2026-2027学年高一上学期数学期中培优练习（一）（范围：人教A版必修第一册第一章-第三章）

高一上学期数学培优练习题（一） 满分150分，用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡写上考生姓名、考生号、考场号、座位号等相关信息. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5.范围：必修一第一章至第三章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】对于集合：解不等式，解得.所以. 因为，所以.因为，根据集合元素的互异性可知，即. 要使，则需满足且，即，解得.结合，可得实数的取值范围是.故选：C 2.（26-27高一·福建莆田·阶段检测）设，满足（），若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】等价于，因为，二次函数的对称轴为，所以若是的充分不必要条件，只需满足：二次函数图象与轴有两个交点，且较大零点大于3，即，解得.即实数的取值范围是.故选：D 3.（26-27高一·贵州贵阳·阶段检测）已知定义在上的函数满足：①时，，②，则（    ） A．70 B．71 C．72 D．73 【详解】当时，由得，则， 当时，由得，则， 当，时，，得， 当时，， 当时，， 当时，.故选：C 4.（25-26高一·湖南娄底·阶段检测）若实数满足，则（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的最小值是 D．的最大值是 【详解】对于A，由，两式相加得，即，故A错误； 对于B，由，得，又，两式相加得，所以，故B错误；对于C，D，设，由解得，即.因为，所以，又，所以，所以，故C错误，D正确，故选：D. 5.函数的解析式为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，， 若即，则，即，因为恒成立，所以即，又，故无解；若即，则，即，因为恒成立，所以即，又，故；当时，恒成立，即恒成立，故，当时，，故.综上，实数的取值范围为.故选：D. 6.（26-27高一·重庆渝中·阶段检测）已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数在其定义域内为偶函数，所以，，即，，所以，所以，，所以， 又，所以，解得，所以，当时，单调递减，故在上单调递增，所以由可得，故只需，所以，即，解得或，因此实数的取值范围为．故选：B 7.（25-26高一·湖南娄底·期末）（改编）若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法错误的是（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 【详解】对于A，在中，令，可得，故，即，故A正确；对于B，令，则，结合，得，当时，有，即不恒为0，故必有，即是奇函数，故B正确，对于C，由于是奇函数，故，令，则，因此的图象关于对称，即的图象关于对称，故C正确，对于D，当且时，此时，显然，故D错误.故选：D 8.（26-27高一·陕西西安·阶段检测）定义为，，中的最小值；设，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【详解】因为是三个函数、、中的较小者，我们先求出三条曲线的交点划分定义域： 令，解得；令，解得或； 令，解得，；当时，，所以不是函数的分段点； 当时：，，所以是函数的分段点； 当时，因为，所以此时最小的不是， 所以不是函数的分段点；当时，，所以是函数的分段点；综上所述，，是函数的分段点.当时：是上升的，是下降的，最小的是，即，；当时：是最小的，，； 当时，三者中最小的是，是上升的，； 即，且有最大值.综上，有最大值.故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高一·湖北黄石·阶段检测）已知 ，则下列选项中正确的有（　　） A． B．函数 与 （）是同一个函数 C．函数 的定义域是 D．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 【详解】令 ，则 ，，所以 ，即 （）．A项：解析式 ，，A错误；B项：（）与 （）定义域相同、对应关系相同，是同一个函数，B正确；C项：由 且 得 且 ，定义域为 ，C正确；D项：需 恒成立．当 时 恒成立；当 时需 ，即 ；当 时开口向下，不可能恒成立．故 ，D正确．故选：BCD 10.（25-26高一·湖南娄底·阶段检测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【详解】对于A，由去分母，整理得，因为，显然，等号右边大于0，则等号左边必大于0，又因为，所以，得，故A正确；对于B，由A得，则，因，则， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为，故B正确； 对于C，由去分母，得，即得，因，所以，则，当且仅当时等号成立，由解得，即当时，取得最小值为2，故C错误；对于D，由A得，代入，得，设0，则，当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确.故选：ABD 11.（26-27高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数 的定义域是，、都有 ，且当时，，且，则下列说法正确的是（　　） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围是 【解答】对于A选项，令，可得，解得，A选项正确；对于B选项，任取、且，则，所以，所以，故函数在上单调递增，B对；对于C选项，令，则，所以，C选项错误；对于D选项，因为，所以，，由可得，因为函数是定义在上的增函数，所以，解得，故不等式的解集为，D选项错误.故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高一·吉林四平·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是_____． 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上是增函数，所以在上单调递减，且，当时，，当时，， 当时，，当时，，不等式等价于或，解得，解得，综上，原不等式的解集为. 13.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 若，则当时，， 当且仅当，即时，等号成立.所以当，即，解得，即时，函数的值域为； 若，则当时，.此时的值域为，不合题意； 若，则当时，单调递增， 当时，；当时，，故，即. 综上，实数a的取值范围为. 14.（26-27高一·湖南常德·阶段检测）已知正数a，b，c满足，则的最小值为________． 【详解】 ，而， 当且仅当即时等号成立，故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高一·福建三明·阶段检测）已知集合：，. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得，因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得，综上所述，.故实数的取值范围为. （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，，则（等号不能同时取到），解得，故实数的取值范围是. 16.（满分15分） （26-27高一·安徽亳州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求与的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围． 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，即，即，得，则，又，解得. （2）函数在上单调递增，证明如下：由（1）知，任取，且，即，则 ，，，，则，，因此，函数在区间上单调递增； （3）由题意可知．由（2）知，函数是上的增函数，． ，函数在区间上单调递增，． ，解得，所以．因此，正实数的取值范围为． 17.（满分15分） （26-27高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，满足. （1）设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数； （2）设. ①当时，求在上的最小值； ②若对任意实数 恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）证明：由题意可得，令，则， 时，且，故，故在区间上为减函数；时，且，故，故在区间上为增函数. （2）①易知在上的值域为，令 ，再令，由（1）可知 在上单调递增，故 的最小值为 =，即的最小值为. ②因为恒成立，故，即， 由①：当时，，令，令， 由（1）知，在上为减函数，在上为增函数，时，在上为减函数， 故，，故，得，和矛盾，时，在上为减函数，在上为增函数， ，即，得，时，在上为增函数，故，得，不合题意；综上得：. 18.（满分17分） 已知关于的函数． （1）解关于的不等式； （2）当时，求在上的最小值； （3）如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 【详解】（1）原不等式可以变为， 所以当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）函数的图象开口向上，对称轴为， ①当时，函数在上单调递增，； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，综上，． （3）由（2）知，在上为减函数， ①若，单调递减，若为“闭函数”，则，两式相减得，这与矛盾． ②时，若为“闭函数”，则，此时满足条件的存在， ∴时，使得为“闭函数”存在， ③时，若为“闭函数”，则，消去得，即， 解得此时，，且，∴时，使得为“闭函数”的存在， 综上所述，当满足时，为“闭函数”． 19.（满分17分） （26-27高一·天津津南·阶段检测）已知函数，． （1）若，使能成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【详解】（1），即，整理得. 因为，使成立，即关于的不等式有解. 当时，不等式，即，不符合题意； 当时，抛物线的开口向下，不等式一定有解，符合题意； 当时，抛物线的开口向上，若不等式有解，则，解得. 综上，实数的取值范围是或. （2）方程，即，整理得. 若关于的方程有两个不相等的实数根、，所以，且.由得或；又，即，所以， 所以，由得，所以，即的取值范围是. （3）令，则；令，则，当且仅当时等号成立，若存在使关于的方程有四个不同的实根，即关于的方程有两个不相等的正实根，此时，所以 由得，由得；由得，解得；由得，所以原问题转化为关于的不等式有解， 由，可知有解，即，有解，解得或，结合可得，即实数的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期数学培优练习题（一） 满分150分，用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡写上考生姓名、考生号、考场号、座位号等相关信息. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5.范围：必修一第一章至第三章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高一·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2.（26-27高一·福建莆田·阶段检测）设，满足（），若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27高一·贵州贵阳·阶段检测）已知定义在上的函数满足：①时，，②，则（    ） A．70 B．71 C．72 D．73 4.（25-26高一·湖南娄底·阶段检测）若实数满足，则（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的最小值是 D．的最大值是 5.函数的解析式为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（26-27高一·重庆渝中·阶段检测）已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高一·湖南娄底·期末）（改编）若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法错误的是（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 8.（26-27高一·陕西西安·阶段检测）定义为，，中的最小值；设，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高一·湖北黄石·阶段检测）已知 ，则下列选项中正确的有（　　） A． B．函数 与 （）是同一个函数 C．函数 的定义域是 D．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 10.（25-26高一·湖南娄底·阶段检测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11.（26-27高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数 的定义域是，、都有 ，且当时，，且，则下列说法正确的是（　　） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高一·吉林四平·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是_____． 13.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 14.（26-27高一·湖南常德·阶段检测）已知正数a，b，c满足，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高一·福建三明·阶段检测）已知集合：，. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16.（满分15分） （26-27高一·安徽亳州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求与的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围． 17.（满分15分） （26-27高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，满足. （1）设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数； （2）设. ①当时，求在上的最小值； ②若对任意实数 恒成立，求实数的取值范围. 18.（满分17分） 已知关于的函数． （1）解关于的不等式； （2）当时，求在上的最小值； （3）如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 19.（满分17分） （26-27高一·天津津南·阶段检测）已知函数，． （1）若，使能成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $