4.3 整式 讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第4章 代数式　第9讲 整式(4.3) 第4章 代数式 第9讲 整式(4.3) 专题讲义 (一)单项式的系数与次数 例题精析 例 1 观察下列一系列单项式的特点： (1)写出第8个单项式。 (2)猜想第n(n为大于0的整数)个单项式是什么？并指出它的系数和次数。 ▍思路点拨 单项式次数是所有字母的指数和，系数是指单项式中的数字因数。 ▍过程详解 解： (1)观察单项式的系数与次数得第8个单项式为。 (2)第n个单项式是，系数是，次数为(n+2)。 ▍总结升华 本题考查了单项式的系数与次数的确定，根据已给的单项式特点找到一般规律。 变式 1 下列说法正确的是（　　） A. 0不是单项式 的系数是0，次数是2 的系数是 D. -abc的系数是-1，次数是3 (二)多项式的次数与项数 例题精析 例 2 已知多项式。 (1)请指出该多项式是几次几项式，并写出它的四次项、二次项和常数项。 (2)按y的降幂排列为＿＿＿。 ▍思路点拨 (1)利用多项式的次数以及各项名称和多项式的项数定义写出即可； (2)根据多项式降幂排列即可。 ▍过程详解 解： (1)该多项式是四次四项式，四次项是，二次项是，常数项是-1。 ▍总结升华 本题考查了多项式的定义，系数与次数的确定，以及多项式按降幂排列的方法。 变式 2 已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同。 (1)求m,n的值。 (2)把这个多项式按x降幂排列。 (三)代数式的分类 例题精析 例 3 把下列代数式分别填在相应的括号内： 。 (1)单项式：｛　　　　｝。 (2)多项式：｛　　　　｝。 (3)二次二项式：｛　　　　｝。 (4)整式：｛　　　　｝。 ▍思路点拨 根据整式、单项式、多项式的概念和系数或次数的确定方法进行分类。 ▍过程详解 (1)单项式：｛｝。 (2)多项式：｛｝。 (3)二次二项式：｛｝。 (4)整式：｛｝。 ▍总结升华 本题考查了整式、单项式、多项式等相关概念以及多项式的次数的确定。 变式 3 把下列各式填在相应的括号内： 。 (1)单项式：｛　　　　｝。 (2)多项式：｛　　　　｝。 (3)整式：｛　　　　｝。 (四)多项式中不含某一项 例题精析 例 4 如果多项式中不含和的项。 (1)求出m,n的值。 (2)若当x=1时该多项式值为15，那么当x=-1时，求该多项式值。 ▍思路点拨 找出含和的项，将其系数相加，当其系数为0时，就是不含和的项，求出m的值即可。 ▍过程详解 解： (1)因为不含项，所以2n+6=0，所以n=-3；因为不含的项，所以m-2=0，所以m=2。 (2)由(1)得多项式是，因为当x=1时，该多项式值为15，即8b-a-3=15，所以8b-a=18，当x=-1时，该多项式值=-8b+a-3=-18-3=-21。 ▍总结升华 多项式中不含字母的n次方项即为该项的系数为0。 变式 4 若关于x的多项式不含二次项和一次项，求m,n的值。 (五)列单项式或多项式解决实际问题 例题精析 例 5 某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利成本的15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末可再次获利成本的10%；如果月末出售可获利成本的30%，但要付仓储费用700元。若商场投入x元。 (1)请列出代数式分别表示这两种出售方式的获利情况，并判断所列代数式是单项式还是多项式。 (2)当商场分别投入1万元和5万元时，哪种出售方式获利较大？ ▍思路点拨 分别根据题意用代数式写出两种出售方式所获利润，再将x=10000与x=50000，代入求值，比较大小即可。 ▍过程详解 解： (1)方式一：可获利(15%x+x)·10%+15%x=0.265x(元)，是单项式；方式二：可获利(0.3x-700)元，是多项式。 (2)当x=10000时，方式一获利=0.265×10000=2650(元)，方式二获利=0.3×10000-700=2300(元)，故方式一获利较大；当x=50000时，方式一获利=0.265×50000=13250(元)，方式二获利=0.3×50000-700=14300(元)，故方式二获利较大。 ▍总结升华 理清题意，列单项式或多项式解决实际问题，代入数值进行比较。 变式 5 某商店出售一种商品，其原价为m元，现有如下两种调价方案：一种是先提价10%，在此基础上又降价10%；另一种是先降价10%，在此基础上又提价10%。 (1)用这两种方案调价的结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复了原价？ (2)如果对两种调价方案进行调整：一种是先提价20%，在此基础上又降价20%；另一种是先降价20%，在此基础上又提价20%，这时结果怎样？ (3)你能总结出什么规律吗？若先降价20%，再提价＿＿＿%，就可以恢复原价。 (六)单项式中的规律探究题 例题精析 例 6 观察下列的三行单项式： ① ② ③ (1)根据你发现的规律，第①行第8个单项式为＿＿＿。 (2)第②行的第8个单项式为＿＿＿，第③行的第8个单项式为＿＿＿。 (3)取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为M，计算当时，求M的值。 ▍思路点拨 根据题目中单项式的系数和字母的指数的变化情况寻找规律即可求解；再将所得规律列代数式代入值即可。 ▍过程详解 解： (1)第8个单项式为。故答案为。 (2)观察第②行规律，第n个单项式为，所以第8个单项式为。观察第③行规律，第n个单项式为，所以第8个单项式为。故答案为；。 (3)第①行第9个单项式为，第②行第9个单项式为，第③行的第9个单项式为，，当时，。 ▍总结升华 本题考查了单项式系数和次数变化规律，仔细观察所给的单项式，正确得出每行之间对应数的关系是解决问题的关键。 变式 6 一组按规律排列的式子“”。按照上述规律，它的第n个式子(n≥1且n为整数)是＿＿＿。 链接好题 将连续奇数1,3,5,7,9,…，排列成如下的数表： (1)设中间数为x，用式子表示十字框中五个数之和。 (2)十字框中的五个数之和能等于2024吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由。 参考答案与方法指导 变式训练 1. D 2. (1)由题意得m+1+3=5，3n+2=5，所以m=1，n=1。 。 3. 4. 因为关于x的多项式不含二次项和一次项，所以二次项与一次项(2-3n)x的系数为0，即-(2m-1)=0，2-3n=0，所以，。 5. (1)方案一：先提价10%为(1+10%)m=110%m，再降价10%后价钱为110%m×(1-10%)=99%m；方案二：先降价10%为(1-10%)m=90%m，再提价10%后价钱为90%m×(1+10%)=99%m，用这两种方案调价的结果一样，都不是恢复原价。 (2)方案一：先提价20%为(1+20%)m=120%m，再降价20%后价钱为120%m×(1-20%)=96%m；方案二：先降价20%为(1-20%)m=80%m，再提价20%后价钱为80%m×(1+20%)=96%m；用这两种方案调价的结果一样，都不是恢复原价。 (3)在原价基础上，先提价百分之多少，在此基础上再降价同样的百分数，与先降价百分之多少，再提价同样的百分数，最后结果一样，但不是恢复原价。m÷(1-20%)×100%%-m=125%m-m=25%m，若先降价20%，再提价25%，就可以恢复原价。故答案为25。 6. 链接好题 (1)由题意得x-16+x-2+x+x+2+x+16=5x。答：十字框中五个数之和为5x。 (2)不能等于2024，理由如下：因为5x=2024，所以x=404.8，因为404.8不是整数，所以十字框中的五个数之和不能等于2024。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $