专题01特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题01特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）期中复习讲义 ✵复习目标 · 1.理解矩形、菱形、正方形的定义，熟记它们的性质与判定定理，能用规范的几何语言书写推理、证明过程。 · 2.掌握直角三角形斜边中线的性质，熟练运用菱形面积公式，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系。 · 3.会进行线段长度、角度大小的计算，能完成四边形判定证明，掌握中点四边形的变化规律，解决期中常见综合题型。 · 4.准确区分各类判定定理的条件，规避证明时缺少前提、定理混用等典型错误。 ✵高频题型梳理 题型1.矩形性质理解 题型2.正方形性质理解 题型3.利用菱形的性质求角度 题型4.利用矩形的性质求角度 题型5.利用正方形的性质求解 题型6.利用菱形的性质求线段长 题型7.利用矩形的性质求线段长 题型8.利用菱形的性质求面积 题型9.利用矩形的性质求面积 题型10.添加条件，使四边形成为菱形 题型11.添加条件，使四边形成为矩形 题型12.添加条件，使四边形成为正方形 题型13.利用菱形的性质进行证明 题型14.利用矩形的性质进行证明 题型15.利用正方形的性质进行证明 题型16.证明四边形是菱形 题型17.证明四边形是矩形 题型18.证明四边形是正方形 题型19.求矩形在平面直角坐标系中的坐标 题型20.矩形折叠问题、正方形折叠问题 题型21.中点四边形相关问题 题型22.特殊平行四边形综合问题 题型23.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、四边形从属关系 平行四边形增加条件可得到矩形、菱形；同时具备矩形和菱形特征的四边形是正方形。 知识点二、菱形的性质与判定 性质：四条边相等；对角线互相垂直且平分每组对角；面积等于对角线乘积的一半 。 判定：一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形 。 菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在直线） 。 菱形动点问题常结合函数图象判断面积随时间的变化趋势。 知识点三、矩形的性质与判定 性质：四个角都是直角；对角线相等且互相平分；是轴对称图形（两条对称轴） 。 判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形 。 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，是矩形性质的重要推论 。 矩形折叠问题常利用折叠前后对应边相等、对应角相等，结合勾股定理列方程。 知识点四、正方形的性质与判定 性质：四边相等、四角为直角、对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 。 判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形； 矩形 + 菱形性质同时满足正方形兼具矩形与菱形的所有性质，是最特殊的平行四边形 赵爽弦图是四个全等直角三角形围成的正方形，常用于勾股定理证明与面积计算 知识点五、三角形中位线与中点四边形 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 中点四边形形状由原四边形对角线决定：对角线相等→菱形；对角线垂直→矩形；垂直且相等→正方形 直角三角形斜边中线等于斜边一半，常用于线段倍分关系证明 中位线与斜中线结合，可解决多中点连线的角度与长度问题 ✵易错提醒 1. 判定定理注意前提条件：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须是平行四边形 + 对角线相等；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形 + 对角线互相垂直。 2.菱形面积公式是对角线乘积的一半，不要漏掉\(\dfrac12\)。 3.直角三角形斜边中线的性质只适用于直角三角形，普通三角形没有这个结论。 4.证明正方形，常规路径：先证平行四边形，再证矩形或者菱形，最后证正方形，不可以直接用零散条件推出正方形。 5.菱形的对角线平分一组对角；矩形对角线不平分内角（正方形除外）。 6.轴对称描述规范：对称轴是直线，不能说成线段。 ✵典例精讲 题型1.矩形性质理解 1．如下图，矩形的对角线，相交于点．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，．对角线，相交于点．点，分别是，的中点，连接，则的周长为______． 3．在矩形中，求作一点P使且． 题型2.正方形性质理解 1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线平分对角 2．下列图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______．（填序号）． 3．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． (1)如图1，已知菱形的边长为2，设菱形的对角线，的长分别为，．若我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”），于是越小，菱形就越接近正方形． ①若菱形的“接近度”=__________，菱形就是正方形； ②若菱形的一个内角为，求“接近度”． (2)如图2，已知矩形的对角线，相交于点，设，的长分别为，，我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”）． ①若矩形的“接近度”=__________，矩形就是正方形； ②若，求矩形的“接近度”． 题型3.利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E是边上一点，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为________． 3．如图，在菱形中，，，求的度数． 题型4.利用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，若，则的度数为_________． 3．如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接与相交于点．若，求的度数． 题型5.利用正方形的性质求解 1．如图，点在正方形内部，连接、，延长交边于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，以为边在上方作菱形，交边于点，若，，则的长为________． 3．如图，将一块长为，宽为的矩形铁皮沿虚线在四个角各剪去一个边长为的正方形，求剩余铁皮的面积． 题型6.利用菱形的性质求线段长 1．如图，在菱形中，，边长为，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 2．菱形的两条对角线的长分别为8和6，则这个菱形的高为_______． 3．如图，在四边形中，，，连接，点、分别为、的中点，连接、，已知为等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，求的长． 题型7.利用矩形的性质求线段长 1．如图，在矩形中，对角线相交于点，则矩形的边的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 2．如图，校园内有一块长方形花坛，长15米，宽为8米，花坛下边缘两端点为，，喷泉需设在花坛内部，且满足的面积为30平方米，喷头可在花坛上边缘间自由移动，求的最小值是_______米． 3．如图，菱形的对角线，相交于点O，点F是中点，延长线段至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 题型8.利用菱形的性质求面积 1．小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 2．红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．小宝想求家里“中国结”挂饰的面积，于是利用所学的知识抽象出如图2所示的菱形，测得，，则菱形的面积为________． 3．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 题型9.利用矩形的性质求面积 1．如图，矩形中，E点在上，且平分，若，，则面积为（     ） A．8 B．10 C．15 D．20 2．已知一矩形的周长是，相邻两边之比是，则矩形的面积是_____． 3．如图，在中，，，垂足为，，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 题型10.添加条件，使四边形成为菱形 1．如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 3．如图，中，O是的中点，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，，当满足 时，四边形是菱形？请说明理由． 题型11.添加条件，使四边形成为矩形 1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知，下列条件：①，②，③，④中，能说明是矩形的有（填写序号）_________． 3．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是矩形，并证明你的结论． 题型12.添加条件，使四边形成为正方形 1．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使矩形成为正方形，应添加的一个条件是______． 3．如图，在四边形中，，是的中点，，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)若要使四边形为正方形，则原来四边形中需要满足一个条件为______． （只限于写四边形的边、角或对角线的关系） 题型13.利用菱形的性质进行证明 1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 2．如图，在菱形中，，分别是边，上的点，连接，．若，，则四边形的面积是___________． 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，P是线段上的点，连接．求证：． 题型14.利用矩形的性质进行证明 1．把一个含有角的直角三角板（）与矩形按如图方式放置，点在边上，点在边上，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是_____． 3．如图，在矩形中，点M在上，，，垂足为N．求证：． 题型15.利用正方形的性质进行证明 1．如图，正方形的边长为2，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接，，．下列结论：①；②的周长为；③；④当时，G是线段的中点．其中正确的结论是（     ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 2．如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是__________． 3．如图，在正方形中，对角线、交于点，点、分别在、边上，连接、，，求证：． 题型16.证明四边形是菱形 1．如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，当对角线与的长度相等时，四边形的形状是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．平行四边形中，，则该四边形是______．（填“菱形”、“矩形”或“正方形”） 3．如图，平行四边形中，，证明四边形是菱形． 题型17.证明四边形是矩形 1．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，添加一个条件，使得四边形成为矩形（     ） A． B． C． D． 2．如图，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，．添加一个适当的条件：当______时，四边形为矩形． 3．如图，在四边形中，点在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得四边形为矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 题型18.证明四边形是正方形 1．如图，在矩形中，平分，平分，，，则四边形是什么图形？（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是________． 3．如图①，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （i）求证：矩形是正方形； （ii）连接，，如图③，若正方形的边长为3，，求的长． 题型19.求矩形在平面直角坐标系中的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，直线的函数表达式为，M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标平面内一点，若以点O，M，N，P为顶点且为边的四边形为矩形，则点N的坐标为_____________． 3．如图，已知直线：与直线：相交于点，，分别交轴于点、，矩形顶点、分别在直线，，顶点、都在轴上，且点与点重合． (1)求点的坐标和的度数； (2)求矩形的边与的长； (3)若矩形从原地出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度平移，设移动时间为（）秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围． 题型20.矩形折叠问题、正方形折叠问题 1．如图，在矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是______． 3．如图，长方形的长为23厘米，宽为19厘米．长方形内放着两个重叠的正方形和．已知三个阴影长方形的周长相等，那么长方形的面积为多少平方厘米？ 题型21.中点四边形相关问题 1．如图，在四边形中，对角线于点O，E，F，G，H分别为四边的中点，连接，若，，则四边形的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 2．如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形的面积___________（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）． 3．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 题型22.特殊平行四边形综合问题 1．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，、是上不与和重合的动点，，________． 3．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”．      【概念理解】 (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【性质探究】 (2)如图，若四边形是“中方四边形”，观察图形，证明且． 【拓展应用】 (3)如图，已知四边形是“中方四边形”，，，，分别是，，，的中点，对角线，交于点． ①试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． ②若线段的长为，请直接写出的最小值． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法中，错误的是（     ）． A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 C．顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 2．小虹同学按如下步骤作四边形：①画，②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D，③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C，④连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，点E在边上，且．若直线l经过点E，将该矩形的面积平分，并与矩形的另一边交于点F，则线段的长为（     ） A． B．5 C． D．10 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交于点M，N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且，请你添加一个适当的条件__________，使四边形成为菱形．（只需添加一个即可） 7．如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则的长为___________． 8．如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为______． 9．如图，点、分别在正方形边、上，，线段与相交于点，，分别取、的中点、，若，则正方形的边长为_____． 10．如图，正方形中，点E为边上一个动点，连接，以为对角线作正方形，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④若，那么正方形的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题 11．如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作于点，且，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求线段的长． 12．如图，四边形是菱形，，对角线与交于点O，对角线上有两动点M，N，动点M从点B向点D运动，动点N从点D向点B运动，速度均为，连接．若运动时间为，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 13．已知四边形为平行四边形，，点E为延长线上一点． (1)若，求证：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，作，交直线于点F，G为中点，若，，求证：四边形为正方形． 14．按要求回答问题 【观察探究】 (1)如图，在菱形中，对角线、交于点，点在上，连接、，． ①求证：； ②当，时，求菱形的面积． 【问题解决】 (2)如图，某小区内有一块形状为正方形的花园，米，对角线是花园内的一条小路，点、分别是对角线、边上的动点（不与端点重合），且，沿、铺设两条石子小路，为了节约成本，现要使两条石子小路长度之和尽可能的小，请你求出两条石子小路长度之和（即）的最小值．（小路的宽度忽略不计） 15．中秋佳节，某古城开展“中秋探月”定向打卡活动，以古城街巷为场地还原古时赏月寻踪路线．如图：四个打卡点，，，在同一平面内，其中位于的正北方向，位于的正东方向米处，位于的北偏西方向米处，位于的西南方向．（参考数据：，，） (1)求，两处打卡点之间的距离；（结果保留根号） (2)小叶从打卡点沿方向前往打卡点，小枫从打卡点沿方向前往打卡点，两人同时出发，小叶的速度与小枫的速度之比为，当小叶距离打卡点多少米时，小枫位于小叶的东北方向上？（结果精确到米） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解矩形、菱形、正方形的定义，熟记它们的性质与判定定理，能用规范的几何语言书写推理、证明过程。 2.掌握直角三角形斜边中线的性质，熟练运用菱形面积公式，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系。 3.会进行线段长度、角度大小的计算，能完成四边形判定证明，掌握中点四边形的变化规律，解决期中常见综合题型。 4.准确区分各类判定定理的条件，规避证明时缺少前提、定理混用等典型错误。 ✵高频题型梳理 题型1.矩形性质理解 题型2.正方形性质理解 题型3.利用菱形的性质求角度 题型4.利用矩形的性质求角度 题型5.利用正方形的性质求解 题型6.利用菱形的性质求线段长 题型7.利用矩形的性质求线段长 题型8.利用菱形的性质求面积 题型9.利用矩形的性质求面积 题型10.添加条件，使四边形成为菱形 题型11.添加条件，使四边形成为矩形 题型12.添加条件，使四边形成为正方形 题型13.利用菱形的性质进行证明 题型14.利用矩形的性质进行证明 题型15.利用正方形的性质进行证明 题型16.证明四边形是菱形 题型17.证明四边形是矩形 题型18.证明四边形是正方形 题型19.求矩形在平面直角坐标系中的坐标 题型20.矩形折叠问题、正方形折叠问题 题型21.中点四边形相关问题 题型22.特殊平行四边形综合问题 题型23.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、四边形从属关系 平行四边形增加条件可得到矩形、菱形；同时具备矩形和菱形特征的四边形是正方形。 知识点二、菱形的性质与判定 性质：四条边相等；对角线互相垂直且平分每组对角；面积等于对角线乘积的一半 。 判定：一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形 。 菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在直线） 。 菱形动点问题常结合函数图象判断面积随时间的变化趋势。 知识点三、矩形的性质与判定 性质：四个角都是直角；对角线相等且互相平分；是轴对称图形（两条对称轴） 。 判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形 。 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，是矩形性质的重要推论 。 矩形折叠问题常利用折叠前后对应边相等、对应角相等，结合勾股定理列方程。 知识点四、正方形的性质与判定 性质：四边相等、四角为直角、对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 。 判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形； 矩形 + 菱形性质同时满足正方形兼具矩形与菱形的所有性质，是最特殊的平行四边形 赵爽弦图是四个全等直角三角形围成的正方形，常用于勾股定理证明与面积计算 知识点五、三角形中位线与中点四边形 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 中点四边形形状由原四边形对角线决定：对角线相等→菱形；对角线垂直→矩形；垂直且相等→正方形 直角三角形斜边中线等于斜边一半，常用于线段倍分关系证明 中位线与斜中线结合，可解决多中点连线的角度与长度问题 ✵易错提醒 1. 判定定理注意前提条件：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须是平行四边形 + 对角线相等；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形 + 对角线互相垂直。 2.菱形面积公式是对角线乘积的一半，不要漏掉\(\dfrac12\)。 3.直角三角形斜边中线的性质只适用于直角三角形，普通三角形没有这个结论。 4.证明正方形，常规路径：先证平行四边形，再证矩形或者菱形，最后证正方形，不可以直接用零散条件推出正方形。 5.菱形的对角线平分一组对角；矩形对角线不平分内角（正方形除外）。 6.轴对称描述规范：对称轴是直线，不能说成线段。 ✵典例精讲 题型1.矩形性质理解 1．如下图，矩形的对角线，相交于点．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】矩形具有对角线相等且互相平分、四个角都是直角的性质，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，，故正确； ∵矩形对角线互相平分且相等， ∴，故正确； ，故错误． 2．如图，在矩形中，，．对角线，相交于点．点，分别是，的中点，连接，则的周长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得，，，在中可得，推出，再根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线，，， ∴， ∴， ∴的周长为． 3．在矩形中，求作一点P使且． 【答案】 【分析】如图，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，再作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求． 【详解】解；如图，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，再分别以点为圆心，取大于的长度为半径画弧，两弧在线段的上下方各得到一个交点，过这两个交点作直线，该直线即为的垂直平分线，它与的交点即为所求点． 题型2.正方形性质理解 1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线平分对角 【答案】C 【详解】解：根据菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线互相平分且相等，正方形的对角线互相平分，相等且垂直，所以它们都具有的性质是对角线互相平分． 2．下列图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______．（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】逐个判断四个图形的对称性，筛选出同时满足既是轴对称图形又是中心对称图形的序号即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，不符合要求； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 因此符合要求的序号为②③④． 3．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． (1)如图1，已知菱形的边长为2，设菱形的对角线，的长分别为，．若我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”），于是越小，菱形就越接近正方形． ①若菱形的“接近度”=__________，菱形就是正方形； ②若菱形的一个内角为，求“接近度”． (2)如图2，已知矩形的对角线，相交于点，设，的长分别为，，我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”）． ①若矩形的“接近度”=__________，矩形就是正方形； ②若，求矩形的“接近度”． 【答案】(1)①0；② (2)①1；② 【分析】（1）①当时，菱形为正方形，由定义求解即可；②若菱形的一个内角为，根据菱形的性质，求得，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解得，的值，进而可得的值，即可获得答案； （2）①当时，矩形为正方形，结合矩形的“接近度”的定义，即可获得答案；②根据矩形的性质可得，由三角形外角的定义和性质、等腰三角形的性质可得；设，则在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解得的值，结合矩形的“接近度”的定义即可获得答案． 【详解】（1）解：①若菱形的“接近度”，菱形就是正方形， 理由如下： 当时，菱形为正方形，此时； ②如图1，根据题意可得，，令， 由菱形的性质可得，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ； （2）解：①当时，矩形为正方形，此时； ②如图2， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则在中，， ∴， ∴． 题型3.利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E是边上一点，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质可得，，，进而得到，再根据三角形的外角进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为________． 【答案】/42度 【分析】由菱形的性质可得，得到的度数，由作图可知点E在的垂直平分线上，得到，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：菱形， ， ， ， 由作图可知，点E在的垂直平分线上， ， ， ． 3．如图，在菱形中，，，求的度数． 【答案】． 【分析】由四边形是菱形，得，又，则，然后求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的度数为． 题型4.利用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可以求得的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 即的度数为． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】利用矩形对角线互相平分且相等得出，结合等腰三角形性质求出，再在直角三角形中利用两锐角互余求解． 【详解】解： ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 3．如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接与相交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】证明，得出，再根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，点E在的延长线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5.利用正方形的性质求解 1．如图，点在正方形内部，连接、，延长交边于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方形性质得出，结合已知得到，从而利用等腰三角形性质求出，最后利用角的和差关系求解． 【详解】四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰三角形， ， ， ． 2．如图，在正方形中，以为边在上方作菱形，交边于点，若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】根据正方形性质得出长度及，根据菱形性质得出长度及，进而证得为等腰直角三角形，求出长即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， 四边形是菱形， ，， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，即， ， ． 3．如图，将一块长为，宽为的矩形铁皮沿虚线在四个角各剪去一个边长为的正方形，求剩余铁皮的面积． 【答案】 【分析】剩余铁皮的面积等于原矩形铁皮的面积减去4个剪去的小正方形的面积，利用矩形和正方形的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：由图可得，原矩形铁皮的面积为：， 4个剪去的小正方形的总面积为：， ∴剩余铁皮的面积为：， 答：剩余铁皮的面积为． 题型6.利用菱形的性质求线段长 1．如图，在菱形中，，边长为，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ． 2．菱形的两条对角线的长分别为8和6，则这个菱形的高为_______． 【答案】 【分析】先根据菱形对角线的性质求出边长，再利用等面积法计算菱形的高． 【详解】解：根据菱形对角线互相垂直平分的性质， 可得两条对角线的一半长分别为，， 菱形的对角线互相垂直， 由勾股定理可得菱形的边长为 ， 先根据对角线计算菱形的面积，得， 设菱形的高为，菱形面积也等于底边长乘以高，即， 所以， 解得． 3．如图，在四边形中，，，连接，点、分别为、的中点，连接、，已知为等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵点、分别为、的中点， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵为等边三角形 ∴ ∵点、分别为、的中点， ∴ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先根据三角形中位线定理结合已知证明四边形是平行四边形，再证明为等边三角形，则，即可证明其为菱形； （2）根据菱形的性质可得，，然后由三角形中位线定理得到，再由度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，而 ∴ 由（1）知为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ ∴． 题型7.利用矩形的性质求线段长 1．如图，在矩形中，对角线相交于点，则矩形的边的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合推出为等边三角形，由得，进而得到． 【详解】解：根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此可得： ，，且． ∵， ∴． 又∵，有一个角为的等腰三角形是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴． 2．如图，校园内有一块长方形花坛，长15米，宽为8米，花坛下边缘两端点为，，喷泉需设在花坛内部，且满足的面积为30平方米，喷头可在花坛上边缘间自由移动，求的最小值是_______米． 【答案】21 【分析】由 面积确定点 P轨迹为矩形中位线． 最小值为 P到距离． 利用轴对称将转化为 ， 结合两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：设点 P到的距离为 ℎ， 如图：过P作交于E，则， ∵的面积为30平方米， ∴，即，解得：． ∵ 矩形宽， ∴ 点 P在平行于且到距离为 4的直线上， 即该直线也是矩形的中位线 ， ∴ 点 P到 的距离为， ∵Q 在 上 ， ∴， 如图：当 时，为最小值， 作点 A关于点 P所在直线的对称点 ，此时和点D重合， ∴ ∴， 当 D、P、B三点共线时， 最小， 最小值为的长， 在 中， ， ∴的最小值为17， ∴的最小值为． 3．如图，菱形的对角线，相交于点O，点F是中点，延长线段至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵点F是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形的对角线，相交于点O， ∴， ∴四边形为矩形； (2) 【分析】（1）判定四边形是平行四边形，推出，由菱形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形为矩形； （2）判定是等边三角形，得到，由勾股定理得到，求出（舍去负值），由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得到， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 题型8.利用菱形的性质求面积 1．小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半列式计算． 【详解】解：， 即菱形风筝的面积为． 2．红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．小宝想求家里“中国结”挂饰的面积，于是利用所学的知识抽象出如图2所示的菱形，测得，，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和已知条件，推出等边，从而求出长度，结合勾股定理求出的长度，即可知道长度，最后利用菱形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：为菱形， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， 菱形的面积为． 3．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵平行四边形的对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，根据菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质，勾股定理，计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，且周长是40，对角线的长是16， ∴，， ， ． ∴四边形的面积为：． 题型9.利用矩形的性质求面积 1．如图，矩形中，E点在上，且平分，若，，则面积为（     ） A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】过点作的垂线，利用角平分线的性质定理得出垂线段长度等于，进而计算三角形面积． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ，即， 平分，，， ， ． 2．已知一矩形的周长是，相邻两边之比是，则矩形的面积是_____． 【答案】12 【分析】根据矩形周长公式，结合边长比例设出未知边长，求出边长后代入面积公式计算即可． 【详解】解：设矩形较短边长为，由相邻两边之比为，得较长边长为． ∵矩形周长为， ∴列方程得， 解得， ∴矩形两邻边长度分别为和， ∴矩形面积为． 3．如图，在中，，，垂足为，，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． (2)12 【分析】（1）根据条件先确定四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可证明； （2）根据等腰三角形三线合一求，再利用勾股定理求，即可求面积． 【详解】（1）略； （2）解：，， ． 在Rt中， ， ． 题型10.添加条件，使四边形成为菱形 1．如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； B、添加， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定是菱形，故本选项符合题意； 2．如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 【答案】（或或或或等） 【分析】根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进行添加条件． 【详解】解：（或） 理由如下：∵，，， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由同上； 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 3．如图，中，O是的中点，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，，当满足 时，四边形是菱形？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴； (2)解：当时，四边形是菱形． 理由：如图，连接， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 若，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∴是菱形． 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，再根据中点定义可得，然后可利用证明； （2）当时，四边形是菱形，首先证明四边形是平行四边形，再证对角线互相垂直可得四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2） 略 题型11.添加条件，使四边形成为矩形 1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先排除平行四边形本身已满足的条件对应的选项，再结合矩形的判定判断剩余选项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故B、D不符合题意； 当时，平行四边形为菱形，故C不符合题意； 当时，平行四边形为矩形，故A符合题意． 2．如图所示，已知，下列条件：①，②，③，④中，能说明是矩形的有（填写序号）_________． 【答案】①④ 【分析】根据矩形的判定定理，逐个对给出的4个条件进行辨析，判断哪个条件可以证明平行四边形为矩形． 【详解】解：①四边形是平行四边形，， ∴是矩形． ②四边形是平行四边形，， ∴是菱形，不能判定为矩形． ③四边形是平行四边形， ，可得，属于平行四边形固有性质，不能判定为矩形． ④， ． 四边形是平行四边形， ∴是矩形． 综上，符合条件的是． 3．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是矩形，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2)解：满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再由，可得，即可求证； （2）先证明四边形为平行四边形，由三线合一得，进而可证四边形为矩形． 【详解】（1）略； （3） 略． 题型12.添加条件，使四边形成为正方形 1．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可判断． 【详解】解：在四边形中， ， 四边形是矩形， 邻边相等的矩形是正方形， 可判断是正方形． 2．如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使矩形成为正方形，应添加的一个条件是______． 【答案】 【分析】 根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可解答． 【详解】解：可添加条件是， 理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形． 3．如图，在四边形中，，是的中点，，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)若要使四边形为正方形，则原来四边形中需要满足一个条件为______． （只限于写四边形的边、角或对角线的关系） 【答案】(1)四边形是菱形，理由如下： 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是直角三角形， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先由是的中点得到，结合且，证出四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）已知已经是菱形，菱形再加一个内角为就是正方形，所以填写能推出的条件，例如． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得四边形是菱形， 当时，， 四边形为正方形． 题型13.利用菱形的性质进行证明 1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 【答案】A 【详解】解：∵平行四边形具有对角线互相平分、对角相等的性质，故C、D不符合题意． ∵菱形是特殊的平行四边形，对角线互相垂直，该性质平行四边形不一定具有，故A符合题意． ∵对角线相等不是菱形和平行四边形的必然性质，故B不符合题意． 2．如图，在菱形中，，分别是边，上的点，连接，．若，，则四边形的面积是___________． 【答案】 【分析】如图，过点分别作于点，作于点，连接，证明得，证明得，证明得，继而得到，然后根据锐角三角函数的定义得，，求出，，，可得结论． 【详解】解：如图，过点分别作于点，作于点，连接， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ， ∵在菱形中，，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等积变换等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，P是线段上的点，连接．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴． 【分析】根据菱形的性质结合证明即可． 【详解】略 题型14.利用矩形的性质进行证明 1．把一个含有角的直角三角板（）与矩形按如图方式放置，点在边上，点在边上，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行得，先由邻补角求出，再结合三角形外角性质、等腰直角三角形内角，通过角度转化求． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 是含的直角三角形，， ， 由,得， ， ． 2．如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是_____． 【答案】 【分析】设与EF的交点为O，过点A作于H，由平行四边形的性质可得，即当时，有最小值，即有最小值，由面积法可求，通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：设与EF的交点为O，过点A作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．如图，在矩形中，点M在上，，，垂足为N．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】证明，即可得出结果. 【详解】略 题型15.利用正方形的性质进行证明 1．如图，正方形的边长为2，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G，连接，，．下列结论：①；②的周长为；③；④当时，G是线段的中点．其中正确的结论是（     ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】①在上截取，连接，证明，即可解决问题； ②③延长到K，使得，证明，再证明即可解决问题； ④当时，设，则，利用勾股定理构建方程可得即可解决问题． 【详解】解：如图，在BC上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； 如图，延长到K，使得， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ∴，故②错误； 当时，设，则， 在中，则有， 解得， ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论为①④． 2．如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【分析】连接交于点，延长交于点，根据正方形的性质证明，从而得到，再根据矩形的性质得到，从而推出①的结论正确；利用平行线的性质、全等三角形的性质和矩形的性质进行角度转换，从而推出②和④的结论正确；根据垂线段最短，得到，结合，从而推出③的结论错误． 【详解】解：如图，连接交于点，延长交于点， 四边形是正方形， ，． 在和中， ， ， ． ，，， 四边形是矩形， ， ， 故①正确； 正方形中，， 又矩形中，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 故④正确； ， ， ， ，即， 故②正确； ， 当时，取最小值，此时为中点，， ，即，， 故③错误． 综上所述，正确的结论是①②④． 3．如图，在正方形中，对角线、交于点，点、分别在、边上，连接、，，求证：． 【答案】证明：∵在正方形中，对角线、交于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】利用正方形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】略． 题型16.证明四边形是菱形 1．如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，当对角线与的长度相等时，四边形的形状是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理得到，再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 2．平行四边形中，，则该四边形是______．（填“菱形”、“矩形”或“正方形”） 【答案】菱形 【分析】已知四边形是平行四边形，且一组邻边，根据特殊平行四边形的判定规则即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴和是平行四边形的一组邻边，一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴该四边形是菱形. 3．如图，平行四边形中，，证明四边形是菱形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【分析】根据平行四边形的性质可推出，从而得到是等边三角形，进而可由邻边相等的平行四边形为菱形证得结论． 【详解】略 题型17.证明四边形是矩形 1．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，添加一个条件，使得四边形成为矩形（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，逐项判断即可． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形，符合题意； 、不能判定四边形是矩形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意． 2．如图，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，．添加一个适当的条件：当______时，四边形为矩形． 【答案】O是的中点（答案不唯一） 【分析】先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：O是的中点， 理由如下：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 3．如图，在四边形中，点在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得四边形为矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，四边形即为所求； 【分析】过点作于，则四边形即为矩形． 【详解】解：∵，， ∴， ∴四边形四边形是矩形． 题型18.证明四边形是正方形 1．如图，在矩形中，平分，平分，，，则四边形是什么图形？（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【分析】先根据矩形的性质和平分线的定义可得，进而得出，再根据“两组对边平行的四边形是平行四边形”说明四边形是平行四边形，然后根据一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴． ∵， ∴四边形是菱形． ∵， ∴四边形是正方形． 2．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】此题考查正方形的判定，折叠的性质，根据折叠得到，即可判定正方形，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键 【详解】解：由折叠得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形 3．如图①，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （i）求证：矩形是正方形； （ii）连接，，如图③，若正方形的边长为3，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形， ，， 又∵， ， ． (2)（i）证明：如图，作于点M，于点N， ， ∴四边形是矩形， ． ∵点E是正方形对角线上的点， ， ． ， ， ． 又∵， ， ， 又∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形． （ii） 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，然后证明，即可得到； （2）（i）作于点M，于点N，利用角平分线的性质得到，证明，得到，即可证明矩形是正方形； （ii）证明，得到，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：（i）略； （ii）∵四边形和四边形是正方形， ，． ， ． ， ，． 又， ， ∵正方形的边长为3， ∴， ∴， ， ∵， ． ∴在中，由勾股定理得，． 题型19.求矩形在平面直角坐标系中的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，直线的函数表达式为，M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标平面内一点，若以点O，M，N，P为顶点且为边的四边形为矩形，则点N的坐标为_____________． 【答案】或 【分析】求出点、、的坐标，求出点、的坐标；以点O，M，N，P为顶点且为边的四边形为矩形则是以为直角边的直角三角形，据此分情况讨论计算即可． 【详解】解：对于直线， 当时，，则； 当时，，解得，则； 为线段的中点， ； ∵N为直线上一点，直线的函数表达式为， ∴设， ∴，，， ∵P为坐标平面内一点，若以点O，M，N，P为顶点且为边的四边形为矩形， ∴是以为直角边的直角三角形，即或， 当时，， ∴， 解得， ， ∴； 当时，， ∴， 解得， ， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 3．如图，已知直线：与直线：相交于点，，分别交轴于点、，矩形顶点、分别在直线，，顶点、都在轴上，且点与点重合． (1)求点的坐标和的度数； (2)求矩形的边与的长； (3)若矩形从原地出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度平移，设移动时间为（）秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围． 【答案】(1)F点坐标：，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合问题，求函数解析式， （1）由于直线：与直线：相交于点，因而联立两解析式组成方程组求得解即为点的坐标．过点作直线垂直轴交轴于，通过坐标值间的关系证得，从而得到是等腰直角三角形，； （2）首先求得（或）点的坐标、再依次求得点、、的坐标．并进而得到与的长； （3）首先将动点、用时间来表示．①在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为；②在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为；③在运动到秒，若边与相交设交点为，与不相交．三种情况讨论解得关于的函数关系式． 【详解】（1）解：由题意得， 解得，， 点坐标：； 过点作直线垂直轴于，，是等腰直角三角形，； （2）由图可知点的坐标为，则点的横坐标为， 点在直线上， 点的坐标为， 由图可知点与点的纵坐标相同，且点在直线上， 点的坐标为， 由图可知点与点的横坐标相同，且点在轴上， 点的坐标为， ，； （3）点是与轴的交点； 点的坐标为， ， 若矩形从原地出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度平移， 当秒时，移动的距离是，则点的坐标为，点的坐标为； ①在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为，那么，即时，点的坐标为，点的坐标为， ， ②在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为，那么且，即时， 点的坐标为，点的坐标为， ， ③在运动到秒，若边与相交设交点为，与不相交，那么且，即时． 点的坐标为， ， 综上所述关于的函数关系式 题型20.矩形折叠问题、正方形折叠问题 1．如图，在矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，由折叠得出，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，，， ， ∵沿折叠，点恰好落在对角线上的点处， ∴， ∴． 2．如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是______． 【答案】/ 【分析】根据正方形及折叠的性质得到，从而得出，再设，在中运用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵沿对折至， ∴，，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 【点睛】正方形折叠题型，常用思路：折叠得全等，再利用证直角三角形全等，最后勾股定理列方程． 3．如图，长方形的长为23厘米，宽为19厘米．长方形内放着两个重叠的正方形和．已知三个阴影长方形的周长相等，那么长方形的面积为多少平方厘米？ 【答案】 【分析】根据长方形周长相等得到，利用正方形边长相等及线段和差关系得到，最后求出，，从而确定长方形的面积． 【详解】解： ∵四边形、和都是长方形， ∴，，，，， ∵，， ∴，， ∵三个阴影长方形的周长相等， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， 即， 又∵， ∴，， ∴长方形的面积为（平方厘米）． 题型21.中点四边形相关问题 1．如图，在四边形中，对角线于点O，E，F，G，H分别为四边的中点，连接，若，，则四边形的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】证明四边形是矩形，由三角形中位线定理得到，，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，对角线于点O，E，F，G，H分别为四边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵对角线于点O， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 2．如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形的面积___________（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）． 【答案】先变大后变小 【分析】连接，证明四边形的面积是平行四边形的面积的一半，再根据平行四边形的面积的变化情况：先变大后变小，而得出四边形的面积也是先变大后变小． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴, 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴, 在变化过程中，不变，边上的高由短变长再变短， ∴平行四边形的面积先变大再变小， ∴平行四边形的面积先变大再变小． 3．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 【答案】(1)D (2)， (3)，理由如下： 如图，记、的中点分别为、， 四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点， 四边形是正方形， ，， ， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ； (4)的最小值为 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （2）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （3）根据“中方四边形”的定义，得到，再结合三角形中位线定理求解即可； （4）连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，由性质探究（2）知：，再结合直角三角形的斜边中线，得出，则的最小值，再结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：中点四边形是个正方形， 中点四边形四条边相等，且四个角是直角， 四边形各边中点连线得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”， 由三角形中位线定理可得，原四边形的对角线互相垂直且相等， 只有正方形满足条件； （2）解：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ， 点、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ，； （3）略 （4）解：如图，连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究（2）知：， 又、分别是、的中点， ，， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：； 又， ， 的最小值为． 题型22.特殊平行四边形综合问题 1．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 2．如图，在矩形中，，，、是上不与和重合的动点，，________． 【答案】 【分析】过点、作、，根据矩形的性质可知，，根据三角形的面积公式可求，证得，再根据三角形的面积公式求出阴影的面积． 【详解】解：如下图所示，过点、作、， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ，， ， ， ． 3．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”．      【概念理解】 (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【性质探究】 (2)如图，若四边形是“中方四边形”，观察图形，证明且． 【拓展应用】 (3)如图，已知四边形是“中方四边形”，，，，分别是，，，的中点，对角线，交于点． ①试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． ②若线段的长为，请直接写出的最小值． 【答案】(1)④ (2)证明：∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，； (3)解：①．（或．） 理由如下：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ． ，分别是，的中点， ， ．（或）； ② 【分析】（1）根据当原四边形对角线互相垂直且相等时得到的四边形是正方形分析即可； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）①由题意得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． ②令与的交点为，连接、，当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长，得到，，再根据①可知，从而计算的最小值，进而求解 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2）略 （3）解：①略； ②连接、； 由①可知，． 当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由题意可知；为正方形， ， ，， ， ∵，分别是，的中点， ∴，， ， 的最小值， 即时，最小，即最小； ∵线段的长度为6， ∴， ∴． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法中，错误的是（     ）． A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 C．顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定与性质，以及中点四边形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，说法正确； B. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，说法正确； C. 顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，根据三角形中位线定理，所得四边形每条边都相等，因此所得的四边形是菱形，说法正确； D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是正方形，说法错误． 2．小虹同学按如下步骤作四边形：①画，②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D，③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C，④连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据作图得出，证明四边形为菱形，根据菱形的性质得出，平分，根据平行线的性质得出，最后得出答案即可． 【详解】解：根据作图可得：， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，，，点E在边上，且．若直线l经过点E，将该矩形的面积平分，并与矩形的另一边交于点F，则线段的长为（     ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】连接，设交于点O，过点E作于点G，证明四边形为矩形以及，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点O，过点E作于点G， ∵直线l经过点E，将该矩形的面积平分，并与矩形的另一边交于点F， ∴直线l一定过点O， 在矩形中，，，， ∴四边形为矩形，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接 交 于点 ，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点 的坐标，再计算出点 的坐标． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点 的坐标为， ∵， ∴点 的坐标为，即． 5．如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交于点M，N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作于点，于点，证明，利用四边形的面积等于正方形的面积求解． 【详解】解：过作于点，于点， ∵四边形是正方形，边长为a， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 6．如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且，请你添加一个适当的条件__________，使四边形成为菱形．（只需添加一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】根据四边相等的四边形是菱形或对角线相互垂直平分的四边形是菱形，添加相应条件即可． 【详解】解：添加， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 添加， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， 又∵，， ∴四边形是菱形． 7．如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则的长为___________． 【答案】3 【分析】先由折叠和推出 ，从而四边形是菱形，得 且为中点，再利用菱形及中点构造中位线得到，得到四边形是平行四边形，从而得出答案． 【详解】解：连接，设交点为， ，点是边的中点， ， 根据折叠可知， ，， ， ， 由折叠可知， ， ， 由折叠可知， ， 四边形是菱形， ，， 为中点， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 8．如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得到对应线段相等，将阴影部分周长中的线段进行等量代换，转化为长方形的周长，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：设与交于点， 根据折叠的性质，得，，， 阴影部分图形的周长 ． 9．如图，点、分别在正方形边、上，，线段与相交于点，，分别取、的中点、，若，则正方形的边长为_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，连接，根据三角形中位线定理得，证明，根据全等三角形的性质推出，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∴， ∵点、分别是、的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为． 10．如图，正方形中，点E为边上一个动点，连接，以为对角线作正方形，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④若，那么正方形的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】③④ 【分析】根据正方形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识点，对四个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，且为正方形的对角线， ∴，， ， ，， 对于①：设与交于点H，如图所示： ∵， ， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴，故①错误； 对于②：在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； 对于③：过点G作，交的延长线于点P，过点G作于点Q，过点F作于点M，作于点N，如图所示： 则， ∵， ∴四边形和四边形为矩形， 由①知， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 同理得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，故③正确； 对于④：正方形的周长为： ， ∴当最小时，正方形的周长最小， ∵点 E为边上一个动点， 又∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∴当点E与点D重合时，最小，且最小值为的长， ∵四边形为正方形， ∴， ∴正方形的周长最小值为，故④正确； 综上，正确的结论是③④． 三、解答题 11．如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作于点，且，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求线段的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形，，， ，． ， ， ． 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形． (2) 【分析】（1）由平行四边形得，，又，满足，由勾股定理逆定理得，故四边形为菱形． （2）由菱形性质得．菱形面积可用底乘高和对角线乘积两种方式表示，列方程，解得． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ． ， 菱形的面积，即， ． 12．如图，四边形是菱形，，对角线与交于点O，对角线上有两动点M，N，动点M从点B向点D运动，动点N从点D向点B运动，速度均为，连接．若运动时间为，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】解：四边形是正方形．理由如下： ∵四边形是菱形， ，，， 由题意得， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 在中，， ∴， ， ， ， 四边形是正方形． 【分析】根据题意可得，结合菱形的性质可得，再由，可得四边形是菱形，然后根据勾股定理可得，即可解答． 【详解】略 13．已知四边形为平行四边形，，点E为延长线上一点． (1)若，求证：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，作，交直线于点F，G为中点，若，，求证：四边形为正方形． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形 ， ，即 ∴四边形为菱形； (2)证明：连接，如图 为中点，为中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 四边形为正方形． 【分析】（1）先推导出，再根据三线合一，得到，则四边形为菱形，即可解答； （2）连接，先推导出是的中位线，得到，继而推导出为等腰直角三角形，且，可得到，从而推导出是等腰直角三角形，且，得到，则四边形为正方形，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 14．按要求回答问题 【观察探究】 (1)如图，在菱形中，对角线、交于点，点在上，连接、，． ①求证：； ②当，时，求菱形的面积． 【问题解决】 (2)如图，某小区内有一块形状为正方形的花园，米，对角线是花园内的一条小路，点、分别是对角线、边上的动点（不与端点重合），且，沿、铺设两条石子小路，为了节约成本，现要使两条石子小路长度之和尽可能的小，请你求出两条石子小路长度之和（即）的最小值．（小路的宽度忽略不计） 【答案】(1)①证明：在菱形中，则对角线相互垂直平分， ∵点在上， ∴ ∵， ∴ ∴ ② (2)米 【分析】（1）①根据菱形的性质可知对角线相互垂直平分，再根据中垂线的性质可知，进而即可证明； ②根据菱形的性质可知,,可求出的长度，进而根据勾股定理即可求解,即可求解面积； （2）延长,使得,证明，根据全等三角形的性质可转化为,当三点共线时，取得最小值． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴, 在中，, ∴, ∴菱形的面积为：； （2）解：延长,使得, 在正方形中， , 在和中， ∴ ∴ ∴, ∴当三点共线时，取得最小值， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 15．中秋佳节，某古城开展“中秋探月”定向打卡活动，以古城街巷为场地还原古时赏月寻踪路线．如图：四个打卡点，，，在同一平面内，其中位于的正北方向，位于的正东方向米处，位于的北偏西方向米处，位于的西南方向．（参考数据：，，） (1)求，两处打卡点之间的距离；（结果保留根号） (2)小叶从打卡点沿方向前往打卡点，小枫从打卡点沿方向前往打卡点，两人同时出发，小叶的速度与小枫的速度之比为，当小叶距离打卡点多少米时，小枫位于小叶的东北方向上？（结果精确到米） 【答案】(1)，两处打卡点之间的距离为米； (2)当小叶距离打卡点米时，小枫位于小叶的东北方向上． 【分析】（1）过点C作交于点F，过点B作交于点E，利用所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出和的值，进而得到的值，有三个角都是直角的四边形是矩形，利用三角形内角和定理和等角对等边求出的值，根据线段之间的关系可得到的值，矩形的对边相等，从而求出的值； （2）东北方向，即小枫位于小叶的东偏北上，作垂线找出直角三角形，利用所对的直角边是斜边的一半和勾股定理、等角对等边进行求解． 【详解】（1）解：过点C作交于点F，过点B作交于点E，则，如下图所示， 由题可知，， 在中，，，（米）， （米）， （米）， （米）， 在四边形中，，，， 四边形是矩形， （米），， 在中，，，（米）， ， ， （米）， 米， 米， 答：，两处打卡点之间的距离为米； （2）设小叶距离打卡点x米时，小枫位于小叶的东北方向上，如下图所示，则（米），（米）， 过点M作，则，， （米）， 米， 在中，，，米， （米）， （米）， （米）， 在中，，， ， ， ， （米），（米）， ， 解得：（米）， 所以，当小叶距离打卡点米时，小枫位于小叶的东北方向上． 【点睛】出现和找直角三角形． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $