第2章 有理数 单元复习 培优讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学《有理数》单元复习讲义通过框架图和对比表格系统梳理了11个核心知识点，从正数负数、有理数分类到数轴、绝对值等按逻辑递进呈现，用表格区分有理数两种分类方式，突出绝对值非负性、混合运算顺序等重点及数轴动点、绝对值最值等难点。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如机器人空翻正负数应用培养抽象能力，培优题型通过绝对值几何意义求最值发展几何直观，压轴题型如新定义运算、数轴动点探究提升推理意识。分层练习适配不同学生，易错点总结助力自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第2章 有理数 知识点 1：正数与负数   1. 正数：大于 0 的数；负数：在正数前面添加负号 “” 的数；既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。   2. 相反意义的量：成对出现，用正负数表示；习惯上将上升、收入、增加记为正，下降、支出、减少记为负。   3. 注意：带 “” 号不一定是负数，如不一定为负数。 知识点 2：有理数的概念与分类   1. 整数和分数统称为有理数；有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无限不循环小数不是有理数。   2. 两种分类方式： 按定义分类 按符号性质分类 整数：正整数、、负整数 分数：正分数、负分数 正有理数：正整数、正分数 负有理数：负整数、负分数 常见名词：非负数（正数 +）；非正数（负数 +）；非负整数（正整数 +）；非正整数（负整数 +）。 知识点 3：数轴   1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三者为数轴三要素，缺一不可。   2. 对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都代表有理数。   3. 大小规律：数轴上，右边的数总大于左边的数；正数在原点右侧，负数在原点左侧，原点代表 0。   4. 两点距离：数轴上两点、之间距离：。 知识点 4：相反数   1. 只有符号不同的两个数互为相反数；的相反数是；的相反数是。   2. 代数性质：若、互为相反数，则。   3. 几何意义：互为相反数的两个数，在数轴上到原点的距离相等。   4. 多重符号化简：负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负；与正号的数量无关。 知识点 5：绝对值   1. 数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记作；距离非负，故（绝对值的非负性）。   2. 代数法则：    若，则；    若，则；    若，则。   3. 推论：若，则；若，则。   4. 非负性应用：若几个非负数相加等于 0，则每一个非负数均等于 0，即若，则。 知识点 6：倒数   1. 乘积为的两个数互为倒数；若、互为倒数，则。   2. 没有倒数；的倒数是，的倒数是。 知识点 7：有理数大小比较   1. 数轴法：右边数大于左边数。   2. 符号法：正数负数，正数大于所有负数。   3. 两个负数比较大小：绝对值大的反而小。 知识点 8：有理数的运算法则   1. 加法：同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，大绝对值减小绝对值；互为相反数相加得；一个数加仍得本身。   2. 减法：，减去一个数等于加上这个数的相反数。   3. 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；多个不为 0 的数相乘，负因数偶数个结果为正，奇数个结果为负；有因数为 0 则积为 0。   4. 除法：除以一个不为 0 的数，等于乘以它的倒数；两数相除，同号得正，异号得负；0 除以任何非 0 数结果为 0；0 不能做除数。   5. 乘方：，是底数，是指数，表示个相乘；正数任意次幂为正；负数奇次幂负，偶次幂正；的正整数次幂为 0。 知识点 9：有理数混合运算顺序   1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减；   2. 同级运算，从左向右依次运算；   3. 有括号，先算小括号，再算中括号，最后大括号。 知识点 10：运算律   1. 加法交换律：；加法结合律：   2. 乘法交换律：；乘法结合律：；乘法分配律： 知识点 11：科学记数法、近似数   1. 科学记数法：把大数写成，满足，为整数。   2. 近似数：四舍五入到哪一位，就叫做精确到哪一位。 【基础必考题型】 【题型 1 正负数与相反意义的量（情境跨学科）】 1.核心知识点:   正负数定义；相反意义的量；生活情境中识别正负基准。 2.解题方法技巧:   ① 找准题目规定的基准，区分 “增加 / 上升” 与 “减少 / 下降”；   ② 相反意义的量一定成对出现，必须带有数量；   ③ 审题看清谁规定为正，不要主观默认方向。 【例题1】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【变式题1-1】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启了人形机器人智造的黄金时代，国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻，若人形机器人向前进行12次空翻记作次，则人形机器人向后进行9次空翻记作（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【变式题1-2】.（26-27七年级上·全国·开学考试）中国古代数学著作《九章算术》中有一题“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其中不足四十五记作，那么不足三记作．( ) 【变式题1-3】.（26-27六年级上·上海青浦·开学考试）若规定收入为“”，则元表示（     ） A．收入200元 B．支出200元 C．支出元 D．收出元 【题型 2 有理数的识别与分类】 1.核心知识点:   有理数定义；整数、分数区分；0 的特殊性；区分有理数与无限不循环小数。 解题方法技巧 2.解题方法技巧:   ② 有限小数、循环小数归为分数；   ③ 分类题目不要遗漏数字 0。 【例题2】.（25-26七年级上·江西赣州·期末）在，0，， ， ，中，有理数的个数有（    ） A．3个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各数中，哪些是整数？哪些是分数？哪些是正数？哪些是负数？ 1，，，，325，，，，． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）在，0，，，，，1，，，中，正数有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题2-3】.（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 【题型 3 数轴三要素与基础读数平移】 1.核心知识点:   数轴三要素；点的平移；有理数在数轴上的表示。 2.解题方法技巧:   ① 向右平移做加法，向左平移做减法；   ② 画图辅助，负数在原点左侧；   ③ 注意：数轴上点不一定代表有理数。 【例题3】.（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）下列各图中，表示数轴的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）把笔尖放在数轴上表示的点上，先把笔尖向右移动3个单位，再把笔尖向左移动6个单位，此时笔尖落在数轴上的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）数轴上动点P从点A先向左移动1个单位长度，再向右移动4个单位长度到达点B，若点B表示的数是1，则点A表示的数是（） A．1 B． C．2 D．3 【变式题3-3】.（25-26六年级上·上海虹口·期末）数轴上到距离为8的点记为点A，那么点A表示的数是________ ． 【题型 4 相反数、倒数、绝对值基础计算】 1.核心知识点:   相反数、倒数、绝对值概念；多重符号化简。 2.解题方法技巧:   ① 求相反数直接在整体前加负号；0 没有倒数；   ② 化简绝对值先判断内部代数式正负；   ③ 多重符号只数负号个数，不要被数字迷惑。 【例题4】.（25-26七年级上·陕西榆林·期末）已知，且，的相反数是，求的值． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·吉林延边·期末）已知代数式与是互为相反数，求的值． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是3，求的值． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）已知a与互为相反数，b与互为倒数，且，求m，n的值． 【题型 5 有理数大小比较】 1.核心知识点:   有理数比较大小法则；负数比较；数轴比较法。 解题方法技巧 2.解题方法技巧:   ② 两个负数比较，先比较绝对值，绝对值大的数值更小；   ③ 多个数排序，可以借助数轴草图辅助。 【例题5】.（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在、、和中，最小的数是（     ）． A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）在数轴上画出所有表示大于，并且小于4的整数的点．其中最大的一个数是多少？ 【变式题5-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与； (3)与0； (4)与； (5)与． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来：，，，． 【题型 6 基础有理数计算（加减乘除乘方）】 1.核心知识点:   有理数加减、乘除、乘方运算法则；符号判断。 2.解题方法技巧:   ① 先定符号，后算绝对值；   ② 分清与的区别；   ③ 减法统一变为加法，除法统一变为乘法。 【例题6】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算：的结果是（     ） A．2 B．-25 C．-7 D．以上都不是 【变式题6-1】.（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）若有理数，互为倒数，，互为相反数，则_________． 【变式题6-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【变式题6-3】.（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【培优高频题型】 【题型 7 绝对值的非负性求值】 核心知识点   ，平方；几个非负数之和等于 0，则每一项都为 0。 解题方法技巧   ① 看到平方、绝对值相加等于 0，直接令每一项等于 0；   ② 求出未知数后代入代数式计算；   ③ 注意：结果要代入验算，避免计算失误。 【例题7】.（25-26七年级上·全国·期末）若，则的值为（    ） A． B．0 C．7 D．不能确定 【变式题7-1】.（24-25七年级上·新疆喀什·期中）若与互为相反数 ，求的值． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知． (1)求x，y的值； (2)求的值． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，计算的值． 【题型 8 有理数混合运算（运算律简便运算）】 1.核心知识点:   有理数混合运算顺序；加法、乘法运算律；拆项法简便计算。 解题方法技巧 2.解题方法技巧:   ② 带分数拆分整数部分和分数部分（拆项法）；   ③ 乘法分配律注意符号，括号内每一项都要相乘，不要漏乘。 【例题8】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下面解题过程． 例：； 例：； 请你参考上面的例题，用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·宁夏银川·期末）认真阅读小兵同学的解题过程，完成相应任务． 解：（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） （第六步） 任务一：填空 ①为了计算简便，第一步应用的运算律是 ．（用符号表示） ②在计算的过程中，第三步的变形依据是 ． ③ 步出现错误，错误的原因是 ． 任务二：请直接写出计算结果． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，，注意到与互为倒数． (1)若，则的值为________． (2)用分配律计算：． (3)直接写出的值． 【题型 9 有理数实际应用（生活情境应用题）】 1.核心知识点:   正负数实际意义；有理数加减运算；表格数据读取。 2.解题方法技巧:   ① 读懂表格基准，理解 “与计划的差值”；   ② 求总数量 = 基准总和 + 所有偏差之和；   ③ 看清问题，区分 “差值” 和实际数值。 【例题9】.（25-26七年级上·湖南湘西·期中）为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？请说明理由； (2)本次练习中守门员共跑了多少米？若每跑10米奖守门员2个苹果，则守门员可得到多少个苹果？ 【变式题9-1】.（26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试）某市出租车收费标准： 千米以内（含千米）起步价元； 超过千米的部分，每千米收费元； 不足千米按千米计算． 李叔叔打车一共付了元，他最多乘坐了多少千米？ 【变式题9-2】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续走了到达小颖家，最后回到超市． (1)若以超市为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为___________和___________； (2)货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？ 【变式题9-3】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加，轩轩家购买了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程 (1)请求出轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，求轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用． 【压轴素养题型】 【题型 10 绝对值几何意义求最值】 1.核心知识点:   绝对值几何意义代表数轴两点距离；最小值模型；数形结合。 2.解题方法技巧:   ① 代表到的距离；   ② 偶数个点：落在中间两个数之间（包含端点）取得最小值；   ③ 奇数个点：取中间那个点，取得最小值。 【例题10】.（25-26七年级上·天津·阶段检测）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：若 ，则 ； (2)填空：使得 成立的是 ； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时的值，如果没有，说明理由． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·四川资阳·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少? 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)请求出方程中的x：； (2)的几何意义是_________，请你结合数轴探究：的最小值是_____； (3)请你结合数轴探究：的最小值是_____，并在图④的数轴上描出得到最小值时所在的位置，由此可以得出的值为_____． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是 ，A到C的距离是 ．（直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 ．（用含绝对值的式子表示）； 拓展： （3）利用数轴探究： ①满足的x的所有值是 ； ②设，当时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 ； 当x的值取在 的范围时，的最小值是 ； 当x的取值是 时，的最小值是 ； （4）试求的最小值． 【题型 11 新定义探究题型（阅读理解）】 1.核心知识点:   有理数四则、乘方运算；阅读理解，迁移转化；新定义运算法则。 2.解题方法技巧:   ① 读懂例子，模仿例子套用公式；   ② 严格按照题目定义，不要套用自己学过的旧公式；   ③ 分步运算，先算括号内部。 【例题11】.（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若，则称与是关于6的平衡数． (1)7与_______是关于6的平衡数，与__________是关于6的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于6的平衡数，并说明理由． 【变式题11-1】.（25-26六年级上·上海·阶段检测）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数；若，则，若，则．例： (1)求______， ______； (2)当，时，有，试求：的值； 【变式题11-2】.（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·全国·寒假作业）给定有理数m，n，对于整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当时，若，，则，． (1)当时，若，则　 ，　 ，　 ；（用含x，y的式子表示） (2)当时，若，，，且的值与x的取值无关，求正整数k的值． 【题型 12 数轴动点探究问题】 1.核心知识点:   数轴点平移；两点距离；动点表示数；分类讨论思想。 2.解题方法技巧:   ① 向右运动加速度 × 时间，向左运动减速度 × 时间；   ② 两点距离一定用绝对值表示；   ③ 多种情况，必须分类讨论，不能遗漏。 【例题12】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图1，数轴上点A为，点B为13，点P是数轴上的一个动点． (1)若点P到A的距离为a，点P到B的距离为b．①当时，求点P所表示的数．②当时，求点P所表示的数． (2)如图2，数轴上动点Q在动点P右侧，并且始终与动点P保持1个单位长度的距离，A，B，P，Q四个点中，记其中两个点的距离为x，剩余两个点的距离为y，当P，Q在点A、B之间运动时，若，求点P所表示的数． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，其中b是最大的负整数，c是最小的正整数． (1) ， ； (2)用“<”将连接起来； (3)点P为数轴上一动点，则的最小值为 ． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 易错点 1. 混淆一定是负数；，忽略的情况，错误认为只能。 2. 乘方符号错误：区分和，前者等于，后者等于。 3. 两个负数比较大小，沿用小学思维，绝对值大的误认为数值更大。 4. 有理数混合运算顺序错误，跳步计算；乘法分配律漏乘括号内某一项。 5. 0 的相关陷阱：0 没有倒数，0 的相反数是 0；分类有理数时漏掉数字 0。 6. 科学记数法：范围搞错，把写成大于等于 10 或者小于 1；近似数判断精确度出错。 7. 数轴平移搞反方向：向左加、向右减；数轴两点距离忘记使用绝对值。 重点 1. 正负数、有理数、数轴、相反数、绝对值核心概念辨析。 2. 有理数加减、乘除、乘方运算，混合运算，符号判断是计算核心。 3. 绝对值非负性综合求值。 4. 数轴上点位置判断代数式符号，数形结合思想。 5. 科学记数法；有理数在实际生活中的应用。 难点 1. 绝对值几何意义，利用求距离与最值，抽象转化几何模型。 2. 有理数综合分类讨论问题，多解问题，舍去不符合条件的解。 3. 数轴动点问题，结合距离公式、时间速度建立代数式，多情况讨论。 4. 阅读理解新定义题型，把陌生定义转化为课本有理数运算知识。 5. 规律探究（个位循环、数式规律），观察归纳推理，周期余数计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．数轴上表示的点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 2．一台冰箱冷冻室的温度为，冷藏室的温度为，二者温差是（     ） A． B． C． D． 3．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 二、填空题 4．在，，，0，6，，，这几个数中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数也不是负数． 5．若则等于________． 6．如图，小明不小心将墨水滴在一条数轴上，根据图中标出的数据，被墨水盖住的整数共有______个． 7．已知，且，则的值为___________． 三、解答题 8．计算 (1) (2) (3) 9．（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ （2）当取何值时，有最大值，这个最大值是多少？ 10．定义：对于一个数，我们把称作的相伴数；如果，那么就有：如果，那么．例：． (1)则_________，_________． (2)若，且，求的值． (3)若，当，试求代数式的值． 11．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 12．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 幸福中心 【概念理解】定义：在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． 【问题解决】 （1）若点A表示的数是，则点A的“幸福点”点C表示的数是________； （2）已知点M表示的数是m，点N表示的数是n，且，．若点C为点M，N的“幸福中心”，求出点C表示的数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数 知识点 1：正数与负数   1. 正数：大于 0 的数；负数：在正数前面添加负号 “” 的数；既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。   2. 相反意义的量：成对出现，用正负数表示；习惯上将上升、收入、增加记为正，下降、支出、减少记为负。   3. 注意：带 “” 号不一定是负数，如不一定为负数。 知识点 2：有理数的概念与分类   1. 整数和分数统称为有理数；有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无限不循环小数不是有理数。   2. 两种分类方式： 按定义分类 按符号性质分类 整数：正整数、、负整数 分数：正分数、负分数 正有理数：正整数、正分数 负有理数：负整数、负分数 常见名词：非负数（正数 +）；非正数（负数 +）；非负整数（正整数 +）；非正整数（负整数 +）。 知识点 3：数轴   1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三者为数轴三要素，缺一不可。   2. 对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都代表有理数。   3. 大小规律：数轴上，右边的数总大于左边的数；正数在原点右侧，负数在原点左侧，原点代表 0。   4. 两点距离：数轴上两点、之间距离：。 知识点 4：相反数   1. 只有符号不同的两个数互为相反数；的相反数是；的相反数是。   2. 代数性质：若、互为相反数，则。   3. 几何意义：互为相反数的两个数，在数轴上到原点的距离相等。   4. 多重符号化简：负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负；与正号的数量无关。 知识点 5：绝对值   1. 数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记作；距离非负，故（绝对值的非负性）。   2. 代数法则：    若，则；    若，则；    若，则。   3. 推论：若，则；若，则。   4. 非负性应用：若几个非负数相加等于 0，则每一个非负数均等于 0，即若，则。 知识点 6：倒数   1. 乘积为的两个数互为倒数；若、互为倒数，则。   2. 没有倒数；的倒数是，的倒数是。 知识点 7：有理数大小比较   1. 数轴法：右边数大于左边数。   2. 符号法：正数负数，正数大于所有负数。   3. 两个负数比较大小：绝对值大的反而小。 知识点 8：有理数的运算法则   1. 加法：同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，大绝对值减小绝对值；互为相反数相加得；一个数加仍得本身。   2. 减法：，减去一个数等于加上这个数的相反数。   3. 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；多个不为 0 的数相乘，负因数偶数个结果为正，奇数个结果为负；有因数为 0 则积为 0。   4. 除法：除以一个不为 0 的数，等于乘以它的倒数；两数相除，同号得正，异号得负；0 除以任何非 0 数结果为 0；0 不能做除数。   5. 乘方：，是底数，是指数，表示个相乘；正数任意次幂为正；负数奇次幂负，偶次幂正；的正整数次幂为 0。 知识点 9：有理数混合运算顺序   1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减；   2. 同级运算，从左向右依次运算；   3. 有括号，先算小括号，再算中括号，最后大括号。 知识点 10：运算律   1. 加法交换律：；加法结合律：   2. 乘法交换律：；乘法结合律：；乘法分配律： 知识点 11：科学记数法、近似数   1. 科学记数法：把大数写成，满足，为整数。   2. 近似数：四舍五入到哪一位，就叫做精确到哪一位。 【基础必考题型】 【题型 1 正负数与相反意义的量（情境跨学科）】 1.核心知识点:   正负数定义；相反意义的量；生活情境中识别正负基准。 2.解题方法技巧:   ① 找准题目规定的基准，区分 “增加 / 上升” 与 “减少 / 下降”；   ② 相反意义的量一定成对出现，必须带有数量；   ③ 审题看清谁规定为正，不要主观默认方向。 【例题1】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据正数、负数、自然数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数， ∴选项C不符合题意． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启了人形机器人智造的黄金时代，国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻，若人形机器人向前进行12次空翻记作次，则人形机器人向后进行9次空翻记作（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】D 【分析】根据正负数的意义，向前空翻记作正数，则向后空翻记作负数表示即可． 【详解】解：∵向前进行12次空翻记作次，向后与向前意义相反， ∴向后进行9次空翻记作次． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·全国·开学考试）中国古代数学著作《九章算术》中有一题“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其中不足四十五记作，那么不足三记作．( ) 【答案】× 【分析】根据正负数表示相反意义的数解答． 【详解】根据分析可知，不足表示钱数不够，应记为负数， 所以，其中不足四十五记作，那么不足三记作． 所以，原题说法错误． 【变式题1-3】.（26-27六年级上·上海青浦·开学考试）若规定收入为“”，则元表示（     ） A．收入200元 B．支出200元 C．支出元 D．收出元 【答案】B 【分析】规定收入用“”表示，所以“”对应的是收入的相反意义的量，结合生活中收入的相反概念，确定负号对应的实际含义，再对应数值即可得到结果． 【详解】解：元表示支出了200元． 【题型 2 有理数的识别与分类】 1.核心知识点:   有理数定义；整数、分数区分；0 的特殊性；区分有理数与无限不循环小数。 解题方法技巧 2.解题方法技巧:   ② 有限小数、循环小数归为分数；   ③ 分类题目不要遗漏数字 0。 【例题2】.（25-26七年级上·江西赣州·期末）在，0，， ， ，中，有理数的个数有（    ） A．3个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，逐一判断每个数是否属于有理数即可． 【详解】解：∵是无限不循环小数，不是有理数； 0，， ， 都是有理数， 是无限不循环小数，不是有理数， ∴有理数有4个． 故选：D． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各数中，哪些是整数？哪些是分数？哪些是正数？哪些是负数？ 1，，，，325，，，，． 【答案】1，，325，是整数；，，，，是分数；1，，325，，是正数；，，，是负数 【分析】根据有理数的分类方法，整数的定义，分类定义，进行求解即可． 【详解】解：整数有：1，，325，； 分数有：，，，，； 正数有：1，，325，，； 负数有：，，，． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）在，0，，，，，1，，，中，正数有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正数：大于0的数为正数，熟练掌握正数的定义是解题关键．根据正数的定义解答即可得． 【详解】解：，，，都小于0，都是负数， 0既不是正数，也不是负数， ，，1，，都大于0，都是正数，共有5个， 故选：C． 【变式题2-3】.（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 【答案】(1)，， (2)，，，， (3)，， (4)，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类， （1）根据正数的定义，逐一分析各数即可； （2）根据负数的定义，逐一分析各数即可； （3）根据整数的定义，逐一分析各数即可； （4）非负有理数是正有理数和零的统称，据此即可获得答案． 【详解】（1）解：正数集合｛，，，…｝ （2）负数集合｛，，，，，…｝ （3）整数集合｛，，，…｝ （4）非负有理数集合｛，，，，…｝ 【题型 3 数轴三要素与基础读数平移】 1.核心知识点:   数轴三要素；点的平移；有理数在数轴上的表示。 2.解题方法技巧:   ① 向右平移做加法，向左平移做减法；   ② 画图辅助，负数在原点左侧；   ③ 注意：数轴上点不一定代表有理数。 【例题3】.（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）下列各图中，表示数轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是熟练地掌握数轴的三要素． 根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、缺少正方向，不是数轴，不符合题意； B、单位长度不一致，不是数轴，不符合题意； C、缺少原点，不是数轴，不符合题意； D、是数轴，符合题意， 故选：D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）把笔尖放在数轴上表示的点上，先把笔尖向右移动3个单位，再把笔尖向左移动6个单位，此时笔尖落在数轴上的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查数轴上点移动的规律：左减右加，根据笔尖在数轴上移动，向右移动数值增加，向左移动数值减少， 从起点开始，逐步计算移动后的位置 【详解】∵ 起点为 ， 向右移动 个单位：， 再向左移动 个单位：， ∴ 笔尖落在 ， 故选：A 【变式题3-2】.（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）数轴上动点P从点A先向左移动1个单位长度，再向右移动4个单位长度到达点B，若点B表示的数是1，则点A表示的数是（） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 通过逆向思维，从点B出发，按照相反方向移动相应的单位长度，即可求出点A表示的数． 【详解】解：点B表示的数是1， 动点P从点A先向左移动1个单位长度，再向右移动4个单位长度到达点B， 点A表示的数是． 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26六年级上·上海虹口·期末）数轴上到距离为8的点记为点A，那么点A表示的数是________ ． 【答案】或3 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离的定义，点A到点的距离为8，则点A可能在点的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：点A可能在点的左侧时，则点A表示的数为； 点A可能在点的右侧时，则点A表示的数为． 故答案为：或3． 【题型 4 相反数、倒数、绝对值基础计算】 1.核心知识点:   相反数、倒数、绝对值概念；多重符号化简。 2.解题方法技巧:   ① 求相反数直接在整体前加负号；0 没有倒数；   ② 化简绝对值先判断内部代数式正负；   ③ 多重符号只数负号个数，不要被数字迷惑。 【例题4】.（25-26七年级上·陕西榆林·期末）已知，且，的相反数是，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据相反数和绝对值的定义，可得，，代入求值即可． 【详解】解：∵，且，的相反数是， ∴，， ∴． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·吉林延边·期末）已知代数式与是互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查相反数的性质，掌握相反数的性质是解题关键． 根据互为相反数的两个数之和为0，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是3，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，相反数、倒数的定义，解题的关键是利用整体的思想求解． 由已知得，然后再整体代入求值． 【详解】解：由已知得， 所以， 原式. 【变式题4-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）已知a与互为相反数，b与互为倒数，且，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数的意义和求法，理解和掌握相反数、倒数的计算方法是解决问题的关键． 根据相反数、倒数的意义求出、，再根据非负数的意义，求出、的值． 【详解】解：由题意，得． 因为， 所以， 所以． 【题型 5 有理数大小比较】 1.核心知识点:   有理数比较大小法则；负数比较；数轴比较法。 解题方法技巧 2.解题方法技巧:   ② 两个负数比较，先比较绝对值，绝对值大的数值更小；   ③ 多个数排序，可以借助数轴草图辅助。 【例题5】.（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在、、和中，最小的数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分数化为小数，统一数的形式后比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴最小的数是． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）在数轴上画出所有表示大于，并且小于4的整数的点．其中最大的一个数是多少？ 【答案】 【分析】本题先根据整数的定义，结合给定范围找出所有满足条件的整数，再确定其中最大的数即可. 【详解】在数轴上，表示大于且小于4之间的整数有：、、、、0、1、2、，共8个，其中最大的一个数是， 画图见答案． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与； (3)与0； (4)与； (5)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】(1)(2)(5)属于两个负数比较大小，先求两数的绝对值，再根据绝对值大的负数反而小判断． (3)根据所有负数都小于判断． (4)根据正数大于所有负数判断． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：负数都小于，是负数， ； （4）解：正数大于所有负数，是正数，是负数， ； （5）解： ． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来：，，，． 【答案】 【分析】根据正数大于零，零大于负数进行比较即可． 【详解】解：∵正数大于零，零大于负数，两个正数比较，绝对值大的较大，， ∴． 【题型 6 基础有理数计算（加减乘除乘方）】 1.核心知识点:   有理数加减、乘除、乘方运算法则；符号判断。 2.解题方法技巧:   ① 先定符号，后算绝对值；   ② 分清与的区别；   ③ 减法统一变为加法，除法统一变为乘法。 【例题6】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算：的结果是（     ） A．2 B．-25 C．-7 D．以上都不是 【答案】B 【分析】按照运算顺序，先算，再算，最后算即可． 【详解】解：． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）若有理数，互为倒数，，互为相反数，则_________． 【答案】 【分析】根据,互为倒数，,互为相反数，可得，，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，互为倒数，，互为相反数， ∴，， ∴． 【变式题6-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题6-3】.（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先计算平方、立方、绝对值，再算乘除，最后算减法； （2） 先算乘方与小括号，再算中括号，接着算乘法，最后做减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【培优高频题型】 【题型 7 绝对值的非负性求值】 核心知识点   ，平方；几个非负数之和等于 0，则每一项都为 0。 解题方法技巧   ① 看到平方、绝对值相加等于 0，直接令每一项等于 0；   ② 求出未知数后代入代数式计算；   ③ 注意：结果要代入验算，避免计算失误。 【例题7】.（25-26七年级上·全国·期末）若，则的值为（    ） A． B．0 C．7 D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值和平方的非负性，代数式求值， 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零则每个部分必须为零，从而可求出a和b的值，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式题7-1】.（24-25七年级上·新疆喀什·期中）若与互为相反数 ，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，解题的关键是掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 根据互为相反数的两个数的性质和绝对值的非负性，可知，然后解得，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数 ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知． (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，正确计算是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得，据此求解即可； （2）根据（1）所求代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，计算的值． 【答案】或 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知绝对值的非负性．根据绝对值的非负性求出a，b的值，再求解，进一步代入即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， ∵， ∴， 当时，． 当时，． 【题型 8 有理数混合运算（运算律简便运算）】 1.核心知识点:   有理数混合运算顺序；加法、乘法运算律；拆项法简便计算。 解题方法技巧 2.解题方法技巧:   ② 带分数拆分整数部分和分数部分（拆项法）；   ③ 乘法分配律注意符号，括号内每一项都要相乘，不要漏乘。 【例题8】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加减运算法则以及绝对值的性质，结合加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下面解题过程． 例：； 例：； 请你参考上面的例题，用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟悉掌握简便运算的方法是解题的关键． （1）转化为，再利用乘法分配率运算求解即可； （2）利用乘法分配率运算求解即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ； 【变式题8-2】.（25-26七年级上·宁夏银川·期末）认真阅读小兵同学的解题过程，完成相应任务． 解：（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） （第六步） 任务一：填空 ①为了计算简便，第一步应用的运算律是 ．（用符号表示） ②在计算的过程中，第三步的变形依据是 ． ③ 步出现错误，错误的原因是 ． 任务二：请直接写出计算结果． 【答案】任务一：①乘法分配律；②去括号法则； ③第一步，错误地添加了“”；任务二：30 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，乘法运算律，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键． 任务一：①根据乘法分配律，进行解答即可； ②根据去括号法则进行解答即可； ③根据有理数混合运算的步骤进行解答即可； 任务二：根据有理数四则混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：任务一：①为了计算简便，第一步应用的运算律是乘法分配律； ②在计算的过程中，第三步的变形依据是去括号法则； ③第一步出现错误，错误的原因是：错误地添加了“”； 任务二： ． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，，注意到与互为倒数． (1)若，则的值为________． (2)用分配律计算：． (3)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），倒数的定义、有理数的混合运算． （1）由题意直接根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）直接根据（2）的结果结合倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ． 【题型 9 有理数实际应用（生活情境应用题）】 1.核心知识点:   正负数实际意义；有理数加减运算；表格数据读取。 2.解题方法技巧:   ① 读懂表格基准，理解 “与计划的差值”；   ② 求总数量 = 基准总和 + 所有偏差之和；   ③ 看清问题，区分 “差值” 和实际数值。 【例题9】.（25-26七年级上·湖南湘西·期中）为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？请说明理由； (2)本次练习中守门员共跑了多少米？若每跑10米奖守门员2个苹果，则守门员可得到多少个苹果？ 【答案】(1)守门员最后回到了初始位置． (2)本次练习中守门员共跑了60米，可得到12个苹果． 【分析】（1）计算所有跑动记录的代数和，根据和是否为0，即可判断是否回到初始位置； （2）先计算所有跑动记录的绝对值之和得到总路程，再结合奖励规则计算苹果数量即可． 【详解】（1）解：守门员最后回到了初始位置，理由如下： ，即守门员最后回到了初始位置． （2）解：总路程为各段跑动距离的绝对值之和：（米） ， 苹果数量： （个）． 答：守门员共跑了60米，可得到12个苹果． 【变式题9-1】.（26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试）某市出租车收费标准： 千米以内（含千米）起步价元； 超过千米的部分，每千米收费元； 不足千米按千米计算． 李叔叔打车一共付了元，他最多乘坐了多少千米？ 【答案】 李叔叔最多乘坐了千米. 【分析】先判断乘车路程超过千米的起步里程，再计算超出起步价的费用，除以超出部分每千米元的单价，得到超出的最大计费里程，结合不足千米按千米计算的规则，加上起步里程得到结果． 【详解】解： 由题意得，千米以内（含千米）收费元，超过千米的部分每千米收费元，不足千米按千米计算． ∵ ， ∴ 乘坐路程超过千米 ， 超出起步价的费用：（元） ， 超出千米的最大计费路程：（千米）． ∵ 不足千米按千米计算 ， ∴ 实际超出路程最多为千米 ， 总最大路程：（千米）． 答：他最多乘坐了千米． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续走了到达小颖家，最后回到超市． (1)若以超市为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为___________和___________； (2)货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)6，9 (2)千米 【详解】（1）解：小彬家在数轴上的位置表示的有理数为， 小颖家在数轴上的位置表示的有理数为； （2）解：由题意得，（千米） 答：货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了千米． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加，轩轩家购买了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程 (1)请求出轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，求轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用． 【答案】(1)轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米 (2)轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用为元 【分析】（1）将表格中的数据相加，再加上这7天的标准总路程即可得； （2）先求出总的耗电量，再乘以每度电的费用即可得． 【详解】（1）解：由题意得： （千米）， 答：轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：由题意得： （元）， 答：轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用为元． 【压轴素养题型】 【题型 10 绝对值几何意义求最值】 1.核心知识点:   绝对值几何意义代表数轴两点距离；最小值模型；数形结合。 2.解题方法技巧:   ① 代表到的距离；   ② 偶数个点：落在中间两个数之间（包含端点）取得最小值；   ③ 奇数个点：取中间那个点，取得最小值。 【例题10】.（25-26七年级上·天津·阶段检测）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【答案】(1)，3 (2)，8 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算． （1）由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数“”和“2”的点的距离之和，当时，取最小值，据此求解即可； （2）同（1）可知式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：表示在数轴上代表x的点到数字“”的距离， 表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离， 则表示在数轴上代表x的点到数字“”和“2”的距离之和， 所以，当代表x的点在数字“”和“2”之间， 即时，此距离之和最小，且最小值为3； 故答案为：，3； （2）解：∵看成数轴上数x到数a的距离， ∴式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小， ∴当时，有最小值8， 故答案为：，8． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：若 ，则 ； (2)填空：使得 成立的是 ； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时的值，如果没有，说明理由． 【答案】(1)6或 (2)或3 (3)有最小值，最小值为7 (4)有最小值，当时，最小值为3 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义与分类讨论思想，熟练掌握“利用绝对值的几何意义（数轴上点的距离）分析问题，结合分类讨论求解”是解题的关键． （1）根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解； （2）根据绝对值的几何意义（数轴上点到和的距离和），分区间讨论求解； （3）利用绝对值的几何意义，分析数轴上点到和的距离和的最小值； （4）根据绝对值的几何意义，分析数轴上点到、、的距离和的最小值及对应的值． 【详解】（1）解：， 或 ， 当时，， 当时，， 或； （2）解：分三种情况： 当时：，，解得； 当时，（无解）， 当时，，解得， 或， （3）解：表示数轴上对应的点到和对应的点的距离和， 当在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为； （4）解：表示数轴上对应的点到、、对应的点的距离和， 当时，距离和最小， 最小值为． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·四川资阳·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少? 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)请求出方程中的x：； (2)的几何意义是_________，请你结合数轴探究：的最小值是_____； (3)请你结合数轴探究：的最小值是_____，并在图④的数轴上描出得到最小值时所在的位置，由此可以得出的值为_____． 【答案】(1)或 (2)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3 (3)2；2 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义： （1）根据绝对值的几何意义直接求解即可； （2）仿照题干【阅读理解】作答即可； （3）仿照题干根据的几何意义，结合数轴讨论即可得到答案． 【详解】（1）解： 或； （2）解：的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和； 由【阅读理解】可知，当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （3）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，取得最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：2；2． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是 ，A到C的距离是 ．（直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 ．（用含绝对值的式子表示）； 拓展： （3）利用数轴探究： ①满足的x的所有值是 ； ②设，当时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 ； 当x的值取在 的范围时，的最小值是 ； 当x的取值是 时，的最小值是 ； （4）试求的最小值． 【答案】（1）4，8；（2）；（3）①5或；②4，，2，3，4；（4）1025156 【分析】本题考查两点间的距离公式，绝对值的几何意义，一元一次方程的应用，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式列出代数式即可； （3）①分三种情况进行讨论求解，即可；②化简绝对值求出m的值即可，根据绝对值的意义，求最小值即可； （4）根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得A到B的距离是， A到C的距离是； 故答案为：4，8； （2）A到B的距离与A到C的距离之和可以表示为； 故答案为：； （3）①∵， 当时，， ∴； 当时，，不成立； 当时， ∴． 综上：或； 故答案为：5或； ②，当时，， 故答案为：4； 式子表示数x到1和3的距离之和， ∴当时，式子有最小值为； 故答案为：，2； 表示数轴上表示x的点到表示1、和5三个点的距离之和，要使距离之和最小，x在中间的那个数上，即时，的最小值为4； 故答案为：3，4； （4）∵表示在数轴上表示x的点到表示1，2，3，……，2025共2025个点的距离之和， ∴当取中间那个数1013时，取到最小值， 把代入得： ． 即的最小值为1025156． 【题型 11 新定义探究题型（阅读理解）】 1.核心知识点:   有理数四则、乘方运算；阅读理解，迁移转化；新定义运算法则。 2.解题方法技巧:   ① 读懂例子，模仿例子套用公式；   ② 严格按照题目定义，不要套用自己学过的旧公式；   ③ 分步运算，先算括号内部。 【例题11】.（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若，则称与是关于6的平衡数． (1)7与_______是关于6的平衡数，与__________是关于6的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于6的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2) 与是关于6的平衡数， 理由： ， ∴与是关于6的平衡数． 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平衡数的定义进行列式计算，得出7与是关于6的平衡数，与是关于6的平衡数，即可作答． （2）先计算，化简整理后，结合平衡数的定义进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵，则称与是关于6的平衡数， ∴， 则7与是关于6的平衡数， ∴， ∴与是关于6的平衡数； （2）略 【变式题11-1】.（25-26六年级上·上海·阶段检测）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数；若，则，若，则．例： (1)求______， ______； (2)当，时，有，试求：的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了新定义，代数式求值，有理数的加减，读懂定义，正确列式，是解题的关键． （1）按照定义式计算即可； （2）先由，，根据定义式将，化简，再根据题意得方程，得出，再将要求的式子变形，使得能将整体代入，则问题得解． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，； （2）解：当，时，有，． ， ，即． ． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【答案】(1)同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加；结果等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，反例看解析 (4) 【分析】本题考查定义新运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键： （1）由给出的算式，得到两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）根据新运算的法则，进行计算即可； （3）不适用，举出一个反例即可； （4）根据，定义一种新运算即可． 【详解】（1）解：两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）解：； （3）不适用，例如：，，， 故结合律在有理数的“”运算中不适用； （4）∵，， 故可以定义． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·全国·寒假作业）给定有理数m，n，对于整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当时，若，，则，． (1)当时，若，则　 ，　 ，　 ；（用含x，y的式子表示） (2)当时，若，，，且的值与x的取值无关，求正整数k的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了新运算的定义与理解、整式的加减，熟练掌握新运算的理解和指数运算是解题的关键； （1）根据新定义直接代入化简即可； （2）根据已知条件分别表示出M、N，然后化简，根据不含有的项的系数为0，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由题意，∵， ∴将代入得：． 观察“⊗”的规律：的系数满足递推式， 解得（如时，，时，， ∴． 又∵ ， ∴由与x无关，故的系数为0． ∴． ∴． 【题型 12 数轴动点探究问题】 1.核心知识点:   数轴点平移；两点距离；动点表示数；分类讨论思想。 2.解题方法技巧:   ① 向右运动加速度 × 时间，向左运动减速度 × 时间；   ② 两点距离一定用绝对值表示；   ③ 多种情况，必须分类讨论，不能遗漏。 【例题12】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图1，数轴上点A为，点B为13，点P是数轴上的一个动点． (1)若点P到A的距离为a，点P到B的距离为b．①当时，求点P所表示的数．②当时，求点P所表示的数． (2)如图2，数轴上动点Q在动点P右侧，并且始终与动点P保持1个单位长度的距离，A，B，P，Q四个点中，记其中两个点的距离为x，剩余两个点的距离为y，当P，Q在点A、B之间运动时，若，求点P所表示的数． 【答案】(1)①4；②或1； (2)点P所表示的数为或或或 【分析】（1）①根据可得到点P是的中点，据此求出的值，从而求出点P所表示的数； ②分两种情况讨论：若P在点A左侧，则；若P在之间时，利用结合求出的值，从而求出点P所表示的数； （2）根据点P、Q与A、B的位置关系进行讨论：分别表示出所有两点距离、，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：①， 当时，点P是的中点， ， 点P所表示的数：； ②当时，分两种情况讨论： 若P在点A左侧，则， 点P所表示的数：； 若P在之间，， 点P所表示的数：， 点P所表示的数为或1； （2）解：分情况讨论： ①如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ②如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ③如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ④如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； 综上所述，点P所表示的数为或或或． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，其中b是最大的负整数，c是最小的正整数． (1) ， ； (2)用“<”将连接起来； (3)点P为数轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值以及数轴，正确得出、的值是解答本题的关键． （1）根据最大的负整数为，最小的正整数为1可得答案； （2）根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果； （3）根据数轴上两点之间的结论解答即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是最小的正整数， ∴，， 故答案为：，1； （2）解：由题意可知，即， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，当点在、之间时，的最小，的最小值为2． 故答案为：2． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)当时，点Q到原点O的距离为6； (2)当时，点Q到原点O的距离为4； (3)点P到点Q的距离为6或10或22 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，再用8减去点Q运动的路程即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，然后减去8即可解答； （3）分点Q向左运动还没到达原点时、点Q向右运动时且还没经过点A时、点Q向右运动时且经过点A后三种情况，分别求出的长、进而求得运动时间，再求得的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， ∴当时，点Q到原点O的距离为6； （2）解：∵动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动， ∴当时，点Q运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ∴当时，点Q向右运动，， ∴当时，点Q到原点O的距离为4； （3）解：当点Q到点A的距离为4时， 分三种情况讨论： ①点Q向左运动还没到达原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， 运动时间为（秒）， ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ②点Q向右运动时且还没经过点A时， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ③点Q向右运动时且经过点A后， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为12； ； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 易错点 1. 混淆一定是负数；，忽略的情况，错误认为只能。 2. 乘方符号错误：区分和，前者等于，后者等于。 3. 两个负数比较大小，沿用小学思维，绝对值大的误认为数值更大。 4. 有理数混合运算顺序错误，跳步计算；乘法分配律漏乘括号内某一项。 5. 0 的相关陷阱：0 没有倒数，0 的相反数是 0；分类有理数时漏掉数字 0。 6. 科学记数法：范围搞错，把写成大于等于 10 或者小于 1；近似数判断精确度出错。 7. 数轴平移搞反方向：向左加、向右减；数轴两点距离忘记使用绝对值。 重点 1. 正负数、有理数、数轴、相反数、绝对值核心概念辨析。 2. 有理数加减、乘除、乘方运算，混合运算，符号判断是计算核心。 3. 绝对值非负性综合求值。 4. 数轴上点位置判断代数式符号，数形结合思想。 5. 科学记数法；有理数在实际生活中的应用。 难点 1. 绝对值几何意义，利用求距离与最值，抽象转化几何模型。 2. 有理数综合分类讨论问题，多解问题，舍去不符合条件的解。 3. 数轴动点问题，结合距离公式、时间速度建立代数式，多情况讨论。 4. 阅读理解新定义题型，把陌生定义转化为课本有理数运算知识。 5. 规律探究（个位循环、数式规律），观察归纳推理，周期余数计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．数轴上表示的点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离为． 2．一台冰箱冷冻室的温度为，冷藏室的温度为，二者温差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数减法法则计算即可． 【详解】解：． 3．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】根据正六边形翻转规律，确定数轴上整数点对应的顶点呈周期性变化，周期为6，据此解答即可． 【详解】解：由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 顶点对应的数以6为周期循环， ， 数2026对应的顶点与数4对应的顶点相同，即为点． 二、填空题 4．在，，，0，6，，，这几个数中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 5 2 0 【分析】根据正负数的定义，对给出的数逐一分类，统计个数即可． 【详解】解： 大于0的数是正数，小于0的数是负数，既不是正数也不是负数， 对给出的数逐一判断：，是正数；，是负数；，是负数；既不是正数也不是负数；，是正数；，是正数；，是正数；，是正数； 统计得：正数共个，负数共个，既不是正数也不是负数． 5．若则等于________． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”是解题的关键．根据非负数的性质，由平方项与绝对值项的和为0，得出每一项都为0，进而求出、的值，再计算． 【详解】解：∵ , 又∵ ，, ∴ ，, ∴ ，, ∴ ，, ∴ , 故答案为：． 6．如图，小明不小心将墨水滴在一条数轴上，根据图中标出的数据，被墨水盖住的整数共有______个． 【答案】 【分析】根据数轴确定墨水覆盖的两个数值范围，分别找出范围内的整数个数． 【详解】解：左边的墨水覆盖区域大于，小于，其中整数有，，，，，，，共个， 右边的墨水覆盖区域大于，小于，其中整数有，，，，，，共个， 综上，被墨水盖住的整数共有个． 7．已知，且，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质得到、的所有可能取值，再结合和确定、的具体值，最后计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴与同号， 即有两种情况：或 ∵，当时，，不满足条件，舍去； 当时，，满足条件 ∴． 三、解答题 8．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 9．（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ （2）当取何值时，有最大值，这个最大值是多少？ 【答案】（1），0；（2），2025 【分析】此题考查绝对值的性质，代数式的最值问题， （1）根据是非负数且最小得时，有最小值，这个最小值是0； （2）根据时，有最小值为0，得有最大值，这个最大值是2025． 【详解】解：（1）因为是非负数，且非负数中最小的数是0， 所以当时，有最小值，这个最小值是0； （2）当时，有最小值，这个最小值为0， 此时有最大值，这个最大值是2025． 10．定义：对于一个数，我们把称作的相伴数；如果，那么就有：如果，那么．例：． (1)则_________，_________． (2)若，且，求的值． (3)若，当，试求代数式的值． 【答案】(1)，0 (2)0或 (3)代数式的值为 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是解题的关键． （1）依据题意，根据所给新定义进行列式计算可以得解； （2）依据题意，根据所给新定义进行分类讨论，求出，后代入计算可以得解； （3）依据题意，由，且，从而可分两种情形：①，②，，进而求出后即可判断得解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 或， 解得或， ，且 ， 解得， 当，时，； 当，时，， 或， （3）解：由题意，，且， 可分两种情形： ①当，时， ，， ， ； 原式； ②当，时；． ， ； 原式． 综上所述：代数式的值为． 11．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ， ， ； （2）设， ， ∴， ， ． 12．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 幸福中心 【概念理解】定义：在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． 【问题解决】 （1）若点A表示的数是，则点A的“幸福点”点C表示的数是________； （2）已知点M表示的数是m，点N表示的数是n，且，．若点C为点M，N的“幸福中心”，求出点C表示的数． 【答案】（1）或2；（2）点表示的数是或 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离，解绝对值方程，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）设点C表示的数是，根据题意，得，解绝对值方程即可； （2）设点C表示的数是，根据题意，得，解绝对值方程即可． 【详解】解：（1）设点C表示的数是，根据题意，得， 故或， 解得或， 故答案为：或2； （2）解：设点C表示的数是，由题意得，点表示的数是，点表示的数是2， 由点C为点M，N的“幸福中心”，得， 故， 当时，化简，得， 解得，此时点表示的数为， 当时，化简，得， 解得，此时点表示的数为， 当时，化简得，此时不成立， 综上所述，点表示的数是或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $