广东省河源市龙川县第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

龙川一中2025-2026学年度第一学期高二年级10月考试 数学试卷 答卷时间：120min满分：150分命题人：邓清霞审题人：黄益勇 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.) 1、已知向量a=(2,1,0),b=(2,-1,√3)，则2a-=() A.2 B.4 C.6 D.8 2、已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且PA=aPB+BPC,则“a+B=1” 是“A、B、C三点共线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、已知a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a方向上的投影向量为() a(号专 制 c(到 D.( 4、若平面的法向量为i=(-1,2,4),平面B的法向量为=(，-1，-2)，直线1的方向向量 为=(，-2,4)，则() A.若a/1P,则m=1 B.若1⊥，则n=2 C.若n=-20,则1//a D.若m=-10,则a⊥B 5、若ā，，c是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为() A.a-b,b+c,cta B.-a+c,-B-c,a+b C.a+b,b-c,a+c D.a+b,a-b,c 6、依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，A,表 示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，A,表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”， A表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7"，则（) A.A与A为对立事件 B.A与A为相互独立事件 C.A与A为相互独立事件 D.A,与A4为互斥事件 高一年级10月考试数学试卷第1页共4页 7、《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其 中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵ABC-AB,C, 中，M是AC的中点，G是MB的中点，若AG=xAB+yAA+zAC,则x+y+:=() M A G B A.1 B.2 c.3 0. 8、如图，在正方体ABCD-AB,CD1中，O是AC中点，点P在线段AC1上，若直线 OP与平面ABC,所成的角为8，则snO的取值范围是() D C B A D- 1-C 25 「117 A. 33 B. 43 D.43] 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9、已知函数f儿)-anar+o(o>0）的最小正周期为元，且心)s得-2， 则下列说法正确的是() A.a= B.b=1 C.f(x)的图象关于点 对称 0若受或<名<元)=)，则+6轻 高一年级10月考试数学试卷第2页共4页 10、甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中的概率均为0.7，乙每次命中的概率均为 0.8,甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则下列结论正确的是() A.两人都命中的概率为0.56 B.恰好有一人命中的概率为0.38 C.两人都没有命中的概率为0.6D.至少有一人命中的概率为0.94 11、在长方体ABCD-AB,CD中，AB=AA=1,AD=2,M为BC的中点.动点P满足 24+4,eo时引， -∈[0,1]，则下列说法正确的是() A.点P一定在平面AACC内 B.当：=2x时，点P的轨迹长度为√ C.当A,P,M三点共线时，2x+二=1 D.当所D:时，PA的最大值为 2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12、若直线的一方向向量与平面α的一个法向量的夹角为5，则直线与平面α所成的角 为 13、如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为；，则灯亮 的概率为 14、已知正三棱柱ABC-ABC的底面边长为2，M是BC的中点，若线段CC上有一点N, 使得N⊥AB,,则侧棱AA长的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、己知△ABC的三个内角A,B,C满足cosA=行，tamC=5 1 (1)求cos(A+B)的值： (2)求角B的大小。 16、如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA=2,PA=√3，PB=PC=√7 (1)求三棱锥P-ABC的体积； (2)求点A到平面PBC的距离. 高一年级10月考试数学试卷第3页共4页 17、长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市.为更好地了解游客对长沙旅游 体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满 分100分)，根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求x的值： 个频率 组距 0.040 (2)估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的 平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）： 0.015 (3)旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法 0.010 0.005 从评分在50,60)，[60,70)的两组中共抽取6人，再从 05060708090100分数 这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在[50,60)内， 另1人在[60,70)内的概率. 18、如图，已知△ABC是等边三角形，AB=BD=2CE=2,CE∥BD,BD⊥平面ABC,点 F为AD的中点. D (1)证明：EF⊥平面ABD: (2)求直线AC与平面ADE夹角的正弦值. 19、已知函数f)=V5 sin0x-cos2or+与o>0)的最小正周期为元. (1)求f(x)的解析式： (2)设函数g(x)=2+1,若对任意的x1∈[0,1]，总存在x,∈0， 7π 12 使得g(x)=f(x2)+a成立，求 a的取值范围； (3)若函数u(x)=8f(x)]-8uf(x)+在0， 7元 12 上有3个零点，求的取值范围. 高一年级10月考试数学试卷第4页共4页龙川一中2025-2026学年度第一学期高二年级10月考试 数学答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C B 0 D D A ABD ABD BC 12、合 13、 2/0.8125, 14、[1,+00) 1、【详解】由题设2a-i=2-(2,10)-(2,-1,V5)=(2,3,-√5)， 所以2a-=V22+32+(←5)2=4+9+3=4.故选：B 2、【详解】若a+B=l,则pA=aPB+(1-a)PC,故pA-pC=(PB-pC), 所以CA=aCB,而CA,CB共起点，故A,B,C三点共线，若A,B,C三点共线，则存在 实数元，使得CA=CB,故PA-pC-PB-pC),故PA=PB+1-2)Pc, 因为P,B,C不共线，则PB,PC不共线，故1=a,1-1=B,故+B=1, 故“a+B=1"是“A、B、C三点共线"的充分必要条件，故选：C 3、解析：a=(1,2,2),b=(-2,1,1),.ab=1×(-2)+2×1+2×1=2,向量a方 向上的单位向量e=:=日，？，2） a(333 ,∴.向量b在a方向上的投影向量为 a.b e= 故选B. a V12+22+22 4、【详解】对于A,由a,得，则号=}子，解得=分板A错： 血12，得m,则号子子，解得n1,故8错： 由n=-20,得f=(-20,-2,-4),i:i=20-4-16=0,i⊥i,则111a或1ca,故C错： 由m=-10,得节=（仁-10，-1，-2），元.=10-2-8=0，元⊥，则a⊥B,故选：D. 5、【详解】A选项，a-b+(6+c)=c+a,所以a-b,+c,c+a是共面向量； B选项，-i+c+(-b-c)=--b=-a+b),所以-a+c,-b-c,a+b是共面向量： c选项，a+b-(6-c)=a+c,所以a+i,b-c,a+c是共面向量： 高一年级10月考试数学试卷第1页共8页 D选项，令a+b=x(ā-b)+y,显然x,y无解，故不是共面向量.故选：D 6、【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第 一次在前，第二次在后，样本空间2如下： {1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),（1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6, (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36个样本点. 则事件4包括2.22.2,24.2.0，共6个，4)君 事件A包括1,1)，1,2)，1,3)，1,4,1,5)，1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4，(3,5)，(3,6)， 6.6,2.6(0.(56o,共18个，)= 事件A包括0,5.(24.6,3(4,2).(5，)，共5个，P4)= 36 事件4包括0.2503以52(，共6个，4)6君 对于A,A∩A=②，AUA,≠2，所以A与A4不为对立事件，故A错误： 对于B,事件44包括24，则44名，又P(4)名，P 361 所以4)心)名名4A,即4与4不相互独立，放B错误： 对于C,事件44包括oa,4,2,则4)立，又P4)-号P)- 6 所以4)4)日立4A,即4与4相互独立，放C正确： 对于D,事件AA包括(1,6，(3,4)，(5,2)，则A,∩A≠0，即A与A不为互斥事件， 故D错误故选：C. 7、【详解】连接AM,因为G是的中点，所以AG=aM+A西)， 因为三棱柱ABC-AB,C,是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形ACCA为长方形，又因为M是AC的中点， 所以AM=A4+4M=A4+1AC, 则G-+)a+号c西-}亚++c, 高一年级10月考试数学试卷第2页共8页 x=2 又AG=AB+yAA+AC,西，A4,AC不共面，则y=2, 则x+y+z= 选D. 5 E=4 AP 8、解析：如图，设正方体的棱长为1， AC (0≤元≤1)，则4P=4C 以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 11 则40,0)，C01,0),0520,故4G=AC=（-11,0), 4F=(←元，元，0)，又A1,0,),则P1-元，1)，所以 0丽-合名号 D 在正方体ABCD-A,BC,D,中，可知体对角线 BD⊥平面ABC,所以DB=(1,1,1)是平面ABC的一个法向量， 所以im&=os(oP,DB 所以 8 当名=时，sn9取得最大值5，当元=0或1时，m9取得最小值 .选A 3 b 9、【详解】A、B:f(x)=asinax+bcos@x=√a+bsin(ox+p)，tanp= 由f(x)的最小正周期为元，得0-2=2， √ 因为f(x) s亚=2，所以 3a+b=2 了2 2 a2+b2=4 解得 a=v3 ,故A、B正确 b=1 f)=Vin2x+as2x=2in2x君)，当x=号时，2x-君=行故c错 6 6 高一年级10月考试数学试卷第3页共8页 因为f)-f5,所以2驾++2，+区 +6_3π，即x+x=3 虹，故D正确 2 2 10、ABD设事件A:甲投篮一次命中，事件B:乙投篮一次命中， 则事件A,B独立，P(A)=0.7,P(B)=0.8. 对于A,P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,因此A正确： 对于B,由P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38,B正确： 对于C,P(AB)=P(A)P(B)=0.3X0.2=0.06,因此C错误： 对于D,1-P(AB)=1-0.06=0.94,因此D正确. 11、【详解】对于A选项，易得AB+号AD=M,故P=2x+z4,则AP,4M,A4 共面，又AP,AM,AA有公共点A,故点P在平面A4M内，故A错误； 对于B选项，取B,C的中点N,连接AN,N, 则NWBB,AA1∥BB,MN=BB,AA=BB,则NI∥AA,N=AA,则四边形AA☑M 为平行四边形，则当：-2时，D-2W+24-24W,0 可知此时点P的轨迹为线段AN,其长度为VA4+BMP+AB2=+l+1=√3，故B 正确： 对于C选项，由AP=2xAM+zA4,与A,P,M三点共线，可知2x+:=1,故C正确： 对于D选项，显然{AB,AD,AA}为一组正交基底， D DP=AP-AD=2xAB+xAD+A4-AD=2xAB+(x-1)AD+A4, PA.PD=AP.DP=(2x4B+xAD+2Ad)2x4B+6-1D+24, =4x2AB+x(x-1)AD+z24=8x2-4x+z2=- 4 AP=AP-AA=2xAB+xAD+(=-1)AA, 故闻到-4r+而：-a48r+-2z+1-4x41-2, 因x:,放当分：0时，4最大为，1=四 此时不满足8-4+：=一子故A的最大值不为，故D错误。故选：BC 高一年级10月考试数学试卷第4页共8页 12、【详解】：直线与平面a所成角与其方向向量与平面法向量的夹角互余， 直线与平面α所成的角为-号=若故答案为：君 13、【详解】记开关A,B,C,D闭合为事件A,B,C,D, 因为开关A,B断开且开关C,D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮， 所以灯不亮的概率为 rPo]a回e)(]1)G 所以灯亮的概率为一。板答案为：号 14、【详解】设侧棱A4长为x,则CC长为x, 由题意远-c+N历+， C B AB=BB+CB-CA=CC,+CB-CA, 其中∠ACB=号∠4CC=∠BCC-, 故C.CB=C.CA=0, 西CM-0④cos∠4cB=2x2x2, 又w1AB,故=-丽C+丽-a) =.cc+c丽-4西c}@+丽M-m.cG-2+1=0 即c.cC=1,又≤C,所以1=C.cC=C}x2,所以x≥1， 即侧棱AA长的取值范围是[1，+∞)，故答案为：[1，+∞) 15、解：(1)在△ABC中，内角和A+B+C=π，故A+B=π-C。 根据诱导公式cos(π-)=-cos0,得cos(A+B)=-cosC。 知tanG=票(c为三角形内角，故Cc(0,,且tanC>0,即Ce(0,导)，cosC>0)。 由taC=器-路设sinc=5V3k,cosC=11k(k>0). 根据同角三角函数基本关系sin2C+cos2C=1: (5N5K2+11k2=175k2+121k2=1→196k2=1→k=14 1 因此c0sC=11k=是故：c0s(A+B)=-cosC=片(6分) 高一年级10月考试数学试卷第5页共8页 (2)已知cosA=3(A∈(0，)，sinA>0),由sin2A+cos2A=1: sinA =1-cos2A= 4843 49 7 由A+B=π-C,得sin(A+B)=sin(π-C)=simC,代入sinC=5V3k= 14 要求角B,需用两角差的余弦公式：B=(A+B)一A,故： cosB cos[(A+B)-A]=cos(A+B)cosA+sin(A+B)sinA 代入已知值：sB=()×+×9 计算分子：是+6品+是是=月 98 因BE(0,),且osB=2故B=号(7分)。 16、【详解】(1)因为AB=BC=CA=2,PB=PC=√7， 所以PB2=7=22+(V3)2=AB2+PA,PC2=7=22+(N3)2=AC2+PA2, 所以PA⊥AB,PA⊥AC,又AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC, 所以PA1平面ABC,又3e=方×2x2xsm60=5,， 所以三校锥D-A8C的体积ee号9A背5x51: (2)在△PBC中，由PB=PC=√7，BC=2, 所以BC边上的高为h=列-分×2=6， 所以Sc)×2×V6=6,设点A到平面PBC的距离为d, ● 所以写8d-,由a)可得5-1，解符4=名-9 62 所以点A到平面PBC的距离6 17、【解析】(1)由(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=1,解得a=0.030; (2)(55×0.005+65×0.010+75×0.015+85×0.030+95×0.040)×10=84, 所以这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数为84分： (3)评分在[50,60)的人数为100×0.005×10=5人，评分在[60,70)的人数为 高一年级10月考试数学试卷第6页共8页 100×0.010×10=10人，按比例分层抽样的方法从两组中共抽取6人， 则从评分在[50,60)中抽取6×，5 =2人，分别为a,b表示： 5+10 从评分在[60,70)中抽取6× 10=4人，分别用A,B,C,D表示， 5+10 则从这6人中随机抽取2人的样本空间为 ={AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab )n()=15 设恰有1人评分在[50,60)内，另1人在[60,70)内为事件A, A=Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db),n(A)-8, 所以，P4)=A_8 n2)15 18、【详解】(1)证明：如图，取AB的中点O,连接OF,OC, :BD⊥平面ABC,BDC平面ABD,.平面ABC⊥平面ABD, :△ABC为等边三角形，.CO⊥AB, 又平面ABC∩平面ABD=AB,COC平面ABC,.CO⊥平面ABD. CE/IBD,点F为AD中点，OP1IBD,且OF=1BD, 2 又cB-BD,0F/1C,OR-CE, ·四边形OFEC是平行四边形， .CO/EF,.EF1平面ABD (2)由(1)可知CO1平面ABD,OF1平面ABC,.OF,AB,OC两两垂直， 故以O为坐标原点，OA、OC、OF所在直线分别为x,y,=轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则00,0.0)，410.0)，B(-10.0),C(05.0）,05,1,D-10,2) K9 Ac=(13,0）.AE=(15,1.AD=(-2,0,2) B 设平面40E的法向量m=(Gy,则5=0即t+5y+:=0, C m.AD=0,1-2x+2:=0, 令z=1,则x=1，,y=0,.m=(1,0,1).设直线AC与平面ADE的夹角为日， 则sin=cosAC,m= ACm1√2 4C2xV24,AC与面4DB夹角的正弦值为2 高一年级10月考试数学试卷第7页共8页 19、【详解】(1)因为f)=n-6osar+ 2 sin2x-1+c0s2 2 2 in2ar- 2 2 cos 2ox=sin 2- 6 函数f)的最小正周期为元，又o>0,则20=2匹=2，所以a=1, 所以f(x)=sm2x- 6/1 (2)因为g(x)=2+1是增函数，当x∈[0,1]时8(x)e[g(0),g)]=[2,3], 当晋时，2%吾[则[所以ea[a 由期恋可2水分a1+a,则0 解得2sas 1+a≥3 即a的取值范围为2引. (3)令，由(2)知当[0资时，，即[ 则函数h(t)=8t2-8t+m有两个零点，t2(<t2), 且f(x)的图象与直线y=t,y=t,共有3个公共点， 由f(x)的图象可知，当t2=1,4∈[0,1)时， 6)-A0-8-8+m=0,得m-号 由40=x4+0,得名=1,4-0，符合题意. △=642-32L>0 当4号0j时. 风-20，解得-号m0, h(0)=m≤0 h(1)=8-7>0 综上，m的取值范围为舍0~得》。 高一年级10月考试数学试卷第8页共8页