4.2 代数式的值·培优讲义 ·2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题02 代数式的值 培优进阶讲义 浙教版七年级上册　第4章　代数式 一、本讲题型目录 题型 题型名称 考查核心（知识点） 考频 对应集训 一 直接代入求值 代入的书写规范、运算顺序 高频 1—2 二 数值转换机（程序图）求值 按流程顺序逐步代入 高频 3 三 先列式再求值 列式 → 代值 → 带单位 高频 4—12 四 整体代入求值 凑出已知式的倍数与相反数 高频 5—8 五 规律与循环中的求值 含 的式子、周期判定 高频 13—15 二、核心知识速记 表1　拿到一道求值题，先判断用哪种思路 题目长什么样 用什么方法 关键动作 直接给出字母的值（「当 时」） 直接代入 负数、分数加括号，按运算顺序算到底 给出一个运算流程图（数值转换机） 按图代入 顺箭头走，遇判断框先看条件走哪一支 给出另一个式子的值（「已知 」） 整体代入 把所求式凑成「已知式 」再代 同一字母取相反数（ 与 ） 对称代入 含奇次项的部分整体变号，偶次项不变 一串数、一列图形 先找规律再求值 写出含 的式子，用 验过再代入 一句话记牢：求值题的第一步不是算，是看题目给的是什么——给字母值就代，给式子值就凑，给图形就找规律。 表2　代入时最容易出错的 5 个书写点 情形 正确写法 错误写法 后果 负数代入乘方 符号全错，整题作废 负数参与乘法 不合书写规范，阅卷可扣分 分数代入乘方 底数看错，结果错 运算顺序 先乘方、再乘除、最后加减 从左往右顺着算 顺序错，结果必错 结果带单位 周长 26 cm、面积 24 cm² 周长 26、面积 24 丢单位，解答题扣分 考前自检：每写完一个代入式，回头看一眼有没有括号——负数和分数，代入必加括号。 表3　整体代入：从「已知」到「所求」怎么凑 已知条件 要求的式子 怎么凑 结果 把 当成一个字母 时 时 的值 奇次项整体变号 → 核心一句话：整体代入的本质是不求出字母、把已知式当作一个数。先看倍数，再看符号，最后别忘了常数项。 【即时小练】　3 道基础题　限时 5 分钟　（答案见附录） 1．当 时，代数式 的值是＿＿＿＿。 答：＿＿＿＿＿＿ 2．已知 ，则 ＿＿＿＿。 答：＿＿＿＿＿＿ 3．按程序「输入 → 平方 → 减 3 → 输出」计算，输入 时输出＿＿＿＿。 答：＿＿＿＿＿＿ 三、题型精讲 📌　题型一：直接代入求值 🔍 考查核心：把字母换成数、按运算顺序算到底。考频：高频，选择、填空、解答第 (1) 问都常出。 📝 解题三步模板 第 1 步　圈字母：先圈出式子里每一个字母，逐个换成题目给的数。 第 2 步　加括号：负数、分数代入时一律加括号，乘方的底数才不会看错。 第 3 步　按序算：先乘方、再乘除、最后加减，一步一行写清楚。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一： 时把 写成 得 ，正确是 。 · 陷阱二：分数代入漏括号， 写成 ，答案必错。 📖 典例精讲 【题目】当 ， 时，求代数式 的值。 👉 思路点拨：代入前先把每个字母的括号「提前加好」，再动笔算，符号就不会错。 ✍️ 规范解析：把 、 的值代入：。【得分点：两处负数都加了括号】 先算乘方：，。【得分点：乘方先算，不能先算乘法】 再算乘法：。【得分点：负负得正，符号不能错】 最后加减：。 ✅ 标准答案：25。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　当 ， 时，求代数式 的值。 变式2【能力提升】　当 ， 时，分别求 与 的值，并比较它们的大小。 变式3【培优压轴】　规定 ，例如 。 (1) 求 、 的值； (2) 比较 与 的大小。 📌　题型二：数值转换机（程序图）求值 🔍 考查核心：按流程图的箭头顺序逐步代入。考频：高频，选择、填空常考。 📝 解题三步模板 第 1 步　读流程：把流程图翻译成一串运算（如「平方→乘 2→减 3」），先写在草稿上。 第 2 步　逐步代：每经过一个方框算一次，一步不跳。 第 3 步　看条件：遇到判断框，先看输入满足哪一支，再走那条路。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：忽略判断框的「是否满足」，两支的式子不同，走错整题作废。 · 陷阱二：需要回头重算的循环程序，只算一次就交卷。 📖 典例精讲 【题目】小明设计了一个数值转换机，流程是：输入 → 平方 → 乘 2 → 减 3 → 输出。 (1) 输入 时，输出的结果是多少？ (2) 输入 时，输出的结果是多少？ (3) 若输入的 满足 ，输出的结果是多少？ 👉 思路点拨：把流程图念成一句话——「先平方，再乘 2，最后减 3」，照这句话的顺序算，就不会乱。 ✍️ 规范解析：(1) ，，。【得分点：三步各 1 分；负数平方要加括号】 (2) ，，。【得分点：分数平方加括号】 (3) 流程第一步只用到 ，所以直接把 代进去：。【得分点：不必求出 是几】 ✅ 标准答案：(1) 15；(2) ；(3) 15。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　流程是：输入 → 加 3 → 平方 → 输出。当输入 时，输出多少？ 变式2【能力提升】　流程是：输入 → 若 ，输出 ；若 ，输出 。 (1) 输入 时输出多少？(2) 输入 4 时输出多少？(3) 输入 0 时输出多少？ 变式3【培优压轴】　流程是：输入 → 加 3 → 若结果小于 10，就把结果当作新的输入再做一次；否则输出。 (1) 输入 时输出多少？(2) 输入 时输出多少？ 📌　题型三：先列式再求值（实际情境与图形） 🔍 考查核心：先用字母列出式子，再代入数值。考频：高频，解答题常分两问考。 📝 解题三步模板 第 1 步　列式：按 4.1 的规范把数量关系写成代数式，先不急着算。 第 2 步　代值：把给的数代进已经列好的式子，中途不改式子。 第 3 步　收尾：算出结果并补单位——长度 cm，面积 cm²，体积 cm³。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：边算边改式子，代到一半发现列错了，前面全废。 · 陷阱二：面积、体积单位漏写平方或立方，解答题要扣分。 📖 典例精讲 【题目】一个长方形，长是 cm，宽是 cm。 (1) 用代数式表示它的周长和面积； (2) 当 ， 时，求它的周长和面积。 👉 思路点拨：先把两问的式子写死，再统一代值——列式和代值分两步走，是最稳的顺序。 ✍️ 规范解析：(1) 周长 cm，面积 cm²。【得分点：周长不乘 2 不得分；两个单位分开写】 (2) 周长 （cm）；面积 （cm²）。【得分点：代入的是整个 ，不能写成 】 ✅ 标准答案：(1) cm， cm²；(2) 周长 26 cm，面积 40 cm²。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　一根钢管，外半径 cm，内半径 cm，长 cm，体积 。当 ，，， 取 3.14 时，求 。 变式2【能力提升】　3 位老师带 名学生去旅游，票价 200 元/人。甲旅行社：老师全票、学生半价；乙旅行社：全部六折。 (1) 用含 的代数式分别表示两家旅行社的费用； (2) 当 时，选择哪一家更便宜？ 变式3【培优压轴】　一块长 米、宽 米的长方形草坪，中间修两条宽度都是 米的路：一条与长边平行，一条与宽边平行。 (1) 用代数式表示剩下草坪的面积； (2) 当 ，， 时，求剩下草坪的面积。 📌　题型四：整体代入求值 🔍 考查核心：不求字母的值，把已知式整体当作一个数代入。考频：高频，压轴常客。 📝 解题三步模板 第 1 步　看倍数：把所求式拆成「已知式的几倍 常数」。 第 2 步　配符号：所求式与已知式符号相反时，先提负号再代。 第 3 步　代整体：把已知式的值整个代进去，算出结果。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：硬求字母的值——这类题的字母根本求不出来，白耗时间。 · 陷阱二：常数项漏代或符号弄反，如 忘了最后减 1。 📖 典例精讲 【题目】已知 ，求代数式 的值。 👉 思路点拨：盯着 看——它正好是 的 2 倍，把 当成一个数就行。 ✍️ 规范解析：。【得分点：看出 2 倍关系并把这一步写出来】 因为 ，所以 。【得分点：整体代入，不求 、 各是多少】 所以 。【得分点：常数项 不能漏】 ✅ 标准答案：7。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　已知 ，求代数式 的值。 变式2【能力提升】　当 时，代数式 的值是 4。求当 时，这个代数式的值。 变式3【培优压轴】　已知 ，求代数式 的值。 📌　题型五：规律与循环中的求值 🔍 考查核心：先找规律写成含 的式子再代值；循环程序看周期。考频：高频，多在压轴题。 📝 解题三步模板 第 1 步　看差：相邻两项的差如果不变，是加法型；差在变（3、5、7…），往平方型想。 第 2 步　写式子：写出含 的式子，用 、 验回去。 第 3 步　代值或判周期：直接代序号；循环题先找周期，再用余数定位。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一： 从 1 开始，别把第 1 项当成 。 · 陷阱二：循环题余数为 0 时，落在周期的最后一个，不是第一个。 📖 典例精讲 【题目】观察一列数：2，5，10，17，26，… (1) 用含 的式子表示第 个数； (2) 求第 10 个数。 👉 思路点拨：先看相邻两项的差（3、5、7、9）——差本身在变，说明不是加法型，要往平方上想。 ✍️ 规范解析：(1) 每一项都比 大 1：，，，所以第 个数是 。【得分点：写出结构，并用 验证】 (2) 当 时，。【得分点：代入的是序号 ，不是 】 ✅ 标准答案：(1) ；(2) 101。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　一列数：3，6，11，18，27，…　(1) 用含 的式子表示第 个数；(2) 求第 8 个数。 变式2【能力提升】　按规则反复运算：输入的数若是奇数就加 1，若是偶数就除以 2。从 1 开始：1 → 2 → 1 → 2 → … (1) 第 5 次运算后得到的数是多少？(2) 第 2026 次运算后呢？ 变式3【培优压轴】　把大小相同的小正方形堆成「塔」形：第 1 个图形只有 1 个；第 2 个图形共 3 个；第 3 个图形共 6 个…… (1) 用含 的式子表示第 个图形中小正方形的个数； (2) 求第 20 个图形中小正方形的个数。 四、课后分层集训 基础题（★　对应题型一～题型三） 1．（★）当 时，代数式 的值是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．（★）当 ， 时，代数式 的值是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．（★）按程序「输入 → 乘 3 → 减 2 → 输出」计算，当输入 时，输出结果是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．（★）一个长方形的长是 cm，宽是 cm。 (1) 用代数式表示它的周长与面积；(2) 当 ， 时，求它的周长与面积。 中档题（★★　对应题型三～题型四） 5．（★★）已知 ，求代数式 的值。 6．（★★）已知 ，求代数式 的值。 7．（★★）当 时，代数式 的值是 5。求当 时，这个代数式的值。 8．（★★）已知 ，求代数式 的值。 9．（★★）已知代数式 ，当 分别取 、、、 时，对应的值依次是 、、、。 求当 时，这个代数式的值。 10．（★★）一块长 30 米、宽 20 米的长方形草坪，中间修两条宽度都是 米的路：一条与长边平行，一条与宽边平行。 (1) 用含 的代数式表示剩下草坪的面积；(2) 当 时，求剩下草坪的面积。 11．（★★）一个圆环，外圆半径 cm，内圆半径 cm。 (1) 用代数式表示圆环的面积；(2) 当 ，， 取 3.14 时，求圆环的面积。 12．（★★）一块正方形铁皮，边长 cm。在四个角各剪去一个边长 cm 的小正方形，再把四边折起来做成一个无盖盒子。 (1) 用代数式表示这个盒子的容积； (2) 当 ， 时，求这个盒子的容积。 压轴题（★★★　对应题型五） 13．（★★★）用长度相同的小棒摆正方形，排成一排：第 1 个图形摆 1 个正方形，用 4 根；第 2 个图形接 1 个（共用一条边），用 7 根；第 3 个图形用 10 根……按此规律继续摆。 (1) 用含 的代数式表示第 个图形所需小棒的根数； (2) 第 20 个图形需要多少根？ (3) 第 21 个图形比第 20 个图形多几根？ 14．（★★★）按一定规律排列的一列数：，，，，，，… (1) 第 20 个数是多少？第 21 个数是多少？ (2) 用含 的式子表示第 个数（分 为奇数、偶数两种情况）。 15．（★★★）按规则反复运算：输入的数若是奇数，就加 3；若是偶数，就除以 2。把每次的结果作为新的输入继续算。从 1 开始。 (1) 依次写出前 4 次运算后得到的数； (2) 你发现这串数有什么规律？ (3) 第 2026 次运算后得到的数是多少？ 五、本讲避坑清单 1．　负数代入必加括号： 时 ，写成 就变成 了。 2．　分数代入也要加括号：，底数是整个分数，不是分子。 3．　先乘方、再乘除、最后加减，别把式子从左往右顺着算。 4．　整体代入先看倍数： 是 的 2 倍，凑不出来就再找，别硬求字母的值。 5．　循环题余数为 0 时落在周期最后一个，不是第一个；周期从第几项开始要单独确认。 六、附录·参考答案与提示 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 使用说明：变式 1 给完整解析，变式 2 给关键步骤，变式 3 只给提示；课后集训按「基础给结果、中档给关键步骤、压轴给提示」分档。 一、即时小练答案 1．9　（） 2．1　（） 3．1　（） 二、典例与变式答案 【题型一】直接代入求值 典例：25。 变式1【基础巩固】　代入得 。 ，所以原式 。 负数平方得正，这一步错了后面全错。 变式2【能力提升】　。 。 变式3【培优压轴】　(1) ，；(2) 。 因为 ，所以 。 【题型二】数值转换机（程序图）求值 典例：(1) 15；(2) ；(3) 15。 变式1【基础巩固】　先加 3：；再平方：。顺序反过来会算成 ，这是最常见的错。 变式2【能力提升】　(1) ，走第二支：。 (2) ，走第一支：。 变式3【培优压轴】　(1) 10；(2) 12。 关键：每一次算完都要回头判断一次「满不满足条件」，直到不满足才停。只算一次就停，是本题的最大失分点。 【题型三】先列式再求值（实际情境与图形） 典例：(1) cm， cm²；(2) 周长 26 cm，面积 40 cm²。 变式1【基础巩固】　先算括号里的平方差：。 再乘：（cm³）。 单位是体积单位 cm³，不能写成 cm²。 变式2【能力提升】　(1) 甲：3 位老师全票 元， 名学生半价 元，共 元； 　　乙：全部 人，每人 元，共 元。 变式3【培优压轴】　(1) 平方米；(2) 504 平方米。 易错：写成 之类，把两条路的交叉处算了两遍；用平移法一次可以避免。 【题型四】整体代入求值 典例：7。 变式1【基础巩固】　，把 整体代入，得 。 所以 。 变式2【能力提升】　由题意，当 时， 的值是 。 当 时， 中的每一项都变号，所以它的值是 3。 变式3【培优压轴】　7。 这一层「把式子当字母」是本题的坎，也是整体思想的最高形态。 【题型五】规律与循环中的求值 典例：(1) ；(2) 101。 变式1【基础巩固】　每一项都比 大 2：，，，故第 个数是 。 时，。 变式2【能力提升】　第 1 次：1 是奇数，；第 2 次：2 是偶数，。此后 2、1 交替出现，周期为 2。 (1) 第 5 次：奇数次都得到 2，所以是 2。 变式3【培优压轴】　(1) 个；(2) 210 个。 提示：考场上若写不出公式，写出「」并代入 也算对。 三、课后分层集训答案 基础题 1．　B。 2．　C。 3．　D。 4．　(1) cm， cm²；(2) 周长 20 cm，面积 24 cm²。 中档题 5．　8。 ，把 整体代入，得 。 所以 。 6．　7。 ，整体代入得 。 所以原式 。 7．　。 由题意，当 时 的值是 。 当 时，三次项与一次项同时变号，所以 的值是 。 8．　2030。 。 所以原式 。 9．　5。 观察表格： 每增加 1，代数式的值就增加 2。 从 （值为 1）再往后数两次： 时值为 3， 时值为 5。 10．　(1) 平方米；(2) 504 平方米。 (1) 把两条路平移到边上，剩下的草坪是一个长 、宽 的长方形，面积 平方米。 (2) 时，（平方米）。 11．　(1) cm²；(2) 50.24 cm²。 (1) 圆环面积 （cm²）。 (2) 代入：（cm²）。 12．　(1) cm³；(2) 72 cm³。 (1) 折起后盒子的高是 cm，底面边长是 cm，容积 （cm³）。 　　为什么是 而不是 ？因为两端各剪掉一个 。 压轴题 13．　(1) 根；(2) 61 根；(3) 3 根。 　　其实就是「每多一个正方形增加 3 根」，第 (3) 问考的就是这个结论本身。 14．　(1) 20，；(2) 为奇数时是 ， 为偶数时是 。 提示：也可以用 表示，但分情况写更不容易出错。 15．　(1) 4、2、1、4；(2) 以 4、2、1 三个数为一个周期循环；(3) 4。 关键：余数为 0 时落在周期最后一个，余数为 1 时落在第一个——这一点和题型五变式 2 的考法正好互补。 $ 专题02 代数式的值 培优进阶讲义 浙教版七年级上册　第4章　代数式 一、本讲题型目录 题型 题型名称 考查核心（知识点） 考频 对应集训 一 直接代入求值 代入的书写规范、运算顺序 高频 1—2 二 数值转换机（程序图）求值 按流程顺序逐步代入 高频 3 三 先列式再求值 列式 → 代值 → 带单位 高频 4—12 四 整体代入求值 凑出已知式的倍数与相反数 高频 5—8 五 规律与循环中的求值 含 的式子、周期判定 高频 13—15 二、核心知识速记 表1　拿到一道求值题，先判断用哪种思路 题目长什么样 用什么方法 关键动作 直接给出字母的值（「当 时」） 直接代入 负数、分数加括号，按运算顺序算到底 给出一个运算流程图（数值转换机） 按图代入 顺箭头走，遇判断框先看条件走哪一支 给出另一个式子的值（「已知 」） 整体代入 把所求式凑成「已知式 」再代 同一字母取相反数（ 与 ） 对称代入 含奇次项的部分整体变号，偶次项不变 一串数、一列图形 先找规律再求值 写出含 的式子，用 验过再代入 一句话记牢：求值题的第一步不是算，是看题目给的是什么——给字母值就代，给式子值就凑，给图形就找规律。 表2　代入时最容易出错的 5 个书写点 情形 正确写法 错误写法 后果 负数代入乘方 符号全错，整题作废 负数参与乘法 不合书写规范，阅卷可扣分 分数代入乘方 底数看错，结果错 运算顺序 先乘方、再乘除、最后加减 从左往右顺着算 顺序错，结果必错 结果带单位 周长 26 cm、面积 24 cm² 周长 26、面积 24 丢单位，解答题扣分 考前自检：每写完一个代入式，回头看一眼有没有括号——负数和分数，代入必加括号。 表3　整体代入：从「已知」到「所求」怎么凑 已知条件 要求的式子 怎么凑 结果 把 当成一个字母 时 时 的值 奇次项整体变号 → 核心一句话：整体代入的本质是不求出字母、把已知式当作一个数。先看倍数，再看符号，最后别忘了常数项。 【即时小练】　3 道基础题　限时 5 分钟　（答案见附录） 1．当 时，代数式 的值是＿＿＿＿。 答：＿＿＿＿＿＿ 2．已知 ，则 ＿＿＿＿。 答：＿＿＿＿＿＿ 3．按程序「输入 → 平方 → 减 3 → 输出」计算，输入 时输出＿＿＿＿。 答：＿＿＿＿＿＿ 三、题型精讲 📌　题型一：直接代入求值 🔍 考查核心：把字母换成数、按运算顺序算到底。考频：高频，选择、填空、解答第 (1) 问都常出。 📝 解题三步模板 第 1 步　圈字母：先圈出式子里每一个字母，逐个换成题目给的数。 第 2 步　加括号：负数、分数代入时一律加括号，乘方的底数才不会看错。 第 3 步　按序算：先乘方、再乘除、最后加减，一步一行写清楚。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一： 时把 写成 得 ，正确是 。 · 陷阱二：分数代入漏括号， 写成 ，答案必错。 📖 典例精讲 【题目】当 ， 时，求代数式 的值。 👉 思路点拨：代入前先把每个字母的括号「提前加好」，再动笔算，符号就不会错。 ✍️ 规范解析：把 、 的值代入：。【得分点：两处负数都加了括号】 先算乘方：，。【得分点：乘方先算，不能先算乘法】 再算乘法：。【得分点：负负得正，符号不能错】 最后加减：。 ✅ 标准答案：25。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　当 ， 时，求代数式 的值。 变式2【能力提升】　当 ， 时，分别求 与 的值，并比较它们的大小。 变式3【培优压轴】　规定 ，例如 。 (1) 求 、 的值； (2) 比较 与 的大小。 【教师提示 · 讲评建议】 建议 6 分钟。本题型唯一的难点是符号，讲评时把 与 并排写在黑板上，让学生自己算两遍。 变式 2 是埋伏笔：两个式子值相等，学生觉得「巧合」，其实是为后面完全平方公式埋的线——这里只让他们发现现象，不要提前讲公式。 变式 3 的 记号学生第一次见，先带读一遍「 括号负一」，再让他们自己换。 📌　题型二：数值转换机（程序图）求值 🔍 考查核心：按流程图的箭头顺序逐步代入。考频：高频，选择、填空常考。 📝 解题三步模板 第 1 步　读流程：把流程图翻译成一串运算（如「平方→乘 2→减 3」），先写在草稿上。 第 2 步　逐步代：每经过一个方框算一次，一步不跳。 第 3 步　看条件：遇到判断框，先看输入满足哪一支，再走那条路。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：忽略判断框的「是否满足」，两支的式子不同，走错整题作废。 · 陷阱二：需要回头重算的循环程序，只算一次就交卷。 📖 典例精讲 【题目】小明设计了一个数值转换机，流程是：输入 → 平方 → 乘 2 → 减 3 → 输出。 (1) 输入 时，输出的结果是多少？ (2) 输入 时，输出的结果是多少？ (3) 若输入的 满足 ，输出的结果是多少？ 👉 思路点拨：把流程图念成一句话——「先平方，再乘 2，最后减 3」，照这句话的顺序算，就不会乱。 ✍️ 规范解析：(1) ，，。【得分点：三步各 1 分；负数平方要加括号】 (2) ，，。【得分点：分数平方加括号】 (3) 流程第一步只用到 ，所以直接把 代进去：。【得分点：不必求出 是几】 ✅ 标准答案：(1) 15；(2) ；(3) 15。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　流程是：输入 → 加 3 → 平方 → 输出。当输入 时，输出多少？ 变式2【能力提升】　流程是：输入 → 若 ，输出 ；若 ，输出 。 (1) 输入 时输出多少？(2) 输入 4 时输出多少？(3) 输入 0 时输出多少？ 变式3【培优压轴】　流程是：输入 → 加 3 → 若结果小于 10，就把结果当作新的输入再做一次；否则输出。 (1) 输入 时输出多少？(2) 输入 时输出多少？ 【教师提示 · 讲评建议】 建议 7 分钟。让学生把流程「翻译成一句话」写下来再算，能挡掉一半的顺序错误。 变式 2 的第 (3) 问专治「 与 分不清」，用 0 这个边界值问，学生答错率很高，值得停下来讲。 变式 3 建议让学生上台一步一步写，把每次的结果列成一行，直观看到「回头算了几次」。 📌　题型三：先列式再求值（实际情境与图形） 🔍 考查核心：先用字母列出式子，再代入数值。考频：高频，解答题常分两问考。 📝 解题三步模板 第 1 步　列式：按 4.1 的规范把数量关系写成代数式，先不急着算。 第 2 步　代值：把给的数代进已经列好的式子，中途不改式子。 第 3 步　收尾：算出结果并补单位——长度 cm，面积 cm²，体积 cm³。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：边算边改式子，代到一半发现列错了，前面全废。 · 陷阱二：面积、体积单位漏写平方或立方，解答题要扣分。 📖 典例精讲 【题目】一个长方形，长是 cm，宽是 cm。 (1) 用代数式表示它的周长和面积； (2) 当 ， 时，求它的周长和面积。 👉 思路点拨：先把两问的式子写死，再统一代值——列式和代值分两步走，是最稳的顺序。 ✍️ 规范解析：(1) 周长 cm，面积 cm²。【得分点：周长不乘 2 不得分；两个单位分开写】 (2) 周长 （cm）；面积 （cm²）。【得分点：代入的是整个 ，不能写成 】 ✅ 标准答案：(1) cm， cm²；(2) 周长 26 cm，面积 40 cm²。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　一根钢管，外半径 cm，内半径 cm，长 cm，体积 。当 ，，， 取 3.14 时，求 。 变式2【能力提升】　3 位老师带 名学生去旅游，票价 200 元/人。甲旅行社：老师全票、学生半价；乙旅行社：全部六折。 (1) 用含 的代数式分别表示两家旅行社的费用； (2) 当 时，选择哪一家更便宜？ 变式3【培优压轴】　一块长 米、宽 米的长方形草坪，中间修两条宽度都是 米的路：一条与长边平行，一条与宽边平行。 (1) 用代数式表示剩下草坪的面积； (2) 当 ，， 时，求剩下草坪的面积。 【教师提示 · 讲评建议】 建议 8 分钟。强调「先列式、后代值」这个顺序，学生混着做时错误率接近一半。 变式 2 是现实感最强的题，可以追问「如果只带 3 个学生，哪家便宜」，让学生发现结论会随 变化，为以后学不等式埋线。 变式 3 的平移法要画个示意（口头描述也行）：两条路推到边上，剩下就是一个小长方形。 📌　题型四：整体代入求值 🔍 考查核心：不求字母的值，把已知式整体当作一个数代入。考频：高频，压轴常客。 📝 解题三步模板 第 1 步　看倍数：把所求式拆成「已知式的几倍 常数」。 第 2 步　配符号：所求式与已知式符号相反时，先提负号再代。 第 3 步　代整体：把已知式的值整个代进去，算出结果。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一：硬求字母的值——这类题的字母根本求不出来，白耗时间。 · 陷阱二：常数项漏代或符号弄反，如 忘了最后减 1。 📖 典例精讲 【题目】已知 ，求代数式 的值。 👉 思路点拨：盯着 看——它正好是 的 2 倍，把 当成一个数就行。 ✍️ 规范解析：。【得分点：看出 2 倍关系并把这一步写出来】 因为 ，所以 。【得分点：整体代入，不求 、 各是多少】 所以 。【得分点：常数项 不能漏】 ✅ 标准答案：7。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　已知 ，求代数式 的值。 变式2【能力提升】　当 时，代数式 的值是 4。求当 时，这个代数式的值。 变式3【培优压轴】　已知 ，求代数式 的值。 【教师提示 · 讲评建议】 建议 8 分钟。先问一句「 是多少？」让学生自己发现求不出来，整体思想才有说服力。 变式 2 用具体数字示范：设 ， 时 ； 时 ，一正一反，学生立刻明白为什么变号。 变式 3 允许学生先换元再算，把 圈起来写个 ，比硬看容易得多。 📌　题型五：规律与循环中的求值 🔍 考查核心：先找规律写成含 的式子再代值；循环程序看周期。考频：高频，多在压轴题。 📝 解题三步模板 第 1 步　看差：相邻两项的差如果不变，是加法型；差在变（3、5、7…），往平方型想。 第 2 步　写式子：写出含 的式子，用 、 验回去。 第 3 步　代值或判周期：直接代序号；循环题先找周期，再用余数定位。 ⚠️ 专属陷阱 · 陷阱一： 从 1 开始，别把第 1 项当成 。 · 陷阱二：循环题余数为 0 时，落在周期的最后一个，不是第一个。 📖 典例精讲 【题目】观察一列数：2，5，10，17，26，… (1) 用含 的式子表示第 个数； (2) 求第 10 个数。 👉 思路点拨：先看相邻两项的差（3、5、7、9）——差本身在变，说明不是加法型，要往平方上想。 ✍️ 规范解析：(1) 每一项都比 大 1：，，，所以第 个数是 。【得分点：写出结构，并用 验证】 (2) 当 时，。【得分点：代入的是序号 ，不是 】 ✅ 标准答案：(1) ；(2) 101。 ✍️ 分层变式训练 变式1【基础巩固】　一列数：3，6，11，18，27，…　(1) 用含 的式子表示第 个数；(2) 求第 8 个数。 变式2【能力提升】　按规则反复运算：输入的数若是奇数就加 1，若是偶数就除以 2。从 1 开始：1 → 2 → 1 → 2 → … (1) 第 5 次运算后得到的数是多少？(2) 第 2026 次运算后呢？ 变式3【培优压轴】　把大小相同的小正方形堆成「塔」形：第 1 个图形只有 1 个；第 2 个图形共 3 个；第 3 个图形共 6 个…… (1) 用含 的式子表示第 个图形中小正方形的个数； (2) 求第 20 个图形中小正方形的个数。 【教师提示 · 讲评建议】 建议 10 分钟。规律题必须让学生把前四项写在草稿上，禁止「看两眼就猜」。 变式 2 的周期是本讲最容易翻车的地方：让学生把前 6 次结果全列出来（2,1,2,1,2,1），再指着问「第 5 个是几」，比讲余数规则有效。 变式 3 承接 4.1 的塔形题，这里只多一步代值，可当作两讲的衔接点。 四、课后分层集训 基础题（★　对应题型一～题型三） 1．（★）当 时，代数式 的值是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．（★）当 ， 时，代数式 的值是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．（★）按程序「输入 → 乘 3 → 减 2 → 输出」计算，当输入 时，输出结果是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．（★）一个长方形的长是 cm，宽是 cm。 (1) 用代数式表示它的周长与面积；(2) 当 ， 时，求它的周长与面积。 中档题（★★　对应题型三～题型四） 5．（★★）已知 ，求代数式 的值。 6．（★★）已知 ，求代数式 的值。 7．（★★）当 时，代数式 的值是 5。求当 时，这个代数式的值。 8．（★★）已知 ，求代数式 的值。 9．（★★）已知代数式 ，当 分别取 、、、 时，对应的值依次是 、、、。 求当 时，这个代数式的值。 10．（★★）一块长 30 米、宽 20 米的长方形草坪，中间修两条宽度都是 米的路：一条与长边平行，一条与宽边平行。 (1) 用含 的代数式表示剩下草坪的面积；(2) 当 时，求剩下草坪的面积。 11．（★★）一个圆环，外圆半径 cm，内圆半径 cm。 (1) 用代数式表示圆环的面积；(2) 当 ，， 取 3.14 时，求圆环的面积。 12．（★★）一块正方形铁皮，边长 cm。在四个角各剪去一个边长 cm 的小正方形，再把四边折起来做成一个无盖盒子。 (1) 用代数式表示这个盒子的容积； (2) 当 ， 时，求这个盒子的容积。 压轴题（★★★　对应题型五） 13．（★★★）用长度相同的小棒摆正方形，排成一排：第 1 个图形摆 1 个正方形，用 4 根；第 2 个图形接 1 个（共用一条边），用 7 根；第 3 个图形用 10 根……按此规律继续摆。 (1) 用含 的代数式表示第 个图形所需小棒的根数； (2) 第 20 个图形需要多少根？ (3) 第 21 个图形比第 20 个图形多几根？ 14．（★★★）按一定规律排列的一列数：，，，，，，… (1) 第 20 个数是多少？第 21 个数是多少？ (2) 用含 的式子表示第 个数（分 为奇数、偶数两种情况）。 15．（★★★）按规则反复运算：输入的数若是奇数，就加 3；若是偶数，就除以 2。把每次的结果作为新的输入继续算。从 1 开始。 (1) 依次写出前 4 次运算后得到的数； (2) 你发现这串数有什么规律？ (3) 第 2026 次运算后得到的数是多少？ 五、本讲避坑清单 1．　负数代入必加括号： 时 ，写成 就变成 了。 2．　分数代入也要加括号：，底数是整个分数，不是分子。 3．　先乘方、再乘除、最后加减，别把式子从左往右顺着算。 4．　整体代入先看倍数： 是 的 2 倍，凑不出来就再找，别硬求字母的值。 5．　循环题余数为 0 时落在周期最后一个，不是第一个；周期从第几项开始要单独确认。 六、附录·参考答案与提示 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 使用说明：本附录给出全部题目的完整解析，可直接用于讲评。 一、即时小练答案 1．9　（） 2．1　（） 3．1　（） 二、典例与变式答案 【题型一】直接代入求值 典例：25。 变式1【基础巩固】　（即 1.5）。 代入得 。 ，所以原式 。 负数平方得正，这一步错了后面全错。 变式2【能力提升】　都是 25，两者相等。 。 。 两个式子的值相等。注意 ，两个负号相乘得正，最容易漏。 变式3【培优压轴】　(1) ，；(2) 。 读懂记号： 就是把式子里的 全部换成 ， 就是把 全部换成 2。 。 。 因为 ，所以 。 【题型二】数值转换机（程序图）求值 典例：(1) 15；(2) ；(3) 15。 变式1【基础巩固】　25。 先加 3：；再平方：。顺序反过来会算成 ，这是最常见的错。 变式2【能力提升】　(1) 9；(2) 9；(3) 0。 (1) ，走第二支：。 (2) ，走第一支：。 (3) ，仍走第二支：。注意「不大于 0」包含 0 本身。 变式3【培优压轴】　(1) 10；(2) 12。 (1) ，，把 4 当新输入：，还小于 10，再算：，，输出 10。 (2) ，继续：，输出 12。 关键：每一次算完都要回头判断一次「满不满足条件」，直到不满足才停。只算一次就停，是本题的最大失分点。 【题型三】先列式再求值（实际情境与图形） 典例：(1) cm， cm²；(2) 周长 26 cm，面积 40 cm²。 变式1【基础巩固】　2260.8 cm³。 先算括号里的平方差：。 再乘：（cm³）。 单位是体积单位 cm³，不能写成 cm²。 变式2【能力提升】　(1) 甲 元，乙 元；(2) 甲更便宜。 (1) 甲：3 位老师全票 元， 名学生半价 元，共 元； 　　乙：全部 人，每人 元，共 元。 (2) 时：甲 （元）；乙 （元）。因为 ，所以选甲旅行社。 注意：乙的式子 括号不能丢，漏掉就只算了学生的钱。 变式3【培优压轴】　(1) 平方米；(2) 504 平方米。 (1) 把两条路分别平移到草坪边上，剩下的草坪拼成一个长方形，长 、宽 ，面积 平方米。 (2) 代入：（平方米）。 易错：写成 之类，把两条路的交叉处算了两遍；用平移法一次可以避免。 【题型四】整体代入求值 典例：7。 变式1【基础巩固】　。 ，把 整体代入，得 。 所以 。 变式2【能力提升】　10。 由题意，当 时， 的值是 。 当 时， 中的每一项都变号，所以它的值是 3。 于是原式 。关键：三次项、一次项在 变相反数时整体变号，常数项不变。 变式3【培优压轴】　7。 把 当作一个整体字母，设它为 ，则 ，原式变成 。 代入：。 这一层「把式子当字母」是本题的坎，也是整体思想的最高形态。 【题型五】规律与循环中的求值 典例：(1) ；(2) 101。 变式1【基础巩固】　(1) ；(2) 66。 每一项都比 大 2：，，，故第 个数是 。 时，。 变式2【能力提升】　(1) 2；(2) 1。 第 1 次：1 是奇数，；第 2 次：2 是偶数，。此后 2、1 交替出现，周期为 2。 (1) 第 5 次：奇数次都得到 2，所以是 2。 (2) 余 0，余数为 0 表示落在周期的最后一个（即偶数次对应的 1），所以是 1。 变式3【培优压轴】　(1) 个；(2) 210 个。 (1) 前三项是 1，3，6，差为 2、3（不相等），不是加法型。换角度看：第 个图形共 层，从上往下依次 1、2、…、 个，总数是 。 (2) 时，（个）。 提示：考场上若写不出公式，写出「」并代入 也算对。 三、课后分层集训答案 基础题 1．　B。 代入得 。 ，所以原式 ，选 B。 2．　C。 代入得 。 ，所以原式 ，选 C。 易错： 中 是负数，乘积为负，减这个负数要变加。 3．　D。 先乘：；再减：，选 D。 顺序不能反，先减再乘会算成 。 4．　(1) cm， cm²；(2) 周长 20 cm，面积 24 cm²。 (1) 周长 cm，面积 cm²。 (2) 周长 （cm）；面积 （cm²）。 两问都要带单位，面积必须是 cm²。 中档题 5．　8。 ，把 整体代入，得 。 所以 。 6．　7。 ，整体代入得 。 所以原式 。 7．　。 由题意，当 时 的值是 。 当 时，三次项与一次项同时变号，所以 的值是 。 于是原式 。注意常数项 不跟着变号。 8．　2030。 。 所以原式 。 9．　5。 观察表格： 每增加 1，代数式的值就增加 2。 从 （值为 1）再往后数两次： 时值为 3， 时值为 5。 不必求出 、，用「每次加 2」的变化规律直接推最快。 10．　(1) 平方米；(2) 504 平方米。 (1) 把两条路平移到边上，剩下的草坪是一个长 、宽 的长方形，面积 平方米。 (2) 时，（平方米）。 若直接算 ，会把交叉处减两次，得到 460 的错误答案。 11．　(1) cm²；(2) 50.24 cm²。 (1) 圆环面积 （cm²）。 (2) 代入：（cm²）。 面积为二次单位，必须是 cm²。 12．　(1) cm³；(2) 72 cm³。 (1) 折起后盒子的高是 cm，底面边长是 cm，容积 （cm³）。 　　为什么是 而不是 ？因为两端各剪掉一个 。 (2) 代入：（cm³）。 体积单位是 cm³。 压轴题 13．　(1) 根；(2) 61 根；(3) 3 根。 (1) 前三项 4，7，10，相邻差 3，故为 。 (2) 时，（根）。 (3) （根）。 　　其实就是「每多一个正方形增加 3 根」，第 (3) 问考的就是这个结论本身。 14．　(1) 20，；(2) 为奇数时是 ， 为偶数时是 。 先看规律：绝对值和序号相同，奇数位带负号、偶数位带正号。 (1) 20 是偶数，所以第 20 个数是 20；21 是奇数，所以第 21 个数是 。 (2) 为奇数时，第 个数是 ； 为偶数时，第 个数是 。 提示：也可以用 表示，但分情况写更不容易出错。 15．　(1) 4、2、1、4；(2) 以 4、2、1 三个数为一个周期循环；(3) 4。 (1) 第 1 次：1 是奇数，；第 2 次：4 是偶数，；第 3 次：2 是偶数，；第 4 次：1 是奇数，。 (2) 得到 4、2、1、4、2、1…，以 3 个数为一个周期重复出现。 (3) 余 1，余数是 1 表示落在周期的第 1 个数，所以答案是 4。 关键：余数为 0 时落在周期最后一个，余数为 1 时落在第一个——这一点和题型五变式 2 的考法正好互补。 $