北京市西城区德胜中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

北京市西城区德胜中学2026－2027学年度第一学期 初三年级数学学科活动 一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线，当，时，它的图象经过直角坐标系中的第（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 二、三、四象限 D. 一、三、四象限 3. 物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所示），该正八边形绕其中心旋转后能与自身重合，那么的值可能是（ ） A. 22.5 B. 30 C. 45 D. 60 4. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c 1 3.5 7 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是某高速路上的测速区间，小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在此路段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图），已知这条高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定驾驶小型载客汽车通过该测速区间段的时间可能是（ ）． A. B. C. D. 8. 二次函数的图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论的正确的是（ ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____． 10. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为________． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 12. 函数，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是________． 13. 若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是_______． 14. 已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为______． 15. 如图， 在平面直角坐标系 中，，．将绕点A逆时针旋转， 若的对应点恰好落在边上．则点B的对应点的坐标为_____． 16. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“二倍点”，则的取值范围是______． 三、解答题（共68分，第17题6分，第18－19题每题5分，第20题7分，第21题4分，第22题5分，第23题4分，第24题5分，第25题7分，第26题6分，第27－28题每题7分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接．已知，，． （1）求的长； （2）求的度数． 19. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）过点作直线l，使直线l与x轴平行，且与一次函数（）的图象交于点M，与反比例函数（）的图象交于点N，若点M在点N的右侧，请直接写出t的取值范围． 20. 抛物线经过和两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）当时，观察图象直接写出x的取值范围． 21. 如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． （1）画出将绕点逆时针旋转后的△； （2）在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 22. 已知关于x的方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k的值． 23. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． 已知，九年级一名男生进行了两次训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 5 6 7 9 竖直高度y/m 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的二次函数关系； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则______（填“＞”、“＝”或“＜”）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． （1）求的值； （2）求此时的值． 25. 已知函数，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质： （1）自变量x的取值范围是______； （2）x与y的几组对应值如下表，请补全表格： x … 1 2 … y … 0 2 … 其中______． （3）下图中画出了函数的一部分图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象； （4）请写出这个函数的一条性质：______； （5）结合图象，直接写出方程的所有实数根（估算保留到0.1）：______． 26. 在平面直角坐标系中，点都在抛物线（）上． （1）这个抛物线的对称轴是直线______； （2）若，求t的取值范围； （3）若无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有一个点在x轴的下方，直接写出a的取值范围______ 27. 如图，在中，，点在线段上，点在线段上，连接和交于点，． （1）求的度数； （2）作点关于直线的对称点，连接，取的中点． ①依题意补全图形； ②连接，猜想线段、、的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点Q是点P的“关联点”． 已知，点． （1）在，，中，点P的“关联点”有______； （2）点A在直线上，若点P的“关联点”也是点A的“关联点”，求点A的坐标； （3）已知点和线段，点C在以，，，为顶点的四边形上，且，若线段上总存在线段上任意一个点的 “关联点”，直接写出线段的最小值． 北京市西城区德胜中学2026－2027学年度第一学期 初三年级数学学科活动 一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】1 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】0 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 或 三、解答题（共68分，第17题6分，第18－19题每题5分，第20题7分，第21题4分，第22题5分，第23题4分，第24题5分，第25题7分，第26题6分，第27－28题每题7分） 【17题答案】 【答案】（1） ，. （2） ，. 【18题答案】 【答案】（1）6 （2） 【19题答案】 【答案】（1）一次函数为；反比例函数为 （2）或 【20题答案】 【答案】（1）； （2）对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线图象如图所示： （3）或 【21题答案】 【答案】（1） （2），， 【22题答案】 【答案】（1） 证明：在方程中，，，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2） 的值为 【23题答案】 【答案】（1）最大高度为，； （2）． 【24题答案】 【答案】（1）2 （2） 【25题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4）当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大； （5），， 【26题答案】 【答案】（1） （2）的取值范围是 （3） 【27题答案】 【答案】（1）． （2）①解：补全后的图形如图 ②解：． 理由如下：∵ 点 是点 关于直线 的对称点， ∴ ，． ∴ ． ∴ 是等边三角形． 如下图，以 为边在 与点 同侧作等边三角形 ，连接 、． ∵ 是等边三角形， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ． 在 和 中， ∴ ， ∴ ，． ∵ 由（1）知 ， ∴ ． ∵ 在等边三角形 中， ∴ ， ∴ ，即 ． 取 的中点 ，连接 、． ∵ 是等边三角形， 是 的中点， ∴ ，． ∵ 、 分别是 、 的中点， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ 、、 三点共线， ∴ ， 即 ． 【28题答案】 【答案】（1）和； （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $