精品解析：安微省阜阳市界首一中派位部2026～2027学年高一上学期10月月考数学试卷

高一派位部 10 月月考数学试题 （考试时间：120 分钟　　试卷满分：150 分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要人参加测量，人参加计算，人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有人既参加了测量又参加了计算，有人既参加了测量又参加了绘图，有人既参加了计算又参加了绘图，另有人三项工作都参加了．这支测绘队有（　　）人． A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空集是任意一个集合的真子集 B. 集合共有4个子集 C. 集合 D. 的近似值的全体构成一个集合 10. 对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知集合,则= ▲ ． 13. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 14. 如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题） 15. （1） 比较 与 的大小； （2）已知均为正实数，证明：. 16. 已知全集，集合，． （1）求； （2）求； （3）求． 17. 已知集合，集合 （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. 设命题：对任意，不等式恒成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围. 19. 对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． （1）请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； （2）写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； （3）如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一派位部 10 月月考数学试题 （考试时间：120 分钟　　试卷满分：150 分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的并、补运算求结果即可. 【详解】由，则，故. 故选：A 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 设，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的范围利用不等式的性质直接求解即可. 【详解】由已知，得， 由同向不等式相加得到． 故选：D． 4. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合特值，排除法得到正确选项；作差比较法或利用不等式的性质分析也可以解决问题. 【详解】法一：已知，， 令，，，， 则，，，故A项不正确； 又，，，故B项不正确； 而，故C项也不正确； 所以排除ABC. 法二：在两边同除以负数得，与A项矛盾； ，与B项矛盾； 由，又，， 故不一定小于，故C项不正确； 由得，，又，两式相乘得， 两边同除以负数可得，，故D项正确. 故选：D. 5. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 6. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求出参数的值，再代入分式不等式，移项通分转化为整式不等式求解，注意排除分母为0的情况。 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 7. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要人参加测量，人参加计算，人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有人既参加了测量又参加了计算，有人既参加了测量又参加了绘图，有人既参加了计算又参加了绘图，另有人三项工作都参加了．这支测绘队有（　　）人． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三集合容斥原理的计数公式，代入已知的各集合元素个数、两两交集元素个数、三者交集元素个数，即可计算得到总人数. 【详解】设集合参加测量的学生，参加计算的学生，参加绘图的学生， 根据三集合容斥原理，测绘队总人数为三个集合的并集的元素个数， 记表示集合中元素的个数， 对应公式为： 由题意得：，，，，，，， 代入公式计算：  因此这支测绘队共有44人. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得. 【详解】由，得． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 综上，实数的取值范围为或. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空集是任意一个集合的真子集 B. 集合共有4个子集 C. 集合 D. 的近似值的全体构成一个集合 【答案】BC 【解析】 【分析】由空集是任意一个非空集合的真子集即可判断A；列出所有子集即可判断B；根据集合中元素同为被3除余1的整数的属性即可判断C；根据集合的确定性判断D即可. 【详解】对于A，空集是任意一个非空集合的真子集，故A错误； 对于B，集合的子集有：，共有4个，故B正确； 对于C，因为，令， 则集合中元素为被3除余1的整数， 又集合中元素也为被3除余1的整数， 可得两集合相等，故C正确； 对于D，的近似值不明确，与集合中元素的确定性矛盾，故D错误； 故选：BC 10. 对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【详解】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知集合,则= ▲ ． 【答案】 【解析】 【分析】求出集合B的补集与集合A进行交集运算即可. 【详解】 故填 【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的混合运算，属于基础题. 13. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】确定，然后由，分类讨论集合中元素可得解. 【详解】由已知，且， 由， （1）当，即时，由解得，不满足； （2）当时，①由，即时，则，满足； ②当，则，此时，不满足； ③当时，由知，则，解得， 综上，的取值范围是. 14. 如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为________. 【答案】72 【解析】 【分析】设，则，根据可求出的取值范围，求出，，利用基本不等式可求得矩形面积的最小值. 【详解】设，则，其中，因为，则，可得， 由题意可得，， 所以矩形的面积为，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，矩形面积的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题） 15. （1） 比较 与 的大小； （2）已知均为正实数，证明：. 【答案】 （1）； （2）由题意得：， 当，即时，等号成立. 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可得证； （2）利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）由题意得： ， 所以； （2）略. 16. 已知全集，集合，． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据并集的定义即可求出； （2）根据补集的定义和交集的定义即可求出； （3）根据补集的定义和并集的定义即可求出. 【小问1详解】 集合，， 根据并集的定义，得. 【小问2详解】 根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. 【小问3详解】 根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. 17. 已知集合，集合 （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入求出集合，再根据交集的定义即可计算； （2）依题意可得为的真子集，分与两种情况讨论，即可求解的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 因此． 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 当时，即，解得， 当时，则，解得，检验符合， 因此的取值范围为． 18. 设命题：对任意，不等式恒成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数在上单调递增求得，结合不等式恒成立可得，即可求得答案； （2）由，可得，分类讨论a的取值范围，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 由于函数在上单调递增，故， 由对任意，不等式恒成立，可得， 解得，故实数的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）知， 而， 由于，故， 当时，，则，解得； 当时，即为，此时，不满足； 当时，，则，解得； 综合以上可知正数的取值范围为. 19. 对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． （1）请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； （2）写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； （3）如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】（1） （2），其中，， （3）切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件给出的不等式求解即可； （2）根据已知条件给出的几何平均数大于等于调和平均数写出不等式即可，证明见详解； （3）设出小正方形的边长，表示出盒子的容积，利用不等式求解最值即可. 【小问1详解】 由题意得 所以时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由题意可知，当时， 调和平均数与几何平均数之间的关系为，其中，，， 当且仅当时，等号成立. 证明： 所以，，当且仅当时，等号成立. 根据题意，可设，，， 用，，替换，，可得， 当且仅当时，等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 【小问3详解】 设小正方形的边长为，则盒子的高，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $