第5章 走进几何世界 单元复习讲义2026—2027 学年苏科版数学七年级上册-2026-2027学年苏科版七年级数学上册考点解惑

第5章 走进几何世界 思维导图 5.1 观察、抽象 核心概念 1. 几何研究的起源：几何学是研究图形的形状、大小和位置关系的学科，源于对现实世界物体的观察与抽象。 2. 从实物到几何图形： · 忽略物体的颜色、材质、用途等非几何属性，只关注其形状、大小和位置，得到几何图形。 · 示例：魔方抽象为正方体，茶叶罐抽象为圆柱，篮球抽象为球。 图形分类 · 立体图形：各部分不都在同一平面内（如正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱）。 · 平面图形：各部分都在同一平面内（如线段、角、三角形、长方形、圆）。 5.2 运动、想象 图形的运动方式 1. 点动成线：点运动的轨迹形成线（如流星划过夜空、笔尖写字）。 2. 线动成面：线运动的轨迹形成面（如汽车雨刮器刮雨、旋转的长方形纸条）。 3. 面动成体：面运动的轨迹形成体（如长方形绕一边旋转成圆柱，直角三角形绕直角边旋转成圆锥）。 想象与空间观念 · 通过折叠、展开等操作，想象立体图形的平面展开图（如正方体的11种展开图）。 · 根据简单的平面展开图，逆向想象对应的立体图形，培养空间想象能力。 5.3 转化、表达 核心转化思想 · 立体图形与平面图形的转化： · 立体图形可通过视图（从三个方向看）转化为平面图形； · 平面图形可通过展开与折叠转化为立体图形。 【类型一】常见的几何体 1．下列物体中，可以抽象成圆柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．物体可抽象成球体，不合题意； B．物体可抽象成圆柱，符合题意； C．物体可抽象成圆台，不合题意； D．物体可抽象成圆锥，不合题意． 2．生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图，这是常见的一种“斗笠”，用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成（     ） A．球 B．圆柱 C．棱柱 D．圆锥 【答案】D 【详解】解：用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成圆锥． 3．下面图形中为圆柱的是________．（只填序号） 【答案】④ 【分析】圆柱的上下底面是完全相同的2个圆，侧面是曲面，且从上到下一样粗． 【详解】解：观察图形可知：图形①的上下底面不平行，不是圆柱； 图形②是四棱柱，不是圆柱； 图形③的上下底面大小不相等，是圆台，不是圆柱； 图形④的上下底面是大小相等的圆，且互相平行，侧面是曲面，是圆柱． 【类型二】立体图形的分类 1．下列小明的积木玩具抽象图中，不是柱体的是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据柱体和锥体的定义进行判断，柱体包括棱柱和圆柱，锥体包括棱锥和圆锥． 【详解】解：A是三棱柱，属于柱体； B是圆柱，属于柱体； C是四棱柱，属于柱体； D是四棱锥，属于锥体，不是柱体． 2．下列7个几何体中，属于棱柱的有（     ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据棱柱的定义判断即可． 【详解】解：7个几何体中，属于棱柱的有①②④⑥，共4个． 3．下图是我们常见的几何体，如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为______，是锥体的为______，是球的为______；如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为______，无曲面的为______．（填序号） 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ ③④⑧ ①②⑤⑥⑦ 【分析】根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑．柱体的定义∶有两个互相平行且完全相同的底面，侧面是平行四边形；沿着一个方向平移底面得到的几何体，锥体定义∶有一个底面，一个顶点，侧面汇聚到同一个顶点；球定义∶半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体；曲面即弯曲的面． 【详解】解：如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为①②⑤⑦⑧，是锥体的为④⑥，是球的为③， 如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为③④⑧，无曲面的为①②⑤⑥⑦． 【类型三】几何体中的点、线、面 1．下列说法错误的是（     ） A．长方体、正方体都有6个面 B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点 C．三棱柱的侧面是三角形 D．圆锥由一个平面和一个曲面围成 【答案】C 【详解】A．长方体、正方体都有6个面，说法正确，不符合题意； B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点，说法正确，不符合题意； C．三棱柱的侧面是长方形，不可能是三角形，说法错误，符合题意； D．圆锥由一个平面和一个曲面围成，说法正确，不符合题意． 2．若一个棱柱有个顶点，所有侧棱长的和是，则下列说法正确的是（     ）． A．这个棱柱的底面是十边形 B．这个棱柱有个侧面 C．这个棱柱有个面 D．这个棱柱每条侧棱长 【答案】D 【分析】设该棱柱为棱柱，根据已知条件得到，即该棱柱为五棱柱，进而根据五棱柱的特征得到答案． 【详解】解：设该棱柱为棱柱， ∵棱柱的顶点数为，该棱柱有个顶点， ∴，解得，即该棱柱为五棱柱， ∵五棱柱的底面为五边形，有个侧面，总面数为， ∴均错误， ∵五棱柱有条侧棱，所有侧棱长的和为，且侧棱长度相等， ∴每条侧棱长为． 3．一个棱柱有10个面，所有侧棱长的和为，则每条侧棱长______． 【答案】9 【分析】先根据这个棱柱有10个面，求出这个棱柱是八棱柱，即有8条侧棱，再根据所有侧棱的和为列式计算即可． 【详解】解：由棱柱有10个面可知该棱柱是八棱柱，则有8条侧棱. 因此每条侧棱的长为：. 【类型四】点、线、面、体关系 1．下列现象中，能用“面动成体”来解释的是（     ） A．流星划过夜空，留下一道明亮的光迹 B．钟面上分针的转动，扫过一个圆面 C．半圆形纸片绕它的直径所在的直线旋转一周，形成一个球 D．汽车雨刷的摆动，扫过一个扇形区域 【答案】C 【详解】解：A. 流星可看作点，运动后形成线，不符合题意； B. 分针可看作线，转动后形成圆面，不符合题意； C. 半圆形纸片是面，绕直径所在直线旋转一周形成球，符合题意； D. 汽车雨刷可看作线，摆动后形成扇形区域，不符合题意． 2．“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（     ） A．点是由线与线相交而成 B．面动成体 C．线动成面 D．点动成线 【答案】D 【分析】将雨滴视为点，雨丝为线，结合点动成线的规律判断. 【详解】解：单个雨滴可看作点，雨滴下落的运动轨迹形成线，与题干中“牛毛”“花针”“细丝”的线的形态对应，符合点动成线的结论. 3．雨滴在车窗上留下一道水痕，用数学原理解释这一现象为________；画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是________． 【答案】 点动成线 线动成面 【详解】解：雨滴在车窗上留下一道水痕，用数学原理解释这一现象为点动成线； 画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是线动成面． 【类型五】几何体展开图的认识 1．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据常见几何体（正方体、圆锥、棱锥、圆柱）的展开图特征，逐项判断平面图形能否折叠成对应的立体图形． 【详解】A．正方体展开图中不能出现“田”字形，该图形含有“田”字结构，不能折成正方体，故该选项错误； B．圆锥的展开图由一个扇形和一个圆组成，该图形有两个圆，不能折成圆锥，故该选项错误； C．四棱锥由一个四边形底面和四个三角形侧面组成，该图形只有四个三角形，缺少底面，不能折成四棱锥，故该选项错误； D．圆柱的展开图由一个长方形侧面和两个圆形底面组成，该图形符合圆柱展开图特征，能折成圆柱，故该选项正确. 故答案为D． 2．下图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】由几何体的展开图可知有两个三角形和三个矩形所构成的平面图，然后可知该几何体是三棱柱，进而问题可求解． 【详解】解：由几何体的展开图可知有两个三角形和三个矩形所构成的平面图，可知该几何体是三棱柱． 3．如图几何体的展开图中，经过折叠能围成圆柱的是_________． 【答案】①⑤ 【分析】根据圆柱展开图的特点进行判断即可． 【详解】解：①与⑤中由两个圆与一个长方形组成，且两个圆分别在长方形的两侧，从而经过折叠能围成圆柱，其它几个图不能经过折叠围成圆柱． 【类型六】正方体几种展开图的认识 1．下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形结构，判断是否符合正方体展开图的11种特征即可． 【详解】解： A.项不是正方体展开图，故此选项符合题意； B.项属于“”型，是正方体展开图 ，故此选项不符合题意； C.项是正方体展开图 ，故此选项不符合题意； D.项属于“”型，是正方体展开图，故此选项不符合题意． 2．下列图形中，不属于正方体展开图的是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】正方体展开图共有种，分为“”、“”、“”、“”四种类型，含有“田”字格的图形不属于正方体展开图，据此可得答案． 【详解】解：A选项属于“”型，B选项属于“”型，C选项属于“”型，均能折叠成正方体， D选项中含有“田”字格结构，折叠时面会重合，不能围成正方体． 3．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 【答案】和 【分析】根据正方体展开图的特征，确定各面的相对位置，通过折叠想象或标记法找出与点M重合的顶点． 【详解】解：设含点M的正方形为前面，则其上方的正方形为上面，左边的正方形为左面，右边的第一个正方形为右面，右面的第二个正方形为后面，后面下方的正方形为下面， ∵点M位于前面的左下角， ∴与点M重合的点应位于左面的左下角或下面的右下角， ∵左面的左下角为点A，下面的右下角为点D， ∴与点M重合的点是点A和点D． 【类型一】平面图形旋转成立体图形 1．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察立体图形的侧面特征，结合面动成体的原理进行判断． 【详解】解：观察立体图形可知，该几何体侧面中间细、上头没有下头粗，但是都比中间粗， A、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； B、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； C、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，符合题意 2．下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥的是（     ） A．B． C．D． 【答案】B 【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，不符合题意； B、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，符合题意； C、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，不符合题意； D、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，不符合题意． 3．如图，已知长方形长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．绕长所在直线旋转的圆柱侧面积记为，绕宽所在直线旋转的圆柱侧面积记为，则与的大小关系为_______（请用“”“”“”填写）． 【答案】 【分析】根据题意，分别计算出与，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：由题意可知、， ． 【类型二】正方体相对面的字 1．一个正方体的平面展开图如图所示．若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，则的值为（     ） A．14 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据正方体表面展开图的特征判断相对面，利用相反数的定义求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可得，的对面是，的对面是，的对面是， ∵相对面上所标的两个数互为相反数， ∴，，， ∴． 2．如图，是一个正方体的表面展开图，当把它折成一个正方体，与“功”相对的字应该是（     ） A．绝 B．非 C．偶 D．然 【答案】D 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：与“功”字相对的字是“然”． 3．如图所示的是一个正方体的展开图，它的每个面上都写有一个数，并且相对面上的数字互为相反数，则___． 【答案】1 【分析】根据相对的两个面的两个数字互为相反数列出等式，进一步得到x，y，z的值，代入求值即可． 【详解】解：正方体的表面展开图中，“x”与“5”是相对面，“y”与“”是相对面，“”与“8”是相对面． 因为折成正方体后相对面上的两个数互为相反数， 所以，，， 所以， 所以． 【类型三】正方体相对面的图案 1．小红制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如下图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】正方体对面图案全部相同，利用正方体展开图“相间是对面，字两端是对面”的规律，逐一判断每个选项中相对两个面的图案，筛选出三组对面图案均相同的选项． 【详解】解：正方体平面展开图中，相对的面不相邻，满足“相间、端是对面”． 选项A：第一与第三面相对，图案相同；第二与第四面相对，图案相同；上下两面相对，图案相同，符合题意； 选项B：第一与第三面相对，图案不相同，不符合题意； 选项C：第一与第三面相对，图案不相同，不符合题意； 选项D：第二与第四面相对，图案不相同，不符合题意． 2．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可知，带阴影的三面两两相邻，A，C，D选项中都有两个阴影面在相对面上，不符合题意， 只有选项B的图形，折叠后满足题意. 3．按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 【类型四】由展开图计算几何体的表面积 1．如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图及其表面积，先根据展开图确定三棱柱底面三角形形状，再分别求侧面和底面面积，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 该直三棱柱底面三角形的三边长分别为、、． ， 该直三棱柱的底面三角形为直角三角形， 这个直三棱柱的表面积为: ， ． 故选． 2．如图，将一个长方形纸片的四个角剪去个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，认真观察图形，得出等量关系是解题关键．根据长方体盒子的表面积纸片的面积个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：这个长方体盒子的表面积为． 故选：A． 3．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的表面积．根据圆柱的切割特点可知，沿着它的底面直径平均切开成两个半圆柱后，表面积是增加了4个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积和4个圆柱的底面的面积，由此即可求出增加的表面积． 【详解】解：（平方厘米）， 故表面积增加了平方厘米． 故答案为：． 【类型五】由展开图计算几何体的体积 1．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 2．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键；设底面正方形的边长为，根据图示中的相关数据列出方程，求出，再根据长方体的体积求解即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为， 由图可得， 解得， 则， ∴长方体的体积为， 故选：D． 3．图1为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图2所示．从图1展开至图2，一共剪开了________条棱；若被剪开的棱的棱长和为，则四棱柱体积为________． 【答案】 7 /128立方厘米 【分析】根据总棱数为12，展开图相连的还有5条棱，得出剪开的是7条棱即可；根据题中数据求出原四棱柱的高即可得出原四棱柱的体积． 【详解】解：∵四棱柱共12条棱，展开图相连的还有5条棱， ∴一共剪开了7条棱； 由题意得，四棱柱的高为， 体积为， ∴这个四棱柱的体积是． 【类型六】补一个面使图形围成正方体 1．如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 2．2025年3月26日，我国成功发射天链二号04星，小琪准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“04”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在______处（填序号）． 【答案】 【分析】根据正方体展开图的特征，展开图中不能出现“田”字形结构，观察图形中各位置补充后的形状进行判断． 【详解】解： ∵正方体的表面展开图中不能出现“田”字形结构， ∴若将正方形补充在②处，则“天”“②”“链”“二”四个正方形组成“田”字形， ∴该正方形不能补充在②处， 而补充在①、③、④处均能折叠成正方体． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等网格中有5个涂有阴影的小正方形，再取一个小正方形涂上阴影，画出使这6个涂有阴影的小正方形能围成一个小正方体的涂法． 【答案】（任选其一即可） 【分析】根据正方体展开图的特征，即可获得答案． 【详解】略 【类型一】截一个几何体 1．用一个平面去截四棱锥，截面不可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：四棱锥共有5个面，用平面去截四棱锥，截面多边形的边数最多为5，最少为3， 即截面可能是三角形、四边形或五边形，不可能是六边形． 2．若用一个平面去截六棱柱，则边数最多的截面的形状是（     ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【详解】解：用一个平面去截六棱柱时，最多与八个面相交得八边形，所以边数最多的截面形状是八边形． 3．用一个平面去截下面的几何体，截面是四边形的几何体有______．（填序号） 【答案】①④⑤⑥ 【详解】解：用一个平面去截下面的几何体，截面是四边形的几何体有①④⑤⑥． 【类型二】七巧板 1．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【详解】解：如图， 根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 2．如图，用图①的一副七巧板拼成图②小鱼的图案，若七巧板面积为32，则图②中阴影部分的面积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了七巧板拼图形问题，一元一次方程的应用，设，根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 设， ∵七巧板面积为32， ∴， ∴， ∴， ∴图②中阴影部分的面积是． 故选：D． 3．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【答案】/ 【分析】阴影部分的面积等于边长为1的正方形面积减去一个直角边的长为1的等腰直角三角形的面积，再减去一个直角边的长为的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可 【详解】解：， ∴阴影部分的面积为 【类型三】正方体表面积涂色问题 1．由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙．如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为（　　）    A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的表面积，由涂色部分面积是从上、前、右三个方向所涂面积相加，据此可得． 【详解】解：由图可知涂色部分是从上、前、右三个方向所涂面积相加，即涂色部分面积为． 故选：B． 2．工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有______个，2个面涂色的有______个． 【答案】 4 20 【分析】本题考查了正方体的特征，解题的关键是根据大正方体的组成及涂色面的情况，分析不同涂色面小正方体的位置和数量． 先确定大正方体的棱长，再根据3个面涂色和2个面涂色小正方体的位置特点，分别计算其数量． 【详解】3个面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，由于贴地的面不涂色，所以只有上面的4个顶点处的小正方体是3个面涂色的：（个）， 2个面涂色有： （个） 所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个． 故答案为：4；20． 3．【综合与实践】某学校数学兴趣小组开展“正方体纸盒的制作”活动． (1)【知识准备】纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选择1个涂色，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒． (2)【动手操作】在“制作正方体纸盒”的实践活动中，数学兴趣小组利用若干个长方形纸板制作正方体纸盒．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 方案一：制作无盖正方体纸盒 ①若纸板是个边长为6cm的正方形，按图1所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为，再沿虚线折叠起来，可以得到一个无盖正方体纸盒． 此时，_____cm． ②若纸板是个边长为acm的正方形，按图2所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为，再沿虚线折叠起来，可以得到一个无盖正方体纸盒．此时，你发现x与a之间满足的等量关系是_____． 方案二：制作有盖正方体纸盒 ③若纸板是个宽为，长为的长方形纸板，按图3所示，在长方形纸板的三个角各剪去1个大小相同的小长方形（图中三个阴影部分），剩下部分恰好可以折叠成一个有盖的正方体纸盒，且其大小与方案一图2中的无盖正方体纸盒大小一样．求与之间的数量关系？ (3)【能力拓展】在方案二的条件下，求代数式的值． 【答案】(1) 解：如图，任一种均可， (2)①2；②；③ (3)5 【分析】本题考查正方体的展开图，解方程，列代数式，整式的化简，代数式求值； （1）根据正方体的展开图即可解答； （2）①观察图形可知解方程即可；②观察图形即可知x与a之间的关系；③设小正方体边长为，依题意得，即可解答； （3）将目标式化简后，再将（2）的结论代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）①解：由题意得解得cm； ②解：由题意得x与a之间满足的等量关系是． ③解：其大小与方案一中的无盖正方体纸盒一样大小 设小正方体边长为，依题意得， 得 即 （或） （3）解： 由（2）得，即 原式 【类型四】切分正方体 1．把一个棱长为的正方体切成两个长方体，这两个长方体表面积的和是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】正方体切成两个长方体后，表面积增加了2个原来正方体面的面. 【详解】解：原正方体表面积为，新增切面的总面积为， 两个长方体表面积的和为. 2．一个立方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的27个小立方体，其中有两个面是红色的小立方体有______个．    【答案】12 【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体），由此即可解答. 【详解】解：两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体）， 有：（个）； 答：其中有二个面是红色的小立方体有12个． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是截几何体，解决此类问题的关键是抓住：两面涂色的在每条棱长上，每条棱长上的小正方体个数减2，再乘12即可解答． 3．如图是一张长方形硬纸片，正好分成15个完全相同的小正方形，现要把它们剪切成3份，使每份有5个小正方形相连，折起来都可以围成一个没有盖的正方体纸盒．请在图中用实线画出一种剪切线． 【答案】见解析． 【分析】利用正方体展开图的特点进行解答即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 或 【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，熟悉掌握正方体的张开图是解题的关键． 【类型五】规律问题 1．归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略．对于较为复杂的问题，可以从分析简单情形入手，通过分析归纳出一般规律． 将棱长为的正方体按如图方式放置，对于第1个图，很容易得出其表面积为．在计算第2个图的表面积时，一部分同学在逐个数小正方形的个数，小亮觉得一个一个数的方法容易重复或漏掉，而且不易观察规律，通过思考他发现可以用学过的“从三个方向看物体的形状”的知识解决这个问题，具体做法如下： 从正（后）面看，小正方形的个数有：个： 从左（右）面看，小正方形的个数有：个； 从上（下）面看，小正方形的个数有：个； 所以第2个图的表面共有个正方形， … 进而可以求出第2个图的表面积． (1)第2个图的表面积为______； (2)求第3个图的表面积； (3)第个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为______个；（结果用含的代数式表示） (4)试着求出第个图的表面积．（结果用含的代数式表示，不用化简） 【答案】(1)34 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了图形类规律，用代数式表示图形类规律，解题的关键是正确找到规律进行求解． （1）由题干可得第2个图的表面共有个正方形，即可求解表面积； （2）根据题干方法求出小正方形的个数，即可求解表面积； （3）依次数出前3个图形最下面一层组合体每行的正方体个数，据此找出规律即可； （4）找到规律即可求解． 【详解】（1）解：第2个图的表面积为， 故答案为：34； （2）解：第3个图的表面积为， （3）解：第1个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为； 第2个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为； 第3个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为； ∴第个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为个， 故答案为：； （4）解：第1个图的表面积为； 第2个图的表面积为， 第3个图的表面积为， 第个图的表面积为． 2．如图，是按规律摆放在墙角的一些小正方体，从上往下分别记为第一层，第二层，第三层…第n层… (1)第三层有______个小正方体． (2)从第四层至第六层（含第四层和第六层）共有______个小正方体． (3)第n层有______个小正方体． (4)若每个小正方体边长为a分米，共摆放了5层，则要将摆放的小正方体能看到的表面部分涂上防锈漆，则防锈漆的总面积为______分米2． 【答案】(1)6 (2)46 (3) (4) 【分析】此题考查图形规律性的变化，得到第n层正方体的个数的规律是解题的关键． （1）第1个图有1层，共1个小正方体，第2个图有2层，第2层小正方体的个数为，以此类推第三层即可； （2）第4至6层求出每层个数相加即可； （3）根据相应规律可得第n层小正方体的个数为； （4）共摆放5层，根据正面、右面、上面小正方形的面的个数，求出总面数再乘每一个小正方形的面积即可． 【详解】（1）解：第1层，共1个小正方体， 第2层小正方体的个数为， 第3层小正方体的个数为：； 故答案为：； （2）第4层小正方体的个数为：， 第5层小正方体的个数为：， 第6层小正方体的个数为：， 所以从第四层至第六层（含第四层和第六层）共有：个小正方体； 故答案为：； （3）根据（1）（2）相应规律，可得第n层小正方体的个数为； 故答案为：； （4）因为几何体的三面在墙上，所以只能看到正面、右面、上面， 每面看到小正方体的面数为：， 所以防锈漆的总面积为分米2． 故答案为：． 3．如图，每个小正方形的面积均为1．认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题： (1)请写出第5个等式； (2)猜想第n个等式，用含n的等式表示这个等式； (3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？ 【答案】(1)； (2)； (3)这个几何体最多共有2200小正方体． 【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． （1）根据规律解答即可； （2）利用规律可得第个等式：； （3）根据从不同方向看到的几何体以及题目要求计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ， ∴第5个等式：； （2）解：猜想第个等式：； （3）解：这个几何体最多共有：（个）． 答：这个几何体最多共有2200小正方体． 【类型六】欧拉公式 1．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型得 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系是__________________． （2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________． （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据表格中的数据分析即可得出顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系； （2）根据（1）的结论求解即可； （3）先求得棱数，再代入（1）的关系式求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得， 故答案为：； （3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线， 共有条棱， ， 解得； 设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，则即为多面体的面数， ． 【点睛】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，理解题意，找到规律是解题的关键． 2．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 【答案】(1)6，6，30 (2) (3)12 (4) 【分析】（1）观察图形，即可得出各个几何体的顶点数，面数和棱数； （2）观察图形及表格变化，总结出一般规律即可； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为，列出方程求解即可； （4）先根据顶点数，求出棱数，再根据（1）中的顶点，面和棱的关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正四面体有6条棱，正八面体有6顶点，正十二面体有30条棱； 故答案为：6，6，30； （2）顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为， ， 解得：， 故答案为：12； （4）∵该多面体有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴该多面体有条棱， 设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 则该多面体一共有个面， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，解题的关键是仔细观察图形，得出欧拉公式：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是：． 3．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______． 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 m 6 12 正八面体 n 8 12 正十二面体 20 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______． (3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】(1)8；6 (2)V+F-E=2 (3)这个多面体的面数为16 【分析】（1）观察图形即可得出结论； （2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2； （3）将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数． 【详解】（1）解：观察图形，长方体的定点数为8；正八面体的顶点数为6； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 故答案为：8；6； （2）解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2； （3）解：由题意得：F+F-30=2， 解得F=16， ∴这个多面体的面数为16． 【点睛】本题主要考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，正确理解题意是解题的关键． 【类型七】制作长方体纸盒 1．某综合实践小组开展了长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． 根据图方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为___________平方厘米； 如图，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形．用其中一个长为厘米，宽为厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图，盒子底面的四边形是长方形，； 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积，，的大小． 【答案】(1)； (2)平方厘米；． 【分析】根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号； 先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积； 分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，能折成长方体，不能折成长方体， 故答案为：； （2）解：∵正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， ∴底面边长（厘米）， ∴底面积（平方厘米）； 甲方案：∵底面四边形是正方形，且， ∴底面边长厘米，高（厘米）， ∴（立方厘米）； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且（厘米）， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴（立方厘米）； 丙方案：∵，且， ∴， ∴厘米，厘米， ∴高（厘米）， ∴（立方厘米）， ∵， ∴． 2．【问题背景】六（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 （填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 (2)图2是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的是“ ”． 【实践操作】 (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 【答案】(1)C (2)保 (3) 【分析】（1）无盖正方体有五个面，的组合不能折叠成立方体，据此解答； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）长方体的高即为小正方形的边长，长和宽为大正方形边长减去两个小正方形的边长，然后根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：无盖正方体有五个面， ∴B和D不符合题意， 的组合不能折叠成立方体， ∴A不符合题意； （2）解：图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的字是保； （3）解： ． 3．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④ (2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 走进几何世界 思维导图 5.1 观察、抽象 核心概念 1. 几何研究的起源：几何学是研究图形的形状、大小和位置关系的学科，源于对现实世界物体的观察与抽象。 2. 从实物到几何图形： · 忽略物体的颜色、材质、用途等非几何属性，只关注其形状、大小和位置，得到几何图形。 · 示例：魔方抽象为正方体，茶叶罐抽象为圆柱，篮球抽象为球。 图形分类 · 立体图形：各部分不都在同一平面内（如正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱）。 · 平面图形：各部分都在同一平面内（如线段、角、三角形、长方形、圆）。 5.2 运动、想象 图形的运动方式 1. 点动成线：点运动的轨迹形成线（如流星划过夜空、笔尖写字）。 2. 线动成面：线运动的轨迹形成面（如汽车雨刮器刮雨、旋转的长方形纸条）。 3. 面动成体：面运动的轨迹形成体（如长方形绕一边旋转成圆柱，直角三角形绕直角边旋转成圆锥）。 想象与空间观念 · 通过折叠、展开等操作，想象立体图形的平面展开图（如正方体的11种展开图）。 · 根据简单的平面展开图，逆向想象对应的立体图形，培养空间想象能力。 5.3 转化、表达 核心转化思想 · 立体图形与平面图形的转化： · 立体图形可通过视图（从三个方向看）转化为平面图形； · 平面图形可通过展开与折叠转化为立体图形。 【类型一】常见的几何体 1．下列物体中，可以抽象成圆柱的是（     ） A． B． C． D． 2．生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图，这是常见的一种“斗笠”，用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成（     ） A．球 B．圆柱 C．棱柱 D．圆锥 3．下面图形中为圆柱的是________．（只填序号） 【类型二】立体图形的分类 1．下列小明的积木玩具抽象图中，不是柱体的是（     ） A．B．C．D． 2．下列7个几何体中，属于棱柱的有（     ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．下图是我们常见的几何体，如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为______，是锥体的为______，是球的为______；如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为______，无曲面的为______．（填序号） 【类型三】几何体中的点、线、面 1．下列说法错误的是（     ） A．长方体、正方体都有6个面 B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点 C．三棱柱的侧面是三角形 D．圆锥由一个平面和一个曲面围成 2．若一个棱柱有个顶点，所有侧棱长的和是，则下列说法正确的是（     ）． A．这个棱柱的底面是十边形 B．这个棱柱有个侧面 C．这个棱柱有个面 D．这个棱柱每条侧棱长 3．一个棱柱有10个面，所有侧棱长的和为，则每条侧棱长______． 【类型四】点、线、面、体关系 1．下列现象中，能用“面动成体”来解释的是（     ） A．流星划过夜空，留下一道明亮的光迹 B．钟面上分针的转动，扫过一个圆面 C．半圆形纸片绕它的直径所在的直线旋转一周，形成一个球 D．汽车雨刷的摆动，扫过一个扇形区域 2．“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，朱自清把雨比作“牛毛”“花针”和“细丝”，形象地说明了（     ） A．点是由线与线相交而成 B．面动成体 C．线动成面 D．点动成线 3．雨滴在车窗上留下一道水痕，用数学原理解释这一现象为________；画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是________． 【类型五】几何体展开图的认识 1．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（     ） A．B．C．D． 2．下图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（     ） A．B．C．D． 3．如图几何体的展开图中，经过折叠能围成圆柱的是_________． 【类型六】正方体几种展开图的认识 1．下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，不属于正方体展开图的是（     ） A．B．C．D． 3．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 【类型一】平面图形旋转成立体图形 1．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 2．下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥的是（     ） A．B． C．D． 3．如图，已知长方形长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．绕长所在直线旋转的圆柱侧面积记为，绕宽所在直线旋转的圆柱侧面积记为，则与的大小关系为_______（请用“”“”“”填写）． 【类型二】正方体相对面的字 1．一个正方体的平面展开图如图所示．若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，则的值为（     ） A．14 B． C． D．0 2．如图，是一个正方体的表面展开图，当把它折成一个正方体，与“功”相对的字应该是（     ） A．绝 B．非 C．偶 D．然 3．如图所示的是一个正方体的展开图，它的每个面上都写有一个数，并且相对面上的数字互为相反数，则___． 【类型三】正方体相对面的图案 1．小红制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如下图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（   ） A．B．C．D． 2．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（     ） A．B．C． D． 3．按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【类型四】由展开图计算几何体的表面积 1．如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将一个长方形纸片的四个角剪去个相同的小正方形，并将其折成一个无盖的长方体盒子，长方形纸片和剪去的小正方形数据如图所示，则这个长方体盒子的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【类型五】由展开图计算几何体的体积 1．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 2．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 3．图1为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图2所示．从图1展开至图2，一共剪开了________条棱；若被剪开的棱的棱长和为，则四棱柱体积为________． 【类型六】补一个面使图形围成正方体 1．如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 2．2025年3月26日，我国成功发射天链二号04星，小琪准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“04”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在______处（填序号）． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等网格中有5个涂有阴影的小正方形，再取一个小正方形涂上阴影，画出使这6个涂有阴影的小正方形能围成一个小正方体的涂法． 【类型一】截一个几何体 1．用一个平面去截四棱锥，截面不可能是（     ） A．B．C． D． 2．若用一个平面去截六棱柱，则边数最多的截面的形状是（     ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 3．用一个平面去截下面的几何体，截面是四边形的几何体有______．（填序号） 【类型二】七巧板 1．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，用图①的一副七巧板拼成图②小鱼的图案，若七巧板面积为32，则图②中阴影部分的面积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【类型三】正方体表面积涂色问题 1．由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙．如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为（　　）    A．10 B．11 C．12 D．13 2．工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有______个，2个面涂色的有______个． 3．【综合与实践】某学校数学兴趣小组开展“正方体纸盒的制作”活动． (1)【知识准备】纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选择1个涂色，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒． (2)【动手操作】在“制作正方体纸盒”的实践活动中，数学兴趣小组利用若干个长方形纸板制作正方体纸盒．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 方案一：制作无盖正方体纸盒 ①若纸板是个边长为6cm的正方形，按图1所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为，再沿虚线折叠起来，可以得到一个无盖正方体纸盒． 此时，_____cm． ②若纸板是个边长为acm的正方形，按图2所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为，再沿虚线折叠起来，可以得到一个无盖正方体纸盒．此时，你发现x与a之间满足的等量关系是_____． 方案二：制作有盖正方体纸盒 ③若纸板是个宽为，长为的长方形纸板，按图3所示，在长方形纸板的三个角各剪去1个大小相同的小长方形（图中三个阴影部分），剩下部分恰好可以折叠成一个有盖的正方体纸盒，且其大小与方案一图2中的无盖正方体纸盒大小一样．求与之间的数量关系？ (3)【能力拓展】在方案二的条件下，求代数式的值． 【类型四】切分正方体 1．把一个棱长为的正方体切成两个长方体，这两个长方体表面积的和是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．一个立方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的27个小立方体，其中有两个面是红色的小立方体有______个．    3．如图是一张长方形硬纸片，正好分成15个完全相同的小正方形，现要把它们剪切成3份，使每份有5个小正方形相连，折起来都可以围成一个没有盖的正方体纸盒．请在图中用实线画出一种剪切线． 【类型五】规律问题 1．归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略．对于较为复杂的问题，可以从分析简单情形入手，通过分析归纳出一般规律． 将棱长为的正方体按如图方式放置，对于第1个图，很容易得出其表面积为．在计算第2个图的表面积时，一部分同学在逐个数小正方形的个数，小亮觉得一个一个数的方法容易重复或漏掉，而且不易观察规律，通过思考他发现可以用学过的“从三个方向看物体的形状”的知识解决这个问题，具体做法如下： 从正（后）面看，小正方形的个数有：个： 从左（右）面看，小正方形的个数有：个； 从上（下）面看，小正方形的个数有：个； 所以第2个图的表面共有个正方形， … 进而可以求出第2个图的表面积． (1)第2个图的表面积为______； (2)求第3个图的表面积； (3)第个图中，最下面一层组合体每行的正方体个数为______个；（结果用含的代数式表示） (4)试着求出第个图的表面积．（结果用含的代数式表示，不用化简） 2．如图，是按规律摆放在墙角的一些小正方体，从上往下分别记为第一层，第二层，第三层…第n层… (1)第三层有______个小正方体． (2)从第四层至第六层（含第四层和第六层）共有______个小正方体． (3)第n层有______个小正方体． (4)若每个小正方体边长为a分米，共摆放了5层，则要将摆放的小正方体能看到的表面部分涂上防锈漆，则防锈漆的总面积为______分米2． 3．如图，每个小正方形的面积均为1．认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题： (1)请写出第5个等式； (2)猜想第n个等式，用含n的等式表示这个等式； (3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？ 【类型六】欧拉公式 1．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型得 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系是__________________． （2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________． （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值． 2．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 3．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______． 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 m 6 12 正八面体 n 8 12 正十二面体 20 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______． (3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数． 【类型七】制作长方体纸盒 1．某综合实践小组开展了长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． 根据图方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为___________平方厘米； 如图，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形．用其中一个长为厘米，宽为厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图，盒子底面的四边形是长方形，； 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积，，的大小． 2．【问题背景】六（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 （填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 (2)图2是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的是“ ”． 【实践操作】 (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 3．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $