确的结论有，共个． 二、填空题 13．若，．则_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，代数式的求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．先将两式相加，再利用完全平方公式的知识即可求解． 【详解】解：将，两式相加， 可得：， 即：， 解得：， 故答案为：． 14．分解因式：= ___________． 【答案】 【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 15．把式子化简的结果是_________． 【答案】 【分析】先给原式配个因式（2−1），再连续使用平方差公式即可得出答案 【详解】解：原式＝（2−1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（2128＋1） ＝（22−1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（2128＋1） ＝（24−1）（24＋1）（28＋1）…（2128＋1） ＝（28−1）（28＋1）…（2128＋1） ＝（216−1）…（2128＋1） ＝2256−1 故答案为：2256−1． 【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征． 16．如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据阴影部分的面积和图形特征，可得，，即可得解． 【详解】解：由题意知， ， ，， ， 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 18．某数学学习小组在学习完幂的相关运算后，遇到下面几个问题，请你尝试帮助他们解决： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，，试将用含、、的代数式表示出来． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，进一步可变形为，则，进而得到，求出的值即可得到答案； （3）根据推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴ ． 19．在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式 除法的化简： 即． (1)请你完成下面的竖式计算．          即 (2)已知多项式，能被多项式整除，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； （2）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； 【详解】（1）解： （2） ∵多项式能被整除，余数为0， ∴， 解得． 20．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的代数式用记号的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的代数式），把时的代数式的值用来表示．例如：时代数式的值记为． 已知． (1)求的值； (2)若与的积的展开式中不含项，求n的值； (3)已知，且，求代数式的值． 【答案】(1)36 (2) (3)1 【分析】（1）把代入计算即可； （2）先根据单项式与多项式的乘法法则化简，然后令的系数等于0求解即可； （3）根据得，根据得，从而得出，则，，然后降次代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解： ， ∵与的积的展开式中不含项， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ． 21．综合与实践 【材料阅读】 杨辉（13世纪）是我国南宋时期杰出的数学家，钱塘（今杭州）人，与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他于1261年写下《九章算术》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，例如： “平方”对应的展开式：； “立方”对应的展开式：． 【理解应用】 阅读以上材料，解答下列问题： (1)填空： ； (2)已知，． ①求的值． ②求的值． 【答案】(1)， (2)①② 【分析】（1）由图中信息可得的系数对应“四乘”那一行； （2）①把先用和表示出来，再代入值计算即可；②把先用和表示出来，再代入值计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：① ． ② ． 22．如图①，沿长方形中的虚线将这个长方形平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)观察图②，补充完整，之间的等量关系式： ； (2)根据（1）中得到的关系式，填空：若，则 ； (3)实际上，有许多代数恒等式都可以用图形的面积来表示．如图③，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．它的面积表示了以下恒等关系： 请利用上述等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，求的值； ②若实数x，y，z满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式、整式混合运算、幂的混合运算等知识点，根据题图得到新等式、再利用新等式进行整理计算成为解题的关键． （1）观察图②即可得到它们的关系； （2）直接利用（1）的结论即可解答； （3）①利用，然后将已知条件代入计算即可；②利用幂的乘方与同底数幂的乘除整理得到，然后将平方，由整理即可解答． 【详解】（1）解：由图②可知：表示大正方形的面积，表示小正方形的面积，表示每个小长方形的面积． 所以：这三个代数式之间的等量关系是：． （2）解：∵，， ∴，解得：． （3）解：①∵且， ∴， ； ②∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $