第三章《图形的形式》期中考点总结与练习——考点6《图形的位似》 2026-2027北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第三章 考点 6｜图形的位似 ——第 3 章〈图形的相似〉考点 6—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·图形的位似·位似中心与位似比·坐标规律·周长面积比 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，全部选自 2023—2026 年全国各地各级各类考试与课后作业（期中、期末、月考、模拟、课后作业等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；题面数值与设问未作改动；其中 16 道带图题的题图全部取自原卷原图，未作任何自绘改动； 全卷按题型分层编排：选择题 11 道、填空题 9 道（嵌空）、解答题 4 道；例题组（3 选＋2 填＋1 解）、变式组（5 选＋4 填＋1 解）、拔高组（3 选＋3 填＋2 解），每组内部按选择、填空、解答的顺序排列；四道解答题分别为例 6 网格找位似中心与位似作图题、变 10 位似性质证明与分类计算题、拔 7 坐标系位似作图题、拔 8 旋转加位似作图题； 本考点是期中卷坐标系板块的固定考点：位似的定义与判定（对应点连线交于一点、对应边互相平行）、位似中心与位似比、以原点为位似中心时的坐标变化规律（同侧坐标乘 k、异侧坐标乘 −k，凡未指明同侧异侧的都要写两解）、位似图形的周长比等于位似比、面积比等于位似比的平方——先认对应、再定 k 值、最后写坐标，是本资料的训练主线； 每题按答案、解析、详解三段式编排，详解段按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案（含红色分数式），学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； 本资料所有题目的解法都严格限定在本考点及前置考点范围内：只用位似的定义与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理与平行线性质；不使用反比例函数等后续章节的方法（命题边界见考法速览后的说明）； 本考点与第三章考点速览考点 6 对齐（★☆~★★★），四条主线：一线定义判定——对应点连线共点、对应边平行；二线位似中心与位似比——连线找交点、距离比就是位似比；三线坐标规律——同侧乘 k、异侧乘 −k；四线周长面积比——周长比跟位似比、面积比过平方门。 PART 01 本考点知识点总结（与第三章考点速览保持一致） 考点范围：位似的定义与判定（对应点连线都经过同一点、对应边互相平行、位似是特殊的相似）；位似中心与位似比（连对应点连线找交点、位似比等于对应顶点到位似中心的距离之比）；以原点为位似中心的坐标变化规律（同侧坐标乘 k、异侧坐标乘 −k，未指明位置时两解）；位似图形的周长比与面积比（周长比等于位似比、面积比等于位似比的平方）。 一、位似定义与判定——先看相似，再看共点 ◆ 位似的定义：两个相似图形如果每组对应点的连线都经过同一个点，这两个图形就是位似图形，这个公共点叫位似中心——位似是特殊的相似：先满足相似，再满足对应点连线共点；只相似而对应点连线不共点的，不是位似图形。 ◆ 判定三步走：一看对应边是否互相平行（位似图形对应边平行，方向一致）；二看每组对应点的连线是否交于同一点（中点三角形型题目：D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，对应点连线都经过 O，必是位似）；三看对应顶点是否按同一顺序排列——三步都对，才能下位似的结论。 二、位似中心与位似比——连线找交点，距离比定 k ◆ 找位似中心：连接每组对应顶点，各组连线的交点就是位似中心——网格类题目先找准对应顶点（对应边平行的顶点才是一对），再连线读坐标；位似中心可能在两个图形之间、同侧，甚至落在图形内部，位置由连线交点唯一确定，不能凭感觉猜。 ◆ 位似比的确定：位似比＝对应顶点到位似中心的距离之比，也等于对应边的比——已知 OA∶OD＝1∶3，位似比就是 1∶3；注意分清“谁比谁”：OA∶AD＝1∶2 时要先化成 OA∶OD＝1∶3（OD＝OA＋AD），再得位似比，直接把 1∶2 当位似比是高频错误。 三、坐标规律——同侧乘 k，异侧乘 −k ◆ 同侧规律：以原点 O 为位似中心、位似比为 k 时，对应点坐标变为原来的 k 倍——点 (x,y) 的对应点是 (kx,ky)；放大 2 倍即 (2x,2y)，缩小为原来的一半即乘 ；坐标的变化与图形放大缩小方向一致，先定 k 再动坐标。 位似中心·位似比·坐标规律速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 位似定义 对应点连线都经过同一点；对应边互相平行 D、E、F 是 OA、OB、OC 中点，△DEF 与△ABC 位似 只看相似、漏看共点 位似中心 连接每组对应点，连线的交点即位似中心 网格中两组对应顶点连线交于 (4,2) 把图形内部交点当位似中心 位似比 位似比＝对应顶点到位似中心的距离之比 OA∶OD＝1∶3，位似比 1∶3 位似比与面积比混淆 坐标规律·同侧 以原点为位似中心、位似比为 k，对应点坐标乘 k (4,6) 放大 2 倍得 (8,12) 放大缩小方向弄反 坐标规律·异侧 异侧时对应点坐标乘 −k，答案有两解 B(3,4) 放大 2 倍得 (6,8) 或 (−6,−8) 漏掉异侧一解 周长面积比 周长比＝位似比；面积比＝位似比的平方 位似比 1∶3，周长 2 变 6、面积 2 变 18 面积比忘记平方 ◆ 异侧两解：位似图形与原图形位于原点两侧时，对应点坐标乘 −k——点 (x,y) 的对应点是 (−kx,−ky)；题目未指明同侧或异侧时，两解都要写：(3,4) 放大 2 倍的对应点是 (6,8) 或 (−6,−8)——只写一解就丢一半分，这是坐标类填空的最大失分点。 四、周长面积比——位似比的一次与平方 ◆ 周长比等于位似比：位似图形的周长比等于位似比——位似比 1∶3、原图形周长 2，新图形周长就是 6；由周长比反求位似比再反求坐标比例，是选择填空的常见链路，全程只用一次比，不过平方门。 ◆ 面积比等于位似比的平方：位似图形的面积比等于位似比的平方——位似比 1∶3 的面积比是 1∶9；给面积比反求位似比要开方：面积比 1∶4 开方得位似比 1∶2，再用到坐标上；“周长走一次、面积过平方”两道门不能走错。 ◆ 非原点为位似中心的坐标题：位似中心不是原点时坐标规律不能直接套——先由对应点连线确定位似中心，再用相似比与方向（同侧、异侧）分线段计算；这类题以网格为背景，画准连线、读准格点是第一动作。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 图形的位似是第三章的收口考点：上承考点 4、考点 5 的相似判定与性质，把“相似”落到坐标系里可操作的坐标变化上——位似定义与判定、位似中心与位似比、以原点为位似中心的坐标规律、周长比与面积比，是期中卷选择填空的固定板块，多数题目两步以内可解，属于必须拿满分的板块； 坐标规律是全考点的心脏：同侧乘 k、异侧乘负 k——凡未指明同侧异侧的对应点坐标题，两解都要写；位似比既管坐标缩放倍数、又管周长比、再过平方门管面积比，“先认对应、再定 k 值、最后写两解”是第一习惯。 答题方法（三步法） 第一步·认对应：由对应边平行、对应顶点连线经过位似中心来确定对应关系——网格题先画连线再读坐标，字母顺序错一对，后面全错； 第二步·定 k 值：位似比＝对应顶点到位似中心的距离之比＝对应边的比——遇 OA∶AD 型条件先化成 OA∶OD（OD＝OA＋AD）再定 k；放大取 k 大于 1、缩小取 k 小于 1，方向不能反； 第三步·写答案：坐标题按同侧 (kx,ky)、异侧 (−kx,−ky) 各写一解；周长比照抄位似比、面积比取平方；分类讨论题检验两种位置是否都取到。 注意事项（易错警示） 异侧解漏写是最大失分点：只要题目没有指明位似图形在原图形的哪一侧，对应点坐标就必须写出 (kx,ky) 与 (−kx,−ky) 两解——只写同侧一解，一半分直接丢掉； 位似比方向弄反是第二失分点：位似比＝对应顶点到位似中心的距离之比，OA∶OA′＝1∶3 表示新图形是原图形的 3 倍；把 1∶3 理解成缩小、坐标乘 ，方向全错；面积比忘记平方、周长比误开方，与考点 5 同源，跨“一次世界”与“平方世界”必须过对应的那道门； 非原点为位似中心时不能套坐标规律：先连对应点连线确定位似中心，再按线段比例计算；判断位似别只看相似——对应点连线不共点的相似图形不是位似图形。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 位似定义判定 对应点连线共点、对应边平行 中点三角形判断位似说法 ★☆ 位似中心坐标 连对应点连线，交点即位似中心 网格中读位似中心 (4,2) ★★☆ 坐标规律·同侧 以原点为位似中心，坐标乘 k P(2,4) 放大两倍得 (4,8) ★☆ 坐标规律·异侧 异侧坐标乘 −k，两解都写 B(3,4) 放大 2 倍两解 ★★☆ 周长面积比 周长比＝位似比；面积比取平方 位似比 1∶3，周长 2 变 6 ★★☆ 位似作图 连线按比例定点，顺次连接 放大 2 倍画对应三角形 ★★☆ 命题边界：本资料所有题目与详解都严格限定在本考点及前置考点范围内——只用位似的定义与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理与平行线性质；不使用反比例函数等后续章节的方法。素材选自 2023—2026 年全国各地各级各类考试与课后作业。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：网格中判断位似图形（选择·题图）→ 位似性质判断错误结论（选择）→ 坐标放大规律（选择）→ 网格中找位似中心坐标（选择·题图）→ 位似比与对应点坐标（填空·嵌空）→ 周长比等于位似比（填空·嵌空·题图）——从定义到坐标再到比，逐级递进。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教网格位似判定（选择·题图）：位似图形对应边互相平行——逐项检验三个备选三角形的边与△ABC 的对应边是否都平行，只有△BGF 全部平行； ◆ 例 2 教坐标放大规律（选择）：以原点为位似中心放大到两倍，P(2,4) 的对应点是 (4,8) 或 (−4,−8)——两解都写出才是完整答案； ◆ 例 3 教找位似中心（选择·题图）：连接每组对应顶点，连线的交点就是位似中心，网格中读出坐标即可； ◆ 例 4 教位似比与坐标（填空·嵌空）：位似比 1∶2 指原图与新图之比，A(4,6) 的对应点坐标乘 2 或 −2，得 (8,12) 或 (−8,−12)； ◆ 例 5 教周长比（填空·嵌空·题图）：OE＝2OB 得位似比 OB∶OE＝1∶2，周长比＝位似比＝1∶2——周长跟一次，不过平方门； ◆ 例 6 教网格找位似中心与位似作图（解答·题图）：连线找中心——AA′、BB′、CC′ 三条连线交于 P(4,5)；第（2）问同侧、位似比为，即在 PA′、PB′、PC′ 上取到点 P 距离一半的点，得 A″(5,3)、B″(7,4)、C″(6,5)，顺次连接。 例 1　选择题 （2024·安顺·二模）如图，在正方形网格中，△ABC 的位似图形可以是（　　　　） A．△BDE B．△FDE C．△DGF D．△BGF 例 2　选择题 （2025·聊城·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 P(2,4) 是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（　　　　） A．(4,8) B．(4,8) 或 (−4,−8) C．(1,4) D．(1,2) 或 (−1,−2) 例 3　选择题 （2025·开封·期中）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 与△ODE 是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　　　） A．(0,0) B．(2,4) C．(5,1) D．(4,2) 例 4　填空题（嵌空） （2024·顺德区·期末）原点 O 为△ABC 与△ 的位似中心，位似比为．若点 A 的坐标为 (4,6)，则对应点 的坐标可以为________． 例 5　填空题（嵌空） （2025·张掖·期中）如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 是它们的位似中心，其中 OE＝2OB，则△ABC 与△DEF 的周长之比是________． 例 6　解答题 （2024·南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A′B′C′ 关于点 P 位似，其中顶点 A、B、C 的对应点依次为 A′、B′、C′，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心 P； （2）请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件：①△A″B″C″ 与△A′B′C′ 关于点 P 位似，且位似比为；②△A″B″C″ 与△A′B′C′ 位于点 P 的同侧． PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1—变 5 练选择五型：变 1（题图）中点三角形四说法逐一判定（面积比 4∶1 不是 2∶1）；变 2（题图）OA∶OA′＝1∶3 周长 2 变 6；变 3（题图）坐标乘 2 或 −2 两解；变 4（题图）非原点为位似中心，先由 CB∶CN 定相似比 1∶2 再算坐标；变 5 缩小到一半，坐标乘 或 −； ◆ 变 6—变 9 练填空四型（嵌空红色答案自测）：变 6 相似比 2∶1 放大，B′(6,8) 或 (−6,−8)；变 7 面积比 1∶4 开方得位似比 1∶2，A′(2,−3) 或 (−2,3)；变 8（题图）两个正方形位似，连线找交点 (2,1)；变 9 OB∶OD＝4∶6，CD∶AB＝； ◆ 变 10 练性质证明与分类计算（解答）：位似比＝AB∶A′B′＝2∶1，OC＝2OC′＝10；同侧 CC′＝OC−OC′＝5，异侧 CC′＝OC＋OC′＝15——未指明位置，两解都写。 变式 1　选择题 （2025·石家庄·阶段练习）如图，在△ABC 外取一点 O，连接 OA、OB、OC 并取它们的中点分别为 D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（　　　　） ① △ABC 与△DEF 位似；② △ABC 与△DEF 周长比为 2∶1；③ △ABC 与△DEF 面积比为 2∶1；④ △ABC 与△DEF 是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 变式 2　选择题 （2025·周口·期中）如图，以点 O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 A′B′C′D′，已知 OA∶OA′＝1∶3，若四边形 ABCD 的周长是 2，则四边形 A′B′C′D′ 的周长是（　　　　） A．4 B．6 C．16 D．18 变式 3　选择题 （2025·聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(−2,4)、B(−6,−2)，以原点 O 为位似中心，相似比为 2∶1，把△ABO 放大，则点 B 的对应点 B′ 的坐标是（　　　　） A．(−12,−4) B．(12,4) C．(−12,−4) 或 (12,4) D．(4,8) 或 (−4,−8) 变式 4　选择题 （2025·郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A 在第二象限，点 B 的坐标为 (−3,0)，点 C 的坐标为 (−1,0)，以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△MNC．若点 A 的对应点 M 的坐标为 (5,−3)，点 B 的对应点 N 的坐标为 (3,0)，则点 A 的坐标为（　　　　） A．(−5,3) B．(−5,) C．(−4,) D．(−,) 变式 5　选择题 （2024·盱眙县·校级月考）在平面直角坐标系中，已知点 A(−4,2)、B(−6,−4)，以原点 O 为位似中心，把△ABO 缩小到原来的，则点 B 的对应点 B′ 的坐标是（　　　　） A．(−12,−8) B．(−12,−8) 或 (12,8) C．(−3,−2) D．(−3,−2) 或 (3,2) 变式 6　填空题（嵌空） （2024·增城区·期末）已知 A(4,0)、B(3,4)，将△OAB 以点 O 为位似中心，相似比为 2∶1，放大得到△OA′B′，则顶点 B 的对应点 B′ 的坐标为________． 变式 7　填空题（嵌空） （2025·沈阳·期中）△ABO 三个顶点的坐标分别为 A(4,−6)、B(6,0)、O(0,0)，以原点 O 为位似中心画一个△A′B′O′，使它与△ABO 位似，且面积之比是 1∶4，则点 A 的对应点 A′ 的坐标是________． 变式 8　填空题（嵌空） （2023·南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为________． 变式 9　填空题（嵌空） （2024·崇川区·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，把△AOB 放大后得到△COD．其中，B、D 两点的坐标分别为 (4,0)、(6,0)，则 CD∶AB 的值等于________． 变式 10　解答题 （2023·全国·课后作业）已知△ABC 与△A′B′C′ 是位似图形，点 A、B、A′、B′、O 共线，点 O 为位似中心． （1）AC 与 A′C′ 平行吗？为什么？ （2）若 AB＝2A′B′，OC′＝5，求 CC′ 的长． PART 05 拔高巩固（8 题） 图形的位似——位似中心·位似比·坐标规律 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1—拔 3 练综合判定与比：拔 1（题图）等边三角形中心 O、三中点，位似比 、位似中心点 O；拔 2（题图）OC∶CF＝1∶2 化成 OC∶OF＝1∶3，周长 6 变 18；拔 3（题图）OA∶AD＝1∶2 化成 OA∶OD＝1∶3，DF＝3AC，由 DF−AC＝8 得 AC＝4、DF＝12，和为 16； ◆ 拔 4—拔 6 练填空嵌空：拔 4（题图）相似比 1∶3、OA＝2 得 OD＝6；拔 5（题图）两正方形共点 B，位似比 1∶3 定边长 2，再由 OA∶OB＝1∶3 定 B(3,0)，C(3,2)；拔 6 A′ 是 OA 中点，位似比 ，面积比 ； ◆ 拔 7—拔 8 练作图双题（解答）：拔 7（题图）y 轴左侧放大 2 倍即坐标乘 −2，A₁(−6,−2)、B₁(−4,2)，D(a,b) 的对应点 D₁(−2a,−2b)；拔 8（题图）先逆时针旋转 90°（(x,y) 变 (−y,x)），再在 x 轴下方位似放大 2 倍（坐标乘 −2）。 拔高 1　选择题 （2023·沧州·期末）如图，点 O 是等边三角形 PQR 的中心，P′、Q′、R′ 分别是 OP、OQ、OR 的中点，则△P′Q′R′ 与△PQR 是位似三角形，此时△P′Q′R′ 与△PQR 的位似比、位似中心分别是（　　　　） A．2、点 P B．、点 P C．2、点 O D．、点 O 拔高 2　选择题 （2025·全国·期中）如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，点 O 为位似中心，OC∶CF＝1∶2．若△ABC 的周长为 6，则△DEF 的周长是（　　　　） A．6 B．12 C．18 D．24 拔高 3　选择题 （2025·沈阳·期中）如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 是位似中心，若 OA∶AD＝1∶2，DF−AC＝8，则 DF＋AC 为（　　　　） A．8 B．12 C．16 D．18 拔高 4　填空题（嵌空） （2024·江西·期末）如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，相似比为 1∶3，OA＝2，则 OD 的长为________． 拔高 5　填空题（嵌空） （2025·张掖·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且位似比为．点 A、B、E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为________． 拔高 6　填空题（嵌空） （2024·景德镇·期中）四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 是位似图形，点 O 是位似中心，点 A′ 是线段 OA 的中点，则 S四边形A′B′C′D′∶S四边形ABCD＝_______． 拔高 7　解答题 （2025·西安·期中）已知 O 是坐标原点，A、B 的坐标分别为 (3,1)、(2,−1)． （1）以原点 O 为位似中心，位似比为 2∶1，在 y 轴的左侧，画出△OAB 放大后的图形△O； （2）若点 D(a,b) 在线段 OA 上，则点 D 的对应点 的坐标为________． 拔高 8　解答题 （2025·成都·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知 A(3,2)、B(0,1)、C(2,3)． （1）将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到△，请画出△； （2）以坐标原点 O 为位似中心，在 x 轴下方，画出△ABC 的位似图形△，使它与△ABC 的位似比为 2∶1． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 网格位似图形判定·选择（题图） 例 2 坐标放大两倍两解·选择 例 3 连线找位似中心·选择（题图） 例 4 位似比与对应点坐标·填空（嵌空） 例 5 周长比等于位似比·填空（嵌空·题图） 例 6 网格找位似中心与位似作图·解答（题图） 变式 1 中点三角形位似说法·选择（题图） 变式 2 位似比求周长·选择（题图） 变式 3 坐标乘 2 或 −2 两解·选择（题图） 变式 4 非原点位似中心求坐标·选择（题图） 变式 5 缩小一半坐标两解·选择 变式 6 放大两倍坐标两解·填空（嵌空） 变式 7 面积比开方求位似比·填空（嵌空） 变式 8 连线找位似中心·填空（嵌空·题图） 变式 9 相似比求对应边比·填空（嵌空） 变式 10 位似性质证明与分类计算·解答 拔高 1 等边三角形中心位似·选择（题图） 拔高 2 部分对整体化位似比·选择（题图） 拔高 3 设份法求线段和·选择（题图） 拔高 4 位似比求对应距离·填空（嵌空·题图） 拔高 5 双正方形位似求坐标·填空（嵌空·题图） 拔高 6 中点位似面积比·填空（嵌空） 拔高 7 异侧放大作图与坐标·解答（题图） 拔高 8 旋转加位似作图·解答（题图） 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：连线找中心，距离比定 k；同侧乘 k、异侧乘负 k；周长跟一次、面积过平方；坐标题不指明位置，两解都要写。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第三章 考点 6｜图形的位似 ——第 3 章〈图形的相似〉考点 6—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·图形的位似·位似中心与位似比·坐标规律·周长面积比 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，全部选自 2023—2026 年全国各地各级各类考试与课后作业（期中、期末、月考、模拟、课后作业等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；题面数值与设问未作改动；其中 16 道带图题的题图全部取自原卷原图，未作任何自绘改动； 全卷按题型分层编排：选择题 11 道、填空题 9 道（嵌空）、解答题 4 道；例题组（3 选＋2 填＋1 解）、变式组（5 选＋4 填＋1 解）、拔高组（3 选＋3 填＋2 解），每组内部按选择、填空、解答的顺序排列；四道解答题分别为例 6 网格找位似中心与位似作图题、变 10 位似性质证明与分类计算题、拔 7 坐标系位似作图题、拔 8 旋转加位似作图题； 本考点是期中卷坐标系板块的固定考点：位似的定义与判定（对应点连线交于一点、对应边互相平行）、位似中心与位似比、以原点为位似中心时的坐标变化规律（同侧坐标乘 k、异侧坐标乘 −k，凡未指明同侧异侧的都要写两解）、位似图形的周长比等于位似比、面积比等于位似比的平方——先认对应、再定 k 值、最后写坐标，是本资料的训练主线； 每题按答案、解析、详解三段式编排，详解段按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案（含红色分数式），学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； 本资料所有题目的解法都严格限定在本考点及前置考点范围内：只用位似的定义与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理与平行线性质；不使用反比例函数等后续章节的方法（命题边界见考法速览后的说明）； 本考点与第三章考点速览考点 6 对齐（★☆~★★★），四条主线：一线定义判定——对应点连线共点、对应边平行；二线位似中心与位似比——连线找交点、距离比就是位似比；三线坐标规律——同侧乘 k、异侧乘 −k；四线周长面积比——周长比跟位似比、面积比过平方门。 PART 01 本考点知识点总结（与第三章考点速览保持一致） 考点范围：位似的定义与判定（对应点连线都经过同一点、对应边互相平行、位似是特殊的相似）；位似中心与位似比（连对应点连线找交点、位似比等于对应顶点到位似中心的距离之比）；以原点为位似中心的坐标变化规律（同侧坐标乘 k、异侧坐标乘 −k，未指明位置时两解）；位似图形的周长比与面积比（周长比等于位似比、面积比等于位似比的平方）。 一、位似定义与判定——先看相似，再看共点 ◆ 位似的定义：两个相似图形如果每组对应点的连线都经过同一个点，这两个图形就是位似图形，这个公共点叫位似中心——位似是特殊的相似：先满足相似，再满足对应点连线共点；只相似而对应点连线不共点的，不是位似图形。 ◆ 判定三步走：一看对应边是否互相平行（位似图形对应边平行，方向一致）；二看每组对应点的连线是否交于同一点（中点三角形型题目：D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，对应点连线都经过 O，必是位似）；三看对应顶点是否按同一顺序排列——三步都对，才能下位似的结论。 二、位似中心与位似比——连线找交点，距离比定 k ◆ 找位似中心：连接每组对应顶点，各组连线的交点就是位似中心——网格类题目先找准对应顶点（对应边平行的顶点才是一对），再连线读坐标；位似中心可能在两个图形之间、同侧，甚至落在图形内部，位置由连线交点唯一确定，不能凭感觉猜。 ◆ 位似比的确定：位似比＝对应顶点到位似中心的距离之比，也等于对应边的比——已知 OA∶OD＝1∶3，位似比就是 1∶3；注意分清“谁比谁”：OA∶AD＝1∶2 时要先化成 OA∶OD＝1∶3（OD＝OA＋AD），再得位似比，直接把 1∶2 当位似比是高频错误。 三、坐标规律——同侧乘 k，异侧乘 −k ◆ 同侧规律：以原点 O 为位似中心、位似比为 k 时，对应点坐标变为原来的 k 倍——点 (x,y) 的对应点是 (kx,ky)；放大 2 倍即 (2x,2y)，缩小为原来的一半即乘 ；坐标的变化与图形放大缩小方向一致，先定 k 再动坐标。 位似中心·位似比·坐标规律速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 位似定义 对应点连线都经过同一点；对应边互相平行 D、E、F 是 OA、OB、OC 中点，△DEF 与△ABC 位似 只看相似、漏看共点 位似中心 连接每组对应点，连线的交点即位似中心 网格中两组对应顶点连线交于 (4,2) 把图形内部交点当位似中心 位似比 位似比＝对应顶点到位似中心的距离之比 OA∶OD＝1∶3，位似比 1∶3 位似比与面积比混淆 坐标规律·同侧 以原点为位似中心、位似比为 k，对应点坐标乘 k (4,6) 放大 2 倍得 (8,12) 放大缩小方向弄反 坐标规律·异侧 异侧时对应点坐标乘 −k，答案有两解 B(3,4) 放大 2 倍得 (6,8) 或 (−6,−8) 漏掉异侧一解 周长面积比 周长比＝位似比；面积比＝位似比的平方 位似比 1∶3，周长 2 变 6、面积 2 变 18 面积比忘记平方 ◆ 异侧两解：位似图形与原图形位于原点两侧时，对应点坐标乘 −k——点 (x,y) 的对应点是 (−kx,−ky)；题目未指明同侧或异侧时，两解都要写：(3,4) 放大 2 倍的对应点是 (6,8) 或 (−6,−8)——只写一解就丢一半分，这是坐标类填空的最大失分点。 四、周长面积比——位似比的一次与平方 ◆ 周长比等于位似比：位似图形的周长比等于位似比——位似比 1∶3、原图形周长 2，新图形周长就是 6；由周长比反求位似比再反求坐标比例，是选择填空的常见链路，全程只用一次比，不过平方门。 ◆ 面积比等于位似比的平方：位似图形的面积比等于位似比的平方——位似比 1∶3 的面积比是 1∶9；给面积比反求位似比要开方：面积比 1∶4 开方得位似比 1∶2，再用到坐标上；“周长走一次、面积过平方”两道门不能走错。 ◆ 非原点为位似中心的坐标题：位似中心不是原点时坐标规律不能直接套——先由对应点连线确定位似中心，再用相似比与方向（同侧、异侧）分线段计算；这类题以网格为背景，画准连线、读准格点是第一动作。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 图形的位似是第三章的收口考点：上承考点 4、考点 5 的相似判定与性质，把“相似”落到坐标系里可操作的坐标变化上——位似定义与判定、位似中心与位似比、以原点为位似中心的坐标规律、周长比与面积比，是期中卷选择填空的固定板块，多数题目两步以内可解，属于必须拿满分的板块； 坐标规律是全考点的心脏：同侧乘 k、异侧乘负 k——凡未指明同侧异侧的对应点坐标题，两解都要写；位似比既管坐标缩放倍数、又管周长比、再过平方门管面积比，“先认对应、再定 k 值、最后写两解”是第一习惯。 答题方法（三步法） 第一步·认对应：由对应边平行、对应顶点连线经过位似中心来确定对应关系——网格题先画连线再读坐标，字母顺序错一对，后面全错； 第二步·定 k 值：位似比＝对应顶点到位似中心的距离之比＝对应边的比——遇 OA∶AD 型条件先化成 OA∶OD（OD＝OA＋AD）再定 k；放大取 k 大于 1、缩小取 k 小于 1，方向不能反； 第三步·写答案：坐标题按同侧 (kx,ky)、异侧 (−kx,−ky) 各写一解；周长比照抄位似比、面积比取平方；分类讨论题检验两种位置是否都取到。 注意事项（易错警示） 异侧解漏写是最大失分点：只要题目没有指明位似图形在原图形的哪一侧，对应点坐标就必须写出 (kx,ky) 与 (−kx,−ky) 两解——只写同侧一解，一半分直接丢掉； 位似比方向弄反是第二失分点：位似比＝对应顶点到位似中心的距离之比，OA∶OA′＝1∶3 表示新图形是原图形的 3 倍；把 1∶3 理解成缩小、坐标乘 ，方向全错；面积比忘记平方、周长比误开方，与考点 5 同源，跨“一次世界”与“平方世界”必须过对应的那道门； 非原点为位似中心时不能套坐标规律：先连对应点连线确定位似中心，再按线段比例计算；判断位似别只看相似——对应点连线不共点的相似图形不是位似图形。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 位似定义判定 对应点连线共点、对应边平行 中点三角形判断位似说法 ★☆ 位似中心坐标 连对应点连线，交点即位似中心 网格中读位似中心 (4,2) ★★☆ 坐标规律·同侧 以原点为位似中心，坐标乘 k P(2,4) 放大两倍得 (4,8) ★☆ 坐标规律·异侧 异侧坐标乘 −k，两解都写 B(3,4) 放大 2 倍两解 ★★☆ 周长面积比 周长比＝位似比；面积比取平方 位似比 1∶3，周长 2 变 6 ★★☆ 位似作图 连线按比例定点，顺次连接 放大 2 倍画对应三角形 ★★☆ 命题边界：本资料所有题目与详解都严格限定在本考点及前置考点范围内——只用位似的定义与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理与平行线性质；不使用反比例函数等后续章节的方法。素材选自 2023—2026 年全国各地各级各类考试与课后作业。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：网格中判断位似图形（选择·题图）→ 位似性质判断错误结论（选择）→ 坐标放大规律（选择）→ 网格中找位似中心坐标（选择·题图）→ 位似比与对应点坐标（填空·嵌空）→ 周长比等于位似比（填空·嵌空·题图）——从定义到坐标再到比，逐级递进。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教网格位似判定（选择·题图）：位似图形对应边互相平行——逐项检验三个备选三角形的边与△ABC 的对应边是否都平行，只有△BGF 全部平行； ◆ 例 2 教坐标放大规律（选择）：以原点为位似中心放大到两倍，P(2,4) 的对应点是 (4,8) 或 (−4,−8)——两解都写出才是完整答案； ◆ 例 3 教找位似中心（选择·题图）：连接每组对应顶点，连线的交点就是位似中心，网格中读出坐标即可； ◆ 例 4 教位似比与坐标（填空·嵌空）：位似比 1∶2 指原图与新图之比，A(4,6) 的对应点坐标乘 2 或 −2，得 (8,12) 或 (−8,−12)； ◆ 例 5 教周长比（填空·嵌空·题图）：OE＝2OB 得位似比 OB∶OE＝1∶2，周长比＝位似比＝1∶2——周长跟一次，不过平方门； ◆ 例 6 教网格找位似中心与位似作图（解答·题图）：连线找中心——AA′、BB′、CC′ 三条连线交于 P(4,5)；第（2）问同侧、位似比为，即在 PA′、PB′、PC′ 上取到点 P 距离一半的点，得 A″(5,3)、B″(7,4)、C″(6,5)，顺次连接。 例 1　选择题 （2024·安顺·二模）如图，在正方形网格中，△ABC 的位似图形可以是（　　　　） A．△BDE B．△FDE C．△DGF D．△BGF 【答案】D 【解析】位似图形的对应边互相平行——逐项检验备选三角形与△ABC 的对应边是否都平行：只有△BGF 的三边与△ABC 的对应边分别平行，且对应顶点的连线交于同一点，是△ABC 的位似图形。 【详解】解：∵ 位似图形的对应边互相平行， 逐一检验：△BDE、△FDE、△DGF 与△ABC 的对应边不都平行； △BGF 的三边与△ABC 的对应边分别平行，对应顶点的连线共点； ∴ △ABC 的位似图形可以是△BGF； 故选 D。 例 2　选择题 （2025·聊城·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 P(2,4) 是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（　　　　） A．(4,8) B．(4,8) 或 (−4,−8) C．(1,4) D．(1,2) 或 (−1,−2) 【答案】B 【解析】放大到原来的两倍即坐标乘 2（同侧）或乘 −2（异侧）：P(2,4) 的对应点是 (4,8) 或 (−4,−8)——两解都写才是完整答案；误选 D 是把放大两倍错当成缩小一半。 【详解】解：∵ 以原点 O 为位似中心放大到原来的两倍， ∴ 位似比 k＝2； 同侧：对应点坐标为 (2×2, 4×2)＝(4,8)； 异侧：对应点坐标为 (2×(−2), 4×(−2))＝(−4,−8)； 故选 B。 例 3　选择题 （2025·开封·期中）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 与△ODE 是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　　　） A．(0,0) B．(2,4) C．(5,1) D．(4,2) 【答案】D 【解析】找位似中心的基本动作是连线：连接每组对应顶点，各组连线的交点就是位似中心；网格中读出交点坐标为 (4,2)。 【详解】解：连接各组对应顶点，作出连线； 各组对应顶点的连线交于同一点，该点即位似中心； 由网格读出交点坐标为 (4,2)； 故选 D。 例 4　填空题（嵌空） （2024·顺德区·期末）原点 O 为△ABC 与△ 的位似中心，位似比为．若点 A 的坐标为 (4,6)，则对应点 的坐标可以为____(8,12) 或 (−8,−12)____． 【答案】(8,12) 或 (−8,−12) 【解析】位似比为是△ABC 与新图形之比——新图形是原图形的 2 倍，对应点坐标乘 2（同侧）或乘 −2（异侧）：(4×2, 6×2)＝(8,12)，(4×(−2), 6×(−2))＝(−8,−12)。 【详解】解：∵ 位似比为，原点 O 为位似中心， ∴ 新图形是原图形的 2 倍； 同侧：(4×2, 6×2)＝(8,12)； 异侧：(4×(−2), 6×(−2))＝(−8,−12)； 故答案为 (8,12) 或 (−8,−12)。 例 5　填空题（嵌空） （2025·张掖·期中）如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 是它们的位似中心，其中 OE＝2OB，则△ABC 与△DEF 的周长之比是____1∶2____． 【答案】1∶2 【解析】OE＝2OB 得 OB∶OE＝1∶2，这就是位似比；周长比等于位似比，不过平方门——周长之比就是 1∶2。 【详解】解：∵ OE＝2OB， ∴ OB∶OE＝1∶2，位似比＝1∶2； ∵ 位似图形的周长比等于位似比， ∴ △ABC 与△DEF 的周长之比＝1∶2； 故答案为 1∶2。 例 6　解答题 （2024·南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A′B′C′ 关于点 P 位似，其中顶点 A、B、C 的对应点依次为 A′、B′、C′，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心 P； （2）请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件：①△A″B″C″ 与△A′B′C′ 关于点 P 位似，且位似比为；②△A″B″C″ 与△A′B′C′ 位于点 P 的同侧． 【答案】（1）位似中心 P(4,5)，画图见详解； （2）A″(5,3)、B″(7,4)、C″(6,5)，顺次连接得△A″B″C″，画图见详解． 【解析】第（1）问用位似的定义找中心：位似图形的每组对应顶点的连线都经过位似中心，所以连接 AA′、BB′、CC′，三条连线的交点就是位似中心 P；第（2）问用位似比定点：位似比为且同侧，说明 A″、B″、C″ 分别在射线 PA′、PB′、PC′ 上，且到点 P 的距离都缩短为原来的一半——在网格中逐点定位后顺次连接． 【详解】（1）解：连接 AA′、BB′、CC′，三条连线相交于一点； ∵ 位似图形的每组对应顶点的连线都经过位似中心， ∴ 三条连线的交点就是位似中心 P，由网格读出 P(4,5)； （2）解：∵ △A″B″C″ 与△A′B′C′ 关于点 P 位似，位似比为，且位于点 P 的同侧， ∴ A″、B″、C″ 分别在射线 PA′、PB′、PC′ 上， 且 PA″＝PA′，PB″＝PB′，PC″＝PC′； 由网格逐点定位，得 A″(5,3)、B″(7,4)、C″(6,5)； 顺次连接 A″、B″、C″，则△A″B″C″ 即为所求． PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1—变 5 练选择五型：变 1（题图）中点三角形四说法逐一判定（面积比 4∶1 不是 2∶1）；变 2（题图）OA∶OA′＝1∶3 周长 2 变 6；变 3（题图）坐标乘 2 或 −2 两解；变 4（题图）非原点为位似中心，先由 CB∶CN 定相似比 1∶2 再算坐标；变 5 缩小到一半，坐标乘 或 −； ◆ 变 6—变 9 练填空四型（嵌空红色答案自测）：变 6 相似比 2∶1 放大，B′(6,8) 或 (−6,−8)；变 7 面积比 1∶4 开方得位似比 1∶2，A′(2,−3) 或 (−2,3)；变 8（题图）两个正方形位似，连线找交点 (2,1)；变 9 OB∶OD＝4∶6，CD∶AB＝； ◆ 变 10 练性质证明与分类计算（解答）：位似比＝AB∶A′B′＝2∶1，OC＝2OC′＝10；同侧 CC′＝OC−OC′＝5，异侧 CC′＝OC＋OC′＝15——未指明位置，两解都写。 变式 1　选择题 （2025·石家庄·阶段练习）如图，在△ABC 外取一点 O，连接 OA、OB、OC 并取它们的中点分别为 D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（　　　　） ① △ABC 与△DEF 位似；② △ABC 与△DEF 周长比为 2∶1；③ △ABC 与△DEF 面积比为 2∶1；④ △ABC 与△DEF 是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，对应点连线都经过点 O，是位似图形（①对）；位似比＝OA∶OD＝2，周长比 2∶1（②对）、面积比过平方门是 4∶1 而不是 2∶1（③错）；位似是特殊的相似（④对）——共 3 个说法正确。 【详解】解：∵ D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点， ∴ OD∶OA＝OE∶OB＝OF∶OC＝1∶2，对应点连线都经过点 O； ∴ ① △ABC 与△DEF 位似，正确；位似比＝2； ② 周长比＝位似比＝2∶1，正确； ③ 面积比＝＝4∶1，不是 2∶1，错误； ④ 位似是特殊的相似，正确； 正确的是①②④共 3 个，故选 C。 变式 2　选择题 （2025·周口·期中）如图，以点 O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 A′B′C′D′，已知 OA∶OA′＝1∶3，若四边形 ABCD 的周长是 2，则四边形 A′B′C′D′ 的周长是（　　　　） A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】B 【解析】OA∶OA′＝1∶3 就是位似比 1∶3——新图形是原图形的 3 倍；周长比等于位似比，2×3＝6。误选 C、D 是把面积比的平方算进了周长。 【详解】解：∵ OA∶OA′＝1∶3， ∴ 位似比＝1∶3，四边形 A′B′C′D′ 是四边形 ABCD 的 3 倍； ∵ 位似图形的周长比等于位似比， ∴ 四边形 A′B′C′D′ 的周长＝2×3＝6； 故选 B。 变式 3　选择题 （2025·聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(−2,4)、B(−6,−2)，以原点 O 为位似中心，相似比为 2∶1，把△ABO 放大，则点 B 的对应点 B′ 的坐标是（　　　　） A．(−12,−4) B．(12,4) C．(−12,−4) 或 (12,4) D．(4,8) 或 (−4,−8) 【答案】C 【解析】相似比 2∶1 放大即坐标乘 2（同侧）或乘 −2（异侧）：B(−6,−2) 的对应点为 (−12,−4) 或 (12,4)。 【详解】解：∵ 以原点 O 为位似中心，相似比为 2∶1 放大， ∴ 点 B 的对应点坐标为 B(−6,−2) 的横纵坐标各乘 2 或 −2； 同侧：(−6×2, −2×2)＝(−12,−4)； 异侧：(−6×(−2), −2×(−2))＝(12,4)； 故选 C。 变式 4　选择题 （2025·郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A 在第二象限，点 B 的坐标为 (−3,0)，点 C 的坐标为 (−1,0)，以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△MNC．若点 A 的对应点 M 的坐标为 (5,−3)，点 B 的对应点 N 的坐标为 (3,0)，则点 A 的坐标为（　　　　） A．(−5,3) B．(−5,) C．(−4,) D．(−,) 【答案】C 【解析】位似中心不是原点，坐标规律不能直接套——先由对应点 B、N 到点 C 的距离求位似比：CB＝2，CN＝4，位似比＝CB∶CN＝1∶2；再按“方向相反、长度减半”由 CM 反求 CA：CM＝(6,−3)，CA＝(−3,)，A＝C＋CA＝(−4,)。 【详解】解：∵ B(−3,0)，C(−1,0)，N(3,0)， ∴ CB＝(−1)−(−3)＝2，CN＝3−(−1)＝4； ∴ 位似比＝CB∶CN＝2∶4＝1∶2； ∵ M(5,−3) 在 x 轴下方，A 在第二象限，A 与 M 位于点 C 两侧（异侧）， ∴ CA＝CM，方向相反，长度减半； CM＝(5−(−1), −3−0)＝(6,−3)， CA＝(6×(−), (−3)×(−))＝(−3,)， A＝C＋CA＝(−1,0)＋(−3,)＝(−4,)； 故选 C。 变式 5　选择题 （2024·盱眙县·校级月考）在平面直角坐标系中，已知点 A(−4,2)、B(−6,−4)，以原点 O 为位似中心，把△ABO 缩小到原来的，则点 B 的对应点 B′ 的坐标是（　　　　） A．(−12,−8) B．(−12,−8) 或 (12,8) C．(−3,−2) D．(−3,−2) 或 (3,2) 【答案】D 【解析】缩小到原来的即坐标乘（同侧）或乘 −（异侧）：B(−6,−4) 的对应点为 (−3,−2) 或 (3,2)。误选 A、B 是把缩小错当成放大乘 2。 【详解】解：∵ 以原点 O 为位似中心，缩小到原来的， 同侧：B′(−6×, −4×)＝(−3,−2)； 异侧：B′(−6×(−), −4×(−))＝(3,2)； ∴ 点 B 的对应点 B′ 的坐标是 (−3,−2) 或 (3,2)； 故选 D。 变式 6　填空题（嵌空） （2024·增城区·期末）已知 A(4,0)、B(3,4)，将△OAB 以点 O 为位似中心，相似比为 2∶1，放大得到△OA′B′，则顶点 B 的对应点 B′ 的坐标为____(6,8) 或 (−6,−8)____． 【答案】(6,8) 或 (−6,−8) 【解析】以原点 O 为位似中心放大 2 倍，对应点坐标乘 2（同侧）或乘 −2（异侧）：B(3,4)→(6,8) 或 (−6,−8)——题目未指明在哪一侧，两解都要写。 【详解】解：∵ 相似比为 2∶1 放大，位似中心是原点 O， 同侧：B′(3×2, 4×2)＝(6,8)； 异侧：B′(3×(−2), 4×(−2))＝(−6,−8)； 故答案为 (6,8) 或 (−6,−8)。 变式 7　填空题（嵌空） （2025·沈阳·期中）△ABO 三个顶点的坐标分别为 A(4,−6)、B(6,0)、O(0,0)，以原点 O 为位似中心画一个△A′B′O′，使它与△ABO 位似，且面积之比是 1∶4，则点 A 的对应点 A′ 的坐标是____(2,−3) 或 (−2,3)____． 【答案】(2,−3) 或 (−2,3) 【解析】面积比在“平方世界”、坐标在“一次世界”——由面积比 1∶4 开方得位似比 1∶2；点 A(4,−6) 的对应点坐标乘 或 −，得 (2,−3) 或 (−2,3)。 【详解】解：∵ △A′B′O′ 与△ABO 的面积之比是 1∶4， ∴ 位似比＝（面积比开方）； 同侧：A′(4×, −6×)＝(2,−3)； 异侧：A′(4×(−), −6×(−))＝(−2,3)； 故答案为 (2,−3) 或 (−2,3)。 变式 8　填空题（嵌空） （2023·南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为____(2,1)____． 【答案】(2,1) 【解析】位似中心由连线确定：连接两组对应顶点，交点即位似中心——阴影两个正方形对应顶点的连线交于 (2,1)，且该点在两个正方形之间，符合题意。 【详解】解：连接两个正方形的对应顶点，得两组连线； 两组对应顶点的连线相交于同一点，该点即位似中心； 由网格读出该点坐标为 (2,1)； 该点在两个正方形之间，与题意相符； 故答案为 (2,1)。 变式 9　填空题（嵌空） （2024·崇川区·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，把△AOB 放大后得到△COD．其中，B、D 两点的坐标分别为 (4,0)、(6,0)，则 CD∶AB 的值等于________． 【答案】 【解析】B(4,0)、D(6,0) 都在 x 轴上——OB＝4，OD＝6，相似比＝OB∶OD＝4∶6＝2∶3；对应边 CD∶AB 等于相似比，即。 【详解】解：∵ B(4,0)、D(6,0)， ∴ OB＝4，OD＝6； ∴ 相似比＝OB∶OD＝4∶6＝2∶3； ∵ △COD 是△AOB 放大后得到的，对应边的比等于相似比； ∴ CD∶AB＝； 故答案为。 变式 10　解答题 （2023·全国·课后作业）已知△ABC 与△A′B′C′ 是位似图形，点 A、B、A′、B′、O 共线，点 O 为位似中心． （1）AC 与 A′C′ 平行吗？为什么？ （2）若 AB＝2A′B′，OC′＝5，求 CC′ 的长． 【答案】（1）平行，理由见详解；（2）CC′＝5（C、C′ 在点 O 同侧）或 CC′＝15（异侧）． 【解析】第（1）问由 AB＝2A′B′ 知位似比为 2∶1（△ABC 与△A′B′C′ 之比），于是 OA＝2OA′、OC＝2OC′，OA∶OA′＝OC∶OC′＝2；又 OA 与 OA′、OC 与 OC′ 分别共线，得∠AOC＝∠A′OC′，两边成比例且夹角相等得△OAC∽△OA′C′，由对应角相等推出 AC∥A′C′．第（2）问先由位似比算 OC＝2OC′＝10；题面未指明 C、C′ 在点 O 的哪一侧——同侧相减、异侧相加，两解都要写． 【详解】（1）解：平行．理由如下： ∵ △ABC 与△A′B′C′ 位似，AB＝2A′B′， ∴ 位似比＝2∶1，OA＝2OA′，OC＝2OC′，即 OA∶OA′＝OC∶OC′＝2； ∵ OA 与 OA′ 共线，OC 与 OC′ 共线，∴ ∠AOC＝∠A′OC′； 在△OAC 与△OA′C′ 中，OA∶OA′＝OC∶OC′，∠AOC＝∠A′OC′， ∴ △OAC∽△OA′C′（两边成比例且夹角相等）， ∴ ∠OAC＝∠OA′C′，∴ AC∥A′C′（内错角相等，两直线平行）； （2）解：∵ 位似比为 2∶1，OC′＝5，∴ OC＝2OC′＝10； 当 C、C′ 在点 O 同侧时，CC′＝OC−OC′＝10−5＝5； 当 C、C′ 在点 O 异侧时，CC′＝OC＋OC′＝10＋5＝15； ∴ CC′＝5 或 15． PART 05 拔高巩固（8 题） 图形的位似——位似中心·位似比·坐标规律 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1—拔 3 练综合判定与比：拔 1（题图）等边三角形中心 O、三中点，位似比 、位似中心点 O；拔 2（题图）OC∶CF＝1∶2 化成 OC∶OF＝1∶3，周长 6 变 18；拔 3（题图）OA∶AD＝1∶2 化成 OA∶OD＝1∶3，DF＝3AC，由 DF−AC＝8 得 AC＝4、DF＝12，和为 16； ◆ 拔 4—拔 6 练填空嵌空：拔 4（题图）相似比 1∶3、OA＝2 得 OD＝6；拔 5（题图）两正方形共点 B，位似比 1∶3 定边长 2，再由 OA∶OB＝1∶3 定 B(3,0)，C(3,2)；拔 6 A′ 是 OA 中点，位似比 ，面积比 ； ◆ 拔 7—拔 8 练作图双题（解答）：拔 7（题图）y 轴左侧放大 2 倍即坐标乘 −2，A₁(−6,−2)、B₁(−4,2)，D(a,b) 的对应点 D₁(−2a,−2b)；拔 8（题图）先逆时针旋转 90°（(x,y) 变 (−y,x)），再在 x 轴下方位似放大 2 倍（坐标乘 −2）。 拔高 1　选择题 （2023·沧州·期末）如图，点 O 是等边三角形 PQR 的中心，P′、Q′、R′ 分别是 OP、OQ、OR 的中点，则△P′Q′R′ 与△PQR 是位似三角形，此时△P′Q′R′ 与△PQR 的位似比、位似中心分别是（　　　　） A．2、点 P B．、点 P C．2、点 O D．、点 O 【答案】D 【解析】P′、Q′、R′ 分别是 OP、OQ、OR 的中点——对应点连线都经过点 O，位似中心是点 O；OP′∶OP＝1∶2，位似比（新图形与原图形之比）是。 【详解】解：∵ P′、Q′、R′ 分别是 OP、OQ、OR 的中点， ∴ OP′∶OP＝OQ′∶OQ＝OR′∶OR＝1∶2； 对应点连线 PP′、QQ′、RR′ 都经过点 O； ∴ 位似中心是点 O，位似比＝OP′∶OP＝； 故选 D。 拔高 2　选择题 （2025·全国·期中）如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，点 O 为位似中心，OC∶CF＝1∶2．若△ABC 的周长为 6，则△DEF 的周长是（　　　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【解析】OC∶CF＝1∶2 是“部分对部分”，先化成“部分对整体”：OF＝OC＋CF，OC∶OF＝1∶3——这才是位似比；周长比等于位似比，6×3＝18。直接用 1∶2 得 12 是最常见错误。 【详解】解：∵ OC∶CF＝1∶2， ∴ 设 OC＝1 份，则 CF＝2 份，OF＝OC＋CF＝3 份； ∴ 位似比＝OC∶OF＝1∶3； ∵ 位似图形的周长比等于位似比， ∴ △DEF 的周长＝6×3＝18； 故选 C。 拔高 3　选择题 （2025·沈阳·期中）如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 是位似中心，若 OA∶AD＝1∶2，DF−AC＝8，则 DF＋AC 为（　　　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【解析】OA∶AD＝1∶2 同样要先化成部分对整体：OD＝OA＋AD，OA∶OD＝1∶3——AC 与 DF 是对应边，DF＝3AC；由 DF−AC＝8 得 2AC＝8，AC＝4、DF＝12，DF＋AC＝16。 【详解】解：∵ OA∶AD＝1∶2， ∴ 设 OA＝1，则 AD＝2，OD＝OA＋AD＝3，OA∶OD＝1∶3； ∴ 位似比＝OA∶OD＝1∶3，DF＝3AC； ∵ DF−AC＝8，即 3AC−AC＝2AC＝8， ∴ AC＝4，DF＝12； ∴ DF＋AC＝12＋4＝16； 故选 C。 拔高 4　填空题（嵌空） （2024·江西·期末）如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，相似比为 1∶3，OA＝2，则 OD 的长为____6____． 【答案】6 【解析】相似比 1∶3 就是位似比，也是对应顶点到位似中心的距离之比：OA∶OD＝1∶3；OA＝2，则 OD＝2×3＝6。 【详解】解：∵ △ABC 与△DEF 位似，相似比为 1∶3， ∴ OA∶OD＝1∶3（对应顶点到中心的距离比等于位似比）； ∵ OA＝2， ∴ OD＝2×3＝6； 故答案为 6。 拔高 5　填空题（嵌空） （2025·张掖·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且位似比为．点 A、B、E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为____(3,2)____． 【答案】(3,2) 【解析】位似比指正方形 ABCD 与 BEFG 之比——对应点 A 与 B、B 与 E 的连线都过原点 O：OA∶OB＝OB∶OE＝1∶3。设 OA＝t，则 OB＝3t、OE＝9t，AB＝OB−OA＝2t，BE＝OE−OB＝6t＝6 得 t＝1——A(1,0)、B(3,0)，正方形 ABCD 的边长为 2，C(3,2)。 【详解】解：∵ 正方形 ABCD 与正方形 BEFG 位似，位似比为，位似中心是原点 O， ∴ OA∶OB＝OB∶OE＝1∶3； 设 OA＝t，则 OB＝3t，OE＝9t； AB＝OB−OA＝2t，BE＝OE−OB＝6t； ∵ 正方形 BEFG 的边长 BE＝6，∴ 6t＝6，t＝1； ∴ B(3,0)，AB＝2，正方形 ABCD 在 x 轴上方，C(3,2)； 故答案为 (3,2)。 拔高 6　填空题（嵌空） （2024·景德镇·期中）四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 是位似图形，点 O 是位似中心，点 A′ 是线段 OA 的中点，则 S四边形A′B′C′D′∶S四边形ABCD＝________． 【答案】 【解析】点 A′ 是线段 OA 的中点——OA′∶OA＝1∶2，这就是新图形与原图形的位似比；面积比过平方门：＝。 【详解】解：∵ 点 A′ 是线段 OA 的中点， ∴ OA′∶OA＝1∶2，位似比＝1∶2； ∵ 面积比等于位似比的平方， ∴ S四边形A′B′C′D′∶S四边形ABCD＝＝； 故答案为。 拔高 7　解答题 （2025·西安·期中）已知 O 是坐标原点，A、B 的坐标分别为 (3,1)、(2,−1)． （1）以原点 O 为位似中心，位似比为 2∶1，在 y 轴的左侧，画出△OAB 放大后的图形△O； （2）若点 D(a,b) 在线段 OA 上，则点 D 的对应点 的坐标为____(−2a,−2b)____． 【答案】（1）画图见详解，(−6,−2)、(−4,2)；（2）(−2a,−2b) 【解析】“在 y 轴的左侧”即对应点与原图形位于原点两侧（异侧）——坐标乘 −2：A(3,1)→(−6,−2)，B(2,−1)→(−4,2)；顺次连接 O、、 即得放大后的图形。D(a,b) 同样乘 −2 得 (−2a,−2b)。 【详解】解：（1）∵ 位似中心是原点 O，位似比为 2∶1，且新图形在 y 轴左侧（异侧）， ∴ 对应点坐标＝原坐标乘 −2； (3×(−2), 1×(−2))＝(−6,−2)； (2×(−2), (−1)×(−2))＝(−4,2)； 顺次连接 O、、，△O 即为所求； （2）∵ 点 D(a,b) 在线段 OA 上，位似比与方向同（1）， ∴ (a×(−2), b×(−2))＝(−2a,−2b)。 拔高 8　解答题 （2025·成都·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知 A(3,2)、B(0,1)、C(2,3)． （1）将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到△，请画出△； （2）以坐标原点 O 为位似中心，在 x 轴下方，画出△ABC 的位似图形△，使它与△ABC 的位似比为 2∶1． 【答案】（1）画图见详解，(−2,3)、(−1,0)、(−3,2)；（2）画图见详解，(−6,−4)、(0,−2)、(−4,−6) 【解析】（1）绕原点逆时针旋转 90°，坐标变化规律是 (x,y)→(−y,x)；（2）“在 x 轴下方”即位于原点异侧，位似比 2∶1 即坐标乘 −2：(x,y)→(−2x,−2y)。 【详解】解：（1）∵ 绕点 O 逆时针旋转 90°， ∴ 坐标变化为 (x,y)→(−y,x)； (−2,3)，(−1,0)，(−3,2)； 顺次连接、、，即为所求； （2）∵ 位似中心是原点，新图形在 x 轴下方（异侧），位似比为 2∶1， ∴ 坐标变化为 (x,y)→(−2x,−2y)； (−6,−4)，(0,−2)，(−4,−6)； 顺次连接、、，即为所求。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 网格位似图形判定·选择（题图） 例 2 坐标放大两倍两解·选择 例 3 连线找位似中心·选择（题图） 例 4 位似比与对应点坐标·填空（嵌空） 例 5 周长比等于位似比·填空（嵌空·题图） 例 6 网格找位似中心与位似作图·解答（题图） 变式 1 中点三角形位似说法·选择（题图） 变式 2 位似比求周长·选择（题图） 变式 3 坐标乘 2 或 −2 两解·选择（题图） 变式 4 非原点位似中心求坐标·选择（题图） 变式 5 缩小一半坐标两解·选择 变式 6 放大两倍坐标两解·填空（嵌空） 变式 7 面积比开方求位似比·填空（嵌空） 变式 8 连线找位似中心·填空（嵌空·题图） 变式 9 相似比求对应边比·填空（嵌空） 变式 10 位似性质证明与分类计算·解答 拔高 1 等边三角形中心位似·选择（题图） 拔高 2 部分对整体化位似比·选择（题图） 拔高 3 设份法求线段和·选择（题图） 拔高 4 位似比求对应距离·填空（嵌空·题图） 拔高 5 双正方形位似求坐标·填空（嵌空·题图） 拔高 6 中点位似面积比·填空（嵌空） 拔高 7 异侧放大作图与坐标·解答（题图） 拔高 8 旋转加位似作图·解答（题图） 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：连线找中心，距离比定 k；同侧乘 k、异侧乘负 k；周长跟一次、面积过平方；坐标题不指明位置，两解都要写。 1 学科网（北京）股份有限公司 $