2026-2027学年高一上学期数学期中基础练习（一）（范围：人教A版必修第一册第一章-第三章）

高一上学期数学基础练习题（一） 满分150分，用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡写上考生姓名、考生号、考场号、座位号等相关信息. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5.范围：必修一第一章至第三章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合，，若，则由实数构成的集合为（     ） A． B． C． D． 【详解】若，则，此时，，满足题意； 若，则，解得，当时，则，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意；若，则，解得或；当时，满足题意；当时，，，满足题意；综上所述：由实数构成的集合为.故选：A 2.（26-27高一·浙江湖州·阶段检测）下列各组函数是相等函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解答】对于A， 的定义域为 ， 的定义域为 ，且 ，两函数相等，故A正确；对于B，，，对应关系不同，不相等，故B错误；对于C， 的定义域不含 ， 的定义域为 ，不相等，故C错误；对于D，，与 对应关系不同，不相等，故D错误.故选：A 3.如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【详解】对于B，记，则，故不为偶函数，其图象不关于轴对称，不符合题意，故B错误；对于C，时，，故C错误；对于D，记，则，故不为偶函数，其图象不关于轴对称，不符合题意，故D错误； 对于A，记，则，故为偶函数，其图象关于轴对称，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，且，故A符合题意. 4.（26-27高一·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（） A．若，，则 B．的最小值是2 C．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 D．若实数a，b满足，，则 【详解】选项A：同向不等式相乘仅在两边均为正数时成立，若存在负数则不成立，故A错误. 选项B：令，由得，原式化为.函数在时单调递增，故最小值为，等号成立条件无法取到，故B错误.选项C：不等式的解集为，说明，且方程的两根为和；由韦达定理：得，； 代入不等式，得，即.由，得，解集为，与选项描述不符，故C错误.选项D：设，整理得：， 对比系数得，解得，；因此，由，得；由，得；两式相加得，故D正确. 5.（26-27高一·天津滨海新区·阶段检测）已知命题：，，命题：，，若命题为假命题，是真命题，则实数的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【详解】因为命题：，，且命题为假命题，所以：，为真命题， 解得，则，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故，故，因为命题：，，且是真命题， 所以，解得或，则或，解得或，故选B. 6.（26-27高一·四川成都·阶段检测）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】当时，解得，不等式有无数个整数解，不满足要求；故，由关于的不等式可得，所以，即， 方程的两根为，当时，不等式可化为，，解集为或，不等式有无数个整数解，不满足条件； 当时，不等式可化为，当时，则，即，不等式的解集为 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集，不满足条件；当时，则，即，不等式的解集为 ，要使不等式有且只有一个整数解，则，解得，故实数的取值范围为.故选B 7.（25-26高一·安徽安庆·期中）设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为是偶函数，所以①， 因为是奇函数，所以②． 令，由①得：， 由②得：，因为，所以， 令，由②得：，所以当时，， .故选：C． 8.（26-27高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，可得，可设， ，即，已知为正数，则，所以，观察配凑，得，因为，则，当且仅当，即，时取得最小值.所以的最小值为.故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高一·江苏无锡·阶段检测）下列选项正确的是（     ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 D．函数的值域为 【详解】选项A：已知的定义域为，则需满足，解不等式得，故的定义域为，A正确. 选项B：令，则，代入函数得，该二次函数开口向下，对称轴为，当时取最大值，时， 故值域为，B正确. 选项C：由题意得，解得，故实数的取值范围为，C错误.选项D：函数变形为，由于，故，值域为，D正确.故选：ABD 10.已知a，b为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【详解】由，可得，对于A，令，，则，且，可得，则，当且仅当，即，，即，时，等号成立，A错误；对于B，由，可得， 则，当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时，即，，即，时，等号成立，C正确；对于D，由，可得，当且仅当即，时等号成立，所以的最小值为，D错误．故选：BC 11.给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为函数，下列说法正确的是（    ） A． B．方程有两个根 C．函数的单调递增区间为， D．若存在常数，使得成立，则b的最小值为5 【详解】当时，，则，因为，所以恒成立，即，所以当时，；当时，， 则，令，解得或，即，令，解得，即，所以当或时，；当时，．综上，，作出的图象如下图： 对于A:，故A正确； 对于B:即，由图知，与的图象有三个交点，即方程有3个根，故B错误；对于C:由图知，函数的单调递增区间为，，故C正确；对于D:当时，，由得，，即，解得或（舍），当时，，由得，，即，所以，即当时，恒成立综上，或，所以b的最小值为2，故D错误．故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高一·山西忻州·阶段检测）已知集合，则的真子集的个数为_______ 【详解】由，可得或或或， 解得，集合中有4个元素，所以其真子集的个数为． 13.已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【详解】由是幂函数，且在上单调递减，则，即，解得，则，即，又，，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 14.（26-27高一·福建漳州·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为______． 【详解】因为有两个不相等的实数根，所以，即：，所以，根据韦达定理得：，，所以 ，由基本不等式得：，当且仅当，即：时等号成立，此时最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高一·天津东丽·阶段检测）已知集合，. （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，或. 当时，所以或.所以，. （2）因为，所以. 当时，，则； 当时，由题意得，解得.综上，实数的取值范围是. 16.（满分15分） （26-27高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于实数的不等式. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，则， 由，解得，所以，故函数的解析式为. （2）函数在区间上单调递增，证明如下：任取，且，则， 因为，所以，，所以，即， 因此函数在区间上单调递增. （3）由题意，函数是定义在上的奇函数，则由，得，即，又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得，则关于实数的不等式的解集为. 17.（满分15分） （26-27高一·广东珠海·阶段检测）已知函数，． （1）当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． （2）当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 【详解】（1）（i）当时，．任取，则 ．因为，所以，，从而，所以，即，故在上单调递减． （ii），令，则，且． 所以可化为．当时，单调递增，；当时，单调递减，． 所以的值域为，即的值域为． （2）对任意，存在使，等价于． 因为，所以在上单调递减，所以． 当时，在上单调递增，此时； 当时，，当且仅当时等号成立，此时； 当时，在上单调递减，此时. 当时，，，，所以不成立，故只能是的情况，所以，得，又，所以.故的最大值为． 18.（满分17分） 已知二次函数 （1）若不等式的解集为，求实数，的值； （2）在（1）的条件下，解关于的不等式； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【详解】（1）由得，即，因为不等式的解集为，所以，解得. （2）由（1）不等式即，整理得， 若，则对应二次函数开口向上，，解得或； 若，则不等式变为，解得； 若，则对应二次函数开口向下，，解得； 若，则不等式即，无解； 若，则对应二次函数开口向下，，解得. 综上，当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）当时，，不满足对任意，恒成立； 当时，若对任意，恒成立，则，即， 所以，令，则， 则，因为， 所以，所以当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 19.（满分17分） （26-27高一·江苏徐州·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意，定义集合：． （1）若，求； （2）若对于任意实数，恒有，求证：对于任意的，都有； （3）已知函数满足以下限定条件：对任意实数且，恒有，若，，，，，求证：． 【详解】（1）由，得，．由集合的定义，等价于，即，解得或．所以． （2）任取，． 当时，，故． 当时，，由已知条件，得，即，故． 因此，对于任意，均有． （3）反设．由，可知，故． 令，，，并记，．由，得． 设，．由于，有；由于，有． 于是存在，使得因为，，可以取正整数，满足从而，且．结合、，可得 记此不等式为①． 下面利用题设条件得到与①相反的结论．把区间分成个小段，把分成个小段，且使全部个小段的长度依次严格递减．这样的分法可以实现：取充分小的，令由于，当足够小时，这些长度均为正，且；前个长度之和为，后个长度之和为．按上述长度依次取分点，并记．由于，有，由题设条件得所以前个增量均小于后个增量，进而这与①矛盾．因此． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期数学基础练习题（一） 满分150分，用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡写上考生姓名、考生号、考场号、座位号等相关信息. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5.范围：必修一第一章至第三章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合，，若，则由实数构成的集合为（     ） A． B． C． D． 2.（26-27高一·浙江湖州·阶段检测）下列各组函数是相等函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高一·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（） A．若，，则 B．的最小值是2 C．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 D．若实数a，b满足，，则 5.（26-27高一·天津滨海新区·阶段检测）已知命题：，，命题：，，若命题为假命题，是真命题，则实数的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 6.（26-27高一·四川成都·阶段检测）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7.（25-26高一·安徽安庆·期中）设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 8.（26-27高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高一·江苏无锡·阶段检测）下列选项正确的是（     ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 D．函数的值域为 10.已知a，b为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 11.给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为函数，下列说法正确的是（    ） A． B．方程有两个根 C．函数的单调递增区间为， D．若存在常数，使得成立，则b的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高一·山西忻州·阶段检测）已知集合，则的真子集的个数为_______ 13.已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 14.（26-27高一·福建漳州·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高一·天津东丽·阶段检测）已知集合，. （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 16.（满分15分） （26-27高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于实数的不等式. 17.（满分15分） （26-27高一·广东珠海·阶段检测）已知函数，． （1）当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． （2）当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 18.（满分17分） 已知二次函数 （1）若不等式的解集为，求实数，的值； （2）在（1）的条件下，解关于的不等式； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 19.（满分17分） （26-27高一·江苏徐州·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意，定义集合：． （1）若，求； （2）若对于任意实数，恒有，求证：对于任意的，都有； （3）已知函数满足以下限定条件：对任意实数且，恒有，若，，，，，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $