29.1.1 圆的有关概念教学设计2026—2027学年数学人教版九年级上册

29.1.1 圆的有关概念 课题名称 29.1.1 圆的有关概念 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 圆的定义、弦、弧、等圆等基本概念 内容解析 《圆的有关概念》是在学生小学阶段初步认识圆的基础上，系统学习圆的几何定义与相关概念。教材从动态和静态两个角度给出圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径；圆也可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。在此基础上介绍弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等概念。 本节课是“图形与几何”领域中圆这一章的起始课，是后续学习圆的性质、与圆有关的位置关系、圆的计算等内容的基础。教学中渗透集合思想、分类讨论思想，并通过实际生活中的圆（车轮、硬币等）体会圆的完美性与应用价值。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了直线形（三角形、四边形）的基础上，进一步研究一种特殊的曲线图形——圆。本章主要内容包括：圆的有关概念、圆的性质、点和圆、直线和圆的位置关系、正多边形和圆、弧长和扇形面积等。 对应课标（《义务教育数学课程标准（2022年版）》）： ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念； ②探索并证明垂径定理； ③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系； ④了解点和圆、直线和圆的位置关系； ⑤会计算弧长及扇形的面积。 课时目标 1.（数学抽象·直观想象）理解圆的定义，能说出圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等概念；能在图形中准确识别这些概念。 2.（逻辑推理·几何直观）掌握圆的两种定义（动态旋转定义、静态集合定义），理解直径是圆中最长的弦；能区分优弧与劣弧、等弧与长度相等的弧。 3.（数学建模·应用意识）通过圆的概念学习，体会从具体到抽象、从运动到静止的研究方法；能运用圆的概念解决简单的实际问题（如车轮为什么是圆的）。 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能说出圆的定义，能在图中标出圆心、半径、弦、直径、弧；能区分优弧、劣弧、半圆。 达成目标2的标志是：学生能从动态和静态两个角度理解圆；能说明直径是最长的弦；能判断两条弧是否为等弧。 达成目标3的标志是：学生能解释车轮做成圆形的数学道理；能运用半径相等解决简单计算问题。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生在小学已经直观认识了圆，知道圆有圆心、半径、直径，会用圆规画圆；在本章之前已经学习了直线形（三角形、四边形）的研究方法。但九年级学生对圆的理解仍停留在直观层面，尚未形成严格的几何定义；容易混淆弦与直径（直径是弦，但弦不一定是直径）、优弧与劣弧（表示方法容易出错）、等弧与长度相等的弧（等弧必须在同圆或等圆中）。 困惑点或探索点 学生容易混淆：弦与直径的关系（直径是经过圆心的弦）；优弧与劣弧的表示（优弧用三个字母表示）；等弧与长度相等的弧（等弧必须在同圆或等圆中能够互相重合）。 教学 重难点 教学重点 圆的定义；弦、直径、弧、等圆等概念及其识别。 教学难点 圆的两种定义的理解；等弧概念的理解（在同圆或等圆中能够互相重合的弧）。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：圆是最完美的曲线图形，在生活和生产中有广泛应用（车轮、管道、轴承等），圆的有关概念是后续学习圆的性质、位置关系和计算的基础。 学什么：圆的定义（动态、静态）；圆心、半径；弦、直径；弧、半圆、优弧、劣弧；等圆、等弧。 怎么学：采用“观察实例—操作画圆—抽象定义—辨析概念—应用巩固”的探究式教学。让学生用圆规画圆，观察画圆过程，归纳动态定义；再通过“圆上各点到圆心距离相等”归纳静态定义；通过对比辨析弦与直径、优弧与劣弧、等弧与等长弧，深化概念理解。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 观察生活中的圆 1. 观察车轮、硬币、钟表表盘、篮球等图片，它们有什么共同特征？ 2. 你能画一个圆吗？用什么工具画？ 情境引入 师：同学们，我们生活在一个充满圆的世界里。请看大屏幕——车轮、硬币、钟表表盘、篮球，它们有什么共同特征？ 生：都是圆形的。 师：那你们知道车轮为什么做成圆形而不是方形吗？今天我们就来系统学习圆的有关概念。（板书课题） 师：请同学们拿出圆规，画一个圆。边画边想：画圆时什么东西固定了？什么东西在动？ 学生能从生活实例中识别圆；能用圆规画圆；能说出画圆时圆心固定、半径旋转。 从生活实例引入，通过“车轮为什么是圆的”设疑，激发学习兴趣；让学生动手画圆，在操作中感知圆的形成过程。 概念探究 一、圆的定义 用圆规画圆时，圆心、半径分别是什么？圆是怎样形成的？ 二、圆的相关概念 什么叫弦？什么叫直径？直径和弦有什么关系？ 三、弧的概念 什么叫弧？什么叫优弧、劣弧、半圆？什么叫等圆、等弧？ 活动一：圆的定义 师：刚才同学们画圆时，圆规的一个脚固定在纸上的点叫什么？另一个脚绕着它旋转，两脚间的距离叫什么？ 生：固定的点叫圆心，两脚间的距离叫半径。 师：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 师：从另一个角度看，圆上任意一点到圆心O的距离有什么关系？ 生：都等于半径r。 师：所以圆也可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。定点O是圆心，定长r是半径。 活动二：弦与直径 师：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 师：直径是弦吗？弦是直径吗？ 生：直径是经过圆心的特殊弦；但弦不一定是直径。 师：直径是圆中最长的弦。 活动三：弧与等圆 师：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 师：大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示），小于半圆的弧叫做劣弧（用两个字母表示）。 师：能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 师：注意：等弧不是长度相等的弧，而是能够互相重合的弧。只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧。 学生能说出圆的两种定义；能区分弦与直径、优弧与劣弧、等弧与等长弧；能在图中识别这些概念。 让学生经历“操作画圆—归纳定义—辨析概念”的探究过程，在直观操作中理解圆的两种定义，通过对比辨析深化对弦、直径、弧、等弧等概念的理解，落实数学抽象与几何直观素养。 课堂练习 例1：判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）直径是弦，弦是直径； （2）半圆是弧，弧是半圆； （3）长度相等的两条弧是等弧； （4）半径相等的两个圆是等圆。 例2：如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，AB是直径。指出图中有几条弦？哪些是劣弧？哪些是优弧？ 例1讲评： （1）错误。直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径（只有经过圆心的弦才是直径）。 （2）错误。半圆是弧，但弧不一定是半圆（弧分优弧、劣弧、半圆）。 （3）错误。等弧是在同圆或等圆中能够互相重合的弧；长度相等的弧不一定能重合（半径不同时）。 （4）正确。半径相等的两个圆能够重合，是等圆。 例2讲评： 分析：根据弦、劣弧、优弧的概念来识别。 解答： 图中有两条弦：AB（直径）和AC。 劣弧有：弧AC、弧BC；优弧有：弧BAC（或弧ABC）。 教师强调：弦是连接圆上两点的线段；劣弧小于半圆，优弧大于半圆（用三个字母表示）。 例1通过判断辨析易混淆概念；例2训练在图形中识别弦、弧，巩固概念。 反思总结 学生为主体发言总结 这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 师：请同学们回顾一下，圆是怎样定义的？你能说出哪些与圆有关的概念？ 生1：圆是线段绕一端旋转一周形成的图形，也是到定点距离等于定长的点的集合。 生2：我知道了弦、直径、弧、优弧、劣弧、等圆、等弧。 生3：等弧必须在同圆或等圆中才能重合，不是长度相等就可以。 师：课后请完成教材习题 29.1 第1、2题。 学生能说出圆的两种定义；能区分易混淆概念；能在图中识别弦、弧。 通过师生共同回顾，梳理圆的定义与相关概念，强化“等弧必须在同圆或等圆中”这一易错点。 板书设计 29.1.1 圆的有关概念 一、圆的定义 动态：线段OA绕O旋转一周形成的图形。 静态：到定点O距离等于定长r的点的集合。 圆心O，半径r。 二、相关概念 弦：连接圆上两点的线段；直径：经过圆心的弦（最长弦）。 弧：圆上两点间的部分；半圆、优弧、劣弧。 等圆：能重合的两个圆；等弧：同圆或等圆中能重合的弧。 提纲挈领,重点突出. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $