第二十八章 旋转 单元复习讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十八章《旋转》五星版单元复习讲义 人教版（2026）九年级数学上册 · 第二十八章 旋转（约8课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用三层进阶 含：综合与实践项目 · 月考加油站 · 上好复习课 · AI辅助学习 · 完整答案解析 项目 内容 单元范围 28.1 图形的旋转（概念、三要素、性质）；28.2 中心对称与中心对称图形；28.3 关于原点对称的点的坐标；28.4 图案设计 核心素养 空间观念、几何直观、抽象能力、应用意识 本单元不涉及 其他图形变换（属后续学习内容）；复杂旋转网格作图仅作基础要求 课标对接 “图形与几何”领域“图形的变化”板块；“综合与实践”领域项目式学习（旋转之美），见第四部分 单元知识导航 本单元的知识主线：认识旋转的概念与三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）→掌握旋转的性质（对应点等距、旋转角相等、图形全等）→理解中心对称与中心对称图形的区别与联系→掌握“关于原点对称”的坐标规律→综合运用平移、旋转、轴对称设计图案。关键方法是“对应点分析法”：旋转前后，任何一点都能找到对应点，对应点与旋转中心的连线段长度相等、夹角等于旋转角。 知识网络图 图1　第二十八章《旋转》知识网络 知识清单速记 概念 要点 易错提醒 旋转 把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换；三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 旋转不改变图形形状和大小（全等） 旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等 旋转角是“对应点与中心连线”的夹角，不是任意角 中心对称 一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合；对称点连线经过对称中心且被其平分 中心对称是“两个图形”的关系 中心对称图形 一个图形绕某一点旋转180°后与自身重合；如平行四边形、矩形、偶数边正多边形 与轴对称图形区分：旋转180°而非对折 关于原点对称 点(x,y)关于原点的对称点是(-x,-y) 横纵坐标符号都变 图案设计 用平移、旋转、轴对称三种变换组合设计图案 审清“旋转中心、方向、角度”三个条件 一、基础巩固（概念过关） A1（选择·★）下列运动中，属于旋转的是（　） A．钟表指针的转动　B．电梯的升降　C．汽车在笔直公路上行驶　D．传送带输送货物 A2（填空·★）旋转的三要素是（　）、（　）、（　）。 A3（选择·★）下列图形中，是中心对称图形的是（　） A．等边三角形　B．平行四边形　C．等腰梯形　D．正五边形 A4（填空·★）点(2,-3)关于原点对称的点的坐标是（　）。 A5（选择·★）△ABC绕点O旋转后得到△A′B′C′，下列说法错误的是（　） A．OA=OA′　B．∠AOA′=∠BOB′　C．AB=A′B′　D．旋转角等于∠ABC A6（填空·★）正方形绕它的中心旋转，能与自身重合的最小旋转角是（　）度。 A7（填空·★）等边三角形绕它的中心旋转，能与自身重合的最小旋转角是（　）度。 A8（选择·★）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A．等腰三角形　B．正方形　C．直角三角形　D．正三角形 A9（填空·★）△ABC绕点O顺时针旋转后，点A的对应点是A′。若∠AOA′=50°，则旋转角为（　）度。 A10（选择·★）点P(3,-4)关于原点对称的点的坐标是（　） A．(-3,4)　B．(3,4)　C．(-3,-4)　D．(4,-3) 二、能力提升（方法进阶） B1（解答·★★）△ABC绕点O逆时针旋转60°得到△A′B′C′，点A的对应点是A′。 (1) 旋转中心是（　），旋转方向是（　），旋转角是（　）度； (2) 若OA=4，则OA′=（　）； (3) 若∠AOB=20°，则∠A′OB′=（　）度，∠BOB′=（　）度。 B2（填空·★★）点A(2,-1)关于原点对称的点是B，则B的坐标为（　）；点C与点A关于x轴对称，则C的坐标为（　）。 B3（选择·★★）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A．等边三角形　B．矩形　C．直角三角形　D．正五边形 B4（填空·★★）把△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，若AC=3，则A′C＝（　），∠ACA′＝（　）度。 B5（解答·★★）在平面直角坐标系中，点A(2,3)、B(1,0)、C(4,0)。把△ABC绕原点O旋转180°，写出所得△A′B′C′三个顶点的坐标，并判断△ABC与△A′B′C′的关系。 B6（解答·★★★）线段AB的两个端点分别为A(2,1)、B(5,3)。 (1) 求线段AB绕原点O旋转180°后所得线段A′B′的端点坐标； (2) 判断A′B′与AB的位置关系，并说明理由。 三、综合应用（素养落地） C1（应用·图案·★★）如图2，以正六边形的中心O为旋转中心，把正六边形绕O旋转。 (1) 正六边形绕中心O旋转，能与自身重合的最小旋转角是多少度？ (2) 仿照“雪花图案”（每旋转一个最小角度，图案重复出现一次），正六边形旋转多少次后回到原来的位置？ 图2　正六边形绕中心旋转（C1） C2（跨学科·美术·★★★）如图3，一枚印章图案由△ABC绕点O依次旋转90°、180°、270°得到（旋转时图形不重叠）。已知△ABC的面积为3。 (1) 旋转后的三个三角形与原三角形全等吗？请说明理由； (2) 整个印章图案的面积是多少？ (3) 整个图案绕点O旋转多少度后能与自身重合？ 图3　印章图案（C2） C3（应用·坐标·★★★）在平面直角坐标系中，点A(3,2)、B(1,0)、C(4,-1)。 (1) 分别写出点A、B、C关于原点对称的点A′、B′、C′的坐标； (2) △ABC与△A′B′C′有什么关系？请说明理由； (3) 求△ABC的面积。 C4（跨学科·物理·★★）时钟的指针绕钟面中心旋转。 (1) 分针旋转一周需要多少分钟？分针每走1分钟旋转多少度？ (2) 从3:00到3:20，分针旋转了多少度？ (3) 从3:00到3:20，时针旋转了多少度？ 四、综合与实践 · 项目式学习（附加） 【项目名称】旋转之美 任务1　寻找旋转：从生活中找出3个旋转现象（如钟表、风扇、摩天轮、旋转门），拍照记录，指出各自的旋转中心、旋转方向和旋转角。 任务2　动手旋转：用透明纸把一个简单图形（三角形或字母L）绕一点旋转90°、180°、270°，观察并记录图形的位置变化。 任务3　设计图案：用“一个基本图形＋旋转”设计“花朵”“齿轮”或“风车”图案（可用网格纸、GeoGebra或AI绘图工具辅助），标注旋转中心与旋转角。 任务4　对比总结：把旋转、平移、轴对称三种变换放在一起比较：它们分别改变了图形的什么（位置），保留了什么（形状、大小）。 任务5　成果展示：把设计图与总结做成海报，在班级展示交流。 课标对接：“综合与实践”强调跨学科主题学习与项目式学习，本项目融合美术（图案设计）、物理（转动现象）、信息科技（GeoGebra/AI工具）。 评价维度 分值 评价标准 观察与记录 20 旋转现象真实、三要素标注正确 动手操作 20 旋转操作规范、位置记录准确 图案设计 30 图案美观、旋转中心与角说明清楚 对比总结 20 三种变换异同归纳正确 展示交流 10 海报要素齐全、讲解清晰 延伸思考：旋转是“图形变换”家族的一员，与平移、轴对称并列；在高中将学习更一般的“旋转变换”及其相关知识。 五、月考加油站 · 高频考点清单与仿真小测 【高频考点清单】 1．旋转三要素与旋转的性质（对应点等距、旋转角相等、全等）。 2．中心对称与中心对称图形的判断。 3．关于原点对称的点的坐标规律。 4．旋转、平移、轴对称三种变换的区分。 5．利用旋转求线段长、角度与设计图案。 M1（选择·★）下列图形中，是中心对称图形的是（　） A．等边三角形　B．菱形　C．等腰梯形　D．正五边形 M2（填空·★）点(3,-5)关于原点对称的点的坐标是（　）。 M3（填空·★）旋转不改变图形的（　）和（　）。 M4（选择·★）正方形绕它的中心旋转，能与自身重合的最小角度是（　） A．45°　B．90°　C．180°　D．270° M5（填空·★）△ABC绕点O旋转后得到△A′B′C′，若OA=3，则OA′＝（　）。 M6（填空·★）成中心对称的两个图形，对称点所连线段被（　）平分。 M7（解答·★★）在平面直角坐标系中作出点A(2,1)关于原点O的对称点A′，并写出A′的坐标。 M8（解答·★★）等边三角形、平行四边形、矩形、正六边形中：(1) 哪些是中心对称图形？(2) 哪些绕其中心旋转120°后能与自身重合？ 六、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．主线先行：概念→性质→中心对称→坐标规律→图案设计，先默写主线再动笔。 2．对应点分析法：旋转问题先找“点A→点A′”，再用性质（距离相等、夹角为旋转角）。 3．图形分类记忆：轴对称图形、中心对称图形、两者兼是的图形各举3例，画图对比。 4．坐标口诀：关于原点对称“横纵坐标都变号”。 5．错题三分类：概念不清／方法不会／粗心大意，每类重做1道典型题并口述理由。 衔接展望（教师参考）：本章图形变换思想贯穿初中几何，旋转与平移、轴对称共同构成图形变换的基础；后续年级将学习更多图形变换知识，与本章一脉相承。学生题目中不涉及后续内容。 七、AI辅助学习 · 错题门诊 用AI工具辅助复习时，建议按“三步门诊法”操作，把AI当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给AI工具（如豆包），请它分析考查的知识点 不发送真实姓名、学校、家庭住址等隐私信息 2 变式 请AI出2道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 用定义与性质逐条检验AI解析（重点核查旋转角、中心对称判断、坐标变化） AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤、评分要点与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固（A1–A10） A1　A。解析：钟表指针绕中心转动，是旋转；其余是平移。 A2　旋转中心；旋转方向；旋转角。 A3　B。解析：平行四边形绕对角线交点旋转180°后与自身重合；等边三角形、等腰梯形、正五边形不是中心对称图形。 A4　(-2,3)。解析：关于原点对称，横纵坐标都变号。 A5　D。解析：旋转角是∠AOA′（对应点与旋转中心连线的夹角），不是∠ABC。 A6　90。解析：正方形旋转90°后与自身重合（最小）。 A7　120。解析：等边三角形绕中心旋转一周内有3个位置与自身重合，360°÷3=120°，最小旋转角120°。 A8　B。解析：正方形既是轴对称图形（有4条对称轴）又是中心对称图形（对角线交点）。 A9　50。解析：旋转角即对应点与旋转中心连线的夹角∠AOA′。 A10　A。解析：关于原点对称，横纵坐标都变号，(-3,4)。 （二）能力提升（B1–B6） B1　(1) O；逆时针；60。(2) 4（对应点到旋转中心距离相等）。(3) 20；60（∠A′OB′=∠AOB=20°，∠BOB′为旋转角60°）。评分要点：每空1分。 B2　(-2,1)；(2,1)。解析：关于原点对称坐标都变号；关于x轴对称横坐标不变、纵坐标变号。 B3　B。解析：矩形既是轴对称（两条对称轴）又是中心对称（对角线交点）。 B4　3；90。解析：对应点到旋转中心距离相等；∠ACA′为旋转角90°。 B5　A′(-2,-3)、B′(-1,0)、C′(-4,0)。△ABC与△A′B′C′关于原点O中心对称，形状、大小完全相同。评分要点：坐标各1分、关系2分。 B6　(1) A′(-2,-1)、B′(-5,-3)。(2) A′B′∥AB。理由：旋转180°（中心对称）不改变线段长度与方向，对应线段平行且相等。评分要点：坐标3分、位置关系与理由3分。 （三）综合应用（C1–C4） C1　(1) 60°。解析：正六边形中心处周角360°，每个中心角（相邻顶点与中心连线的夹角）60°，最小旋转角。(2) 6次。解析：360°÷60°=6，旋转6次回到原位置。 C2　(1) 全等。理由：旋转不改变图形的形状和大小，旋转前后的图形全等。(2) 4×3=12。(3) 90°。解析：图案由4个相同三角形拼成，旋转90°后整体与自身重合。评分要点：理由2分、面积2分、旋转角2分。 C3　(1) A′(-3,-2)、B′(-1,0)、C′(-4,1)。(2) △ABC与△A′B′C′关于原点O中心对称，形状、大小完全相同（对应点连线都经过原点且被原点平分）。(3) 用坐标面积公式：，将各顶点坐标代入上式，得，故△ABC的面积为4。 C4　(1) 60分钟；6°。解析：360°÷60=6°。(2) 20分钟×6°=120°。(3) 10°。解析：时针每小时转30°，20分钟转。 （四）月考仿真小测（M1–M8） M1　B。解析：菱形是中心对称图形。 M2　(-3,5)。解析：坐标都变号。 M3　形状；大小。 M4　B。解析：正方形最小旋转角90°。 M5　3。解析：对应点到旋转中心距离相等。 M6　对称中心。解析：对称点连线段被对称中心平分。 M7　A′(-2,-1)。解析：关于原点对称坐标都变号。 M8　(1) 平行四边形、矩形、正六边形是中心对称图形。(2) 等边三角形绕中心旋转120°与自身重合；正六边形绕中心旋转120°也与自身重合（60°的整数倍）；矩形绕中心旋转180°与自身重合。 说明：本讲义题目为原创；情境数据（钟表、印章、图案等）为公共常识或原创设计，对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $