2026-2027学年高一上学期数学期中自编模拟试题（范围：人教A版必修第一册第一章-第三章）

2026—2027学年高一数学上学期期中模拟试题 （范围：人教A版必修一第一章-第三章 难度系数0.55） 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（本题5分）对于实数，，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则，.其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（本题5分）“”是“关于x的不等式对任意实数x恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（本题5分）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 5．（本题5分）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（本题5分）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（本题5分）已知a，b∈R，a+b＝2.则的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 8．（本题5分）定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称；②对任意的，当时，不等式成立．令，，，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列各组函数是同一函数的有（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若实数a，b，c满足，则 B．若，则函数的最小值为2 C．不等式的解集为 D．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 11．（本题6分）已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C． D． 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）若函数是上的严格减函数，则k的取值范围为______． 13．（本题5分）已知函数 若，则________． 14．（本题5分）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）设m为实数， (1)当时，解不等式； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围. 16．（本题15分）如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼． (1)现有可围长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？ (2)若每间虎笼的面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 17．（本题15分）已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，. (1)判断并证明的单调性； (2)当时，求关于的不等式的解集. 18．（本题17分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂本年内生产该商品能全部销售完. (1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的利润最大？ 19．（本题17分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界，已知函数， （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合； （3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027学年高一数学上学期期中模拟试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C C A C D ACD AD 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】解出集合、，利用交集的定义即可求解. 【详解】已知集合，由，解得，所以， 集合，由，解得或，所以， 因此，即，故C正确. 2．C 【分析】利用不等式的性质可逐一判定各个命题得解. 【详解】对于①，当时，，①错误； 对于②，由，得，不等式两边同时除以，得，②正确； 对于③，当时，，且，因此成立，③正确； 对于④，，，则，因此，④正确， 所以真命题的个数是3. 故选：C 3．D 【分析】先根据关于x的不等式对任意实数x恒成立得出，再根据取值范围的关系判断即可得出答案. 【详解】因为关于x的不等式对任意实数x恒成立， 当时，不等式可化为恒成立； 当时，要使不等式恒成立，则有解得：； 综上：实数的取值范围为：， 若成立，则不一定成立；反之也不成立， 所以“”是“关于x的不等式对任意实数x恒成立”的既不充分也不必要条件， 故选：. 4．C 【分析】对数的真数大于零，分母不为零，被开方数大于等于零，依据以上三点，列不等式求解. 【详解】欲使函数有意义，则 ，即 解得 故选：C. 【点睛】本题考查函数定义域的求解，涉及对数函数，被开方数非负，以及分母不为零. 5．C 【分析】先根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以“”是“”的充要条件. 6．A 【分析】先求出对应的不等式的解，再利用集合包含关系，进而可选出答案. 【详解】由题意，，设 ，解得：或，设或 显然A是B的真子集，所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 7．C 【分析】化简配方可得+＝，令t＝ab﹣1＝a（2﹣a）﹣1＝﹣（a﹣1）2≤0，则＝，令4﹣2t＝s（s≥4），即t＝，再由基本不等式计算可得最大值. 【详解】解：a，b∈R，a+b＝2. 则+＝ ＝＝＝， 令t＝ab﹣1＝a（2﹣a）﹣1＝﹣（a﹣1）2≤0， 则＝， 令4﹣2t＝s（s≥4），即t＝， 可得＝＝， 由s+≥2＝8， 当且仅当s＝4，t＝2﹣2时上式取得等号， 可得≤ ＝， 则+的最大值为， 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意化简变形和换元，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于较难题. 8．D 【分析】先由已知得出函数的奇偶性及单调性，再比较的大小关系，运算即可得解. 【详解】解：由的图象关于直线对称；则函数为偶函数， 由对任意的，当时，不等式成立， 则函数在为增函数， 综上可得在为减函数， 又， 所以 ， 故选D. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性，属中档题. 9．ACD 【分析】通过判断定义域和解析式是否相同确定是否同一函数 【详解】A.两个函数定义域和解析式都一样，是同一函数 B.的定义域为，的定义域为，定义域不一样，不是同一函数； C.，两个函数定义域和解析式都一样，是同一函数 D. ,两个函数定义域和解析式都一样，是同一函数. 故选：ACD. 10．AD 【分析】根据不等式的性质判断AB，根据一元二次不等式的解法判断C，根据不等式恒成立求出参数判断D. 【详解】因为，所以，所以，即，故A正确； 因为，，所以，故B错误； 由可得，解得或，故C错误； 当时，对恒成立，满足题意； 当时，恒成立， 则，解得，综上k的取值范围是，故D正确. 故选：AD 11．BC 【分析】根据题意，先判断函数与函数的图象有相同的对称中心，再依次判断各个选项即可. 【详解】选项A:函数为定义在R上的奇函数，则有，即，又，所以函数的图象关于点中心对称，无法判断是否关于点对称，所以选项A错误； 方法二：函数为定义在R上的奇函数，则函数的图象关于坐标原点对称.函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，因此函数的图象关于点对称.无法判断是否关于点对称，所以选项A错误； 选项B:函数，因此函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到.因为反比例函数的图象关于坐标原点对称，所以函数的图象关于点对称，所以选项B正确； 选项C、D:函数与函数的图象都关于点对称，且函数的图象不过点，所以它们的所有交点关于点对称，不妨设，则有，， 所以，，所以C选项正确；D选项错误． 故选：BC. 12． 【分析】根据一次函数的单调性可得结果. 【详解】因为函数是上的严格减函数， 所以，得， 所以k的取值范围为. 故答案为：. 13．0或 【分析】通过分析分段函数的值域，易知时，讨论的范围即可代入求解. 【详解】当时，，因为，所以； 当时，， 令，即，解得， 当时，令，解得； 当时，令，解得， 故答案为：0或 14． 【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值. 【详解】①若时，即当时，， 因为二次函数开口向上且对称轴为直线， 所以函数在上单调递减，且， 当时，，且，此时，函数无最小值； ②若时，即当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以，整理可得，， 解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以，整理可得， 因为，解得或（舍去）， 综上所述，实数的取值集合为. 15．(1){或}； (2) 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意得恒成立，则，解不等式组可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时， 解得或 故不等式的解集为或， （2）由题意可得，恒成立， 则，解得 故m的取值范围为 16．(1)长为，宽为 (2)长为，宽为 【分析】（1）设每间老虎笼的长为，宽为，则每间老虎笼的面积为，可得出，利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论； （2）设每间老虎笼的长为，宽为，则，利用基本不等式可求得钢筋网总长的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论. 【详解】（1）解：设每间老虎笼的长为，宽为，则每间老虎笼的面积为， 由已知可得， 由基本不等式可得， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为，宽为时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为，宽为，则， 钢筋网总长为， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 17．(1)减函数，证明如下： ，不妨设，依题意， 即， 因为，所以， 所以， 因此， 即， 所以为减函数. (2) 当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为. 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）利用函数的单调性及条件含参讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）为减函数，证明略； （2）原不等可化为 即： 因单调递减，故成立. 即： 当时，有，解为， 当时，，解为， 当时，，解为， 综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为. 18．(1) (2)100 【分析】（1）分两种情况进行研究，当时，投入成本为（万元），根据年利润销售收入-成本，列出函数关系式，当时，投入成本为，根据年利润销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案； （2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案. 【详解】（1）每件商品售价为0.05万元， x千件商品销售额为万元， ①当时，根据年利润销售收入-成本， ； ②当时，根据年利润销售收入-成本， . 综合①②可得，； （2）①当时，， 当时，取得最大值万元； ②当时，， 当且仅当，即时，取得最大值万元. 综合①②，由于， 年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大. 19．（1）a= -1；（2）；（3） 【分析】（1）根据奇偶性的定义求出a的值； （2）先求出函数的单调区间及值域，从而求出函数在区间上的所有上界构成的集合； （3）问题转化为恒成立问题，通过换元法求解即可 . 【详解】（1）函数为奇函数，所以， 即，所以，解得 而当a=1时，不合题意，故a= -1. （2）由（1）知：，易知在上单增， 所以函数在区间上单增，所以 在区间上值域为 所以，故函数在区间上的所有上界构成的集合为. （3）由题意可知：在上恒成立，所以 即，所以在上恒成立， 所以 令 易知在上递减，所以， 在上递增，所以， 所以，即实数的取值范围为 【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或； （2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $