专题04 相似三角形的性质、图形的位似 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题04相似三角形的性质、图形的位似期中复习讲义 ✵复习目标 掌握相似三角形对应线段、周长、面积的性质，区分相似比与面积比的关系； 理解位似多边形、位似中心、位似比的定义，掌握位似图形的性质； 掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律； 能运用相似三角形的性质进行计算，会识别、判断位似图形； 辨析相似与位似的关系，规避常见易错点。 ✵高频题型梳理 题型1.证明相似三角形对应线段成比例 题型2.利用相似三角形的性质求解 题型3.相似三角形的判定与性质综合 题型4.在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型5.利用相似求坐标 题型6.相似三角形实际应用 题型7.相似三角形动点问题 题型8.相似三角形综合问题 题型9.位似图形概念辨析与识别 题型10.判断位似中心 题型11.求位似图形的相似比、周长比、面积比 题型12.画放大或缩小n倍后的位似图形 题型13.平面直角坐标系中位似图形坐标相关问题 题型14.坐标系中画位似图形、确定位似中心 题型15.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、相似三角形的性质 1.边角性质：若两个三角形相似，则对应角相等，对应边成比例。 2.对应线段性质：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比值，均等于相似比。 3.周长性质：相似三角形的周长比等于相似比。 4.面积性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 知识点二、位似图形 位似图形的定义：对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且位似中心到每组对应顶点的距离之比等于同一个常数，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，也称这两个图形关于这点位似。 ★位似图形必须满足两个条件： (1)两个图形是相似图形； (2)两个相似图形，每组对应点所在的直线都经过同一个点； 推论：对应边互相平行或在同一条直线上。 2.位似图形的性质 ◆ 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。 ◆ 位似图形各组对应点的连线相交于同一点（位似中心）。 ◆  位似图形的对应边互相平行，或者在同一条直线上。 ◆ 位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比，等于位似比（相似比）。 3.位似图形的画法 ◆ 确定位似中心； ◆ 分别连接位似中心和原图的关键点，并延长； ◆ 按照相似比，确定新图形的关键点； ◆ 顺次连接各个关键点，得到放大或者缩小后的位似图形。 知识点三、位似变换与坐标 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或者(-kx,-ky)。 规律方法：利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 ✵易错提醒 1.对应线段比、周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方； 2.只有对应高、中线、角平分线的比等于相似比； 3.位似图形必相似，相似图形未必位似； 4.以原点为位似中心求坐标，常有两组解； 5.位似比具有顺序性，顺序改变，比值取倒数。 ✵典例精讲 题型1.证明相似三角形对应线段成比例 1．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 2．如图，，，那么与的相似比为_______．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 3．如图，在平行四边形中， 求证： (1) (2) 【答案】(1)证明：如图所示：过作，交于， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ． (2) 证明：由（1）可知，是平行四边形， ， ， ， 即， ， ． 【分析】（1）过作，交于，则四边形是平行四边形，再通过，利用对应边成比例求成即可； （2）根据平行得出，，．再通过桥梁和，把要求证的两个比连接了起来． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】证明线段比例，借助平行线构造相似；多组比例证明相等，常用等量代换搭桥． 题型2.利用相似三角形的性质求解 1．如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方的关系求解． 【详解】解：两个三角形的相似比为， 面积比为. 2．如图，长方形的边在的边上，顶点、分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的倍，那么的长度是 ______ ． 【答案】 【分析】设交于点，由长方形的边在的边上，顶点、分别在、上，是的高，得，则，四边形是矩形，所以，可证明，得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ∵长方形的边在的边上，顶点、分别在、上， ∴，， ∴是的高， ∴， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴的长度是． 3．如图，在中，，，垂足为． (1)求证： (2)若，，求长 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）先得出，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 即． 题型3.相似三角形的判定与性质综合 1．如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线判定三角形相似，利用周长比得出相似比，进而判断对应边比例及面积比． 【详解】 解：， ， ，故B正确； ，即周长比等于 相似比为， ，即，故A正确； ，即， ， ，故C正确； 相似三角形面积比等于相似比的平方， ，故D错误． 2．如图，在平行四边形中，，，，已知点P是射线上一动点，，连接，，，当为等腰三角形时，_______． 【答案】 或或 【分析】 首先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，进而得出；结合已知条件证明，利用相似比和角度关系推导出，进而得到当为等腰三角形时，为等腰三角形，进行讨论求解即可. 【详解】解：， ， 是直角三角形，且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，即， ，， ∴， ， ∴当为等腰三角形时，为等腰三角形， ①当点在边上时： 当时，则； 当时，过点作于点， 在中， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴，解得； ②当点在延长线上，， 故只有一种情况， ∴， 综上所述，的长为或或. 3．如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点运动；同时，动点从点出发，以每秒的速度沿向点运动，当点到点时，点也随之停止．连接．设点运动时间为秒． (1)________； (2)用含的代数式表示、的长度； (3)当时，求的值； (4)当时，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）结合点和点的运动速度求解即可； （3）利用列式求解即可； （4）利用列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴． （2）解：动点的速度为每秒，运动时间为秒，因此； 动点从出发速度为每秒，秒后， 结合，得． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得． （4）解：∵在和中，，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得． 题型4.在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的判定定理即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握“根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键． 2．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得，分别证明和，可求出，，，从而可求出结论． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为1，则，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 同理可得，则， 得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【答案】如图所示，即为所求； 【分析】根据相似三角形的性质和相似比，即可画出． 【详解】解：根据网格得： ，，， 若要，且相似比为， ∴，，， 如图2，即为所画三角形． 题型5.利用相似求坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，由题由易得，然后可得，进而根据可求出，，最后问题可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图： ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______． 【答案】2或4 【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】如图， ∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ∴ ，，， ； ∴是直角三角形 ∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）， ∽ ∴ ∴=1 ∴ 当时，CM=2；当时CM=4， 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 【答案】(1)；两角分别相等的两个三角形相似； (2) (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据两角分别相等的两个三角形相似得到，继而根据相似三角形对应线段成比例得到，即． （2）根据勾股定理得到，继而根据得到，继而得到点的坐标． （3）通过证明，得到，继而根据，得到，继而得到，得到，利用勾股定理得到的长． 【详解】（1）略； （2）解：由题意，得，， ， 由（1）可得， ， ， 点的坐标为； （3）解：，， ， ， ，                                 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 题型6.相似三角形实际应用 1．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出及，判定，利用对应边成比例求解． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ． 2．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为E．已知，，则点E到地面的距离为______________． 【答案】 【分析】证明得到，据此求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．西安城墙是西安标志性古建筑，实践活动中，某数学小组展开测量某段城墙高度的活动，为了方便计算，自制直角三角板，，使得米，米，小华手持三角板调整角度，使长直角边与水平地面平行，当她站在处时其眼睛在处，此时看到，及城墙顶端在一条直线上，小亮在，之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点处时，小华在处恰好能从平面镜中看到城墙顶端的像，通过测量发现，米，米，求城墙的高度． 【答案】城墙的高度为米． 【分析】延长交于点，得到矩形，则，，证明，所以，代入可得，设米，则米，米，（米），（米），根据镜面反射的等角性质，证得，然后通过相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵直角边与水平地面平行， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设米，则米， ∴米，（米）， ∴（米）， 由题意得， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（米）， 答：城墙的高度为米． 题型7.相似三角形动点问题 1．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 2．如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为________． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出，由题意得到，再根据以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况①当时，②当时，结合相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：，，， ， 运动时间为秒， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①当时， 有， ， 解得； ②当时， 有， ， 解得； 综上，的值为或． 3．如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 【答案】(1)或秒 (2)或秒 【分析】（1）设移动秒，表示出，，再列方程即可解答； （2）设移动秒，分和两种情况，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 设移动秒，且，则，， ， 的面积为， 解得，， 所以当移动或秒时，的面积为； （2）解：设移动秒，且，则，， 当时，， 则可得， 解得； 当时，， 则可得， 解得； 所以当移动或秒时，与相似． 题型8.相似三角形综合问题 1．如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，平行线分线段成比例等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 2．如图，在边长为的菱形中，，将菱形沿折叠，使点的对应点落在对角线上．若，则的长为_____，的长为 _____________cm． 【答案】 / 【分析】由折叠的性质可知，，，则，因为四边形是菱形，则，，则推出为等边三角形，则，，推出，又因为，则，则，因为，推出，则，设，，，则，求出；又因为，即，解得，又因为，即，则；推出． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 即； 又∵， 即， 解得， ∵， 即， ∴； ∴）， 故答案为：，． 【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识． 3．如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，在Rt 中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在Rt中，勾股定理求得，进而根据，即可求出答案． 【详解】（1）在中，，， 在中，，， ，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． （2）在中，，，， ，． 延长交于点，如图所示． ， ， ， ， ，． 由（1）可得， ， ． 在中，． ，， ，， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型9.位似图形概念辨析与识别 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点A，O，三点在同一条直线上，， ∴， ∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意． 2．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点______，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为_____．    【答案】 【分析】本题考查位似三角形，根据位似三角形的定义，进行判断，根据位似比等于相似比，求出位似比即可． 【详解】解：由题意和图可知：以点O为位似中心，格点的位似图形是格点， ∴， 该三角形与 的位似比为； 故答案为：；． 3．如图，四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比；四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比．四边形和四边形是位似图形吗？如果是，那么位似比是多少？如果不是，请说明理由． 【答案】是，位似比为2 【分析】根据位似图形的定义和性质，进行判断即可. 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O， 四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O， ∴四边形四边形，四边形四边形，且对应点连线均过点， ∴四边形四边形，且对应点连线均过点， ∴四边形和四边形是位似图形， ∵四边形和四边形的位似比，四边形和四边形的位似比， ∴四边形和四边形的位似比为2. 题型10.判断位似中心 1．如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查位似中心的判断，位似比的计算，熟练掌握相关知识是关键． 根据位似的性质判断对应点和对应边，结合网格可计算出相似比，进而验证嘉嘉的说法；对应点所在的直线的交点即为位似中心，作图找到位似中心并判断坐标，即可验证淇淇的说法． 【详解】解：∵位似图形对应边平行或在同一直线上， ∴， 由图可知，，， ∴相似比为，故嘉嘉正确； 如图，连接、交于点，则点即为位似中心， 由图可知，点的坐标不是，故淇淇错误． 故选：A． 2．如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是_________．    【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、位似变换、一次函数与二元一次方程组、三角形全等的判定与性质，熟练掌握位似变换，确定位似中心的位置是解题的关键． 根据正方形的性质求得，，，，直线和直线的交点即为位似中心，利用待定系数法求得直线和直线的解析式，再建立二元一次方程组进行求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，点C和点F的坐标分别为，， ∴，，，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 把 ，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线和直线的交点即为位似中心， ∴建立方程组得，，解得：， ∴位似中心的坐标为：． 3．已知、为正三角形，连接并延长交于点，过点作交于点，作，交于点，连接． (1)证明：和是以点O为位似中心的位似图形； (2)证明：是正三角形． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； (2)证明：∵，是等边三角形， ∴是等边三角形． 【分析】（1）先证，得，再证明，得，继而证； （2）由及是等边三角形，从而得出结论． 【详解】（1）略； （2） 略． 题型11.求位似图形的相似比、周长比、面积比 1．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 2．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 【答案】 【分析】利用位似图形的性质，可得与相似，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使与的位似比为，且点的对应点分别是； (2)写出各顶点的坐标（______）；（______）；（______） (3)如果的周长和面积分别为，，则的周长为_____，面积为______； (4)直接写出的值为______． 【答案】(1)如图：即为所求． (2)；；． (3)， (4) 【分析】（1）根据位似的定义确定的对应点分别是，然后顺次连接即可； （2）直接根据（1）的作图解答即可； （3）根据位似图形的周长比等于位似比，位似图形的面积比等于位似比的平方求解即可； （4）如图：过A作交延长线于，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）作图可得：，，． （3）解： ∵与的位似比为，的周长和面积分别为，， ∴的周长为，面积为． （3） 解：如图：过A作交延长线于，则． 题型12.画放大或缩小n倍后的位似图形 1．作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 【答案】C 【详解】解：位似图形的对应边成比例，对应点的连线经过位似中心，对应线段互相平行，小明和小亮的图都符合位似的要求，但位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在两侧，因此只有小明和小亮合到一起才正确． 2．已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答． 【详解】解：∵点的坐标为，以原点为位似中心将缩小，位似比为2：1， ∴点的对应点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 3．如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． 【答案】(1)解：如图所示， (2)解：点即为所求． 【分析】（1）根据位似图形的性质得出各对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据相似三角形的性质，取格点、，连接，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：略 （2）解：取格点、，连接，交于，点即为所求． 如图所示：略 证明：由网格可知，，，， ∴， ∴， ∴点即为所求． 题型13.平面直角坐标系中位似图形坐标相关问题 1．在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵位似中心为原点，与的位似比为，且对应点在原点另一侧， ∴点的对应点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标乘， ∵点的坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 2．如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， 以原点为位似中心， 线段在第一象限内的位似图形为线段， 线段和线段的位似比为， 点的坐标为，即． 3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为12； (2)直接写出点的坐标________；与的周长比是________；与的面积比是________； (3)在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（____，____）； 【答案】(1) (2)，， (3)， 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质求解； （3）利用位似变换的性质求解． 【详解】（1）略； （2）解：根据位似变换的性质，得的坐标，且与的相似比为， ∴与的周长比等于，面积比为； （4） 解：在（1）的条件下，为△内部任意一点，则变换后的对应点的坐标为． 题型14.坐标系中画位似图形、确定位似中心 1．如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 2．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为， ． 3．在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】(1)如图：点P的位置即为所求； ． (2)如图：即为所求． (3) 【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图∶ 点P的位置即为所求；． 图略 （2）解：如图：即为所求． 图略 （3）解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为， ∴． ✵分层专项训练 一、单选题 1．若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，相似比为， 与的周长的比为． 2．如图，已知，则下列说法不正确的是（     ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．是相似比 D．点B和点D，点C和点E是对应点 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴两个三角形是位似图形，点A是两个三角形的位似中心，故A、B正确，不符合题意； 或或是相似比，故C错误，符合题意； 点B和点D，点C和点E是对应点，故D正确，不符合题意． 3．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与的坐标确定位似比，利用位似变换性质求解点的坐标. 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且的对应点为， ∴位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即. 4．如图，在中，，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形性质得出及边长比例，结合直角三角形性质证得为中点，构造平行线利用相似比求解． 【详解】解：， ，， ，在上， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， 过点作交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ，即， ． 二、填空题 5．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ． 【答案】 【分析】过作于，交于，根据矩形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，求一次函数解析式，根据点B和点E的坐标可得直线即为直线，利用待定系数法求出直线解析式，再根据位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴直线即为直线， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心， ∴点H即为直线和直线的交点， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则 ． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【分析】（1）利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到． ，且相似比为， ∴周长比为． 8．某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道、之间的距离为米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长． 【答案】这时矩形花坛的两条邻边的长为米和米 【分析】设米，则米，由矩形的性质可得，，过点作于点，交于点，则米，证明四边形为矩形，得出米，则米，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设米，则米， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点作于点，交于点，则米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这时矩形花坛的两条邻边的长为米和米． 9．在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)， (2)当时，平分面积 (3) 【分析】（1）根据点P和点Q的运动速度表示即可； （2）用含t的式子表示的面积，根据列方程求解，注意检验解的合理性； （3）分两种情况讨论或，根据对应边成比例列方程求解，注意结合动点的运动范围检验解的合理性． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴； （2）解：∵，， ∴点Q到C点的时间为，点P到A点的时间为， P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， ∴， ， 解得，（舍）， ∴当时，平分面积； （3）解：∵， ∴以C、P、Q为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时，则， ， ∴； 情况二：当时，则， ， ∴， ， 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A，B，直线：过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)若点P是y轴上一动点，且与相似（相似比不为1），求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点，分别与直线、交于点D，E，当时，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求得，然后代入求得a的值即可解答； （2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后根据得到对应边成比例，即可求解； （3）先求得、，再分两种情况分别利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：直线交x轴于点A ，解得：，即， 将代入中可得： ， 解得， 直线的表达式：． （2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B ∴令，则，即， 直线过点A交y轴于点C 令，则，即 ∴， 设点P的坐标为，则 ∵，相似比不为1 ∴， ，即， ，即， ∴或． 综上，P的坐标为或． （3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E， ，解得： ， ∴ 同理 ，解得：，即； ①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G， ， ∴ ∴，即， 解得； ②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q ， ∴ ， ， 解得． 综上所述：或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04相似三角形的性质、图形的位似期中复习讲义 ✵复习目标 · 掌握相似三角形对应线段、周长、面积的性质，区分相似比与面积比的关系； · 理解位似多边形、位似中心、位似比的定义，掌握位似图形的性质； · 掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律； · 能运用相似三角形的性质进行计算，会识别、判断位似图形； · 辨析相似与位似的关系，规避常见易错点。 ✵高频题型梳理 题型1.证明相似三角形对应线段成比例 题型2.利用相似三角形的性质求解 题型3.相似三角形的判定与性质综合 题型4.在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型5.利用相似求坐标 题型6.相似三角形实际应用 题型7.相似三角形动点问题 题型8.相似三角形综合问题 题型9.位似图形概念辨析与识别 题型10.判断位似中心 题型11.求位似图形的相似比、周长比、面积比 题型12.画放大或缩小n倍后的位似图形 题型13.平面直角坐标系中位似图形坐标相关问题 题型14.坐标系中画位似图形、确定位似中心 题型15.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、相似三角形的性质 1.边角性质：若两个三角形相似，则对应角相等，对应边成比例。 2.对应线段性质：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比值，均等于相似比。 3.周长性质：相似三角形的周长比等于相似比。 4.面积性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 知识点二、位似图形 位似图形的定义：对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且位似中心到每组对应顶点的距离之比等于同一个常数，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，也称这两个图形关于这点位似。 ★位似图形必须满足两个条件： (1)两个图形是相似图形； (2)两个相似图形，每组对应点所在的直线都经过同一个点； 推论：对应边互相平行或在同一条直线上。 2.位似图形的性质 ◆ 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。 ◆ 位似图形各组对应点的连线相交于同一点（位似中心）。 ◆  位似图形的对应边互相平行，或者在同一条直线上。 ◆ 位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比，等于位似比（相似比）。 3.位似图形的画法 ◆ 确定位似中心； ◆ 分别连接位似中心和原图的关键点，并延长； ◆ 按照相似比，确定新图形的关键点； ◆ 顺次连接各个关键点，得到放大或者缩小后的位似图形。 知识点三、位似变换与坐标 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或者(-kx,-ky)。 规律方法：利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 ✵易错提醒 1.对应线段比、周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方； 2.只有对应高、中线、角平分线的比等于相似比； 3.位似图形必相似，相似图形未必位似； 4.以原点为位似中心求坐标，常有两组解； 5.位似比具有顺序性，顺序改变，比值取倒数。 ✵典例精讲 题型1.证明相似三角形对应线段成比例 1．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．如图，，，那么与的相似比为_______．    3．如图，在平行四边形中， 求证： (1) (2) 题型2.利用相似三角形的性质求解 1．如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（     ） A． B． C． D． 2．如图，长方形的边在的边上，顶点、分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的倍，那么的长度是 ______ ． 3．如图，在中，，，垂足为． (1)求证： (2)若，，求长 题型3.相似三角形的判定与性质综合 1．如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，，，已知点P是射线上一动点，，连接，，，当为等腰三角形时，_______． 3．如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点运动；同时，动点从点出发，以每秒的速度沿向点运动，当点到点时，点也随之停止．连接．设点运动时间为秒． (1)________； (2)用含的代数式表示、的长度； (3)当时，求的值； (4)当时，求的值． 题型4.在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 3．如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 题型5.利用相似求坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______． 3．有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 题型6.相似三角形实际应用 1．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（     ） A． B． C． D． 2．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为E．已知，，则点E到地面的距离为______________． 3．西安城墙是西安标志性古建筑，实践活动中，某数学小组展开测量某段城墙高度的活动，为了方便计算，自制直角三角板，，使得米，米，小华手持三角板调整角度，使长直角边与水平地面平行，当她站在处时其眼睛在处，此时看到，及城墙顶端在一条直线上，小亮在，之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点处时，小华在处恰好能从平面镜中看到城墙顶端的像，通过测量发现，米，米，求城墙的高度． 题型7.相似三角形动点问题 1．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为________． 3．如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 题型8.相似三角形综合问题 1．如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 2．如图，在边长为的菱形中，，将菱形沿折叠，使点的对应点落在对角线上．若，则的长为_____，的长为 _____________cm． 3．如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 题型9.位似图形概念辨析与识别 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 2．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点______，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为_____．    3．如图，四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比；四边形和四边形是位似图形，位似中心是点O，位似比．四边形和四边形是位似图形吗？如果是，那么位似比是多少？如果不是，请说明理由． 题型10.判断位似中心 1．如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 2．如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是_________．    3．已知、为正三角形，连接并延长交于点，过点作交于点，作，交于点，连接． (1)证明：和是以点O为位似中心的位似图形； (2)证明：是正三角形． 题型11.求位似图形的相似比、周长比、面积比 1．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 2．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使与的位似比为，且点的对应点分别是； (2)写出各顶点的坐标（______）；（______）；（______） (3)如果的周长和面积分别为，，则的周长为_____，面积为______； (4)直接写出的值为______． 题型12.画放大或缩小n倍后的位似图形 1．作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 2．已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为__________． 3．如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． 题型13.平面直角坐标系中位似图形坐标相关问题 1．在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为12； (2)直接写出点的坐标________；与的周长比是________；与的面积比是________； (3)在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（____，____）； 题型14.坐标系中画位似图形、确定位似中心 1．如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是______． 3．在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． ✵分层专项训练 一、单选题 1．若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则下列说法不正确的是（     ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．是相似比 D．点B和点D，点C和点E是对应点 3．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为______． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则 ． 8．某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道、之间的距离为米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长． 9．在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A，B，直线：过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)若点P是y轴上一动点，且与相似（相似比不为1），求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点，分别与直线、交于点D，E，当时，求k的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $