4.1 列代数式·培优讲义 ·2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题01 列代数式 培优进阶讲义 浙教版七年级上册　第4章　代数式 一、本讲题型目录 题型 题型名称 考查核心（知识点） 考频 对应集训 一 代数式书写规范陷阱辨析 代数式的概念、书写规范 5 条 高频 1—2 二 文字语言转代数式 运算顺序、「的」字层次划分 高频 3 三 实际情境列代数式 销售利润、行程、分段计费 高频 4—9 四 几何图形周长与面积 周长面积公式、单位与括号 中频 10—12 五 图形规律探究 用含 的式子表示规律 高频 13—15 二、核心知识速记 表1　代数式的判断标准：什么是代数式？ 式子 是代数式吗 判断理由 是 用运算符号把数与字母连接而成，不含等号、不等号 是 单独一个字母也是代数式（最容易被误判） 是 单独一个数也是代数式（最容易被误判） 是 含除法运算，但写成了分数线，仍是代数式 不是 含「＝」，它是等式（方程），不是代数式 不是 含「＞」，它是不等式 不是 含「＝」，是等式 不是 含「≠」，是不等式 一句话记牢：代数式＝只用运算符号（＋　−　×　÷　乘方）连接数或字母的式子，不含 ＝ ＞ ＜ ≠ ≥ ≤ 这些「关系符号」。 表2　代数式书写规范 5 条规则 规则 规范写法（对） 错误写法（错） 错在哪里 ① 乘号省略，数字写在字母前面 、 、 数字跑到字母后面去了 ② 相同字母相乘，写成乘方 、 、 同一个字母相乘没写成幂 ③ 除法一律写成分数线 、 、 除号「÷」不能留在结果里 ④ 带分数化假分数，系数 1、−1 省略 、、 、、 带分数不能与字母直接相乘；1 不必写 ⑤ 结果是和或差又带单位时，必须加括号 元、 米 元、 米 不加括号，单位只「管」最后一项 阅卷口径：这 5 条只要错一条，整空判 0 分——不是「扣一点分」，是全错。所以每写一个代数式，写完务必扫一眼这 5 条。 表3　列代数式关键词对应表（把中文翻译成符号） 文字表述 对应运算 举例：文字 → 代数式 和、加上、与……的和、比……多 ＋ a 与 b 的和 → ；比 x 多 3 → 差、减去、与……的差、比……少 − a 与 b 的差 → ；比 x 少 3 → 积、乘以、的……倍 ×（乘号省略） a 的 3 倍 → ；x 的 3 倍与 y 的积 → 商、除以、……分之…… ÷（写成分数线） x 除以 3 → ；m、n 的商 → 几分之几、占……的 ×（分数） a 的 → 平方、立方 乘方 a 的平方 → ；x 的立方 → 平方和 / 和的平方 先平方后加 / 先加后平方 　与　（完全不同） 增加到 / 增加了 变成该数 / 加上该数 增加到 a → ；增加了 a → 原数＋ 翻译口诀：最后一步的运算符号，写在整个式子的最外层。「…的和的平方」最后一步是平方 → 平方号在最外层；「…的平方和」最后一步是加 → 加号在最外层。 【即时小练】　3 道概念判断题　限时 5 分钟　（答案见附录） 1．下列各式中，是代数式的有＿＿＿＿＿＿（填序号）： ① 　　② 　　③ 　　④ 　　⑤ 　　⑥ 2．下列写法规范吗？不规范的，把正确写法写在横线上： (1) → ＿＿＿＿　　(2) → ＿＿＿＿　　(3) → ＿＿＿＿ 3．用代数式表示：m 的 3 倍与 n 的和的一半 答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、题型精讲 📌　题型一：代数式书写规范陷阱辨析 🔍 考查核心：代数式的概念与书写规范。考频：高频，以选择、填空出现，每卷 1—2 题。 📝 解题三步模板 第 1 步　一审身份：式子里有等号、不等号吗？有 → 不是代数式；没有 → 是（哪怕只是一个数、一个字母）。 第 2 步　二审书写：拿表 2 的五条规则逐条对照——数字在前、乘号省略、除法用分数线、带分数化假分数、系数 1 省略。 第 3 步　三审括号：结果是和或差、后面又带单位时，必须整体加括号。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：以为「单独一个数或一个字母」不算代数式。、 都是代数式。 · 陷阱二： 写成 、 直接照抄——这两类整空判 0 分，不是扣一点分。 📖 典例精讲 【题目】下列各式中：① 　② 　③ 　④ 　⑤ 　⑥ 　⑦ 　⑧ (1) 其中是代数式的有哪些？ (2) 把其中书写不规范的代数式改写成规范形式。 👉 思路点拨：先用「有没有 ＝ ＞ ＜ ≥」把式子分成两堆，再在留下的那堆里按五条规范逐个过筛。 ✍️ 规范解析：(1) ② 含「＝」是等式，⑧ 含「≥」是不等式，两者都不是代数式。【得分点：五个代数式要答全，漏一个不得分】 　　　所以代数式是 ①③④⑤⑥⑦。其中 ③ 是一个数、④ 是一个字母，它们同样是代数式。 (2) ⑤ 乘号可省，但数字必须写在字母前 → 。【得分点：数字在字母前】 　　　⑥ 带分数与字母相乘，先化假分数 → 。【得分点：不许把带分数直接挨着字母】 　　　⑦ 除法写成分数线，分子是「x 与 y 的和」这个整体 → 。【得分点：分子不丢项】 ✅ 标准答案：(1) ①③④⑤⑥⑦；(2) 、、。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　下列各式中：① 　② 　③ 　④ 　⑤ 　⑥ 。 其中是代数式的有＿＿＿＿；书写不规范的是＿＿＿＿，改正为＿＿＿＿＿＿。 变式2【能力提升】　下列各组代数式中，书写全部规范的一组是（　　） A．，，　　　B．，， C．，，　　　D．，， 变式3【培优压轴】　一个长方形的长是 cm，宽是 cm。 (1) 用代数式表示它的周长（带单位）； (2) 有同学把周长写成「 cm」，这个式子表示什么？它和真正的周长相等吗？ 📌　题型二：文字语言转代数式（语序易错点突破） 🔍 考查核心：把文字叙述翻译成符号语言，核心是运算顺序与层次划分。考频：高频，选择、填空必考。 📝 解题三步模板 第 1 步　定最后一步：通读整句，找出最后一个运算词（和 / 差 / 积 / 商 / 倍 / 平方），它就是整个式子的「主干」。 第 2 步　断「的」字层次：「的」字把句子切成前后两层，后面那层才是主体，所以从后往前算。 第 3 步　加括号定型：把先算的那一层用括号整体括起来，再逐项核对有没有漏括号。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：「a、b 的平方和」是 ，「a 与 b 的和的平方」是 ——「的」字挪一个位置，结果完全不同。 · 陷阱二：「比 a 的 3 倍少 5」是 ，不是 ，更不是 。 📖 典例精讲 【题目】用代数式表示： (1) x 的 2 倍与 y 的和；　　　　(2) x 与 y 的和的 2 倍； (3) a、b 两数的平方和；　　　　(4) a、b 两数的和的平方； (5) 比 a 的 3 倍少 5 的数；　　 (6) m 与 n 的差除以 4 的商。 👉 思路点拨：每一句都先问自己一句「最后一步做什么运算」，把那一步的符号写在整个式子的最外层。 ✍️ 规范解析：(1) 最后一步是「和」，被加的是 与 → 。【得分点： 外面不加括号】 (2) 最后一步是「2 倍」，被乘的整体是「x 与 y 的和」→ 。【得分点：括号一漏就变成 】 (3) 「平方和」＝先分别平方再相加 → 。【得分点：两个字母都要平方】 (4) 「和的平方」＝先加再把和平方 → 。【得分点：括号与平方号缺一不可】 (5) 「比……少 5」即用前者减 5 → 。【得分点：被减数不能与减数换位】 (6) 最后一步是「除以 4」，被除的整体是「m 与 n 的差」→ 。【得分点：分子是一个整体】 ✅ 标准答案：(1) 　(2) 　(3) 　(4) 　(5) 　(6) 。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　用代数式表示：(1) a 的 5 倍与 b 的差；(2) a 与 b 的差的 5 倍；(3) x 的平方与 y 的商。 变式2【能力提升】　用代数式表示：(1) 比 m 的平方的 2 倍多 3 的数； (2) x 的 3 倍与 y 的 4 倍的和的平方； (3) a 与 b 的倒数的和（、 均不为 0）。 变式3【培优压轴】　一个两位数，十位上的数字是 ，个位上的数字是 。 (1) 用代数式表示这个两位数； (2) 把十位数字与个位数字交换位置，用代数式表示所得的新两位数； (3) 用代数式表示「原两位数除以 9 的商」。 📌　题型三：实际情境列代数式（销售 / 行程 / 分段问题入门） 🔍 考查核心：从实际情境中提取数量关系并符号化。考频：高频，也常作解答题第 (1) 问。 📝 解题三步模板 第 1 步　设与译：把题目里没给具体数字的量用字母表示，顺手写清单位。 第 2 步　找模型：销售额＝单价×数量；利润＝售价−进价；路程＝速度×时间；工作量＝效率×时间。 第 3 步　列与查：按「先乘除后加减」列式，再检查单位是否一致、和差部分有没有漏括号。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：打折是「乘折扣率」，八折＝标价×0.8，不是「标价减 8」。 · 陷阱二：分段计费时，超出部分的数量要先减掉那一段再乘新单价，别整段都按高价算。 📖 典例精讲 【题目】某文具店销售一种笔记本，每本进价 元，标价 元（）。 (1) 若按标价打八折销售，每本的售价是多少元？每本的利润是多少元？ (2) 若按标价打八折后售出 本，销售额是多少元？ (3) 若该店先把标价提高 2 元，再打八折销售，每本售价是多少元？ 👉 思路点拨：「打八折」＝「标价×0.8」。先把售价算出来，其余问题全部从售价出发。 ✍️ 规范解析：(1) 打八折即按标价的 80% 出售，售价＝（元）。【得分点：0.8 写在 b 前面】 　　　利润＝售价−进价＝（元）。【得分点：必须售价在前，写成 不得分】 (2) 销售额＝每本售价×本数＝（元）。【得分点：数字在前、字母在后】 (3) 提价后标价 元，再打八折 → （元）。【得分点： 必须整体加括号】 ✅ 标准答案：(1) 元， 元；(2) 元；(3) 元。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　甲、乙两地相距 km，一辆汽车以 km/h 的速度从甲地开往乙地。 (1) 从甲地到乙地需要多少小时？(2) 若速度每小时加快 5 km，需要多少小时？ 变式2【能力提升】　某市自来水收费规定：每户每月用水不超过 10 吨的部分，每吨 元；超过 10 吨的部分，每吨 元。某户某月用水 吨（），应缴水费多少元？ 变式3【培优压轴】　某文具店把原价 元的一种笔记本促销，售价定为 元。 (1) 这个售价对应的是「先打九折再减 6 元」，还是「先减 6 元再打九折」？请说明理由； (2) 若改为「先减 6 元，再打九折」，写出新的售价； (3) 当 时，两种方式的售价各是多少？哪一种更便宜？ 📌　题型四：几何图形周长与面积列代数式 🔍 考查核心：用字母表示线段长，再套周长、面积公式。考频：中频，常在解答题第 (1) 问出现。 📝 解题三步模板 第 1 步　标图：题目给的字母标在图形上，未知的边先用「含这个字母的式子」表示出来。 第 2 步　套公式：长方形周长＝2(长＋宽)，面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2；圆周长＝，面积＝。 第 3 步　带单位：长度单位不加平方，面积单位必须加平方；式子是「和或差」时带单位要加括号。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：长方形周长是 2(长＋宽)，漏乘 2 是这个题型的一号错误。 · 陷阱二：面积单位写成 cm 而不是 cm²，白丢分；直径 的半径要写成 。 📖 典例精讲 【题目】一个长方形，长是 cm，宽比长少 3 cm。 (1) 用代数式表示这个长方形的宽； (2) 用代数式表示这个长方形的周长； (3) 用代数式表示这个长方形的面积。 👉 思路点拨：先把「宽」翻译成 ，再把 与 当成两条已知边套公式——不必化简，列出来就是满分。 ✍️ 规范解析：(1) 宽比长少 3 cm，所以宽是 cm。【得分点： 是整体，带单位要加括号】 (2) 周长＝2×(长＋宽)＝（cm）。【得分点：漏乘 2 不得分； 必须加括号】 (3) 面积＝长×宽＝（cm²）。【得分点：单位写 cm²；乘号省略但括号保留】 ✅ 标准答案：(1) cm；(2) cm；(3) cm²。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　一个三角形的底是 cm，高比底多 4 cm。用代数式表示它的面积。 变式2【能力提升】　用一根长 cm 的铁丝围成一个长方形，长方形的长是 cm。 (1) 用代数式表示它的宽；(2) 用代数式表示它的面积。 变式3【培优压轴】　一个圆形花坛的半径是 m，在花坛周围铺一条宽 1 m 的环形小路。 (1) 用代数式表示小路外边缘所围成的圆的半径； (2) 用代数式表示这条小路的面积。 📌　题型五：图形规律探究（培优压轴核心） 🔍 考查核心：从图形（或数阵）中找出第 个图形的数量规律，用含 n 的代数式表示。考频：高频，多在压轴题。 📝 解题三步模板 第 1 步　数具体：把第 1、2、3、4 个图形对应的数量一个一个数出来，写成一行数。 第 2 步　找变化：看相邻两数相差多少。差相同 → 设 型，每次加的数是 。 第 3 步　定首项再验证：用第 1 个图形确定常数 ，再把 、 代回核对，最后写明 为正整数。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：序号从 1 开始，别把 当成 0 —— 这是 与 的分水岭。 · 陷阱二：每多拼一个图形，增加的根数要扣掉共用的那条边，必须数清共用边。 📖 典例精讲 【题目】用长度相同的小棒摆正方形，排成一排：第 1 个图形摆 1 个正方形；第 2 个图形在它右边再接 1 个（与前一个共用一条边）；第 3 个图形再接 1 个……按此规律，第 个图形由 个正方形排成一排组成。 (1) 第 1、2、3 个图形各需要小棒多少根？ (2) 用含 的代数式表示第 个图形所需小棒的根数。 👉 思路点拨：每多拼一个正方形，只新增 3 根小棒（有一条边与前面共用），所以从 4 出发，每次加 3。 ✍️ 规范解析：(1) 第 1 个图形 4 根；第 2 个图形 根；第 3 个图形 根。【得分点：三个数必须数对】 (2) 第 个图形比第 1 个多 个正方形，每多一个加 3 根 → 根。【得分点：写出这个结构】 　　　即 根。【得分点：验证 得 4、 得 7，与 (1) 一致】 　　　写成 是把 当成了 0，属于典型的「序号错位」，直接判错。 ✅ 标准答案：(1) 4 根、7 根、10 根；(2) 根（ 为正整数）。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　按规律排列的一列图形中，第 1 个图形有 3 个圆点，第 2 个有 6 个，第 3 个有 9 个……第 个图形有多少个圆点？ 变式2【能力提升】　用长度相同的小棒摆正六边形，排成一排：第 1 个图形用 6 根，第 2 个图形在右边再接 1 个（与前一个共用一条边）用 11 根，第 3 个图形用 16 根……第 个图形需要多少根小棒？ 变式3【培优压轴】　把大小相同的小正方形堆成「塔」形：第 1 个图形只有 1 个；第 2 个图形底层 2 个、上面 1 个，共 3 个；第 3 个图形底层 3 个、中间 2 个、上面 1 个，共 6 个……第 个图形共有多少个小正方形？ 四、课后分层集训 基础题（★　对应题型一～题型三） 1．（★）下列各式中：① 　② 　③ 　④ 　⑤ 　⑥ 　⑦ 　⑧ 。 其中属于代数式的有（　　） A．3 个　　　B．4 个　　　C．5 个　　　D．6 个 2．（★）下列代数式中，书写规范的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．（★）用代数式表示： (1) a 的 2 倍与 3 的和； (2) a 与 3 的和的 2 倍； (3) 比 m 的 大 1 的数。 4．（★）苹果的单价是 元/千克，香蕉的单价是 元/千克。买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需多少元？ 中档题（★★　对应题型三～题型四） 5．（★★）某服装店第一天销售服装 件，第二天比第一天多销售 12 件，第三天的销售量比第二天的 2 倍少 10 件。 (1) 用代数式表示第三天销售的件数； (2) 当 时，第三天销售了多少件？ 6．（★★）某种品牌的彩电降价 30% 后，每台的售价为 元。用代数式表示这种彩电每台的原价。 7．（★★）某超市举办促销活动：全场打八折，且折后价每满 100 元再减 5 元。某顾客购买标价总和为 元（）的商品，用代数式表示他实际应付的金额。 8．（★★）某市规定三口之家每月标准用水量为 15 立方米：不超过 15 立方米的部分，每立方米 1.5 元；超过 15 立方米的部分，每立方米 3 元。某户某月用水 立方米（），用代数式表示这个月应缴的水费。 9．（★★）某品牌足球每个定价 140 元，跳绳每条定价 30 元。现有 A、B 两家网店：A 网店买一个足球送一条跳绳；B 网店全部商品按定价的 90% 付款。学校要购买足球 60 个、跳绳 条（）。 (1) 在 A 网店购买需付款多少元？ (2) 在 B 网店购买需付款多少元？ 10．（★★）一个长方形的周长是 30，它的一条边长用 表示。用代数式表示这个长方形的面积。 11．（★★）一个长为 10、宽为 6 的长方形草坪，中间修建两条道路：一条与长边平行，一条与宽边平行，两条道路的宽度都是 。用代数式表示剩下（未被道路占用）的草坪面积。 12．（★★）一个长方形休闲广场，长为 米，宽为 米。在广场的四个角各设计一个半径相同的四分之一圆花坛，花坛的半径为 米。用代数式表示这个广场可供大家活动的面积。 压轴题（★★★　对应题型五） 13．（★★★）用火柴棒摆三角形，排成一排：第 1 个图形用 3 根火柴棒；第 2 个图形在它右边再接 1 个三角形（与前一个共用一条边）用 5 根；第 3 个图形用 7 根……按此规律继续摆下去。 (1) 第 6 个图形需要多少根火柴棒？ (2) 用含 的代数式表示第 个图形所需火柴棒的根数。 14．（★★★）一种圆柱形水杯，单个杯子的高度是 10 cm。把这样的杯子叠放起来时，每多叠一个杯子，总高度就增加相同的高度。已知 2 个杯子叠放的总高度是 12 cm。 (1) 每多叠放一个杯子，总高度增加多少厘米？ (2) 用含 的代数式表示 个杯子叠放的总高度； (3) 求 10 个杯子叠放的总高度。 15．（★★★）把大小相同的小正方形堆成「塔」形：第 1 个图形只有 1 个；第 2 个图形底层 2 个、上面 1 个，共 3 个；第 3 个图形底层 3 个、中间 2 个、上面 1 个，共 6 个……按此规律继续堆下去。 (1) 第 5 个图形共有多少个小正方形？ (2) 用含 的代数式表示第 个图形中小正方形的个数； (3) 第 100 个图形共有多少个小正方形？ 五、本讲避坑清单 1．　见到「＝ ＞ ＜ ≠」先划掉——含关系符号的式子不是代数式，可别答成「是」。 2．　写式子前先问自己「最后一步是什么运算」，最后一步的符号写最外层，「的」字处断层次。 3．　打八折＝乘 0.8，不是减 8；「比……少」要看清谁是被减数，别前后颠倒。 4．　带分数一律化假分数再乘字母，除法一律写成分数线，数字永远站在字母前面。 5．　规律题求出含 n 的式子后，必须代 n＝1 和 n＝2 回去验；只对前两项成立的，不算规律。 六、附录·参考答案与提示 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 使用说明：变式 1 给完整解析，变式 2 给关键步骤，变式 3 只给提示；课后集训按「基础给结果、中档给关键步骤、压轴给提示」分档。 一、即时小练答案 1．①③④⑥　（②是等式、⑤是不等式，都不是代数式） 2．(1) 　(2) 　(3) 3．　（「和的一半」＝先求和再除以 2，分子要整体加括号） 二、典例与变式答案 【题型一】代数式书写规范陷阱辨析 典例：(1) ①③④⑤⑥⑦；(2) 、、。 变式1【基础巩固】　② 含「＝」是等式、⑥ 含「＜」是不等式，都不是代数式；③ 是单独一个数，仍是代数式。 ④ 除法要写成分数线 → ；⑤ 乘号省略即可 → 。 变式2【能力提升】　A 有 （数字在后）、（带分数）、（留除号）三处错；C 有带分数；D 有乘号与除号。 只有 B 全部满足「数字在前、乘号省略、除法用分数线、带分数化假分数」。 变式3【培优压轴】　(1) cm；(2) 表示「长的 2 倍与宽的和」，除 外都不等于周长。 结论：括号省掉一处，意义就变了一个样。 【题型二】文字语言转代数式（语序易错点突破） 典例：(1) 　(2) 　(3) 　(4) 　(5) 　(6) 。 变式1【基础巩固】　(1) 最后一步是「差」，被减数是 → 。 (2) 最后一步是「5 倍」，被乘的整体是「a 与 b 的差」→ 。 (3) 最后一步是「商」，被除的是 ，除数 y 写在分母 → 。 变式2【能力提升】　(1) 「m 的平方」是 ，它的 2 倍是 （不是 ），再多 3 → 。 (2) 先译出 与 ，相加得 ，最后整体平方 → 。 变式3【培优压轴】　(1) ；(2) ；(3) 。 (2) 交换后十位是 → 。(3) 写成分数线 → 。 【题型三】实际情境列代数式（销售 / 行程 / 分段问题入门） 典例：(1) 元， 元；(2) 元；(3) 元。 变式1【基础巩固】　由「时间＝路程÷速度」得 小时。 加速后速度是 km/h，分母整体加括号 → 小时。 变式2【能力提升】　分两段：前 10 吨费用 元；超出 吨，按 元/吨，费用 元。 括号不能少，否则变成「 减 10」。合计 （元），整体加括号。 变式3【培优压轴】　(1) 先打九折再减 6 元；(2) 元；(3) 12 元、12.6 元，第一种更便宜。 (3) 代入 ：（元）；（元）。，第一种更便宜。 【题型四】几何图形周长与面积列代数式 典例：(1) cm；(2) cm；(3) cm²。 变式1【基础巩固】　高是 cm，面积＝底×高÷2 → （cm²）。 「÷2」要写成分数 乘在前面； 必须加括号。 变式2【能力提升】　关键： 就是周长，所以「长＋宽」＝，不是 。 (1) 宽＝（cm）；(2) 面积＝（cm²）。 变式3【培优压轴】　(1) m；(2) m²。 提示： 是先加后平方，必须写 ，绝不能写成 。 【题型五】图形规律探究（培优压轴核心） 典例：(1) 4 根、7 根、10 根；(2) 根（ 为正整数）。 变式1【基础巩固】　数量写成一行：3，6，9，相邻都差 3，属于「每次加 3」型。 第 个是 ；验证 得 3、 得 6，一致。 变式2【能力提升】　前三项 6，11，16，相邻差 5，所以是「每次加 5」型。 每多接一个只新增 5 根 → ；验 得 16，成立。 变式3【培优压轴】　 个，即 个。 得分策略：考场上推不出公式，写出「」这个结构已可得一半分。 三、课后分层集训答案 基础题 1．　C。①②④⑤⑥ 共 5 个。 2．　C。 3．　(1) ；(2) ；(3) 。 4．　 元。 中档题 5．　(1) 件；(2) 74 件。 (1) 先译第二天：比第一天多 12 件 → 件。 再译第三天：「第二天的 2 倍」是 ，「少 10」即在它基础上减 10 → （件）。 6．　 元。 设原价为 元。降价 30% 后，售价是原价的 70%，即 元。 由题意 ，所以 （元）。 7．　 元。 先打折：标价 元打八折后是 元。 再判断满减次数：因为 ，所以 ，折后价满 100 元但不满 200 元，只能减 5 元一次。 8．　 元。 分段计费，分两段算： 前 15 立方米：（元）； 9．　(1) 元；(2) 元。 (1) 足球 60 个共 （元），同时获赠跳绳 60 条。 还要另买 条跳绳，花 元。 10．　。 周长＝2(长＋宽)＝30，所以「长＋宽」＝15。 已知一边为 ，另一边就是 。 11．　。 方法一（平移法）：把两条路分别平移到草坪的两条边上，剩下的草坪就拼成一个长方形，它的长是 、宽是 ，面积 。 方法二（割补法）：总面积 ，减去两条路 、。注意两条路交叉处的小正方形（）被减了两次，要加回一次 → 。 12．　 平方米。 广场总面积是 （平方米）。 四个角各是一个四分之一圆，半径都是 ，拼起来正好是一个完整的圆，面积是 （平方米）。 压轴题 13．　(1) 13 根；(2) 根。 验证： 得 3， 得 5， 得 13，全部吻合。 14．　(1) 2 cm；(2) cm；(3) 28 cm。 易错：写成 的同学，把 时的 10 cm 算成了 12 cm，属于序号错位。 15．　(1) 15 个；(2) ，即 个；(3) 5050 个。 (3) 代入 ：（个）。 $ 专题01 列代数式 培优进阶讲义 浙教版七年级上册　第4章　代数式 一、本讲题型目录 题型 题型名称 考查核心（知识点） 考频 对应集训 一 代数式书写规范陷阱辨析 代数式的概念、书写规范 5 条 高频 1—2 二 文字语言转代数式 运算顺序、「的」字层次划分 高频 3 三 实际情境列代数式 销售利润、行程、分段计费 高频 4—9 四 几何图形周长与面积 周长面积公式、单位与括号 中频 10—12 五 图形规律探究 用含 的式子表示规律 高频 13—15 二、核心知识速记 表1　代数式的判断标准：什么是代数式？ 式子 是代数式吗 判断理由 是 用运算符号把数与字母连接而成，不含等号、不等号 是 单独一个字母也是代数式（最容易被误判） 是 单独一个数也是代数式（最容易被误判） 是 含除法运算，但写成了分数线，仍是代数式 不是 含「＝」，它是等式（方程），不是代数式 不是 含「＞」，它是不等式 不是 含「＝」，是等式 不是 含「≠」，是不等式 一句话记牢：代数式＝只用运算符号（＋　−　×　÷　乘方）连接数或字母的式子，不含 ＝ ＞ ＜ ≠ ≥ ≤ 这些「关系符号」。 表2　代数式书写规范 5 条规则 规则 规范写法（对） 错误写法（错） 错在哪里 ① 乘号省略，数字写在字母前面 、 、 数字跑到字母后面去了 ② 相同字母相乘，写成乘方 、 、 同一个字母相乘没写成幂 ③ 除法一律写成分数线 、 、 除号「÷」不能留在结果里 ④ 带分数化假分数，系数 1、−1 省略 、、 、、 带分数不能与字母直接相乘；1 不必写 ⑤ 结果是和或差又带单位时，必须加括号 元、 米 元、 米 不加括号，单位只「管」最后一项 阅卷口径：这 5 条只要错一条，整空判 0 分——不是「扣一点分」，是全错。所以每写一个代数式，写完务必扫一眼这 5 条。 表3　列代数式关键词对应表（把中文翻译成符号） 文字表述 对应运算 举例：文字 → 代数式 和、加上、与……的和、比……多 ＋ a 与 b 的和 → ；比 x 多 3 → 差、减去、与……的差、比……少 − a 与 b 的差 → ；比 x 少 3 → 积、乘以、的……倍 ×（乘号省略） a 的 3 倍 → ；x 的 3 倍与 y 的积 → 商、除以、……分之…… ÷（写成分数线） x 除以 3 → ；m、n 的商 → 几分之几、占……的 ×（分数） a 的 → 平方、立方 乘方 a 的平方 → ；x 的立方 → 平方和 / 和的平方 先平方后加 / 先加后平方 　与　（完全不同） 增加到 / 增加了 变成该数 / 加上该数 增加到 a → ；增加了 a → 原数＋ 翻译口诀：最后一步的运算符号，写在整个式子的最外层。「…的和的平方」最后一步是平方 → 平方号在最外层；「…的平方和」最后一步是加 → 加号在最外层。 【即时小练】　3 道概念判断题　限时 5 分钟　（答案见附录） 1．下列各式中，是代数式的有＿＿＿＿＿＿（填序号）： ① 　　② 　　③ 　　④ 　　⑤ 　　⑥ 2．下列写法规范吗？不规范的，把正确写法写在横线上： (1) → ＿＿＿＿　　(2) → ＿＿＿＿　　(3) → ＿＿＿＿ 3．用代数式表示：m 的 3 倍与 n 的和的一半 答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、题型精讲 📌　题型一：代数式书写规范陷阱辨析 🔍 考查核心：代数式的概念与书写规范。考频：高频，以选择、填空出现，每卷 1—2 题。 📝 解题三步模板 第 1 步　一审身份：式子里有等号、不等号吗？有 → 不是代数式；没有 → 是（哪怕只是一个数、一个字母）。 第 2 步　二审书写：拿表 2 的五条规则逐条对照——数字在前、乘号省略、除法用分数线、带分数化假分数、系数 1 省略。 第 3 步　三审括号：结果是和或差、后面又带单位时，必须整体加括号。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：以为「单独一个数或一个字母」不算代数式。、 都是代数式。 · 陷阱二： 写成 、 直接照抄——这两类整空判 0 分，不是扣一点分。 📖 典例精讲 【题目】下列各式中：① 　② 　③ 　④ 　⑤ 　⑥ 　⑦ 　⑧ (1) 其中是代数式的有哪些？ (2) 把其中书写不规范的代数式改写成规范形式。 👉 思路点拨：先用「有没有 ＝ ＞ ＜ ≥」把式子分成两堆，再在留下的那堆里按五条规范逐个过筛。 ✍️ 规范解析：(1) ② 含「＝」是等式，⑧ 含「≥」是不等式，两者都不是代数式。【得分点：五个代数式要答全，漏一个不得分】 　　　所以代数式是 ①③④⑤⑥⑦。其中 ③ 是一个数、④ 是一个字母，它们同样是代数式。 (2) ⑤ 乘号可省，但数字必须写在字母前 → 。【得分点：数字在字母前】 　　　⑥ 带分数与字母相乘，先化假分数 → 。【得分点：不许把带分数直接挨着字母】 　　　⑦ 除法写成分数线，分子是「x 与 y 的和」这个整体 → 。【得分点：分子不丢项】 ✅ 标准答案：(1) ①③④⑤⑥⑦；(2) 、、。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　下列各式中：① 　② 　③ 　④ 　⑤ 　⑥ 。 其中是代数式的有＿＿＿＿；书写不规范的是＿＿＿＿，改正为＿＿＿＿＿＿。 变式2【能力提升】　下列各组代数式中，书写全部规范的一组是（　　） A．，，　　　B．，， C．，，　　　D．，， 变式3【培优压轴】　一个长方形的长是 cm，宽是 cm。 (1) 用代数式表示它的周长（带单位）； (2) 有同学把周长写成「 cm」，这个式子表示什么？它和真正的周长相等吗？ 【教师提示 · 讲评建议】 建议 6 分钟。先让学生自己把含「＝」「＞」「＜」的式子划掉，再齐答「为什么 也算代数式」。 改错交给学生：把 →、→、→ 写在黑板上，请三人上台互挑错。 易错提醒： 是允许的，不允许的只是「带分数＋字母」，别过度纠错。 📌　题型二：文字语言转代数式（语序易错点突破） 🔍 考查核心：把文字叙述翻译成符号语言，核心是运算顺序与层次划分。考频：高频，选择、填空必考。 📝 解题三步模板 第 1 步　定最后一步：通读整句，找出最后一个运算词（和 / 差 / 积 / 商 / 倍 / 平方），它就是整个式子的「主干」。 第 2 步　断「的」字层次：「的」字把句子切成前后两层，后面那层才是主体，所以从后往前算。 第 3 步　加括号定型：把先算的那一层用括号整体括起来，再逐项核对有没有漏括号。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：「a、b 的平方和」是 ，「a 与 b 的和的平方」是 ——「的」字挪一个位置，结果完全不同。 · 陷阱二：「比 a 的 3 倍少 5」是 ，不是 ，更不是 。 📖 典例精讲 【题目】用代数式表示： (1) x 的 2 倍与 y 的和；　　　　(2) x 与 y 的和的 2 倍； (3) a、b 两数的平方和；　　　　(4) a、b 两数的和的平方； (5) 比 a 的 3 倍少 5 的数；　　 (6) m 与 n 的差除以 4 的商。 👉 思路点拨：每一句都先问自己一句「最后一步做什么运算」，把那一步的符号写在整个式子的最外层。 ✍️ 规范解析：(1) 最后一步是「和」，被加的是 与 → 。【得分点： 外面不加括号】 (2) 最后一步是「2 倍」，被乘的整体是「x 与 y 的和」→ 。【得分点：括号一漏就变成 】 (3) 「平方和」＝先分别平方再相加 → 。【得分点：两个字母都要平方】 (4) 「和的平方」＝先加再把和平方 → 。【得分点：括号与平方号缺一不可】 (5) 「比……少 5」即用前者减 5 → 。【得分点：被减数不能与减数换位】 (6) 最后一步是「除以 4」，被除的整体是「m 与 n 的差」→ 。【得分点：分子是一个整体】 ✅ 标准答案：(1) 　(2) 　(3) 　(4) 　(5) 　(6) 。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　用代数式表示：(1) a 的 5 倍与 b 的差；(2) a 与 b 的差的 5 倍；(3) x 的平方与 y 的商。 变式2【能力提升】　用代数式表示：(1) 比 m 的平方的 2 倍多 3 的数； (2) x 的 3 倍与 y 的 4 倍的和的平方； (3) a 与 b 的倒数的和（、 均不为 0）。 变式3【培优压轴】　一个两位数，十位上的数字是 ，个位上的数字是 。 (1) 用代数式表示这个两位数； (2) 把十位数字与个位数字交换位置，用代数式表示所得的新两位数； (3) 用代数式表示「原两位数除以 9 的商」。 【教师提示 · 讲评建议】 建议 8 分钟。(3)(4) 必须并排板书让学生自己指认「谁先算」，分开讲学生记不住。 第 (6) 问先追问「谁是被除数」，再动笔；学生把分子写散（）的比例很高。 变式 3 用 代入检验： 一眼可见，比讲位值原理有效。 📌　题型三：实际情境列代数式（销售 / 行程 / 分段问题入门） 🔍 考查核心：从实际情境中提取数量关系并符号化。考频：高频，也常作解答题第 (1) 问。 📝 解题三步模板 第 1 步　设与译：把题目里没给具体数字的量用字母表示，顺手写清单位。 第 2 步　找模型：销售额＝单价×数量；利润＝售价−进价；路程＝速度×时间；工作量＝效率×时间。 第 3 步　列与查：按「先乘除后加减」列式，再检查单位是否一致、和差部分有没有漏括号。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：打折是「乘折扣率」，八折＝标价×0.8，不是「标价减 8」。 · 陷阱二：分段计费时，超出部分的数量要先减掉那一段再乘新单价，别整段都按高价算。 📖 典例精讲 【题目】某文具店销售一种笔记本，每本进价 元，标价 元（）。 (1) 若按标价打八折销售，每本的售价是多少元？每本的利润是多少元？ (2) 若按标价打八折后售出 本，销售额是多少元？ (3) 若该店先把标价提高 2 元，再打八折销售，每本售价是多少元？ 👉 思路点拨：「打八折」＝「标价×0.8」。先把售价算出来，其余问题全部从售价出发。 ✍️ 规范解析：(1) 打八折即按标价的 80% 出售，售价＝（元）。【得分点：0.8 写在 b 前面】 　　　利润＝售价−进价＝（元）。【得分点：必须售价在前，写成 不得分】 (2) 销售额＝每本售价×本数＝（元）。【得分点：数字在前、字母在后】 (3) 提价后标价 元，再打八折 → （元）。【得分点： 必须整体加括号】 ✅ 标准答案：(1) 元， 元；(2) 元；(3) 元。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　甲、乙两地相距 km，一辆汽车以 km/h 的速度从甲地开往乙地。 (1) 从甲地到乙地需要多少小时？(2) 若速度每小时加快 5 km，需要多少小时？ 变式2【能力提升】　某市自来水收费规定：每户每月用水不超过 10 吨的部分，每吨 元；超过 10 吨的部分，每吨 元。某户某月用水 吨（），应缴水费多少元？ 变式3【培优压轴】　某文具店把原价 元的一种笔记本促销，售价定为 元。 (1) 这个售价对应的是「先打九折再减 6 元」，还是「先减 6 元再打九折」？请说明理由； (2) 若改为「先减 6 元，再打九折」，写出新的售价； (3) 当 时，两种方式的售价各是多少？哪一种更便宜？ 【教师提示 · 讲评建议】 建议 8 分钟。先现场算「标价 100 元打八折」，学生答出 80 元后，再把 100 换成字母 。 利润方向反的错误率极高。让学生用 代一遍：，利润为正才合理。 变式 3 是「语序试金石」：代入 算出 12 元与 12.6 元，这 0.6 元的差距比讲十遍括号都管用。 📌　题型四：几何图形周长与面积列代数式 🔍 考查核心：用字母表示线段长，再套周长、面积公式。考频：中频，常在解答题第 (1) 问出现。 📝 解题三步模板 第 1 步　标图：题目给的字母标在图形上，未知的边先用「含这个字母的式子」表示出来。 第 2 步　套公式：长方形周长＝2(长＋宽)，面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2；圆周长＝，面积＝。 第 3 步　带单位：长度单位不加平方，面积单位必须加平方；式子是「和或差」时带单位要加括号。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：长方形周长是 2(长＋宽)，漏乘 2 是这个题型的一号错误。 · 陷阱二：面积单位写成 cm 而不是 cm²，白丢分；直径 的半径要写成 。 📖 典例精讲 【题目】一个长方形，长是 cm，宽比长少 3 cm。 (1) 用代数式表示这个长方形的宽； (2) 用代数式表示这个长方形的周长； (3) 用代数式表示这个长方形的面积。 👉 思路点拨：先把「宽」翻译成 ，再把 与 当成两条已知边套公式——不必化简，列出来就是满分。 ✍️ 规范解析：(1) 宽比长少 3 cm，所以宽是 cm。【得分点： 是整体，带单位要加括号】 (2) 周长＝2×(长＋宽)＝（cm）。【得分点：漏乘 2 不得分； 必须加括号】 (3) 面积＝长×宽＝（cm²）。【得分点：单位写 cm²；乘号省略但括号保留】 ✅ 标准答案：(1) cm；(2) cm；(3) cm²。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　一个三角形的底是 cm，高比底多 4 cm。用代数式表示它的面积。 变式2【能力提升】　用一根长 cm 的铁丝围成一个长方形，长方形的长是 cm。 (1) 用代数式表示它的宽；(2) 用代数式表示它的面积。 变式3【培优压轴】　一个圆形花坛的半径是 m，在花坛周围铺一条宽 1 m 的环形小路。 (1) 用代数式表示小路外边缘所围成的圆的半径； (2) 用代数式表示这条小路的面积。 【教师提示 · 讲评建议】 建议 8 分钟。周长漏乘 2 约占一半错例，让学生把公式念出声「长加宽的和，乘二」。 面积单位必须板书强调：一节课只要一人把 cm² 写成 cm，就会传染全班。 变式 3 的坑是 写成 ，可回扣题型二「和的平方」的结论。 📌　题型五：图形规律探究（培优压轴核心） 🔍 考查核心：从图形（或数阵）中找出第 个图形的数量规律，用含 n 的代数式表示。考频：高频，多在压轴题。 📝 解题三步模板 第 1 步　数具体：把第 1、2、3、4 个图形对应的数量一个一个数出来，写成一行数。 第 2 步　找变化：看相邻两数相差多少。差相同 → 设 型，每次加的数是 。 第 3 步　定首项再验证：用第 1 个图形确定常数 ，再把 、 代回核对，最后写明 为正整数。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：序号从 1 开始，别把 当成 0 —— 这是 与 的分水岭。 · 陷阱二：每多拼一个图形，增加的根数要扣掉共用的那条边，必须数清共用边。 📖 典例精讲 【题目】用长度相同的小棒摆正方形，排成一排：第 1 个图形摆 1 个正方形；第 2 个图形在它右边再接 1 个（与前一个共用一条边）；第 3 个图形再接 1 个……按此规律，第 个图形由 个正方形排成一排组成。 (1) 第 1、2、3 个图形各需要小棒多少根？ (2) 用含 的代数式表示第 个图形所需小棒的根数。 👉 思路点拨：每多拼一个正方形，只新增 3 根小棒（有一条边与前面共用），所以从 4 出发，每次加 3。 ✍️ 规范解析：(1) 第 1 个图形 4 根；第 2 个图形 根；第 3 个图形 根。【得分点：三个数必须数对】 (2) 第 个图形比第 1 个多 个正方形，每多一个加 3 根 → 根。【得分点：写出这个结构】 　　　即 根。【得分点：验证 得 4、 得 7，与 (1) 一致】 　　　写成 是把 当成了 0，属于典型的「序号错位」，直接判错。 ✅ 标准答案：(1) 4 根、7 根、10 根；(2) 根（ 为正整数）。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　按规律排列的一列图形中，第 1 个图形有 3 个圆点，第 2 个有 6 个，第 3 个有 9 个……第 个图形有多少个圆点？ 变式2【能力提升】　用长度相同的小棒摆正六边形，排成一排：第 1 个图形用 6 根，第 2 个图形在右边再接 1 个（与前一个共用一条边）用 11 根，第 3 个图形用 16 根……第 个图形需要多少根小棒？ 变式3【培优压轴】　把大小相同的小正方形堆成「塔」形：第 1 个图形只有 1 个；第 2 个图形底层 2 个、上面 1 个，共 3 个；第 3 个图形底层 3 个、中间 2 个、上面 1 个，共 6 个……第 个图形共有多少个小正方形？ 【教师提示 · 讲评建议】 建议 10 分钟。必须让学生把前三个数写在草稿纸上，禁止「看着图形猜」。 追问两句：「每次多几根？」「为什么不是 4 根而是 3 根？」——第二问指向共用边，是本题思维核心。 变式 3 是分层关键：前两问是等差型，第三问差值不等，专治「套公式不看条件」。允许只写到 给一半分。 四、课后分层集训 基础题（★　对应题型一～题型三） 1．（★）下列各式中：① 　② 　③ 　④ 　⑤ 　⑥ 　⑦ 　⑧ 。 其中属于代数式的有（　　） A．3 个　　　B．4 个　　　C．5 个　　　D．6 个 2．（★）下列代数式中，书写规范的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．（★）用代数式表示： (1) a 的 2 倍与 3 的和； (2) a 与 3 的和的 2 倍； (3) 比 m 的 大 1 的数。 4．（★）苹果的单价是 元/千克，香蕉的单价是 元/千克。买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需多少元？ 中档题（★★　对应题型三～题型四） 5．（★★）某服装店第一天销售服装 件，第二天比第一天多销售 12 件，第三天的销售量比第二天的 2 倍少 10 件。 (1) 用代数式表示第三天销售的件数； (2) 当 时，第三天销售了多少件？ 6．（★★）某种品牌的彩电降价 30% 后，每台的售价为 元。用代数式表示这种彩电每台的原价。 7．（★★）某超市举办促销活动：全场打八折，且折后价每满 100 元再减 5 元。某顾客购买标价总和为 元（）的商品，用代数式表示他实际应付的金额。 8．（★★）某市规定三口之家每月标准用水量为 15 立方米：不超过 15 立方米的部分，每立方米 1.5 元；超过 15 立方米的部分，每立方米 3 元。某户某月用水 立方米（），用代数式表示这个月应缴的水费。 9．（★★）某品牌足球每个定价 140 元，跳绳每条定价 30 元。现有 A、B 两家网店：A 网店买一个足球送一条跳绳；B 网店全部商品按定价的 90% 付款。学校要购买足球 60 个、跳绳 条（）。 (1) 在 A 网店购买需付款多少元？ (2) 在 B 网店购买需付款多少元？ 10．（★★）一个长方形的周长是 30，它的一条边长用 表示。用代数式表示这个长方形的面积。 11．（★★）一个长为 10、宽为 6 的长方形草坪，中间修建两条道路：一条与长边平行，一条与宽边平行，两条道路的宽度都是 。用代数式表示剩下（未被道路占用）的草坪面积。 12．（★★）一个长方形休闲广场，长为 米，宽为 米。在广场的四个角各设计一个半径相同的四分之一圆花坛，花坛的半径为 米。用代数式表示这个广场可供大家活动的面积。 压轴题（★★★　对应题型五） 13．（★★★）用火柴棒摆三角形，排成一排：第 1 个图形用 3 根火柴棒；第 2 个图形在它右边再接 1 个三角形（与前一个共用一条边）用 5 根；第 3 个图形用 7 根……按此规律继续摆下去。 (1) 第 6 个图形需要多少根火柴棒？ (2) 用含 的代数式表示第 个图形所需火柴棒的根数。 14．（★★★）一种圆柱形水杯，单个杯子的高度是 10 cm。把这样的杯子叠放起来时，每多叠一个杯子，总高度就增加相同的高度。已知 2 个杯子叠放的总高度是 12 cm。 (1) 每多叠放一个杯子，总高度增加多少厘米？ (2) 用含 的代数式表示 个杯子叠放的总高度； (3) 求 10 个杯子叠放的总高度。 15．（★★★）把大小相同的小正方形堆成「塔」形：第 1 个图形只有 1 个；第 2 个图形底层 2 个、上面 1 个，共 3 个；第 3 个图形底层 3 个、中间 2 个、上面 1 个，共 6 个……按此规律继续堆下去。 (1) 第 5 个图形共有多少个小正方形？ (2) 用含 的代数式表示第 个图形中小正方形的个数； (3) 第 100 个图形共有多少个小正方形？ 五、本讲避坑清单 1．　见到「＝ ＞ ＜ ≠」先划掉——含关系符号的式子不是代数式，可别答成「是」。 2．　写式子前先问自己「最后一步是什么运算」，最后一步的符号写最外层，「的」字处断层次。 3．　打八折＝乘 0.8，不是减 8；「比……少」要看清谁是被减数，别前后颠倒。 4．　带分数一律化假分数再乘字母，除法一律写成分数线，数字永远站在字母前面。 5．　规律题求出含 n 的式子后，必须代 n＝1 和 n＝2 回去验；只对前两项成立的，不算规律。 六、附录·参考答案与提示 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 使用说明：本附录给出全部题目的完整解析，可直接用于讲评。 一、即时小练答案 1．①③④⑥　（②是等式、⑤是不等式，都不是代数式） 2．(1) 　(2) 　(3) 3．　（「和的一半」＝先求和再除以 2，分子要整体加括号） 二、典例与变式答案 【题型一】代数式书写规范陷阱辨析 典例：(1) ①③④⑤⑥⑦；(2) 、、。 变式1【基础巩固】　代数式：①③④⑤；不规范：④⑤；改正：、。 ② 含「＝」是等式、⑥ 含「＜」是不等式，都不是代数式；③ 是单独一个数，仍是代数式。 ④ 除法要写成分数线 → ；⑤ 乘号省略即可 → 。 变式2【能力提升】　B。 A 有 （数字在后）、（带分数）、（留除号）三处错；C 有带分数；D 有乘号与除号。 只有 B 全部满足「数字在前、乘号省略、除法用分数线、带分数化假分数」。 变式3【培优压轴】　(1) cm；(2) 表示「长的 2 倍与宽的和」，除 外都不等于周长。 (1) 周长＝2×(长＋宽)＝（cm），括号不能省。 (2) 是「长的 2 倍再加一条宽」，比真正的周长少了一条宽，所以除 外都不相等。 结论：括号省掉一处，意义就变了一个样。 【题型二】文字语言转代数式（语序易错点突破） 典例：(1) 　(2) 　(3) 　(4) 　(5) 　(6) 。 变式1【基础巩固】　(1) ；(2) ；(3) 。 (1) 最后一步是「差」，被减数是 → 。 (2) 最后一步是「5 倍」，被乘的整体是「a 与 b 的差」→ 。 (3) 最后一步是「商」，被除的是 ，除数 y 写在分母 → 。 变式2【能力提升】　(1) ；(2) ；(3) 。 (1) 「m 的平方」是 ，它的 2 倍是 （不是 ），再多 3 → 。 (2) 先译出 与 ，相加得 ，最后整体平方 → 。 (3) 两个倒数分别是 、，求和 → 。 变式3【培优压轴】　(1) ；(2) ；(3) 。 关键：十位上的 表示 个十，即 ，所以两位数必须写成 ，不能写成 。 (2) 交换后十位是 → 。(3) 写成分数线 → 。 【题型三】实际情境列代数式（销售 / 行程 / 分段问题入门） 典例：(1) 元， 元；(2) 元；(3) 元。 变式1【基础巩固】　(1) 小时；(2) 小时。 由「时间＝路程÷速度」得 小时。 加速后速度是 km/h，分母整体加括号 → 小时。 变式2【能力提升】　 元。 分两段：前 10 吨费用 元；超出 吨，按 元/吨，费用 元。 括号不能少，否则变成「 减 10」。合计 （元），整体加括号。 变式3【培优压轴】　(1) 先打九折再减 6 元；(2) 元；(3) 12 元、12.6 元，第一种更便宜。 (1) 是「打完折以后的价钱」，在这个结果上再减 6，所以是先打九折、再减 6 元。关键在 6 站在括号外面，它减的是折后价，不是原价。 (2) 先减得 元，再乘 0.9 → （元）。 (3) 代入 ：（元）；（元）。，第一种更便宜。 【题型四】几何图形周长与面积列代数式 典例：(1) cm；(2) cm；(3) cm²。 变式1【基础巩固】　 cm²。 高是 cm，面积＝底×高÷2 → （cm²）。 「÷2」要写成分数 乘在前面； 必须加括号。 变式2【能力提升】　(1) cm；(2) cm²。 关键： 就是周长，所以「长＋宽」＝，不是 。 (1) 宽＝（cm）；(2) 面积＝（cm²）。 变式3【培优压轴】　(1) m；(2) m²。 (1) 小路宽 1 m 加在半径上，外圆半径＝ m。 (2) 环形面积＝大圆−小圆＝（m²），本题不必化简。 提示： 是先加后平方，必须写 ，绝不能写成 。 【题型五】图形规律探究（培优压轴核心） 典例：(1) 4 根、7 根、10 根；(2) 根（ 为正整数）。 变式1【基础巩固】　 个。 数量写成一行：3，6，9，相邻都差 3，属于「每次加 3」型。 第 个是 ；验证 得 3、 得 6，一致。 变式2【能力提升】　 根。 前三项 6，11，16，相邻差 5，所以是「每次加 5」型。 每多接一个只新增 5 根 → ；验 得 16，成立。 变式3【培优压轴】　 个，即 个。 前三项 1，3，6，相邻差是 2、3 ——差不相等，不能套 。 换角度看结构：第 个图形共 层，从上往下依次 1、2、…、 个，总数是 ，可写成 。 得分策略：考场上推不出公式，写出「」这个结构已可得一半分。 三、课后分层集训答案 基础题 1．　C。①②④⑤⑥ 共 5 个。 ③ 含「＝」，是等式；⑦ 含「≠」、⑧ 含「≤」，都是不等式，这 3 个一律不是代数式。 ① 是一个数、② 是一个字母，都属于代数式。剩下的 ④⑤⑥ 也都是。 共 5 个，选 C。 2．　C。 A：数字应写在字母前面，应改成 ； B：带分数必须化成假分数，应改成 ； D：除法要用分数线，应改成 ； C 的分子 是一个整体，分母是 3，写法规范，选 C。 3．　(1) ；(2) ；(3) 。 (1) 最后一步是「和」，被加的是 与 3 → 。 (2) 最后一步是「2 倍」，被乘的整体是「a 与 3 的和」→ 。与 (1) 只差一对括号，结果完全不同。 (3) 「m 的 」是 ，「大 1」即再加 1 → 。 4．　 元。 苹果花的钱： 元；香蕉花的钱： 元。 两笔相加，总价是 元。这是「和」的形式，后面带单位必须整体加括号，写成 元。 中档题 5．　(1) 件；(2) 74 件。 (1) 先译第二天：比第一天多 12 件 → 件。 再译第三天：「第二天的 2 倍」是 ，「少 10」即在它基础上减 10 → （件）。 括号不能省：写成 就把「第二天的 2 倍」错解成「第一天的 2 倍加 12」。 (2) 时，（件）。 6．　 元。 设原价为 元。降价 30% 后，售价是原价的 70%，即 元。 由题意 ，所以 （元）。 关键：已知「打折后的价」求「原价」，要用除法；写成 是把方向弄反了。另外分母是 0.7（即 70%），不是 30%。 7．　 元。 先打折：标价 元打八折后是 元。 再判断满减次数：因为 ，所以 ，折后价满 100 元但不满 200 元，只能减 5 元一次。 所以实际应付 元。 易错：写成 的同学，把「先减再打折」当成了本题的顺序，两者结果不同。 8．　 元。 分段计费，分两段算： 前 15 立方米：（元）； 超出部分： 立方米，每立方米 3 元 → （元）——括号不能少，否则变成「 减 15」。 合计 （元），整体加括号再写单位。 9．　(1) 元；(2) 元。 (1) 足球 60 个共 （元），同时获赠跳绳 60 条。 还要另买 条跳绳，花 元。 合计 ，即 元。 (2) B 店先算原总价： 元；再整体打九折 → 元。 易错：B 店若写成 ，只给足球打了折，跳绳没打折，属于漏括号。 10．　。 周长＝2(长＋宽)＝30，所以「长＋宽」＝15。 已知一边为 ，另一边就是 。 面积＝长×宽＝。易错：把另一边写成 ，那是把周长当成了「长＋宽」。 11．　。 方法一（平移法）：把两条路分别平移到草坪的两条边上，剩下的草坪就拼成一个长方形，它的长是 、宽是 ，面积 。 方法二（割补法）：总面积 ，减去两条路 、。注意两条路交叉处的小正方形（）被减了两次，要加回一次 → 。 两种写法表示同一个面积，但 更简洁，考场首选。 12．　 平方米。 广场总面积是 （平方米）。 四个角各是一个四分之一圆，半径都是 ，拼起来正好是一个完整的圆，面积是 （平方米）。 活动面积＝总面积−花坛面积＝（平方米）。 易错：写成 ，把四个四分之一圆当成了四个整圆。 压轴题 13．　(1) 13 根；(2) 根。 先数出前三项：3，5，7，相邻两数差 2，属于「每次加 2」型。 (1) 继续往下数：第 4 个 9 根、第 5 个 11 根、第 6 个 13 根。 (2) 第 个图形比第 1 个多 个三角形，每个新增 2 根 → ，整理得 。 验证： 得 3， 得 5， 得 13，全部吻合。 14．　(1) 2 cm；(2) cm；(3) 28 cm。 (1) 单个高 10 cm，2 个叠放高 12 cm，所以叠上第 2 个杯子时总高度增加了 （cm）。 　　由「每多叠一个，增加的高度相同」知，每多一个都增加 2 cm。 (2) 第 个图形比第 1 个多叠了 个杯子，每次增加 2 cm，所以总高度为 ，整理得 （cm）。 (3) 代入 ：（cm）。 易错：写成 的同学，把 时的 10 cm 算成了 12 cm，属于序号错位。 15．　(1) 15 个；(2) ，即 个；(3) 5050 个。 先数出前三项：1，3，6。相邻两数的差是 2、3，不相等，所以本题不是「每次加同一个数」的类型，不能套 。 (1) 按结构继续堆：第 4 个是 个，第 5 个是 个。 (2) 观察结构：第 个图形共 层，从上往下每层依次是 1 个、2 个、…、 个，所以总数是 ，这个和可以写成 。 　　验证： 得 1， 得 3， 得 6，与题设完全一致。 (3) 代入 ：（个）。 $