精品解析：陕西省汉中市宁强县天津高级中学2026-2027学年高一上学期第一次限时训练数学试卷

宁强县天津高级中学2026级高一第一学期第一次限时训练 数学试题 注意：本试题共4页，19题，满分150分，时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，集合， 则. 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为，的否定为，， 所以为，. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，则，所以，故A为假命题； 对于B，若，则，且，所以，故B为假命题； 对于C，若，当时，，故C为假命题； 对于D，若，则，所以，故D为真命题． 4. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 无最小值 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则代数式 的最小值为4. 5. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合等式性质分别判断充分性和必要性是否成立可得. 【详解】充分性：若，根据等式的基本性质，等式两边同时乘任意实数，等式仍然成立，可得，因此充分性成立. 必要性：取，则满足条件，但不成立，因此必要性不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 6. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以是任意奇数，所以集合是所有奇数构成的集合. 同理，当，时，表示的是所有比4的整数倍多1的数，即①， 当时，表示的是所有比4的整数倍少1的数，即②， 所以①②合起来也是全部奇数，所以集合也是所有奇数构成的集合， 所以，故A，C错误，B正确； 因为集合是所有奇数构成的集合，所以是所有偶数构成的集合， 所以，故D错误. 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法将目标式表示为已知的与的线性组合，结合不等式的同向可加性求解取值范围. 【详解】设，其中为实数， 所以，故，解得， 所以， 因为，所以， 又，则， 所以，即. 8. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，利用基本不等式可得，再利用一元二次不等式的解法即得． 【详解】解：∵不等式有解， ∴， ∵，，且， ∴， 当且仅当，即，时取“＝”， ∴，故，即， 解得或， ∴实数 m 的取值范围是． 故选：B． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【详解】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 10. 以下结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则的最小值是 C. 的最小值是 D. 若，，且，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，， 因此，当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，当时，，最小值不可能为2，故B错误； 对于C，令，则，因为，当且仅当时取等号， 又，所以等号取不到，所以的最小值不等于2，故C错误； 对于D，因为，，所以，当且仅当时取等号，故D正确. 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 方程的两根为， D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系可知AC正误；利用韦达定理可得之间关系，结合一元二次不等式的解法可求得BD正误. 【详解】对于AC，不等式的解集为， 且方程的两根分别为和，故A正确，C正确； 对于B，由韦达定理可知，，得，， ，故B错误； 对于D，由，，，不等式为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设集合，，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等可得出关于的等式与不等式，即可解得的值. 【详解】因为集合，，且，故，解得. 故答案为：. 13. 不等式的解集为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式求解即得. 【详解】由移项通分，可得，与同解， 解得或，即原不等式的解集为或. 故答案为：或 14. 若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有  ， 解得. 即实数a的取值范围为. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合. （1）当时，求. （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据题意得到集合之间的关系，分类讨论，列出不等关系，求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以，. 【小问2详解】 因为是的充分条件，则， 当时，， 当时，， 综上所述，或． 16. 已知正实数x，y满足等式. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式即可求出的最大值； （2）先将分式进行通分，再结合的最大值即可求出答案，也可利用与相乘，根据基本不等式即可求出. 【小问1详解】 根据基本不等式可得， ，即，即， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最大值为3. 【小问2详解】 法一：， 由（1）得，故， 即的最小值为. 法二：， ， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立. 17. 已知命题：，，命题：，使得 （1）当为假命题时，求实数的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将为假命题转化为对应一元二次方程无实根，利用判别式小于0求解； （2）先分别求出、为真时的取值范围，再分真假、假真两类讨论，取结果的并集即可. 【小问1详解】 当命题为假命题，即无解，，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 若命题为真命题，即，， 等价于在上恒成立， 令，在单调递增， 所以，所以， 由（1）可知当命题为假命题，实数的取值范围是， 所以命题为真命题为假命题时； 若命题为假命题，则，当命题为真命题时，， 所以命题为假命题为真时； 综上所述，和中有且只有一个是真命题, 实数的取值范围为或. 18. 某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． （1）该店从第几年开始盈利？ （2）要使年平均盈利达到最大，求的值． 【答案】（1）第2年 （2） 【解析】 【分析】（1）令盈利总额万元大于等于0，进行求解即可. （2）结合基本不等式求取最大值时的值. 【小问1详解】 由题意可知：， 令，即，等价于， 即，解得， 所以该店从第二年开始盈利. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时取等号， 所以年平均盈利达到最大时为3. 19. 已知二次函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围； （3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对进行分类讨论分析一元二次不等式对应方程的根的大小情况，再结合二次函数图象进行求解； （2）由（1）中求得的解集情况，进行分类讨论分析解集中的整数取值，然后再合并实数的取值范围，即可求解； （3）整理不等式，并进行参变分离，利用换元法结合基本不等式进行求解． 【小问1详解】 已知二次函数，则，即． 对不等式左侧进行因式分解，可得， 对应方程的解为，， 当，即时，结合对应二次函数图象，可知不等式的解集为； 当，即时，结合对应二次函数图象，可知不等式的解集为； 当，即时，结合对应二次函数图象，可知不等式的解集为． 综上，可得当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【小问2详解】 由（1），可知当时，解集为，不满足题意； 当时，解集为， 若解集中恰有个整数，即范围内整数为，，0， 则，即； 当时，解集为， 若解集中恰有个整数，即范围内整数为2，3，4， 则，即． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 对于，可得，变形可得． 已知，不等式恒成立，即恒成立． 因为，即，所以对可变形为． 令，则， 故原问题转化为，不等式恒成立， 由基本不等式，可得，当且仅当，即时，等号成立， 故，因此，即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁强县天津高级中学2026级高一第一学期第一次限时训练 数学试题 注意：本试题共4页，19题，满分150分，时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 无最小值 5. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 以下结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则的最小值是 C. 的最小值是 D. 若，，且，则 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 方程的两根为， D. 不等式的解集为 第Ⅱ卷（非选择题） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设集合，，若，则_____． 13. 不等式的解集为__________. 14. 若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合. （1）当时，求. （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知正实数x，y满足等式. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 17. 已知命题：，，命题：，使得 （1）当为假命题时，求实数的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. 某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． （1）该店从第几年开始盈利？ （2）要使年平均盈利达到最大，求的值． 19. 已知二次函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围； （3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $