2026-2027学年人教版八年级数学上册 期中模拟试卷（一）

2026-2027学年第一学期人教版八年级期中模拟试卷（一） 一．选择题（共10小题） 1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 3．如图，Rt△ABC≌Rt△DBE，若AB＝10，BE＝4，则CD＝（　　） A．6 B．4 C．10 D．14 4．要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，△ABC≌△EDF，AF＝20，EC＝8，则AE等于（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，已知AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，∠B＝20°，则∠A4＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 7．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 8．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 9．如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知∠B＝a，∠E＝β，那么∠A+∠C+∠D+∠F的度数为（　　） A．α+β B． C．α+β+90° D． 10．已知等腰三角形两边a，b，满足|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 二．填空题（共6小题） 11．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为___________ ． 12．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E，若AE＝5cm，△ABD的周长为25cm，则△ABC的周长为 _________ ． 13．如图，∠AOB＝50°，定点P为∠AOB内一点，在射线OA和OB上分别确定点M，N，使得△PMN的周长最小，则此时∠MPN的度数为_______ °． 14．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝____________________ ． 15．如图，在Rt△ABD与Rt△BCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝45°，下列结论：①EF＝BE+DF；②若∠BAE＝∠DAF，则BE＝DF；③AE平分∠BEF；④AC平分∠BCD．其中正确的是 ________ （填写序号）． 16．如图，在△ABC纸片中，AB＝12，BC＝9，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，求DE的长为__________________ ． 三．解答题（共9小题） 17．在△ABC中，∠A比∠B大10°，∠C比∠A大10°，求△ABC中各角的度数． 18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE． 19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2），直线m（直线m上所有点的横坐标均为﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1，并写出A1，C1点的坐标； （2）线段AB交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点D1的坐标； （3）线段AC上有一点M（x，y），直接写出点M关于直线m对称点M1的坐标． 20．如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，满足AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠BAD，且点E在线段AB上．连接EC，BD，求证： （1）∠ABD＝∠ACE； （2）∠BCE＝∠BDE． 21．如图，△ABD、△CBE均为等腰直角三角形，点A、B、C在同一条直线上．连接AE，CD． （1）求证：△ABE≌△DBC； （2）若BM、BN分别是△ABE和△DBC的中线，猜想线段BM与BN的位置关系，证明你的结论． 22．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．请你仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹．每个小题的划线不得超过两条． （1）在图1中，画出BC的中点D； （2）在图1中，作出△ABC的高BE； （3）在图1中，作∠CAF＝45°，且F为格点； （4）在图2中，AC＝BC，A为格线上的点，作BH⊥AC于H． 23．以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ACD与等腰△CBE，DA＝DC，EC＝EB，∠ADC＝α，∠CEB＝β，且α+β＝180°． （1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：DC⊥CE； （2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接AB，点F为AB中点，连接DF、EF，求证：DF⊥EF； （3）如图3，当点B在线段AD上运动时（点B与A、D不重合），连接DE，若α＝60°，AC＝4，且，求的最小值． 24．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，过点A作MN⊥AB，点D在AB上（不与点A，B重合），作∠DCE＝45°，∠DCE的边CE交直线MN于点E，连接DE． （1）如图1，当点E在射线AM上时，作CF⊥CE，CF交AB于点F，求证：△ACE≌△BCF； （2）如图2，当点E在射线AN上时，写出线段AE，DE，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的基础上，若CE与AD交于点P，当P为CE的中点，且四边形AEDC的面积比△BCD的面积大10时，直接写出△ABC的面积． 25．如图（1），AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝16cm，AC＝BD＝8cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）如图（1），若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，t＝4时，△ACP与△BPQ是否全等？请说明理由； （2）如图（1），若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，PC⊥PQ时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （3）如图（2），将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝55°”，AB＝14cm，点P在线段AB上以4cm/s，AC＝BD＝8cm，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 2026-2027学年第一学期人教版八年级期中模拟试卷（一） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：A、3+4＜8，不能摆成三角形，本选项不符合题意； B、8+7＝15，不能摆成三角形，本选项不符合题意； C、5+5＜11，不能摆成三角形，本选项不符合题意； D、13+12＞20，能摆成三角形，本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 3．如图，Rt△ABC≌Rt△DBE，若AB＝10，BE＝4，则CD＝（　　） A．6 B．4 C．10 D．14 【分析】先根据全等三角形性质得BD＝AB＝10，BC＝BE＝4，再根据CD＝BD﹣BC即可得出答案． 【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DBE，AB＝10，BE＝4， ∴BD＝AB＝10，BC＝BE＝4， ∴CD＝BD﹣BC＝10﹣4＝6， 故选：A． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键． 4．要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（　　）根木条． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形的稳定性，添加的木条把五边形分成三角形即可． 【解答】解：如图，至少需要2根木条． 故选：B． 【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 5．如图，△ABC≌△EDF，AF＝20，EC＝8，则AE等于（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据全等三角形的性质解答． 【解答】解：∵AF＝20，EC＝8， ∴AE+CF＝20﹣8＝12， ∵△ABC≌△EDF， ∴AC＝EF， ∴AE＝CF＝6， 故选：A． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 6．如图，已知AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，∠B＝20°，则∠A4＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【分析】由∠B＝20°根据三角形内角和公式可求得∠BA1A的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找∠BA1A与∠A4的关系即可解答． 【解答】解：∵AB＝A1B，∠B＝20°， ∴∠A＝∠BA1A（180°﹣∠B）（180°﹣20°）＝80°． ∵A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4， ∴∠A1CD＝∠A1A2C， ∵∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠BA1A＝2∠CA2A1＝4∠DA3A2＝8A4， ∴∠A4＝10°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系及等腰三角形的性质的综合运用．充分利用外角找出∠BA1A与∠A4的关系是正确解答本题的关键． 7．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断． 【解答】解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 8．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【分析】过P点作PE⊥OB于E点，如图，先根据角平分线的性质得到PE＝PC＝3，然后利用三角形面积公式求解． 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 9．如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知∠B＝a，∠E＝β，那么∠A+∠C+∠D+∠F的度数为（　　） A．α+β B． C．α+β+90° D． 【分析】连接AC，DF，利用四边形的内角和得到∠FAC+∠ACD+∠CDF+∠DFA＝360°，再细分成∠FAB+∠CAB+∠ACB+∠BCD+∠CDE+∠EDF+∠DFE+∠EFA＝360°，再由三角形内角和得到∠CAB+∠ACB＝180°﹣∠B，∠EDF+∠DFE＝180°﹣∠E，代入运算即可． 【解答】解：连接AC，DF如图所示： 由条件可知∠FAC+∠ACD+∠CDF+∠DFA＝360°， ∴∠FAB+∠CAB+∠ACB+∠BCD+∠CDE+∠EDF+∠DFE+∠EFA＝360°， ∴∠FAB+180°﹣∠B+∠BCD+∠CDE+180°﹣∠E+∠EFA＝360°， ∴整理得∠A+∠C+∠D+∠F＝∠B+∠E＝α+β． 故选：A． 【点评】本题考查了多边形的内角和外角性质，熟练掌握该知识点是关键． 10．已知等腰三角形两边a，b，满足|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长． 【解答】解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2＝0， ∴， 解得， 当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7； 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握． 二．填空题（共6小题） 11．点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为　（2，﹣3）　 ． 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）得出即可． 【解答】解：∵点P（2，3） ∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键． 12．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E，若AE＝5cm，△ABD的周长为25cm，则△ABC的周长为 　35cm ． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出AD＝CD，AE＝CE＝5cm，得到△ABD的周长＝AB+BC＝25cm，即可求出△ABC的周长． 【解答】解：由题意得到：MN垂直平分AC， ∴AD＝CD，AE＝CE＝5cm， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝25cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝25+5×2＝35（cm）． 故答案为：35cm． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，作图﹣基本作图，关键是由线段垂直平分线的性质推出AD＝CD，AE＝CE． 13．如图，∠AOB＝50°，定点P为∠AOB内一点，在射线OA和OB上分别确定点M，N，使得△PMN的周长最小，则此时∠MPN的度数为　80　 °． 【分析】结合题意，利用轴对称性质求三角形周长的最小值．通过分别作点P关于OA、OB的对称点E、F，将折线周长转化为线段EF的长度，从而确定当E，M，N，F四点共线时周长最小．最后利用对称性得出的角度倍分关系（∠EOF＝2∠AOB）以及等腰三角形△EOF的内角和性质，推导出∠MPN 等于180°﹣2∠AOB，即80°． 【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点E，连结EP、EO、EM， ∴EM＝MP， ∠MPO＝∠OEM， ∠EOM＝∠MOP． 作点P关于OB的对称点F， 连结NF、PF、OF， ∴PN＝FN， ∠OPN＝∠OFN， ∠PON＝∠NOF． ∴PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF， 即当点E、M、N、F共线时， △PMN的周长最小． 又∵∠EOF＝∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF， ∠AOB＝∠MOP+∠PON， ∴∠EOF＝2∠AOB． 又∵∠AOB＝50°， ∴∠EOF＝100°， ∵在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF＝180°， ∴∠OEM+∠OFN＝180°﹣100°＝80°， ∵∠MPO＝∠OEM， ∠OPN＝∠OFN， ∴∠MPN＝∠MPO+∠OPN＝∠OEM+∠OFN＝80°． 故答案为：80． 【点评】题目考查了轴对称——最短路线问题，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 14．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝　或　 ． 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【解答】解： ①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：50° ∴特征值k ②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20° ∴特征值k 综上所述，特征值k为或 故答案为或 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏． 15．如图，在Rt△ABD与Rt△BCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝45°，下列结论：①EF＝BE+DF；②若∠BAE＝∠DAF，则BE＝DF；③AE平分∠BEF；④AC平分∠BCD．其中正确的是 　①③④　 （填写序号）． 【分析】由AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，得∠ABE+∠ADF＝180°，∠BAE+∠DAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，可证明△EAH≌△EAF，则EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，可判断①正确；由∠BAE＝∠BAH，但AE与AH不一定相等，推导出BE与BH不一定相等，则BE与DF不一定相等，可判断②错误；由全等三角形的性质得∠AEH＝∠AEF，可判断③正确；作AP⊥CB于点P，AQ⊥CD于点Q，可证明△ABP≌△ADQ，得AP＝AQ，则AC平分∠BCD，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠ABE+∠ADF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°， 将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AH＝AF，BH＝DF，∠ABH＝∠ADF，∠BAH＝∠DAF， ∴∠ABE+∠ABH＝180°，∠EAH＝∠BAE+∠BAF＝45°， ∴∠EAH＝∠EAF， 在△EAH和△EAF中， ， ∴△EAH≌△EAF（SAS）， ∴EH＝EF， ∵EH＝BE+BH＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF， 故①正确； ∵∠BAE＝∠DAF， ∴∠BAE＝∠BAH， ∵AE与AF不一定相等， ∴AE与AH不一定相等， ∴BE与BH不一定相等， ∴BE与DF不一定相等， 故②错误； ∵△EAH≌△EAF， ∴∠AEH＝∠AEF， ∴AE平分∠BEF， 故③正确； 作AP⊥CB于点P，AQ⊥CD于点Q，则∠APB＝∠Q＝90°， ∵∠ABP+∠ADC＝180°，∠ADQ+∠ADC＝180°， ∴∠ABP＝∠ADQ， 在△ABP和△ADQ中， ， ∴△ABP≌△ADQ（AAS）， ∴AP＝AQ， ∴点A在∠BCD的平分线上， ∴AC平分∠BCD， 故④正确， 故答案为：①③④． 【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．如图，在△ABC纸片中，AB＝12，BC＝9，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，求DE的长为　　 ． 【分析】由折叠的性质可得：∠ABD＝∠CBD，BC＝BE＝9，∠C＝∠DEB，进而证得∠ADE＝∠AED，得到AD＝AE，由面积法可求解． 【解答】解：由折叠的性质可得：∠C＝∠DEB，∠BDE＝∠BDC，CD＝DE，∠ABD＝∠CBD，BC＝BE＝9， 如图，作DN⊥BC于点N，过点D作DM⊥AB于点M，则DN＝DM， ∵AB＝12， ∴AE＝3， S△ADB：S△BCD＝12：9＝4：3， ∵∠BCD＝2∠BDE， ∴∠EDC＝∠BED， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE＝3， ∵S△ADB：S△BCD＝4：3， ∴AD：CD＝4：3， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了折叠的性质等面积法求高，解题的关键是作出常用辅助线及熟练掌握折叠的性质． 三．解答题（共9小题） 17．在△ABC中，∠A比∠B大10°，∠C比∠A大10°，求△ABC中各角的度数． 【分析】利用三角形内角和定理以及已知条件构建方程组即可解决问题． 【解答】解：由题意：， 解得：． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE． 【分析】利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABD与△ACE中， ∵， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B＝∠C． 19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2），直线m（直线m上所有点的横坐标均为﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1，并写出A1，C1点的坐标； （2）线段AB交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点D1的坐标； （3）线段AC上有一点M（x，y），直接写出点M关于直线m对称点M1的坐标． 【分析】（1）根据轴对称的性质作出△A1B1C1，再根据图形写出点A1，C1点的坐标即可； （2）取格点E、F，则AE＝BF＝1，EF＝3，∠AED＝∠BFD＝90°，OF＝1，证明△AED≌△BFD（AAS），得出，求出，则，再由轴对称的性质即可得解； （3）根据轴对称的性质即可得解． 【解答】解：（1）如图：根据轴对称的性质作出△A1B1C1， 由图可得，A1（2，1），C1（1，2）； （2）如图，取格点E、F， 则AE＝BF＝1，EF＝3，∠AED＝∠BFD＝90°，OF＝1， 在△AED和△BFD中， ， ∴△AED≌△BFD（AAS）， ∴， ∴， ∴， ∴点D关于直线m对称点D1的坐标为； （3）∵线段AC上有一点M（x，y）， ∴点M关于直线m对称点M1的坐标为（﹣2﹣x，y）． 【点评】本题考查了作图—轴对称变换，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 20．如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，满足AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠BAD，且点E在线段AB上．连接EC，BD，求证： （1）∠ABD＝∠ACE； （2）∠BCE＝∠BDE． 【分析】（1）根据已知条件可依据“SAS”判定△ABD和△ACE全等，进而根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得2∠ABC+∠BAC＝180°，2∠ADE+∠BAD＝180°，再根据∠BAC＝∠BAD得∠ABC＝∠ADE，再根据三角形外角性质得∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝∠ADE+∠BCE，然后根据△ABD和△ACE全等得∠ADB＝∠AEC＝∠ADE+∠BCE，由此即可得出结论． 【解答】证明：（1）在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE； （2）在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 由三角形内角和定理得：∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴2∠ABC+∠BAC＝180°， 在△ADE中，AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， 由三角形内角和定理得：∠ADE+∠AED+∠BAD＝180°， ∴2∠ADE+∠BAD＝180°， ∵∠BAC＝∠BAD， ∴2∠ABC＝2∠ADE， ∴∠ABC＝∠ADE， ∵∠AEC是△EBC的外角， ∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE， ∴∠AEC＝∠ADE+∠BCE， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC， ∴∠ADB＝∠ADE+∠BCE， 又∵∠ADB＝ADE+∠BDE， ∴∠ADE+∠BCE＝ADE+∠BDE， 即∠BCE＝∠BDE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 21．如图，△ABD、△CBE均为等腰直角三角形，点A、B、C在同一条直线上．连接AE，CD． （1）求证：△ABE≌△DBC； （2）若BM、BN分别是△ABE和△DBC的中线，猜想线段BM与BN的位置关系，证明你的结论． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AE＝CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BMAE，BNCD，得到BM＝BN，根据等边对等角和全等三角形的性质进行等量代换即可证明BM⊥BN． 【解答】（1）证明：∵∠ABD+∠DBC＝180°，∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC＝90°， 在△ABE和△DBC中， ， ∴△ABE≌△DBC（SAS）； （2）解：BM＝BN，BM⊥BN， ∵△ABE≌△DBC， ∴AE＝CD， ∵M，N分别是AE、CD的中点， ∴BMAE，BNCD， ∴BM＝BN； ∴∠MBE＝∠MEB，∠NBD＝∠NDB， ∵∠MBN＝∠MBE+∠NBD， ∴∠MBN＝∠MEB+∠NDB＝∠MEB+∠EAB＝90°， ∴BM⊥BN． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 22．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．请你仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹．每个小题的划线不得超过两条． （1）在图1中，画出BC的中点D； （2）在图1中，作出△ABC的高BE； （3）在图1中，作∠CAF＝45°，且F为格点； （4）在图2中，AC＝BC，A为格线上的点，作BH⊥AC于H． 【分析】（1）取格点J，K，连接JK交BC于点D，点D即为所求； （2）取格点R，连接BR交AC的延长线于点E，线段BE即为所求； （3）如图1中，构造等腰直角三角形AFC即可； （4）取AB的中点J，连接CJ交BC边上的高于点O，连接BO，延长BO交AC于点H，线段BH即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求； （2）如图1中，线段BE即为所求； （3）如图1中，点F∠CAF即为所求； （4）如图2中，线段BH即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 23．以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ACD与等腰△CBE，DA＝DC，EC＝EB，∠ADC＝α，∠CEB＝β，且α+β＝180°． （1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：DC⊥CE； （2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接AB，点F为AB中点，连接DF、EF，求证：DF⊥EF； （3）如图3，当点B在线段AD上运动时（点B与A、D不重合），连接DE，若α＝60°，AC＝4，且，求的最小值． 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长DF至Q，使FQ＝DF，连接BQ，证明△AFD≌△BFQ（SAS），由全等三角形的性质得出AD＝BQ，∠DAF＝∠QBF，证明△DCE≌△QBE（SAS），由全等三角形的性质得出DE＝QE，则可得出结论； （3）取AB的中点F，连接EF，由（2）知DF⊥EF，由题意易得△ACD是等边三角形则有DE平分∠ADC，作EH⊥CD于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解． 【解答】（1）证明：在△DAC中，AD＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵∠DCA+∠DAC+∠ADC＝180°，∠ADC＝α， ∴， 同理可得：， ∵， ∴∠DCE＝90°， ∴DC⊥CE； （2）证明：延长DF至Q，使FQ＝DF，连接BQ， 在△AFD和△BFQ中， ， ∴△AFD≌△BFQ（SAS）， ∴AD＝BQ，∠DAF＝∠QBF， 又∵AD＝DC， ∴DC＝QB， 由（1）知∠DAC＝∠DCA，∠ECB＝∠EBC， 设∠DAC＝∠DCA＝x，∠ECB＝∠EBC＝y，∠CAB＝∠CAB，∠CBA＝∠CBA， ∴∠QBF＝x﹣∠CAB， ∴∠QBE＝y+x﹣∠CAB﹣∠CBA，∠DCE＝180°﹣y﹣x﹣∠CAB﹣∠CBA， 由（1）知y+x＝90°， ∴∠DCE＝∠QBE＝90°﹣∠CAB﹣∠CBA， 在△DCE和△QBE中， ， ∴△DCE≌△QBE（SAS）， ∴DE＝QE， 又∵DF＝QF， ∴DF⊥EF； （3）解：取AB的中点F，连接EF，由（2）知DF⊥EF， ∴EB＝EA， ∵EB＝EC， ∴EC＝EA，即点E在AC的垂直平分线上， ∵α＝60°，DA＝DC， ∴△ACD是等边三角形， ∴DE平分∠ADC，则∠EDC＝30°， 作EH⊥CD于H，则， ∴，根据垂线段最短，当A、E、H共线且AH⊥BC时，AE+EH最小值为A到CD的距离h， ∵， ∴， 解得：． ∴的最小值为． 【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，过点A作MN⊥AB，点D在AB上（不与点A，B重合），作∠DCE＝45°，∠DCE的边CE交直线MN于点E，连接DE． （1）如图1，当点E在射线AM上时，作CF⊥CE，CF交AB于点F，求证：△ACE≌△BCF； （2）如图2，当点E在射线AN上时，写出线段AE，DE，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的基础上，若CE与AD交于点P，当P为CE的中点，且四边形AEDC的面积比△BCD的面积大10时，直接写出△ABC的面积． 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质和角的和差证明∠BCF＝∠ACE和∠CAE＝∠CBF，再利用“边角边”证明三角形全等即可； （2）证明△ACE≌△BCF，△CDE≌△CDF，再根据全等三角形对应边相等得出AE＝BF，DE＝DF，即可求解； （3）先证明△HPC≌△APE，得出，再根据△ACE≌△BCF，△CDE≌△CDF，得出S△ACE＝S△BCF，S△CDE＝S△CDF，根据S四边形AEDC﹣S△BCD＝2S△ACE+S△BCD﹣S△BCD＝2S△ACE＝10，可得S△ACE＝5，最后根据即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠BCA＝90°，AC＝BC，CF⊥CE， ∴∠CAB＝∠B＝45°，∠BCA＝ECF＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACF＝∠ECF﹣∠ACF，即∠BCF＝∠ACE， ∵MN⊥AB， ∴∠MAB＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠CAD＝45°， ∴∠CAE＝∠CBF， ∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE≌△BCF（ASA）； （2）解：DE＝BD+AE，理由如下： 过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，则∠ECF＝90°， 同（1）得△ACE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF，CE＝CF， ∵∠DCE＝45°， ∴∠DCF＝90°﹣∠DCE＝45°＝∠DCE， 在△CDE与△CDF中， ， ∴△CDE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF， ∵DF＝BD+BF， ∴DE＝BD+AE． （3）解：过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠CHP＝90°， ∴∠CHP＝∠EAP＝90°， ∵AC＝BC， ∴， ∵P为CE中点， ∴CP＝EP， 在△APE与△HPC中， ， ∴△APE≌△HPC（AAS）， ∴， ∵△ACE≌△BCF，△CDE≌△CDF， ∴S△ACE＝S△BCF，S△CDE＝S△CDF， ∵S四边形AEDC＝S△ACE+S△CDE＝S△ACE+S△CDB+S△CBF＝2S△ACE+S△CDB， ∴S四边形AEDC﹣S△BCD＝2S△ACE+S△BCD﹣S△BCD＝2S△ACE＝10， ∴S△ACE＝5， ∵△AEP和△ACP等底等高， ∴， ∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 25．如图（1），AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝16cm，AC＝BD＝8cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）如图（1），若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，t＝4时，△ACP与△BPQ是否全等？请说明理由； （2）如图（1），若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，PC⊥PQ时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （3）如图（2），将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝55°”，AB＝14cm，点P在线段AB上以4cm/s，AC＝BD＝8cm，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用SAS定理证明△ACP≌△BPQ； （2）△ACP与△BPQ全等，根据全等三角形判定定理AAS进行证明即可； （3）分△ACP≌△BPQ，△ACP≌△BQP两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【解答】解：（1）△ACP与△BPQ全等， 理由如下：如图（1），当t＝4时，AP＝BQ＝8cm， 则BP＝16﹣8＝8（cm）， ∴BP＝AC＝8cm， 又∵∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）． （2）△ACP与△BPQ全等，理由如下： 如图（1），∵PC⊥PQ， ∴∠CPQ＝90°． ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°． ∴∠ACP＝∠BPQ． 又∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴AP＝BQ． 在△ACP与△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（AAS）． （3）①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ， 即， 解得，． ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP， 即， 解得，． 综上所述，当t，x＝4或t，x时，△ACP与△BPQ全等． 【点评】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/24 11:01:17；用户：狼的诱惑；邮箱：UID_B6F2C37AC4BC0A081F64DF52B2C648C2@qq.jyeoo.com；学号：24278983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $