第3章 函数的概念与性质 单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3章 函数的概念与性质 单元测试卷 （2026—2027学年　人教A版　必修第一册） 满分 100 分　　考试时间 90 分钟 班级________　姓名________　学号________　得分________ 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数 f(x)＝ 的定义域是（　　） A．[1，＋∞)　　B．[1，2)∪(2，＋∞)　　C．(1，＋∞)　　D．[1，2) 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．f(x)＝x，g(x)＝　　B．f(x)＝|x|，g(x)＝　　C．f(x)＝x，g(x)＝()2　　D．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 3．已知函数 f(x)＝2x＋1，则 f(f(1))＝（　　） A．3　　B．5　　C．7　　D．9 4．下列四个图象中，可以表示奇函数的是（　　） A．(A)　　B．(B)　　C．(C)　　D．(D) 5．函数 f(x)＝−x2＋2x 在区间 [0，3] 上的最大值是（　　） A．0　　B．1　　C．2　　D．3 6．已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时 f(x)＝x2−2x，则 f(−1)＝（　　） A．−1　　B．1　　C．3　　D．−3 7．函数 f(x)＝x＋ 在区间 (0，1) 上（　　） A．单调递增　　B．单调递减　　C．先增后减　　D．先减后增 8．已知幂函数 f(x)＝xα 的图象过点 (2，)，则 f(4)＝（　　） A．　　B．2　　C．2　　D．4 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．关于函数 f(x)＝x2−2|x|，下列说法正确的是（　　） A．f(x) 是偶函数　　B．f(x) 的值域为 [−1，＋∞)　　C．f(x) 在 (0，1) 上单调递减　　D．f(x) 的最小值为 0 10．如图是函数 y＝f(x) 的图象（由两条线段组成，端点为 (−2，0)、(0，2)、(2，0)），则下列说法正确的是（　　） A．f(0)＝2　　B．f(x) 在 [−2，0] 上单调递增　　C．f(x) 的值域为 [0，2]　　D．f(−2)＝2 11．已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0，＋∞) 上单调递增，则下列结论正确的是（　　） A．f(−2)＜f(3)　　B．f(−1)＝f(1)　　C．若 f(a)＜f(1)，则 −1＜a＜1　　D．f(x) 在 (−∞，0] 上单调递增 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 f(x)＝2x−3，则 f(2)＝________。 13．函数 f(x)＝x2−4x＋3 的单调递减区间是________。 14．已知 f(x) 为奇函数，当 x＜0 时 f(x)＝x＋1，则 f(0)＋f(2)＝________。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）已知函数 f(x)＝。 （1）求 f(x) 的定义域； （2）求 f(2) 与 f(f(3)) 的值； （3）判断 f(x) 在区间 (1，＋∞) 上的单调性，并用定义证明。 16．（本题15分）已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝x2−2x。 （1）求 f(−1) 与 f(−3) 的值； （2）求 f(x) 在 R 上的解析式； （3）直接写出 f(x) 的单调递增区间。 17．（本题15分）已知幂函数 f(x)＝xα（α∈R）的图象经过点 (2，4)。 （1）求 α 的值，并写出 f(x) 的解析式； （2）判断 f(x) 的奇偶性，并说明它在 (0，＋∞) 上的单调性； （3）解不等式 f(x)＞f(2x−1)。 18．（本题17分）某商场销售一种商品，每件进价 40 元。经调查，若售价为 x 元/件（40≤x≤80），则日销售量为 (100−x) 件。设日利润为 y 元。 （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写定义域； （2）售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？ （3）若要求日利润不低于 800 元，求售价 x 的取值范围。 19．（本题17分）已知函数 f(x)＝x2＋（a∈R），且 f(1)＝3。 （1）求 a 的值； （2）判断 f(x) 的奇偶性，并说明理由； （3）证明：f(x) 在区间 (0，1) 上单调递减。 第3章 函数的概念与性质 参考答案与解析 一、选择题 1．B　需同时满足 x−1≥0 且 x−2≠0，即 x≥1 且 x≠2，定义域为 [1，2)∪(2，＋∞)。（3.1·函数定义域｜易） 2．B　同一个函数要求定义域与对应关系都相同。A 中 g(x) 的定义域不含 0；B 中 g(x)＝|x| 与 f(x) 定义域、对应关系都相同；C 中 g(x) 定义域为 [0，＋∞)；D 对应关系不同。故选 B。（3.1·函数的概念｜易） 3．C　f(1)＝2×1＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝2×3＋1＝7。（3.1·求函数值｜易） 4．B　奇函数图象关于原点对称，只有 (B)（y＝x3 型图象）关于原点对称；(A)(C) 关于 y 轴对称，是偶函数；(D) 不具对称性。（3.2·奇偶性的图象特征｜易） 5．B　f(x)＝−(x−1)2＋1，对称轴 x＝1∈[0，3]，故最大值为 f(1)＝1。（3.2·二次函数在闭区间上的最值｜中） 6．B　f(1)＝12−2×1＝−1；由 f(x) 为奇函数得 f(−1)＝−f(1)＝1。（3.2·奇函数求值｜中） 7．B　任取 0＜x1＜x2＜1，f(x1)−f(x2)＝(x1−x2)＋(−)＝(x1−x2)(1−)。由 x1x2＜1 得 ＞1，故 1−＜0，又 x1−x2＜0，所以 f(x1)−f(x2)＞0，f(x) 在 (0，1) 上单调递减。（3.2·单调性判断｜中） 8．B　2α＝，即 α＝，f(x)＝，f(4)＝2。（3.3·幂函数｜中） 二、多项选择题 9．ABC　f(−x)＝(−x)2−2|−x|＝x2−2|x|＝f(x)，为偶函数，A 对；当 x≥0 时 f(x)＝x2−2x＝(x−1)2−1≥−1，由偶性知值域为 [−1，＋∞)，B 对；在 (0，1) 上 f(x)＝(x−1)2−1 单调递减，C 对；最小值为 −1，D 错。故选 ABC。（3.2·含绝对值函数的性质｜难） 10．ABC　由图 f(0)＝2，A 对；在 [−2，0] 上图象上升，B 对；图象最低点纵坐标为 0、最高为 2，故值域为 [0，2]，C 对；由图 f(−2)＝0≠2，D 错。故选 ABC。（3.1·函数图象的识读｜中） 11．ABC　偶函数满足 f(−x)＝f(x)，故 f(−1)＝f(1)，B 对；f(−2)＝f(2)，2＜3 且在 [0，＋∞) 上递增，故 f(2)＜f(3)，A 对；f(a)＜f(1) ⇔ f(|a|)＜f(1) ⇔ |a|＜1 ⇔ −1＜a＜1，C 对；偶函数在 [0，＋∞) 递增则在 (−∞，0] 上递减，D 错。（3.2·奇偶性与单调性的综合｜中） 三、填空题 12．　f(2)＝2×2−3＝1。（3.1·求函数值｜易） 13．　f(x)＝(x−2)2−1，对称轴 x＝2，开口向上，故单调递减区间为 (−∞，2]。（3.2·二次函数单调性｜易） 14．　奇函数在 x＝0 处有定义则 f(0)＝0；x＞0 时 f(x)＝−f(−x)＝−[(−x)＋1]＝x−1，故 f(2)＝1，f(0)＋f(2)＝1。（3.2·奇函数求解析式｜中） 四、解答题 15． （1）　需 x−1≠0，故定义域为 {x|x≠1}。（3分） （2）　f(2)＝＝3；f(3)＝＝2，f(f(3))＝f(2)＝3。（4分） （3）　f(x)＝＝1＋。任取 1＜x1＜x2，则 f(x1)−f(x2)＝−＝。因为 x2−x1＞0，x1−1＞0，x2−1＞0，所以 f(x1)−f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，故 f(x) 在 (1，＋∞) 上单调递减。（6分） 16． （1）　f(1)＝1−2＝−1，由奇性 f(−1)＝−f(1)＝1；f(3)＝9−6＝3，f(−3)＝−3。（4分） （2）　设 x＜0，则 −x＞0，f(−x)＝(−x)2−2(−x)＝x2＋2x。由奇性 f(x)＝−f(−x)＝−x2−2x。又 f(0)＝0。故 f(x)＝{ x2−2x（x≥0）；−x2−2x（x＜0）}。（7分） （3）　f(x) 在 (−∞，−1] 与 [1，＋∞) 上单调递增。（4分） 17． （1）　2α＝4＝22，故 α＝2，f(x)＝x2。（4分） （2）　定义域为 R，f(−x)＝(−x)2＝x2＝f(x)，故为偶函数；在 (0，＋∞) 上任取 0＜x1＜x2，f(x1)−f(x2)＝x12−x22＝(x1−x2)(x1＋x2)＜0，故单调递增。（6分） （3）　由偶性 f(x)＝f(|x|)，不等式化为 |x|＞|2x−1|，两边平方：x2＞4x2−4x＋1，即 3x2−4x＋1＜0，(3x−1)(x−1)＜0，解得 ＜x＜1。故解集为 {x|＜x＜1}。（5分） 18． （1）　y＝(x−40)(100−x)＝−x2＋140x−4000，定义域为 [40，80]。（5分） （2）　y＝−(x−70)2＋900，故 x＝70∈[40，80] 时 y 取最大值 900。即售价定为 70 元/件时，日利润最大，最大日利润为 900 元。（6分） （3）　由 y≥800 得 −x2＋140x−4000≥800，即 x2−140x＋4800≤0，因式分解 (x−60)(x−80)≤0，解得 60≤x≤80，与定义域 [40，80] 取交集得 60≤x≤80。故售价的取值范围为 {x|60≤x≤80}。（6分） 19． （1）　f(1)＝1＋a＝3，故 a＝2。（4分） （2）　f(x)＝x2＋，定义域为 {x|x≠0}，关于原点对称。f(−x)＝x2−，既不等于 f(x) 也不等于 −f(x)，故 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数。（5分） （3）　任取 0＜x1＜x2＜1，f(x1)−f(x2)＝(x12−x22)＋−＝(x1−x2)(x1＋x2)−＝(x1−x2)[(x1＋x2)−]。因为 x1−x2＜0，且 x1＋x2＜2、x1x2＜1 故 ＞2，所以 (x1＋x2)−＜0，从而 f(x1)−f(x2)＞0，f(x) 在 (0，1) 上单调递减。（8分） 附：双向细目表 题号 考查内容 难度 分值 1 函数定义域 易 5 2 同一函数的判断 易 5 3 求函数值 易 5 4 奇函数图象特征 易 5 5 闭区间上二次函数最值 中 5 6 奇函数求值 中 5 7 对勾函数单调性 中 5 8 幂函数求值 中 5 9 含绝对值函数性质 难 6 10 函数图象识读 中 6 11 奇偶性与单调性综合 中 6 12 求函数值 易 5 13 单调区间 易 5 14 奇函数求解析式 中 5 15 定义域、函数值与单调性证明 中 13 16 奇函数求解析式 中 15 17 幂函数与不等式 中 15 18 二次函数应用（利润最值） 中 17 19 函数性质与单调性证明（压轴） 难 17 学科网（北京）股份有限公司 $