4.2代数式的值（讲义，2个知识点3大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦“代数式的值”核心知识点，系统梳理其定义、求法步骤（代入、替换、计算）、整体代入技巧及实际应用，承接代数式概念，为后续整式加减、方程学习搭建从字母表示数到数值计算的关键支架。 资料通过分层设计（随学随练、基础通关至迁移创新）和实际情境题（面积、费用计算），培养运算能力（准确处理负数分数代入）、模型意识（建立“字母赋值-代数运算-实际结果”逻辑）与创新意识（新运算、集合等拓展题）。课中助教师突出重难点，课后供学生分层巩固，有效查漏补缺。

第四章 代数式 4.2 代数式的值 课标要点 1.结合行程、图形计算、消费计费等实际情境，理解代数式的值的含义，明白字母取值与代数式结果的对应关系。 2.掌握求代数式值的完整步骤：代入、替换、计算，规范书写解题格式，替换负数、分数时主动添加括号。 3.能将整数、小数、分数、负数代入代数式，结合有理数混合运算法则准确算出代数式的值。 4.能根据实际问题限定字母的取值范围，判断字母可取、不可取的数值，理解代数式中字母的实际意义。 5.会利用代数式求值解决几何面积、费用计算等应用题，建立“字母赋值→代数运算→实际结果”的解题逻辑。 学习重难点 重点： 1.求代数式的值的标准步骤与规范书写。 2.各类有理数代入代数式后准确完成计算。 难点： 1.代入负数、分数、乘方项时遗漏括号，造成符号、运算顺序错误。 2.含多层括号、乘方、分数的复杂代数式求值计算。 3.结合实际情境确定字母取值范围，利用代数式的值分析数量变化规律。 知识点 代数式的值的定义（重点） 1.定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 2.说明：代数式的值由字母所取的值决定，字母取值不同，代数式的值一般不同。 特别提醒 字母取值要保证两点：一是使代数式本身有意义；二是符合实际问题场景。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若，且，则的值为（   ） A．5或 B．或 C．5或7 D．或7 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，满足，则的值为________． 知识点 整体代入求值（难点） 1. 题型特点：不单独给出字母数值，而是给出整体式子的值，整体替换计算。 2.示例：已知x-2y=3，求2x-4y+5，变形为2(x-2y)+5，整体代入得2×3+5=11。 教材延伸 整体代入思想是本章必考题型，常结合整式加减综合出题，也是后续方程、函数常用解题方法。 随学随练 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知，那么代数式的值是（　　） A．1 B．5 C．8 D．9 2．（2026·浙江湖州·二模）已知，则_____． 题型 已知字母的值，求代数式的值 ▌例1 （25-26九年级上·浙江温州·自主招生）若与互为相反数，则的值（   ） A．64 B． C．81 D． 解题贴士 先分别列等式求出x、y，再代入代数式计算。 ▌对点练1-1 （25-26七年级下·浙江杭州·期中）一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数，，满足．则的值为（    ）． A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江衢州·期中）当、时，求代数式的值． ▌对点练1-3 （25-26七年级上·浙江丽水·期中）已知，，且 (1)求的值． (2)若，求的值． 题型 已知式子的值，求代数式的值 ▌例2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）已知a，b互为倒数，x，y互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 解题贴士 1.倒数乘积为1，相反数相加得0； 2.整体替换已知关系，直接代入代数式计算。 ▌对点练2-1 （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知代数式的值为3，则的值为（） A．10 B．11 C．12 D．13 ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）若代数式的值是2，则代数式的值是________． ▌对点练2-3（25-26七年级上·浙江杭州·期末）当，时，计算_____． ▌对点练2-4（25-26七年级上·浙江杭州·期中）当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为_____． 题型 实际问题 ▌例3 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）有长为的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，中间有一道篱笆隔开，园子的宽为． (1)用关于、的代数式表示园子的面积． (2)当米，米时，求园子的面积． 解题贴士 1.结合图形分析边长关系，列出面积代数式； 2.把数值代入式子，计算得出实际面积。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）公园准备在一块长为a米，宽为b米的长方形空地上，修建一条宽度为1米的横向小路和两条宽度为2米的竖向小路，剩下部分铺设草皮作为草地，（阴影部分为小路，空白部分为草地）． (1)请用含a、b的式子表示草地面积． (2)若草地每平方米铺设草皮的费用为200元，当，时，建设草地费用一共需多少元？ ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，学校有一块长方形空地，长为a米，宽为米，为了美化环境，分别以长方形的两宽为直径向内做半圆形花坛，然后在该区域种植花卉，其余部分阴影部分铺设草坪． (1)用代数式表示草坪阴影部分的周长C和面积S； (2)当，时，求草坪的面积保留． ▌对点练3-3 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）某商场销售一款西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．商场现开展促销活动，向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某顾客要到该商场购买西装20套，领带x条（）． (1)若该顾客按方案一购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若该顾客按方案二购买，需付款 元（用含x的代数式表示）． (2)当时，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出最省钱的购买方法吗？写出你的购买方法并求出所需费用． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知，则( ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）当时，代数式________________． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知、分别是的小数部分和整数部分，则_____． 5．（26-27七年级·浙江·暑假作业）已知与互为相反数，则的平方根是________． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若代数式的值为15，则代数式的值为______． 7．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则______． 8．（25-26七年级上·浙江温州·期末）当时，代数式的值等于7，则当时，的值为_______． 9．（25-26七年级上·浙江温州·期末）定义一种运算：，例如：，若的值为5，则的值为___________． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为2，则_____． 11．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）当，时，求下列代数式的值． (1)； (2) 12．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）规定：，．求： (1)的值 (2)的值． 13．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形的边长为，线段的长是，线段的长是2． (1)用含和的代数式表示：________；________． (2)当，时，求阴影部分的面积． 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知整数满足，其中，则的值是_______． 15．（25-26七年级上·浙江·期中）若，则我们叫作集合，其中1，2，叫作集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，则我们说．已知集合，集合，若，则的值是________． 16．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）已知，小方发现：当，可求得______；小明发现，还可以利用一定的方法求得______． 17．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）宁波天一阁博物院计划举办暑期文化夏令营，需要为学员购买古籍影印本和传统线装笔记本．甲、乙两家书店销售同款商品，古籍影印本每套定价100元，笔记本每本定价15元． 甲书店的优惠方案是：每买一套古籍影印本赠送一本笔记本； 乙书店的优惠方案是：全部商品按定价的9折出售． 夏令营需要购买古籍影印本套，笔记本本． (1)用代数式表示：在甲书店购买需付款________元；在乙书店购买需付款________元． (2)若，，到哪家书店购买更划算？说明理由． (3)若，，能否设计一种比直接在甲书店或乙书店购买更省钱的方案？写出你的购买方案并计算付款金额． 18．（25-26七年级上·浙江金华·期中）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为，小数部分为；的整数部分为，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则 ， ． (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）四个互不相等的正整数，，，满足．则的最大值是（   ） A．37 B．38 C．39 D．40 20．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 代数式 4.2 代数式的值 课标要点 1.结合行程、图形计算、消费计费等实际情境，理解代数式的值的含义，明白字母取值与代数式结果的对应关系。 2.掌握求代数式值的完整步骤：代入、替换、计算，规范书写解题格式，替换负数、分数时主动添加括号。 3.能将整数、小数、分数、负数代入代数式，结合有理数混合运算法则准确算出代数式的值。 4.能根据实际问题限定字母的取值范围，判断字母可取、不可取的数值，理解代数式中字母的实际意义。 5.会利用代数式求值解决几何面积、费用计算等应用题，建立“字母赋值→代数运算→实际结果”的解题逻辑。 学习重难点 重点： 1.求代数式的值的标准步骤与规范书写。 2.各类有理数代入代数式后准确完成计算。 难点： 1.代入负数、分数、乘方项时遗漏括号，造成符号、运算顺序错误。 2.含多层括号、乘方、分数的复杂代数式求值计算。 3.结合实际情境确定字母取值范围，利用代数式的值分析数量变化规律。 知识点 代数式的值的定义（重点） 1.定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 2.说明：代数式的值由字母所取的值决定，字母取值不同，代数式的值一般不同。 特别提醒 字母取值要保证两点：一是使代数式本身有意义；二是符合实际问题场景。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若，且，则的值为（   ） A．5或 B．或 C．5或7 D．或7 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，求代数式的值，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 根据绝对值与平方的性质求出x、y的所有可能取值，，再分情况讨论即可得解． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴， 当，时，，满足题意，此时； 当，时，，满足题意，此时； 当，时，，不满足题意； 当，时，，不满足题意； 综上所述，或． 故选：C． 2． （25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，满足，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，代数式求值，有理数的乘方运算，掌握几个非负数的和等于0，则每个非负数都为0这个性质是解题的关键．根据绝对值和偶次方的非负性先求出a、b的值，再求出的值． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 知识点 整体代入求值（难点） 1. 题型特点：不单独给出字母数值，而是给出整体式子的值，整体替换计算。 2.示例：已知x-2y=3，求2x-4y+5，变形为2(x-2y)+5，整体代入得2×3+5=11。 教材延伸 整体代入思想是本章必考题型，常结合整式加减综合出题，也是后续方程、函数常用解题方法。 随学随练 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知，那么代数式的值是（　　） A．1 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先将所求代数式变形为含已知式子的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 把代入上式， 原式 ． 2. （2026·浙江湖州·二模）已知，则_____． 【答案】11 【分析】先将所求代数式变形，提取公因式后，把已知等式整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 题型 已知字母的值，求代数式的值 ▌例1 （25-26九年级上·浙江温州·自主招生）若与互为相反数，则的值（   ） A．64 B． C．81 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的非负性，乘方运算．根据相反数的定义得出，得出x、y值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，故A正确． 故选：A． 解题贴士 先分别列等式求出x、y，再代入代数式计算。 ▌对点练1-1 （25-26七年级下·浙江杭州·期中）一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数，，满足．则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江衢州·期中）当、时，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 直接代入代数式求值． 【详解】解：当、时， ． ▌对点练1-3 （25-26七年级上·浙江丽水·期中）已知，，且 (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)或3 (2) 【分析】此题考查了求代数式的值等知识，正确计算是关键． （1）根据题意得到，，分两种情况进行计算即可； （2）根据得到，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，，且， ，， 当，时，； 当，时，． （2）， 与b异号， ∴，， 当，时，． 题型 已知式子的值，求代数式的值 ▌例2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）已知a，b互为倒数，x，y互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，相反数，代数式求值．根据倒数和相反数的定义，得出，，再整体代入求值即可． 【详解】解：a、b互为倒数，x、y互为相反数， ，， ， 故选：A． 解题贴士 1.倒数乘积为1，相反数相加得0； 2.整体替换已知关系，直接代入代数式计算。 ▌对点练2-1 （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知代数式的值为3，则的值为（） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题使用整体代入法求解，先根据已知条件得到的值，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵由题意得， ∴， ∵， ∴把代入得， 原式=． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）若代数式的值是2，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整体代入法的运用是解题的关键． 先将所求代数式变形为含已知代数式的形式，再运用整体代入法进行计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练2-3（25-26七年级上·浙江杭州·期末）当，时，计算_____． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．由条件可得，结合，将表达式转化为后代入求值即可． 【详解】解：由，得， 当时， 原式， 故答案为． ▌对点练2-4（25-26七年级上·浙江杭州·期中）当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入法求解． 先根据已知条件求出，再代入时的表达式进行计算． 【详解】解：当时，代数式的值为 ， 所以， 当时， ． 故答案为：． 题型 实际问题 ▌例3 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）有长为的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，中间有一道篱笆隔开，园子的宽为． (1)用关于、的代数式表示园子的面积． (2)当米，米时，求园子的面积． 【答案】(1) (2)625平方米． 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据图形，表示出园子的长即可解答； （2）代入（1）中式子即可解答． 【详解】（1）解：园子的长可表示为， 园子的面积是． （2）解：当，时， （平方米）． 答：园子的面积是625平方米． 解题贴士 1.结合图形分析边长关系，列出面积代数式； 2.把数值代入式子，计算得出实际面积。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）公园准备在一块长为a米，宽为b米的长方形空地上，修建一条宽度为1米的横向小路和两条宽度为2米的竖向小路，剩下部分铺设草皮作为草地，（阴影部分为小路，空白部分为草地）． (1)请用含a、b的式子表示草地面积． (2)若草地每平方米铺设草皮的费用为200元，当，时，建设草地费用一共需多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)建设草地费用一共需200000元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）根据分割法列出不等式即可； （2）把，代入（1）中代数式，求出代数式的值，再乘以每平米的费用计算即可． 【详解】（1）解：由题意，草地面积平方米； （2）当，时，， （元）； 答：建设草地费用一共需200000元． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，学校有一块长方形空地，长为a米，宽为米，为了美化环境，分别以长方形的两宽为直径向内做半圆形花坛，然后在该区域种植花卉，其余部分阴影部分铺设草坪． (1)用代数式表示草坪阴影部分的周长C和面积S； (2)当，时，求草坪的面积保留． 【答案】(1)； (2)草坪的面积为 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握圆的周长，面积公式． （1）用加上圆的周长为草坪的周长，用长方形面积减去圆的面积为草坪的面积； （2）将a，b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：草坪阴影部分的周长； 草坪阴影部分的面积； （2）解：当，时，， 草坪的面积为． ▌对点练3-3 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）某商场销售一款西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．商场现开展促销活动，向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某顾客要到该商场购买西装20套，领带x条（）． (1)若该顾客按方案一购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若该顾客按方案二购买，需付款 元（用含x的代数式表示）． (2)当时，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出最省钱的购买方法吗？写出你的购买方法并求出所需费用． 【答案】(1)； (2)当时，按方案一购买较为合算 (3)当时，更为省钱的购买方法是先按方案一购买20件西装，再按方案二购买10条领带，所需费用为元 【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值，能根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）根据题意列出算式，再进行计算即可； （2）把代入（1）的算式，再得出答案即可； （3）最省钱的方法是按方案一购买20件西装，再按方案二购买10条领带，再求出所需费用即可． 【详解】（1）解：按方案一购买，需付款：元， 按方案二购买，需付款：元， 故答案为：、． （2）当时，方案一需付款：（元）， 方案二需付款：（元）， ∵， ∴当时，按方案一购买较为合算． （3）最省钱的方案是：先按方案一购买20件西装，花（元），这样送了20条领带，再按方案二购买（条）领带， 这样共花（元）， 答：当时，更为省钱的购买方法是先按方案一购买20件西装，再按方案二购买10条领带，所需费用为元 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，将代数式变形为，然后利用已知条件 整体代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， 又∵， ∴原式， 故选：． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方项和算术平方根的非负性，根据非负数的性质，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分必为零，从而求出和的值，再代入计算幂． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴ 故选：B． 3. （25-26八年级上·浙江绍兴·期末）当时，代数式________________． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值，求算术平方根． 将代入中计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：1． 4. （25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知、分别是的小数部分和整数部分，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，代数式求值，先估算的范围，确定其整数部分和小数部分，再代入表达式计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ，即， ∴ 的整数部分，小数部分， ∴， 故答案为：． 5. （26-27七年级·浙江·暑假作业）已知与互为相反数，则的平方根是________． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴的平方根是 ． 6. （25-26七年级上·浙江台州·期末）若代数式的值为15，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值．由已知代数式的值求出的值，再整体代入所求代数式计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 7. （24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则______． 【答案】或/16或 【分析】根据相反数，倒数，绝对值的意义可得：，，，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【详解】 解：，b互为相反数，c，d互为倒数，， ∴，，， 当时，； 当时，； 综上所述：或16， 8. （25-26七年级上·浙江温州·期末）当时，代数式的值等于7，则当时，的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，由 时，代数式的值等于，求出，再求 时，代数式的值，整体代入计算即可得出结果，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵当时，代数式的值等于7， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 9. （25-26七年级上·浙江温州·期末）定义一种运算：，例如：，若的值为5，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，求代数式的值，根据新运算的定义，将转化为代数式，得到，再整体代入计算即可得出结果，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的值为5， ∴， ∴， 故答案为：． 10. （24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为2，则_____． 【答案】3 【分析】根据相反数及倒数的定义可得，，再由x的绝对值为2可得，然后计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为2， ∴，，， ∴． 11．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）当，时，求下列代数式的值． (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查了求代数式的值，正确计算是关键． （1）把字母的值代入计算即可； （2）把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）当，时，原式 12．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）规定：，．求： (1)的值 (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算、求代数式的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴． 13．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形的边长为，线段的长是，线段的长是2． (1)用含和的代数式表示：________；________． (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列代数式和求阴影部分面积，解题的关键是利用正方形的边长关系和面积公式进行分析计算． （1）根据正方形边长与线段的关系，直接列代数式表示和； （2）利用正方形面积减去两个三角形面积的方法，代入，的值计算阴影部分面积． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ，， 故答案为：，； （2）当，时， 阴影部分的面积为： 所以阴影部分的面积为． 素养提升 14． （25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知整数满足，其中，则的值是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘方以及代数式求值，关键是先根据确定的取值范围，进而得到的取值范围，再结合末位为0的特征，推出的末位为6，由此确定的可能取值；再分和两种情况代入等式，结合的限定条件和数的末位特征确定的取值，进而求出满足的的值；最后将、、的取值代入，计算得到最终结果． 【详解】解：∵，， ∴， 而的末位为0， ∴的末位必须是， ∴或，或． ①当时，， ∵的末两位为， ∴当为负数时，的个位为9(不存在)，当为正数时，的个位为1． ∵且为整数， ∴， 则，解得(满足)． 此时． ②当时，， ∵的末两位为， ∴当为正数时，的个位为9(不存在)，当为负数时，的个位为1． ∵且为整数， ∴， 则，解得(满足)． 此时． 综上，的值为或． 15． （25-26七年级上·浙江·期中）若，则我们叫作集合，其中1，2，叫作集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，则我们说．已知集合，集合，若，则的值是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据集合的定义和性质求出x，y的值是解题的关键． 根据集合相等的条件和元素的互异性，由可得，从而；再通过比较A和B中的元素，解出x的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，且A中含有元素0， ∴B中必须有一个元素为0． ∵， ∴，即． ∴，． 比较元素，有两种情况： ①若且，解得，符合题意； ②若且， 解可得或， 又∵集合元素具有互异性， ∴， 当时，，不符合题意， ∴，． ∴． 故答案为10． 16． （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）已知，小方发现：当，可求得______；小明发现，还可以利用一定的方法求得______． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，取特殊值代入求解是解题的关键． （1）把代入计算即可； （2）令和，两式相加即可求出结果． 【详解】解：（1）令，得， 即； （2）令，得， 即①， 令，得， 即②， 将①②相加，得 ， 整理得，， 两边除以，得， 将代入得，． 故答案为：；． 17．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）宁波天一阁博物院计划举办暑期文化夏令营，需要为学员购买古籍影印本和传统线装笔记本．甲、乙两家书店销售同款商品，古籍影印本每套定价100元，笔记本每本定价15元． 甲书店的优惠方案是：每买一套古籍影印本赠送一本笔记本； 乙书店的优惠方案是：全部商品按定价的9折出售． 夏令营需要购买古籍影印本套，笔记本本． (1)用代数式表示：在甲书店购买需付款________元；在乙书店购买需付款________元． (2)若，，到哪家书店购买更划算？说明理由． (3)若，，能否设计一种比直接在甲书店或乙书店购买更省钱的方案？写出你的购买方案并计算付款金额． 【答案】(1)； (2)到甲书店购买更划算，理由见解析 (3)在甲商店购买古籍影印本8套，在乙商店购买笔记本本比直接在甲书店或乙书店购买更省钱，此时的购买费用为962元． 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给的优惠方案，分别计算出两个商店的费用即可； （2）根据（1）所求分别计算出两个商店的费用，比较即可得到结论； （3）根据（1）所求分别计算出单独在两个商店购买的费用，再设计方案在甲商店购买古籍影印本8套，在乙商店购买笔记本本，求出设计方案的费用，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在甲书店购买需付款元， 在乙书店购买需付款元； （2）解：到甲书店购买更划算，理由如下： 当，时，， ， ∵， ∴到甲书店购买更划算； （3）解：当，时，， ， 当在甲商店购买古籍影印本8套，在乙商店购买笔记本本时，所需要的费用为元， ∵， ∴在甲商店购买古籍影印本8套，在乙商店购买笔记本本比直接在甲书店或乙书店购买更省钱． 18．（25-26七年级上·浙江金华·期中）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为，小数部分为；的整数部分为，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则 ， ． (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了求算术平方根的整数部分和小数部分，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则有，； （）先估算，从而求出，，再把进行化简，然后代入求解即可； （）先估算，从而求出，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ， 当时， 原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）四个互不相等的正整数，，，满足．则的最大值是（   ） A．37 B．38 C．39 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值．根据题意判断出正整数，，，的值可能为1或3或5或7，再根据的值最大，分别求得正整数，，，的值，代入求解即可． 【详解】解：∵四个互不相等的正整数，，，， ∴，，，也是四个互不相等的整数， ∵， ∴或或或的值可能为或或1或3， ∴正整数，，，的值可能为1或3或5或7， ∵的值最大， ∴，，，， ∴的最大值是， 故选：B． 20．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3) 在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、数轴上点的表示、绝对值的化简、非负数的性质及平方根的计算，熟练掌握非负数的性质（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0）是解题的关键． （1）根据正方形面积求边长，结合数轴上点的位置确定点、表示的数； （2）①根据蚂蚁爬行的速度、时间得到移动距离，结合点表示的数表示出点的数； ②代入的值得到，再计算绝对值表达式的值； （3）利用非负数的性质（算术平方根与绝对值的非负性）列方程，求解、后计算的平方根． 【详解】（1）解：∵面积为的正方形边长为，点在原点左侧， ∴点表示的数为； ∵面积为的正方形边长为，点在原点右侧， ∴点表示的数为． （2）解：①∵点表示，蚂蚁向右爬了个单位， ∴． ②当时，； ∵，， ∴． （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，① 且．② 解①得，则， ∴； 解②得，则， ∴． ∴， (4) ∴的平方根为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $